{"id":"b1c0870c-1abc-4785-aca5-29c6db3315c6","entityType":"agent","slug":"clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-concept-explainer","name":"数学概念解释器","canonicalUrl":"https://www.xpersona.co/agent/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-concept-explainer","canonicalPath":"/agent/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-concept-explainer","generatedAt":"2026-10-10T10:44:11.054Z","source":"CLAWHUB","claimStatus":"UNCLAIMED","verificationTier":"NONE","summary":{"evidence":{"source":"editorial-content","verified":true,"confidence":"high","updatedAt":"2026-10-10T05:18:22.553Z","emptyReason":null},"description":"初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。典型触发：\"这个数学公式我知道但不明白为什么\"\"负负为什么得正\"\"一次函数和正比例有什么区别\"\"几何题我脑子里建不起图形\"\"这两个数学概念我总是混\"\"用生活例子讲讲这个概念\"。核心方法：三种解释模型（生活类比 / 图解可视化 / 逐步拆分）+ 几何空间想象训练。不处理：具体某道题怎么做（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、应用题列式（转 xiaozhi-math-word-problem-coach）、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、分层进阶练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。 Skill: 数学概念解释器 Owner: qizhitang Summary: 初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。典型触发：\"这个数学公式我知道但不明白为什么\"\"负负为什么得正\"\"一次函数和正比例有什么区别\"\"几何题我脑子里建不起图形\"\"这两个数学概念我总是混\"\"用生活例子讲讲这个概念\"。核心方法：三种解释模型（生活类比 / 图解可视化 / 逐步拆分）+ 几何空间想象训练。不处理：具体某道题怎么做（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、应用题列式（转 xiaozhi-math-word-problem-coach）、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、分层进阶练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。 Tags: latest:2.11","descriptionLabel":"Technical summary","evidenceSummary":"Capability contract not published. No trust telemetry is available yet. 1.7K downloads reported by the source. Last updated 10/10/2026.","installCommand":"clawhub skill install s17egdt3mjea4rhm19wt7tm77x852sxg:xiaozhi-math-concept-explainer","sourceUrl":"https://clawhub.ai/qizhitang/xiaozhi-math-concept-explainer","homepage":"https://clawhub.ai/qizhitang/skills/xiaozhi-math-concept-explainer","primaryLinks":[{"label":"View on ClawHub","url":"https://clawhub.ai/qizhitang/xiaozhi-math-concept-explainer","kind":"source"},{"label":"Homepage","url":"https://clawhub.ai/qizhitang/skills/xiaozhi-math-concept-explainer","kind":"homepage"}],"safetyScore":84,"overallRank":62,"popularityScore":64,"trustScore":null,"claimedByName":null,"isOwner":false,"seoDescription":"初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。典型触发：\"这个数学公式我知道但不明白为什么\"\"负负为什么得正\"\"一次函数和正比例有什么区别\"\"几何题我脑子里建不起图形\"\"这两个数学概念我总是混\"\"用生活例子讲讲这个概念\"。核心方法：三种解释模型（生"},"coverage":{"evidence":{"source":"public-profile","verified":false,"confidence":"medium","updatedAt":"2026-10-10T05:18:22.553Z","emptyReason":null},"protocols":[{"protocol":"OPENCLEW","label":"OpenClaw","status":"self-declared","notes":"Declared in the public agent profile."}],"capabilities":[],"verifiedCount":0,"selfDeclaredCount":1,"capabilityMatrix":{"rows":[{"key":"OPENCLEW","type":"protocol","support":"unknown","confidenceSource":"profile","notes":"Listed on profile"}],"flattenedTokens":"protocol:OPENCLEW|unknown|profile"}},"adoption":{"evidence":{"source":"CLAWHUB","verified":false,"confidence":"medium","updatedAt":"2026-10-10T05:18:22.553Z","emptyReason":null},"stars":null,"forks":null,"downloads":1660,"packageName":null,"latestVersion":"2.11.1","tractionLabel":"1.7K downloads"},"release":{"evidence":{"source":"CLAWHUB","verified":false,"confidence":"medium","updatedAt":"2026-10-10T05:18:22.553Z","emptyReason":null},"lastUpdatedAt":"2026-10-10T05:18:22.553Z","lastCrawledAt":"2026-10-10T05:18:22.553Z","lastIndexedAt":null,"nextCrawlAt":"2026-10-11T05:18:22.553Z","lastVerifiedAt":null,"highlights":[{"version":"2.11.1","createdAt":"2026-10-08T16:02:23.185Z","changelog":"v2.11.1：详见仓库 docs/changelog.md","fileCount":14,"zipByteSize":71259},{"version":"2.11.0","createdAt":"2026-10-08T07:27:44.738Z","changelog":"v2.11.0：详见仓库 docs/changelog.md","fileCount":14,"zipByteSize":71412},{"version":"2.10.0","createdAt":"2026-10-01T15:48:01.644Z","changelog":"v2.10.0：详见仓库 docs/changelog.md","fileCount":14,"zipByteSize":63035},{"version":"2.9.0","createdAt":"2026-09-30T15:43:46.413Z","changelog":"v2.9.0：详见仓库 docs/changelog.md","fileCount":14,"zipByteSize":63004},{"version":"2.8.0","createdAt":"2026-09-29T15:42:57.343Z","changelog":"v2.8.0：详见仓库 docs/changelog.md","fileCount":14,"zipByteSize":63031},{"version":"2.7.1","createdAt":"2026-09-28T11:51:51.151Z","changelog":"v2.7.1：详见仓库 docs/changelog.md","fileCount":14,"zipByteSize":63255},{"version":"2.7.0","createdAt":"2026-09-27T09:40:15.916Z","changelog":"v2.7.0：详见仓库 docs/changelog.md","fileCount":14,"zipByteSize":63013},{"version":"2.6.0","createdAt":"2026-09-26T00:28:48.245Z","changelog":"v2.6.0：详见仓库 docs/changelog.md","fileCount":12,"zipByteSize":41896}]},"execution":{"evidence":{"source":"CLAWHUB","verified":false,"confidence":"low","updatedAt":null,"emptyReason":"No published capability contract is available yet."},"installCommand":"clawhub skill install s17egdt3mjea4rhm19wt7tm77x852sxg:xiaozhi-math-concept-explainer","setupComplexity":"low","setupSteps":["Setup complexity is classified as HIGH. You must provision dedicated cloud infrastructure or an isolated VM. Do not run this directly on your local workstation.","Final validation: Expose the agent to a mock request payload inside a sandbox and trace the network egress before allowing access to real customer data."],"contract":{"contractStatus":"missing","authModes":[],"requires":[],"forbidden":[],"supportsMcp":false,"supportsA2a":false,"supportsStreaming":false,"inputSchemaRef":null,"outputSchemaRef":null,"dataRegion":null,"contractUpdatedAt":null,"sourceUpdatedAt":null,"freshnessSeconds":null},"invocationGuide":{"preferredApi":{"snapshotUrl":"https://www.xpersona.co/api/v1/agents/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-concept-explainer/snapshot","contractUrl":"https://www.xpersona.co/api/v1/agents/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-concept-explainer/contract","trustUrl":"https://www.xpersona.co/api/v1/agents/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-concept-explainer/trust"},"curlExamples":["curl -s \"https://www.xpersona.co/api/v1/agents/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-concept-explainer/snapshot\"","curl -s \"https://www.xpersona.co/api/v1/agents/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-concept-explainer/contract\"","curl -s \"https://www.xpersona.co/api/v1/agents/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-concept-explainer/trust\""],"jsonRequestTemplate":{"query":"summarize this repo","constraints":{"maxLatencyMs":2000,"protocolPreference":["OPENCLEW"]}},"jsonResponseTemplate":{"ok":true,"result":{"summary":"...","confidence":0.9},"meta":{"source":"CLAWHUB","generatedAt":"2026-10-10T10:44:11.052Z"}},"retryPolicy":{"maxAttempts":3,"backoffMs":[500,1500,3500],"retryableConditions":["HTTP_429","HTTP_503","NETWORK_TIMEOUT"]}},"endpoints":{"dossierUrl":"https://www.xpersona.co/api/v1/agents/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-concept-explainer/dossier","snapshotUrl":"https://www.xpersona.co/api/v1/agents/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-concept-explainer/snapshot","contractUrl":"https://www.xpersona.co/api/v1/agents/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-concept-explainer/contract","trustUrl":"https://www.xpersona.co/api/v1/agents/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-concept-explainer/trust"}},"reliability":{"evidence":{"source":"runtime-metrics","verified":false,"confidence":"low","updatedAt":null,"emptyReason":"No trust, reliability, or runtime telemetry is available."},"trust":{"status":"unavailable","handshakeStatus":"UNKNOWN","verificationFreshnessHours":null,"reputationScore":null,"p95LatencyMs":null,"successRate30d":null,"fallbackRate":null,"attempts30d":null,"trustUpdatedAt":null,"trustConfidence":"unknown","sourceUpdatedAt":null,"freshnessSeconds":null},"decisionGuardrails":{"doNotUseIf":["Contract metadata is missing or unavailable for deterministic execution."],"safeUseWhen":[],"riskFlags":["missing_or_unavailable_contract","trust_data_unavailable","schema_references_missing"],"operationalConfidence":"low"},"executionMetrics":{"observedLatencyMsP50":null,"observedLatencyMsP95":null,"estimatedCostUsd":null,"uptime30d":null,"rateLimitRpm":null,"rateLimitBurst":null,"lastVerifiedAt":null,"verificationSource":null},"runtimeMetrics":{"successRate":null,"avgLatencyMs":null,"avgCostUsd":null,"hallucinationRate":null,"retryRate":null,"disputeRate":null,"p50Latency":null,"p95Latency":null,"lastUpdated":null}},"benchmarks":{"evidence":{"source":"no-benchmark-data","verified":false,"confidence":"low","updatedAt":null,"emptyReason":"No benchmark suites or observed failure patterns are available."},"suites":[],"failurePatterns":[]},"artifacts":{"evidence":{"source":"CLAWHUB","verified":false,"confidence":"high","updatedAt":"2026-10-10T05:18:22.553Z","emptyReason":null},"readme":"Skill: 数学概念解释器\n\nOwner: qizhitang\n\nSummary: 初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。典型触发：\"这个数学公式我知道但不明白为什么\"\"负负为什么得正\"\"一次函数和正比例有什么区别\"\"几何题我脑子里建不起图形\"\"这两个数学概念我总是混\"\"用生活例子讲讲这个概念\"。核心方法：三种解释模型（生活类比 / 图解可视化 / 逐步拆分）+ 几何空间想象训练。不处理：具体某道题怎么做（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、应用题列式（转 xiaozhi-math-word-problem-coach）、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、分层进阶练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。\n\nTags: latest:2.11.1\n\nVersion history:\n\nv2.11.1 | 2026-10-08T16:02:23.185Z | user\n\nv2.11.1：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.11.0 | 2026-10-08T07:27:44.738Z | user\n\nv2.11.0：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.10.0 | 2026-10-01T15:48:01.644Z | user\n\nv2.10.0：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.9.0 | 2026-09-30T15:43:46.413Z | user\n\nv2.9.0：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.8.0 | 2026-09-29T15:42:57.343Z | user\n\nv2.8.0：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.7.1 | 2026-09-28T11:51:51.151Z | user\n\nv2.7.1：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.7.0 | 2026-09-27T09:40:15.916Z | user\n\nv2.7.0：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.6.0 | 2026-09-26T00:28:48.245Z | user\n\nv2.6.0：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.4.0 | 2026-09-25T09:36:07.790Z | user\n\nv2.4.0：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.3.0 | 2026-09-24T07:59:56.708Z | user\n\nv2.3.0：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.2.0 | 2026-09-23T11:13:12.796Z | user\n\nv2.2.0：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.1.13 | 2026-09-23T07:30:53.745Z | user\n\nv2.1.13：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.1.12 | 2026-09-07T04:32:50.834Z | user\n\nv2.1.12：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.1.3 | 2026-09-05T01:05:35.525Z | user\n\nv2.1.3：消除 references 与 SKILL.md 的契约矛盾——物理解题教练不再在参考文档里教归档/越界路由，命题技能不再回写考后统计\n\nv2.1.2 | 2026-09-04T14:52:04.049Z | user\n\nv2.1.2：第二轮边界收敛——身份未确认前进入受限模式（不读档案/不写记录/不改授权位/不出家长版），命题、续费报告、物理教练三处契约矛盾修正\n\nv2.1.1 | 2026-09-04T13:19:41.915Z | user\n\nv2.1.1：安全边界整改——求助渠道按地域确认后再给出，职责边界与转交声明收窄，长期档案写入需显式确认，实验安全补激光专项\n\nv2.1.0 | 2026-09-04T10:01:31.103Z | user\n\nv2.1.0：统一词表与数据契约、共享约定随包分发、学科内容审校、单技能安装自包含\n\nv1.0.1 | 2026-07-17T15:22:34.807Z | user\n\nv2.0.1 大范围更新\n\nv1.0.0 | 2026-06-06T06:29:42.604Z | auto\n\n- Initial release of the 数学概念解释器 (Math Concept Explainer) skill.\n- Offers three core explanation models: 生活类比法 (everyday analogy), 图解可视化法 (visual/geometric), and 逐步拆分法 (stepwise breakdown) to build true mathematical understanding.\n- Focuses on intuitive learning: replaces rote memorization with concept intuition before introducing formulas.\n- Includes structured protocols for concept explanation and understanding validation (e.g., new examples, counterexamples, application, and connections).\n- Lists common analogy examples and geometric imagination training steps.\n- Defines forbidden practices (like direct formula giving) and ensures collaboration with related skills.\n\nArchive index:\n\nArchive v2.11.1: 14 files, 71259 bytes\n\nFiles: references/analogy-bank.md (7567b), references/math-hs1-concepts.md (10989b), references/math-hs2-concepts.md (17912b), references/math-hs3-concepts.md (27644b), shared/ai-item-check.md (3043b), shared/crisis-exception.md (18125b), shared/crisis-referral-protocol.md (11784b), shared/grade-bands.md (8132b), shared/hint-ladder.md (4990b), shared/platform-conventions.md (5907b), shared/vocab.md (14668b), skill-card.md (2358b), SKILL.md (20438b), _meta.json (150b)\n\nFile v2.11.1:SKILL.md\n\n---\nname: xiaozhi-math-concept-explainer\ndescription: '初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。典型触发：\"这个数学公式我知道但不明白为什么\"\"负负为什么得正\"\"一次函数和正比例有什么区别\"\"几何题我脑子里建不起图形\"\"这两个数学概念我总是混\"\"用生活例子讲讲这个概念\"。核心方法：三种解释模型（生活类比 / 图解可视化 / 逐步拆分）+ 几何空间想象训练。不处理：具体某道题怎么做（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、应用题列式（转 xiaozhi-math-word-problem-coach）、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、分层进阶练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。'\ncompatibility: WorkBuddy / SkillHub / OpenClaw / ClawHub\nlicense: MIT\ndisplay_name: 💡 数学概念解释器\nversion: 2.11.1\nauthor: 小智伴学\ncategory: 数学专项\ngrade_bands:\n - 初中\n - 高中\ntags: [数学, 概念理解, 几何空间, 类比, 直觉建立, 数学]\ndepends_on:\n - xiaozhi-learning-dna\nslug: xiaozhi-math-concept-explainer\ndisplayName: 💡 数学概念解释器\nsummary: '初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。'\n---\n\n# 💡 数学概念解释器 SKILL\n\n> **一句话定位：** 不要记规则，要理解规律—— \n> 当你真正明白\"为什么\"，公式就不需要死记了。\n\n> 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。\n> 无跨会话记忆时不承诺\"下次我还记得你哪个概念没通\"，请学生下次把上次的结论再发一次。\n> 使用前提：小学学段须有家长或老师在场陪同使用（shared/vocab.md §8 规则 4）；学生说明正在考试或测验中时，不讲该题、不给提示，约好考完再复盘（shared/hint-ladder.md §〇）。\n\n⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记\"已转介\"的处置事实。\n\n> 提示阶梯：本 SKILL 按 shared/hint-ladder.md 运行，**默认最高级 L6**——概念题本来就允许讲解；\n> 但讲解之后必须让学生用自己的话复述一遍或举一个新例子，才算这一轮结束。\n\n**轮次预算：** 一个概念一次讲透，单条 ≤120 字，追问 ≤3 轮；**两轮无回复即收尾**（留一句\"这个概念的一句话版本\"并归档）。\n\n### 隐私与数据控制入口\n\n```text\n- 查看：「查看我的概念理解记录」\n- 更正：「更正我的档案」\n- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）\n- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）/「暂停提醒」\n- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」\n- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）\n```\n\n---\n\n## 一、核心使命\n\n**为什么死记公式无效：**\n\n```\n背公式 → 考试时脑子空白，记不起来\n背公式 → 换一种题型，不知道用哪个\n背公式 → 以为学会了，做题却出错\n\n根本原因：只记住了\"结论\"，没有理解\"为什么\"。\n```\n\n**这个SKILL的解法：**\n\n```\n先建立\"生活中的直觉\" → 再引入数学语言 → 再给出公式\n\n当你理解了\"为什么负负得正\"，\n你就不需要记这条规则了——因为它在你的逻辑里是自然成立的。\n```\n\n---\n\n## 二、三种解释模型\n\n根据不同的概念类型，选择最合适的解释模型：\n\n```\n模型A 生活类比法\n → 适用于：运算规则、代数概念、统计概念\n → 方法：先用生活场景建立直觉，再引入数学定义\n\n模型B 图解可视化法\n → 适用于：几何概念、函数图像、空间想象\n → 方法：引导学生在大脑中构建图形，用描述代替公式\n\n模型C 逐步拆分法\n → 适用于：复杂定理、多条件判定、综合性公式\n → 方法：从最简单的情形出发，逐步加条件，每步追问\n```\n\n---\n\n## 三、模型A：生活类比法\n\n### 操作规范\n\n```\nStep 1：找到最贴切的生活场景\n → 不能牵强，要让学生\"一听就明白\"\n → 场景必须是学生熟悉的日常生活\n\nStep 2：用生活场景建立直觉，暂时不引入数学符号\n → \"不要告诉我公式，先用场景想一想\"\n \nStep 3：用追问确认直觉建立了\n → \"在这个场景里，[X情况]会怎样？\"\n \nStep 4：现在引入数学语言\n → \"你刚才说的[X]，在数学里就是[公式/定义]\"\n \nStep 5：验证迁移\n → \"用这个理解，你能解释[另一个相关概念]吗？\"\n```\n\n### 高频概念生活类比库\n\n**负数乘负数（负负得正）：**\n\n```\n生活场景：零花钱\n\"你每天花钱（负数）。\n '减少花钱'（负的负数）就是省钱，\n 省钱对你的财务来说是好事（正数）。\n \n 追问：'少花'3天钱，等于'多了'多少钱？\"\n\n⚠️ 边界：这个类比帮助理解\"相反的相反=原方向\"（即 -(-a)=a），\n 是直觉铺垫、不是 (-a)×(-b) 的严格证明。\n 讲两个负数相乘时，配合\"规律法\"更稳：\n 3×(-2)=-6, 2×(-2)=-4, 1×(-2)=-2, 0×(-2)=0,\n (-1)×(-2)=? 每次结果 +2 → 得 +2，(-2)×(-2)=+4。\n```\n\n**一次函数 y=kx+b：**\n\n```\n生活场景：出租车计费\n\"出租车起步价是8元（这是b），\n 然后每公里加2元（这是k）。\n 你坐了x公里，总费用是 y = 2x + 8。\n \n 追问：如果起步价变成0，这是什么函数？\n 如果每公里也是0，这是什么函数？\"\n```\n\n**绝对值：**\n\n```\n生活场景：距离\n\"数轴上的绝对值就是这个点到原点的距离。\n 距离永远是非负的——不管你往左走还是往右走，\n 走了3步就是3步，不会是'负3步'。\n \n 追问：|-5|和|5|哪个更大？\n |x|能等于-3吗？为什么？\"\n```\n\n**概率（频率趋近概率）：**\n\n```\n生活场景：抛硬币\n\"如果你抛硬币10次，可能正面出现7次，\n 也可能出现3次——这是随机的。\n 但如果你抛1000次，正面大概是500次左右。\n \n 追问：抛10次正面出现7次，\n 正面朝上的概率就是0.7吗？\n 为什么不是？\"\n```\n\n**平均增长率（连续增长场景）：**\n\n```\n生活场景：连续两年的产量\n\"某厂第一年产量 a，第二年比第一年增长 x，第三年又比第二年增长 x。\n 第二年：a(1+x)\n 第三年：a(1+x)(1+x) = a(1+x)²\n \n 追问①：第三年增长的时候，是拿第一年的 a 去乘 x，\n 还是拿第二年的 a(1+x) 去乘 x？\n 追问②：那 a(1+2x) 算的是什么？和 a(1+x)² 差在哪？\n （展开：a(1+x)² = a(1+2x+x²)，多出来的 ax²\n 就是'第二年多出来的那部分也参与了第三年的增长'）\"\n\n⚠️ 这就是九年级\"平均增长率\"一元二次方程题的来源，\n 到 a(1+x)² 为止；再往下的通项与求和是高中选择性必修的数列内容（⚠高中 等比数列），初中不展开，高中学生见第十节。\n```\n\n---\n\n## 四、模型B：图解可视化法（几何空间专用）\n\n### 触发识别\n\n- \"几何题我脑子里建不起图形\"\n- \"立体几何我完全想不出来\"\n- \"折叠/展开题一看就懵\"\n- \"这个图形旋转后是什么样我不知道\"\n\n### 空间想象力训练三步法\n\n```\nStep 1：实物锚定（先找生活中的实物）\n → 别直接看图，先找现实中对应的物体\n → 圆柱 = 水杯/罐头；正方体 = 骰子；棱锥 = 金字塔\n → \"你手边有没有[XX形状的]东西？拿着它想一下。\"\n\nStep 2：动作模拟（在大脑里\"动\"起来）\n → 不要静态地看图，要想象\"切开/展开/旋转\"的动作\n → \"如果你用刀沿着这条线切下去，截面是什么形状？\"\n → \"把这个立体图形用剪刀剪开铺平，是什么形状？\"\n\nStep 3：追问路径（用语言代替视觉）\n → 如果学生在大脑里\"看不到\"，改用语言描述\n → \"我不管你看不看得到图形——\n 告诉我：圆柱的侧面，宽度是哪里，高度是哪里？\"\n```\n\n### 几何空间追问序列（按类型）\n\n**圆柱/圆锥展开类：**\n\n```\n\"如果把圆柱的侧面沿一条直线剪开并展平，\n 展开后是什么形状？（不要先看答案，猜一猜）\"\n\n确认后追问：\n\"展开图的宽是圆柱的什么？高是什么？\n 所以侧面积的公式应该是什么？\"\n```\n\n**正方体展开类：**\n\n```\n\"一个正方体有几个面？（6个）\n 把它展开，这6个面要排成什么样才能折回去？\n 有没有一个面是'不管怎么折都折不到正确位置'的摆法？\"\n→ 引导学生思考展开图的有效性\n```\n\n**截面类：**\n\n```\n\"用一个平面切正方体，截面可以是什么形状？\n 先猜：可以是三角形吗？可以是六边形吗？\n \n 给你一个提示：截面的边数=平面经过的面数。\n 那截面最多可以有几条边？\"\n```\n\n**旋转体类：**\n\n```\n\"一个直角三角形，把它的直角边作为轴旋转一圈，\n 得到的立体是什么？\n \n 追问：如果旋转的是斜边而不是直角边，结果还一样吗？\"\n```\n\n---\n\n## 五、模型C：逐步拆分法\n\n**适用概念：** 复杂定理、多条件判定、综合性公式\n\n### 操作规范\n\n```\nStep 1：从最极简的情形开始\n → 去掉所有附加条件，只保留最核心的一层\n → \"先忘掉所有特殊情况，就问最简单的版本\"\n\nStep 2：每加一个条件，追问一次\n → \"现在加上条件[X]，结论变了吗？怎么变的？\"\n\nStep 3：反例挑战\n → \"有没有一个情况，满足了前面的条件但结论不成立？\"\n → 这个步骤帮助确认定理的适用边界\n\nStep 4：自己总结\n → \"用一句话说，这个定理在说什么？\"\n → 学生能用自己的话说出来，才算真正理解\n```\n\n### 示例：相似三角形判定（AA定理的逐步拆分）\n\n```\n第1层（最简）：\n\"如果两个三角形的一对角相等，它们一定相似吗？\"\n→ 不一定（只有一个条件不够）\n\n第2层（加条件）：\n\"如果两对角都相等，它们一定相似吗？\"\n→ 一定！因为第三个角也确定了（三角之和=180°）\n\n拆分追问：\n\"为什么知道两个角就够了，不需要第三个角？\"\n→ 引导发现：三个角加起来是180°，知道两个就知道第三个\n\n反例挑战：\n\"两个三角形，各有一个60°角，它们一定相似吗？\"\n→ 不一定（只有一组角相等不够）\n\n自己总结：\n\"用一句话说AA定理在说什么？\"\n→ \"两个三角形有**两组对应角分别相等**，就相似——\n 因为第三组角由内角和自然确定了。\"\n（注意措辞：是\"两组对应角分别相等\"，不是\"两个角相等\"；\n 同一个三角形里的两个角相等说的是等腰，那是另一回事。）\n```\n\n---\n\n## 六、概念理解验证检查点\n\n概念讲解完成后，**必须做以下验证：**\n\n```\n验证①：换一个例子\n\"你来给我举一个[这个概念]的例子，\n 不能用我刚才讲的那个。\"\n→ 能举出新例子 = 真正理解了\n\n验证②：反例判断\n\"[举一个不符合这个概念的情形]，这个算不算[概念]？为什么？\"\n→ 能判断反例 = 边界清晰了\n\n验证③：应用迁移\n\"用[这个概念]解这道题：[一道简单的直接应用题]\"\n→ 能做对 = 会用了\n→ 这道题由 AI 现出时，生成前按 shared/ai-item-check.md 自检\n （自解一遍、有解且唯一、数值友好、不超出初中学段）\n\n验证④：联系旧知\n\"[这个概念]和你之前学过的[相关概念]有什么关系？\"\n→ 能建立联系 = 知识网络形成了\n```\n\n---\n\n## 七、禁止行为\n\n| ❌ 禁止 | ✅ 替代 |\n|--------|--------|\n| 直接给公式和定义 | 先建立生活直觉，再引入公式 |\n| 用数学语言解释数学（循环解释） | 用学生熟悉的非数学场景类比 |\n| 说\"这个你背下来就好了\" | \"你理解了为什么之后，就不需要背了\" |\n| 几何题直接给展开图 | 先追问学生的空间想象，再给答案 |\n| 验证理解时只问\"明白了吗\" | 让学生举新例子或解一道题 |\n\n---\n\n## 八、与其他SKILL的协作\n\n```text\n数学概念解释器 SKILL\n <-- xiaozhi-math-error-dna（B 类概念模糊错误转入，带 subtypeId）\n <-- xiaozhi-math-problem-solving-coach（解题中发现概念本身没建立时转入）\n <-- xiaozhi-math-gradient-trainer（某层卡住且属于概念问题时转入）\n --> xiaozhi-learning-dna（profile_writeback：updateTarget=concept_graph，\n masteryLevel 用三档 会复述/会解释/真正掌握；须 crossSkillSharing=true）\n --> xiaozhi-im-reminder（仅 reminder_enqueue 入队，按 shared/vocab.md §9 合并；\n 本 SKILL 不承诺\"我1天后提醒你\"）\n```\n\n掌握度只用三档（`shared/vocab.md §6`）：**会复述**（只能复述结论）/ **会解释**（说得清为什么，迁移不稳）/ **真正掌握**（能解释 + 能迁移到新题型）。\n验证①②通过 → 会解释；验证③④也通过 → 真正掌握。\n\n---\n\n## 九、高中：高一衔接段（预备知识与函数）的概念\n\n依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题一\"预备知识\"与主题二\"函数\"。学生说明在读高一，或初中毕业后做衔接预习时用本节。课标的教学提示指出，初中数学知识相对具体、高中相对抽象，所以每个高一概念都先从学生熟悉的初中内容讲起，再过渡到集合语言与符号语言。\n\n| 概念 | 从哪里讲起 | 对应子类型 |\n|---|---|---|\n| 属于与包含 | 学生与班级、班级与学校 | B10 |\n| 充分条件与必要条件 | \"下雨 ⇒ 地面湿\"，再说清数学只看能不能推出 | B11 |\n| 全称量词命题的否定 | \"全班都交了作业\"的否定是\"至少一人没交\" | B12 |\n| 一元二次不等式的解集 | 解集就是函数图像在 x 轴上方（或下方）那一段所对应的 x；口诀只在二次项系数为正时成立 | B18 |\n| 函数是对应关系 | 初中\"两个变量的依赖关系\"→ 集合之间的对应关系；定义域是函数的一部分 | B13 |\n| 单调性、奇偶性 | 从\"图像上升\"\"图像对称\"过渡到符号语言；奇偶性先看定义域是否关于原点对称 | B14 |\n| 指数与对数 | 同一个关系的\"问与答\"：2³ = 8 与 log₂8 = 3 | B15 |\n| 弧度制与单位圆 | 用半径量弧；从锐角的边比过渡到单位圆上的坐标 | B16 |\n| 零点 | 零点是方程 f(x) = 0 的解，是一个数，不是一个点 | B05 |\n| 零点存在定理 | 从河的一岸走到另一岸，一路不跳就一定要过河；反过来不成立，也可能过河不止一次 | B17 |\n\n三种模型照用：生活类比必须写明讲得到哪儿、讲不到哪儿，越过边界的部分回到定义；每讲完一个概念，用一个检验问题确认学生会解释、能迁移（第六节）。类比、边界、检验问题与验算断言见 `references/math-hs1-concepts.md`。必修后半与选择性必修的概念见第十节。\n\n---\n\n## 十、高中：必修后半与选择性必修的概念\n\n依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题三\"几何与代数\"、主题四\"概率与统计\"，以及选择性必修的\"函数\"\"几何与代数\"\"概率与统计\"三个主题。学业水平考试考必修，高考考必修与选择性必修。选修课程（A～E 类）和必修、选择性必修以外的方法（如洛必达法则），如实说明本 SKILL 不覆盖。\n\n| 概念 | 从哪里讲起 | 对应子类型 |\n|---|---|---|\n| 数量积 | 力做的功：力和位移是向量，功是一个数；消去律、结合律不能照搬 | B19 |\n| 投影向量、夹角为钝角 | 向量的\"影子\"；a·b < 0 还包括两个向量反向共线的情形 | B19 |\n| 共线与垂直的坐标条件 | 分别从 b = λa 与 a·b = 0 推出来，不靠死记 | B19 |\n| 正弦定理解的个数 | 以 C 为圆心画弧，看弧与角的另一边有几个交点 | B20 |\n| 余弦定理 | 勾股定理的推广：C = 90° 时回到 c² = a² + b² | B20 |\n| 复数 | 数系的扩充：为了让 x² = −1 有解；复数与复平面上的点、向量一一对应；除法类比分母有理化 | B21 |\n| 空间位置关系 | 借助长方体：判定定理的条件缺一不可，平面里的结论到了空间要先找反例 | B22 |\n| 柱、锥、台、球的体积 | 倒水实验看出 1/3；球的体积 = (1/3) × 表面积 × 半径 | B23 |\n| 古典概型 | 给两枚硬币编号：样本点先要等可能 | B24 |\n| 互斥、对立与独立 | \"不能同时发生\"与\"互不影响概率\"是两回事，用 P(AB) = P(A)P(B) 验证 | B25 |\n| 频率分布直方图、百分位数 | 面积才是频率；百分位数是\"大约 p% 的数据不超过它\" | B26 |\n| 数列 | 一类特殊的函数：等差对一次函数，等比对指数函数；由 Sₙ 求 aₙ 要单独看 n = 1 | B27 |\n| 导数 | 里程表与速度表：从平均变化率到瞬时变化率；\"在点 P 处\"与\"过点 P\"的切线 | B28 |\n| 导数与单调性、极值 | 爬山：山顶不一定是全程最高点；导数为 0 不一定是极值点 | B29 |\n| 求导公式与法则 | 长方形两边各长一点：(uv)′ = u′v + uv′；(1/x)′ = −1/x² 这类公式也要会 | B30 |\n| 法向量与空间角 | 线面角用正弦，二面角看图判断锐钝 | B31 |\n| 倾斜角与斜率 | 竖直的直线没有斜率 | B32 |\n| 圆锥曲线 | 钉子和绳子画椭圆；椭圆 a 最大、双曲线 c 最大；抛物线先化成标准方程 | B33 |\n| 排列与组合 | 交换顺序算不算不同的结果；平均分组要除以组数的阶乘 | B34 |\n| 二项式定理 | 通项是第 r + 1 项；二项式系数与项的系数不同 | B35 |\n| 条件概率 | 已知 A 发生，样本空间缩小了 | B36 |\n| 二项分布与超几何分布 | 有没有放回 | B37 |\n| 相关、回归与独立性检验 | 相关不等于因果；预测值是估计值；推断可能犯错 | B38 |\n\n数学归纳法（多米诺骨牌；课标标＊的选学内容，不作为考试要求）、均值与方差、正态分布等没有专门错因编码的概念，也收在参考资源里。三种模型照用：类比写明讲得到哪儿、讲不到哪儿，越过边界的部分回到定义；每讲完一个概念，用一个检验问题确认学生会解释、能迁移（第六节）。类比、边界、检验问题与验算断言：必修后半见 `references/math-hs2-concepts.md`，选择性必修见 `references/math-hs3-concepts.md`；检验问题若需新编，按 shared/ai-item-check.md 自检后再给出。\n\n---\n\n## 十一、参考资源\n\n- `references/math-hs1-concepts.md` — 高一衔接段（预备知识与函数）的概念类比、边界与检验问题（含 CI 验算断言）\n- `references/math-hs2-concepts.md` — 高中必修后半（平面向量及其应用、复数、立体几何初步、概率、统计）的概念类比、边界与检验问题（含 CI 验算断言）\n- `references/math-hs3-concepts.md` — （高中）选择性必修（数列、导数、空间向量与立体几何、平面解析几何、计数原理、概率、统计）的概念类比、边界与检验问题（含 CI 验算断言）\n- `references/analogy-bank.md` — 初中数学全概念生活类比素材库（按章节整理）\n\n---\n\n> 💡 **小智说：** \n> \"数学不是需要死记的规则集合。 \n> 每一条公式背后都有一个'为什么'—— \n> 那个'为什么'才是真正的数学。 \n> 当你懂了'为什么'，公式就变成了你自己的东西—— \n> 一时想不起来，你也能自己把它推回来。\"\n\nFile v2.11.1:_meta.json\n\n{\n \"ownerId\": \"kn79c5gcmfkt9p1pk656tgq7nd853s7v\",\n \"slug\": \"xiaozhi-math-concept-explainer\",\n \"version\": \"2.11.1\",\n \"publishedAt\": 1791475343185\n}\n\nFile v2.11.1:references/analogy-bank.md\n\n# 初中数学全概念生活类比素材库\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。\r\n> 示例题验算：2026-09-03\r\n> 按章节整理，供数学概念解释器SKILL进行模型A（生活类比法）时参考。\r\n> 每条类比附有\"追问验证\"话术，确保类比建立后能迁移到数学语言。\r\n> **类比的边界**：类比只是直觉铺垫，不是证明。每条类比后面都标了它\"讲得到哪儿、讲不到哪儿\"，\r\n> 越过边界的部分要用规律法或几何法补上，不要硬把类比往前推。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、数与代数\r\n\r\n### 有理数运算\r\n\r\n**正负数的加减法：**\r\n```\r\n类比：银行账户\r\n 存钱（+），取钱（-），余额就是当前值\r\n +5 + (-3) = 存了5取了3 = 余额增加2\r\n -2 + (-4) = 取了2又取了4 = 余额减少6\r\n\r\n追问：\"你的账户原来有10元，取了15元，余额是多少？怎么用正负数表示？\"\r\n```\r\n\r\n**负数乘法：**\r\n```\r\n类比：录像倒放\r\n 正数×正数 = 正放，向前走 = 前进\r\n 负数×正数 = 倒放，向后走 = 后退\r\n 负数×负数 = 倒放的倒放 = 重新向前 = 正数\r\n\r\n类比②：减少的减少\r\n \"少花钱\"（负的花钱）= 省钱（正数效果）\r\n \r\n追问：\"每天花3元，5天一共花了多少？（3×5=15，记作 -15 的变化）\r\n 如果改成每天少花3元，5天后你的钱比原来多了多少？\"\r\n\r\n⚠️ 边界：这两个类比讲的是\"相反的相反 = 原方向\"，即 -(-a)=a，\r\n 是 (-a)×(-b)=ab 的直觉铺垫，**不是它的证明**。\r\n 上面的追问算的其实是 (-3)×5 与 (+3)×5，两个因数里只有一个是负的。\r\n 要讲两个负数相乘，接着用规律法（保持乘法分配律成立）：\r\n 3×(-2)=-6, 2×(-2)=-4, 1×(-2)=-2, 0×(-2)=0\r\n 每次左边的因数减 1，结果就 +2\r\n → (-1)×(-2)=+2, (-2)×(-2)=+4\r\n 追问：\"照这个规律往下写，(-1)×(-2) 应该是多少？为什么必须是正的？\"\r\n```\r\n\r\n**绝对值：**\r\n```\r\n类比：数轴上的距离\r\n 在操场上，站在0米的位置：\r\n 向右走5步，距离起点5步 → |5|=5\r\n 向左走5步，距离起点也是5步 → |-5|=5\r\n 距离永远是非负的\r\n\r\n追问：\"温度计上，-3℃和+3℃距离0℃的'差距'一样吗？\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n### 整式与多项式\r\n\r\n**合并同类项：**\r\n```\r\n类比：水果分类\r\n 3个苹果+2个橙子+1个苹果 = 4个苹果+2个橙子（不能把苹果和橙子合并）\r\n 3x + 2y + x = 4x + 2y（x和y不同类，不能合并）\r\n\r\n追问：\"3x²和3x是同类项吗？为什么？\"\r\n```\r\n\r\n**乘法分配律：**\r\n```\r\n类比：批量购买\r\n 买3箱，每箱有5个苹果和2个橙子\r\n = 3×5个苹果 + 3×2个橙子\r\n 3(5+2) = 3×5 + 3×2\r\n\r\n追问：\"a(b+c)为什么等于ab+ac？用购物的方式解释。\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n### 方程与不等式\r\n\r\n**方程的解：**\r\n```\r\n类比：天平\r\n 方程是一个平衡的天平\r\n 你在左边加什么，右边也要加一样的，才能保持平衡\r\n \"解方程\"就是找到让天平平衡的那个数\r\n\r\n追问：\"如果天平两边各放了相同的东西，你拿走一边的3克，另一边要怎么做？\"\r\n```\r\n\r\n**不等式的解集：**\r\n```\r\n类比：身高限制\r\n \"身高≥1.2米才能坐过山车\"\r\n 解集是所有≥1.2米的身高，不是某一个具体的身高\r\n 解集是一段范围，不是一个点\r\n\r\n追问：\"'班上年龄>13岁的同学'，这是一个具体的人，还是一群人？不等式的解集类似哪种？\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n### 函数与图像\r\n\r\n**函数的本质（对应关系）：**\r\n```\r\n类比：自动贩卖机\r\n 你投入x元钱，机器输出对应的y个饮料\r\n 对于每一个输入（x），有且只有一个确定的输出（y）\r\n 这就是\"函数\"：每个自变量对应唯一一个因变量\r\n\r\n追问：\"一个人有两个身高，算函数吗？为什么？\"\r\n```\r\n\r\n**一次函数y=kx+b中k的含义（变化率）：**\r\n```\r\n类比：爬坡\r\n k是坡度——每向前走1步（x增加1），高度变化 k\r\n k>0：上坡（y随x增大而增大）\r\n k<0：下坡（y随x增大而减小）\r\n |k| 越大：坡越陡（陡不陡看的是绝对值，不是 k 本身）\r\n\r\n追问①：\"k=3 和 k=0.5，哪条直线更陡？为什么？\"\r\n追问②：\"k=-3 和 k=0.5 呢？—— k=-3 是往下走，但走得更陡；\r\n 比'陡'的时候比的是 |k|，比'升还是降'的时候才看 k 的正负。\"\r\n```\r\n\r\n**一次函数b的含义（截距）：**\r\n```\r\n类比：出租车起步价\r\n b是出租车起步价，不管你坐了多少公里，上车就要付这个钱\r\n 在x=0的时候，y=b（图像与y轴的交点）\r\n\r\n追问：\"y=2x和y=2x+3，在x=0时哪个y值更大？图像上有什么区别？\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、几何\r\n\r\n**平行线的同位角相等：**\r\n```\r\n类比：铁路轨道\r\n 两条平行的铁轨，一列火车以同一个角度穿过\r\n 车头切入左轨的角 = 车头切入右轨的角（同位角）\r\n 因为轨道平行，切入角必须相同\r\n\r\n追问：\"如果两条线不平行，同位角还会相等吗？举个例子。\"\r\n```\r\n\r\n**三角形面积公式：**\r\n```\r\n类比：平行四边形的一半\r\n 任何三角形，复制一个、绕一边中点旋转 180°，\r\n 两个三角形刚好拼成一个**平行四边形**（不是矩形）——\r\n 这个平行四边形和原三角形同底等高，\r\n 面积 = 底×高，所以三角形面积 = 底×高÷2\r\n\r\n （只有直角三角形复制后能拼成矩形，那是特例，不是一般情形；\r\n 平行四边形面积 = 底×高 本身也是由\"割补成矩形\"得到的。）\r\n\r\n追问①：\"钝角三角形复制一份能拼成矩形吗？试着拼拼看，拼出来的是什么？\"\r\n追问②：\"直角三角形两直角边分别是3和4，面积是多少？为什么可以直接算？\"\r\n```\r\n\r\n**勾股定理的直觉：**\r\n```\r\n类比：直角三角形上画正方形\r\n 在三条边上各画一个正方形\r\n 斜边上的正方形面积 = 两直角边正方形面积之和\r\n 这就是c²=a²+b²的几何意义\r\n\r\n追问：\"如果三角形不是直角三角形，这个关系还成立吗？\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 三、概率与统计\r\n\r\n**平均数：**\r\n```\r\n类比：把水倒平\r\n 5个杯子，水量不同，把所有水倒进一个大桶再平均倒回去，\r\n 每个杯子里的水量就是平均数\r\n\r\n追问：\"为什么极端值（特别大或特别小的数）会影响平均数，但不影响中位数？\"\r\n```\r\n\r\n**频率与概率的关系：**\r\n```\r\n类比：摸球（要用能算出理论概率的等可能试验，不要用射击命中率）\r\n 袋子里 2 个红球、2 个白球，摸出红球的概率是 1/2——\r\n 这是\"概率\"，由结构决定，摸之前就知道\r\n 今天摸了10次（每次放回），红球出现 3 次，频率是 3/10——\r\n 这是\"频率\"，由这一轮的结果决定，每一轮都可能不同\r\n 摸的次数越多，频率通常越靠近 1/2\r\n\r\n⚠️ 边界：射击命中率、投篮命中率这类\"人做出来的事\"没有可以先算出来的\r\n 理论概率——它的 50% 本身就是从大量统计里估出来的频率，\r\n 拿它当\"理论概率\"会把两个概念讲反。\r\n 同理，天气预报的\"降水概率\"也不是等可能试验，别用来讲这一对概念。\r\n\r\n追问①：\"摸10次和摸10000次，哪一次的频率通常更靠近 1/2？为什么是'通常'而不是'一定'？\"\r\n追问②：\"如果袋子里球的个数我不知道，我只能摸 100 次算频率——\r\n 这时候我得到的是概率还是对概率的估计？\"\r\n```\n\nFile v2.11.1:references/math-hs1-concepts.md\n\n# 高一衔接段的数学概念：类比、边界与检验\r\n\r\n> 示例题验算：2026-09-25\r\n> 适用学段：高中（高一衔接段）。\r\n> 本文件是 `xiaozhi-math-concept-explainer` 第九节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题一\"预备知识\"与主题二\"函数\"。每个概念给一个生活类比（写明讲得到哪儿、讲不到哪儿）、一个检验问题，以及对应的错因子类型（定义见数学错误DNA 维度表第九节；零点沿用第三节的 B05）。关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算。\r\n> 课标的教学提示指出：初中阶段数学知识相对具体，高中阶段相对抽象。所以每个概念都先从学生熟悉的初中内容讲起，再过渡到集合、符号语言。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、高一·预备知识\r\n\r\n**1. 属于与包含（B10）**\r\n\r\n```\r\n类比：学生与班级、班级与学校\r\n 小明是三班的一名学生 → 元素与集合：小明 ∈ 三班\r\n 三班的每个学生都是本校学生 → 集合与集合：三班 ⊆ 全校学生\r\n\r\n检验：\"1 和 {1} 有什么不同？1 ∈ {1, 2} 和 {1} ⊆ {1, 2}，哪个写法对？\"（两个都对：前者是元素属于集合，后者是集合包含于集合）\r\n\r\n⚠️ 边界：生活里没有\"空班级是每个班的一部分\"这种说法，所以\"空集是任何集合的子集\"不能靠类比，\r\n 要回到定义：A ⊆ B 是说\"A 的每一个元素都是 B 的元素\"，空集没有元素，这句话自然成立。\r\n```\r\n\r\n**2. 充分条件与必要条件（B11）**\r\n\r\n```\r\n类比：下雨与地面湿\r\n 下雨 ⇒ 地面湿：下雨是地面湿的充分条件（有它就够了）\r\n 地面湿是下雨的必要条件（没有它就一定没下雨：地面不湿，一定没下雨）\r\n\r\n检验：\"p ⇒ q 时，谁是谁的充分条件？谁是谁的必要条件？\"\r\n\r\n⚠️ 边界：生活里的\"条件\"常常带着因果，数学里只看\"能不能推出\"。\r\n 地面湿也可能是洒水车洒的——这正说明由\"地面湿\"推不出\"下雨\"。\r\n```\r\n\r\n**3. 全称量词命题的否定（B12）**\r\n\r\n```\r\n类比：\"全班同学都交了作业\"\r\n 它的否定是：\"至少有一个同学没交作业\"\r\n 不是：\"全班同学都没交作业\"\r\n\r\n检验：\"'任意 x∈R，x² ≥ 0'的否定怎么写？\"（存在 x∈R，x² < 0）\r\n\r\n⚠️ 边界：否定一句\"全都……\"，只要找到一个反例就够了，所以否定后变成\"存在……\"。\r\n```\r\n\r\n**4. 一元二次不等式的解集，就是图像的一段（B18）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 初中：会画 y = x² − 3x + 2 的图像，知道它与 x 轴交于 (1, 0)、(2, 0)\r\n ② 高一：解 x² − 3x + 2 > 0，就是问\"图像在 x 轴上方的部分，对应哪些 x\"\r\n 开口向上，两根之外的部分在 x 轴上方 → 解集为 {x | x < 1 或 x > 2}\r\n ③ 口诀\"大于取两边、小于取中间\"只在二次项系数为正时成立；\r\n 系数为负时，先在两边同乘 −1（不等号要变向），或者直接看图\r\n\r\n检验：\"−x² + 3x − 2 > 0 的解集是什么？先说图像开口向哪边。\"（开口向下，解集为 {x | 1 < x < 2}）\r\n\r\n⚠️ 边界：看图之前要先求出图像与 x 轴的交点；图像与 x 轴只有一个交点或没有交点时，\r\n 解集可能是全体实数、空集、只含一个数的集合，或去掉一个数的实数集，要结合开口方向和不等号来定\r\n （如 x² − 2x + 1 > 0 的解集是 {x | x ≠ 1}，x² − 2x + 1 ≤ 0 的解集是 {1}）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"x² − 3x + 2 > 0 在 x = 0、3 成立、x = 1.5 不成立；−x² + 3x − 2 > 0 恰好相反\", \"expr\": \"[[0, 1.5, 3].map((x) => x * x - 3 * x + 2 > 0), [0, 1.5, 3].map((x) => -x * x + 3 * x - 2 > 0)]\", \"expect\": [[true, false, true], [false, true, false]]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、高一·函数\r\n\r\n**5. 函数是一种对应关系（B13）**\r\n\r\n```\r\n类比：自动售货机\r\n 按一个按钮，只会出来一种饮料 → 每个 x 只对应一个 y\r\n 两个不同的按钮，可以出同一种饮料 → 不同的 x 可以对应同一个 y\r\n 不在机器上的按钮，按不了 → 定义域之外的 x 没有函数值\r\n\r\n检验：\"y = x 和 y = x²/x 是同一个函数吗？\"（不是：后者的定义域不含 0）\r\n\r\n⚠️ 边界：售货机的按钮只有有限个，函数的定义域常常是无限集；\r\n 类比只用来说明\"一对一或多对一\"，不说明函数值怎么算。\r\n```\r\n\r\n**6. 单调性要用\"任意\"来说（B14）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 初中的说法：图像从左到右上升\r\n ② 高中的说法：在区间 I 上，对任意 x₁ < x₂，都有 f(x₁) < f(x₂)\r\n ③ 为什么要\"任意\"：只挑两个点比较不够\r\n f(x) = x² 在 [−1, 2] 上：f(−1) = 1 < f(2) = 4，\r\n 可 f(−1) = 1 > f(0) = 0——这个函数在 [−1, 2] 上并不单调递增\r\n\r\n检验：\"f(x) = x² 在 [−1, 2] 上单调递增吗？找两个点说明。\"\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"f(x) = x² 在 [−1, 2] 上：f(−1) < f(2)，但 f(−1) > f(0)，所以不是单调递增\", \"expr\": \"[(-1) ** 2 < 2 ** 2, (-1) ** 2 > 0 ** 2]\", \"expect\": [true, true]}\r\n```\r\n\r\n**7. 奇偶性的前提（B14）**\r\n\r\n```\r\n图解：偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称\r\n 前提：定义域必须关于原点对称——有 x 就得有 −x\r\n\r\n检验：\"f(x) = x²，x ∈ [−1, 2]，是偶函数吗？\"（不是：x = 2 在定义域内，−2 不在）\r\n```\r\n\r\n**8. 指数与对数是一对\"问与答\"（B15）**\r\n\r\n```\r\n类比：同一个关系，换个问法\r\n 2³ = 8：已知底数 2 和指数 3，问结果 → 8\r\n log₂8 = 3：已知底数 2 和结果 8，问指数 → 3\r\n\r\n检验：\"把 10² = 100 写成对数式。\"（lg 100 = 2）\r\n\r\n⚠️ 边界：为什么要求 a > 0 且 a ≠ 1？\r\n a = 1 时，1 的任何次方都是 1，问\"1 的几次方是 1\"没有唯一答案；\r\n a = 0 时，0 的正数次方都是 0，0 的 0 次方与负数次方没有意义，同样问不出唯一的指数；\r\n a < 0 时，很多指数（如 1/2）没有实数意义。所以对数的底数必须 a > 0 且 a ≠ 1。\r\n 真数为什么要 N > 0？底数 a > 0 时，aᵇ 无论 b 取什么实数都是正数，结果 N 不可能是 0 或负数。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"2³ = 8 与 log₂8 = 3 是同一个关系；1 的任何次方都是 1\", \"expr\": \"[2 ** 3, Math.log2(8), 1 ** 2, 1 ** 5]\", \"expect\": [8, 3, 1, 1]}\r\n```\r\n\r\n**9. 直线上升与指数爆炸（M09）**\r\n\r\n```\r\n类比：两种零花钱方案\r\n 方案一：第 1 天 10 元，以后每天比前一天多 10 元（直线上升）\r\n 方案二：第 1 天 1 元，以后每天是前一天的 2 倍（指数爆炸）\r\n 按当天领到的钱比：前 7 天方案一多，第 8 天方案二反超（128 元对 80 元）；\r\n 到第 10 天，方案二当天有 512 元，方案一当天只有 100 元\r\n 按累计领到的钱比：第 8 天方案一仍多（360 元对 255 元），第 9 天方案二才反超（511 元对 450 元）\r\n\r\n检验：\"再往后，两种方案的差距会越来越小，还是越来越大？\"\r\n\r\n⚠️ 边界：课标用\"对数增长\"\"直线上升\"\"指数爆炸\"比较增长速度；\r\n 类比只说明\"后来居上\"，具体从哪一天开始超过，要先说清比的是当天的钱还是累计的钱，再列表或画图来确定。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"第 7、8、10 天当天的钱：方案一 70、80、100 元，方案二 64、128、512 元（第 n 天分别为 10n 与 2ⁿ⁻¹）\", \"expr\": \"[7, 8, 10].map((n) => [10 * n, 2 ** (n - 1)])\", \"expect\": [[70, 64], [80, 128], [100, 512]]}\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"前 n 天累计：方案一 5n(n + 1)，方案二 2ⁿ − 1；第 8 天 360 对 255，第 9 天 450 对 511\", \"expr\": \"[8, 9].map((n) => [5 * n * (n + 1), 2 ** n - 1])\", \"expect\": [[360, 255], [450, 511]]}\r\n```\r\n\r\n**10. 弧度制：用半径量角（B16）**\r\n\r\n```\r\n类比：拿半径当尺子去量弧\r\n 弧长正好等于半径的那段弧，所对的圆心角就是 1 弧度\r\n 一整圈的弧长是 2πr，量得 2π 个半径，所以 360° = 2π 弧度\r\n\r\n检验：\"1 弧度大约是多少度？\"（约 57.3°）\r\n\r\n⚠️ 边界：这把\"尺子\"量的是弧长与半径的比值，所以弧度数与圆的大小无关；\r\n 类比讲不到负角与超过一周的角——它们要回到任意角的定义（按旋转方向定正负），弧度数同样可以是负数或大于 2π。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"1 弧度 = 180°/π，约 57.3°\", \"expr\": \"Math.round((180 / Math.PI) * 10) / 10\", \"expect\": 57.3}\r\n```\r\n\r\n**11. 用单位圆定义任意角的三角函数（B16）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 初中：锐角的三角函数是直角三角形的边比\r\n ② 高一：角的终边与单位圆交于点 P(x, y)，定义 sin α = y，cos α = x\r\n ③ 好处：钝角、负角都有了定义，符号由点 P 所在的象限决定\r\n\r\n检验：\"2π/3（120°）的余弦是正还是负？等于多少？\"（负，等于 −1/2）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"cos(2π/3) = −1/2\", \"expr\": \"Math.cos((2 * Math.PI) / 3)\", \"expect\": -0.5}\r\n```\r\n\r\n**12. 零点是一个数，不是一个点（B05）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n 函数 f(x) 的零点，就是方程 f(x) = 0 的实数解，\r\n 也是函数图像与 x 轴交点的横坐标。\r\n 以 f(x) = x − 1 为例：图像与 x 轴交于点 (1, 0)，零点是数 1，不是点 (1, 0)\r\n\r\n检验：\"f(x) = x² − 1 的零点是什么？\"（−1 和 1）\r\n```\r\n\r\n**13. 零点存在定理：连续、两端异号，就至少有一个零点（B17）**\r\n\r\n```\r\n类比：从河的一岸走到另一岸\r\n 出发时在南岸（f(a) < 0），终点在北岸（f(b) > 0），\r\n 只要一路不跳（图像是连续不断的一条曲线），就一定要过河——至少过一次\r\n\r\n检验：\"f(x) = x² − 1 在 [−2, 2] 上，f(−2)·f(2) > 0，能说它在这个区间里没有零点吗？\"（不能：−1 和 1 都是零点）\r\n\r\n⚠️ 边界：定理只说\"连续且两端异号，就至少有一个零点\"，反过来不成立：\r\n 两端同号也可能有零点（上面的例子）；两端异号时零点也可能不止一个，\r\n 如 f(x) = x³ − x 在 [−2, 2] 上有 −1、0、1 三个零点，就像在河里来回走了三趟。\r\n \"连续不断\"这个条件不能丢：f(x) = 1/x 在 x = −1 和 x = 1 处的值异号，可 x = 0 不在定义域内、图像在这里断开，它根本没有零点。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"x² − 1：f(−2)·f(2) = 9 > 0，却有零点 ±1；x³ − x：两端 −6 与 6 异号，零点有 −1、0、1 三个；1/x：两端异号\", \"expr\": \"[((-2) ** 2 - 1) * (2 ** 2 - 1), [-1, 1].map((x) => x * x - 1), [(-2) ** 3 - -2, 2 ** 3 - 2], [-1, 0, 1].map((x) => x ** 3 - x), (1 / -1) * (1 / 1) < 0]\", \"expect\": [9, [0, 0], [-6, 6], [0, 0, 0], true]}\r\n```\n\nFile v2.11.1:references/math-hs2-concepts.md\n\n# 高中必修后半的数学概念：类比、边界与检验\r\n\r\n> 示例题验算：2026-09-26\r\n> 适用学段：高中（必修后半：几何与代数、概率与统计）。\r\n> 本文件是 `xiaozhi-math-concept-explainer` 第十节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题三\"几何与代数\"（平面向量及其应用、复数、立体几何初步）与主题四\"概率与统计\"（概率、统计）。每个概念给一个生活类比、图解、逐步拆分或对照（类比写明讲得到哪儿、讲不到哪儿）、一个检验问题，以及对应的错因子类型（定义见数学错误DNA 维度表第十节；分层抽样沿用第三节的 B08；没有专门编码的标\"—\"）。关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算；立体几何条目的 `verify` 用坐标计算，只为让 CI 验算，给学生讲时用长方体和几何说理。\r\n> 课标的教学提示：平面向量从力、速度、位移等实际情境入手，从物理、几何、代数三个角度理解；复数重在表示与几何意义，避免烦琐的计算与技巧训练；立体几何初步以长方体为载体，判定定理只要求直观感知、操作确认；概率与统计通过典型案例，借助信息技术体会随机思想。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、高中必修·平面向量及其应用\r\n\r\n**1. 数量积的结果是一个数（B19）**\r\n\r\n```\r\n类比：力做的功\r\n 用力 F 拉箱子移动了位移 s，力做的功 W = |F||s|cos θ（θ 是力与位移的夹角）\r\n 力、位移都是向量，功却只有大小、没有方向——数量积 a·b = |a||b|cos θ 也是这样，结果是一个数\r\n\r\n检验：\"a·b 的结果是向量还是数？由 a·b = 0 能推出 a = 0 或 b = 0 吗？\"\r\n （是数；不能——两个非零向量互相垂直时，数量积也是 0）\r\n\r\n⚠️ 边界：实数乘法的规律不能全搬过来。\r\n 消去律不成立：a·b = a·c（a ≠ 0）推不出 b = c，只能推出 a 与 b − c 垂直；\r\n 结合律不成立：(a·b)c 是与 c 共线的向量，a(b·c) 是与 a 共线的向量，一般不相等。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"a = (1, 0)、b = (0, 1)、c = (1, 1)：(a·b)c = (0, 0)，a(b·c) = (1, 0)，两者不等；a = (1, 0)、b = (2, 3)、c = (2, −5) 时 a·(b − c) = 0\", \"expr\": \"[(1 * 0 + 0 * 1) * 1, (1 * 0 + 0 * 1) * 1, 1 * (0 * 1 + 1 * 1), 0 * (0 * 1 + 1 * 1), 1 * (2 - 2) + 0 * (3 - -5)]\", \"expect\": [0, 0, 1, 0, 0]}\r\n```\r\n\r\n**2. 投影向量：向量的\"影子\"（B19）**\r\n\r\n```\r\n图解：把 a、b 的起点放在一起，从 a 的终点向 b 所在的直线作垂线，\r\n 从起点到垂足的向量，就是 a 在 b 上的投影向量，等于 (|a|cos θ)·e（e 是与 b 同方向的单位向量）\r\n\r\n检验：\"a = (2, 1)，b = (3, 0)，a 在 b 上的投影向量是什么？\"（(2, 0)）\r\n\r\n⚠️ 边界：夹角是钝角时 cos θ < 0，投影向量与 b 方向相反——影子落到了反方向。\r\n 课标把投影放在数量积之后，建议借助几何直观理解（课标案例 9 向量投影）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"a = (2, 1)、b = (3, 0)：|a|cos θ = a·b/|b| = 6/3 = 2，投影向量为 2e = (2, 0)\", \"expr\": \"(2 * 3 + 1 * 0) / 3\", \"expect\": 2}\r\n```\r\n\r\n**3. 夹角为钝角：还要排除反向共线（B19）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 向量夹角 θ 的范围是 [0, π]\r\n ② a·b < 0 ⇔ cos θ < 0 ⇔ θ ∈ (π/2, π]——这里包含了 θ = π，也就是两个向量反向共线\r\n ③ 所以\"夹角为钝角\" ⇔ a·b < 0，且 a、b 不反向共线\r\n\r\n检验：\"a = (1, 1)，b = (λ, −2)，a 与 b 的夹角为钝角，λ 的取值范围是什么？\"\r\n （a·b = λ − 2 < 0，得 λ < 2；λ = −2 时 b = −2a，两个向量反向，要去掉。所以 λ < 2 且 λ ≠ −2）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"λ = −2 时 a·b = −4 < 0，但 x₁y₂ − x₂y₁ = 0，两向量反向共线；λ = 0 时 a·b = −2 < 0 且不共线，夹角是钝角\", \"expr\": \"[1 * -2 + 1 * -2, 1 * -2 - -2 * 1, 1 * 0 + 1 * -2, 1 * -2 - 0 * 1]\", \"expect\": [-4, 0, -2, -2]}\r\n```\r\n\r\n**4. 共线与垂直的坐标条件（B19）**\r\n\r\n```\r\n对照：a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)\r\n 共线：x₁y₂ − x₂y₁ = 0 ——由 b = λa（a ≠ 0）推出\r\n 垂直：x₁x₂ + y₁y₂ = 0 ——由 a·b = 0 推出\r\n\r\n检验：\"(1, 2) 与 (2, 4)、(1, 2) 与 (−2, 1)，哪一对共线，哪一对垂直？\"（前一对共线，后一对垂直）\r\n\r\n⚠️ 边界：零向量与任何向量都共线；两个条件记混时，回到它们各自的来源重推一遍，比背口诀可靠。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"(1, 2) 与 (2, 4)：1 × 4 − 2 × 2 = 0，共线；(1, 2) 与 (−2, 1)：1 × (−2) + 2 × 1 = 0，垂直\", \"expr\": \"[1 * 4 - 2 * 2, 1 * -2 + 2 * 1]\", \"expect\": [0, 0]}\r\n```\r\n\r\n**5. 已知两边和其中一边的对角：可能有两个解（B20）**\r\n\r\n```\r\n图解：已知角 A、边 b（= AC）和边 a（= BC）\r\n 先画出角 A 和边 AC，再以 C 为圆心、a 为半径画弧，弧与角 A 的另一边有几个交点，三角形就有几个\r\n A 为锐角时，C 到那条边的距离是 b sin A：\r\n a < b sin A：没有交点，无解\r\n a = b sin A：相切，一解（直角三角形）\r\n b sin A < a < b：两个交点，两解\r\n a ≥ b：一解\r\n\r\n检验：\"A = 30°，a = 1，b = √3，B 等于多少？\"（b sin A = √3/2 < 1 < √3，两解：B = 60° 或 120°）\r\n\r\n⚠️ 边界：从代数上看，sin 在 (0, π) 上不是一一对应的，sin B = √3/2 对应 60° 和 120° 两个角；\r\n 求出以后用\"大边对大角\"或内角和小于 180° 检验，不能只取锐角。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"A = 30°、a = 1、b = √3：b sin A = √3/2，介于 a 与 b 之间的条件 b sin A < a < b 成立，两解\", \"expr\": \"[Math.sqrt(3) * Math.sin(Math.PI / 6), Math.sqrt(3) * Math.sin(Math.PI / 6) < 1, 1 < Math.sqrt(3)]\", \"expect\": [0.8660254037844386, true, true]}\r\n```\r\n\r\n**6. 余弦定理：勾股定理的推广（B20）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 直角三角形：C = 90° 时，c² = a² + b²\r\n ② 一般三角形：c² = a² + b² − 2abcos C；C = 90° 时 cos C = 0，就回到勾股定理\r\n ③ 什么时候用：已知两边及其夹角求第三边，或已知三边求角\r\n ④ 从哪里来（课标：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系）：\r\n AB = CB − CA，两边平方，得 |AB|² = a² + b² − 2abcos C\r\n\r\n检验：\"a = 3，b = 5，C = 60°，c 等于多少？C 是钝角时，c² 比 a² + b² 大还是小？\"\r\n （c² = 19，c = √19；钝角时 cos C < 0，c² 比 a² + b² 大）\r\n\r\n⚠️ 边界：记不清中间是加还是减时，拿 C = 90°（回到勾股定理）和 C 为钝角（c 应当最长）检查一下，就能找回来。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"a = 3、b = 5：C = 60° 时 c² = 19；C = 120° 时 c² = 49，大于 a² + b² = 34\", \"expr\": \"[9 + 25 - 2 * 3 * 5 * Math.cos(Math.PI / 3), 9 + 25 - 2 * 3 * 5 * Math.cos((2 * Math.PI) / 3), 9 + 25]\", \"expect\": [19, 49, 34]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、高中必修·复数\r\n\r\n**7. 复数：让 x² = −1 有解（B21）**\r\n\r\n```\r\n类比：数系的扩充\r\n 自然数里 2 − 3 没有结果 → 引进负数，有了整数\r\n 整数里 1 ÷ 3 没有结果 → 引进分数，有了有理数\r\n 有理数里 x² = 2 没有解 → 引进无理数，有了实数\r\n 实数里 x² = −1 没有解 → 引进虚数单位 i（i² = −1），有了复数\r\n 每一次扩充，原来的运算规律都尽量保留下来\r\n\r\n检验：\"z = 3 − 4i 的实部、虚部各是多少？a + bi 什么时候是纯虚数？\"\r\n （实部 3，虚部 −4；a = 0 且 b ≠ 0 时）\r\n\r\n⚠️ 边界：扩充到复数以后，\"比大小\"没有保留下来——两个复数只能说相等或不相等，\r\n 都是实数时才比较大小。复数的引入过程见课标案例 10。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"i² = (0 + 1i)(0 + 1i) = −1 + 0i\", \"expr\": \"[0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0]\", \"expect\": [-1, 0]}\r\n```\r\n\r\n**8. 复数的几何意义（B21）**\r\n\r\n```\r\n图解：复数 z = a + bi ↔ 复平面内的点 Z(a, b) ↔ 向量 OZ\r\n |z| 就是点 Z 到原点的距离：|3 + 4i| = 5\r\n 共轭复数 a − bi 对应的点与 Z 关于实轴对称\r\n 复数的加法、减法对应向量的加法、减法\r\n\r\n检验：\"复数 −2 + i 对应的点在第几象限？它的模是多少？\"（第二象限，√5）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"|3 + 4i| = 5；|−2 + i|² = 5\", \"expr\": \"[Math.hypot(3, 4), Math.hypot(-2, 1) ** 2]\", \"expect\": [5, 5]}\r\n```\r\n\r\n**9. 复数的除法：把分母变成实数（B21）**\r\n\r\n```\r\n类比：初中的分母有理化\r\n 1/(√2 − 1)：分子分母同乘 √2 + 1，分母变成 (√2)² − 1 = 1\r\n (1 + i)/(1 − i)：分子分母同乘分母的共轭复数 1 + i，分母变成 1² − i² = 2，结果是 2i/2 = i\r\n\r\n检验：\"(3 + i)/(1 + i) 等于多少？\"（分子分母同乘 1 − i：(4 − 2i)/2 = 2 − i）\r\n\r\n⚠️ 边界：分子也要乘；(a + bi)(a − bi) = a² + b²，是一个非负实数。\r\n 可以把结果乘回去检查：(2 − i)(1 + i) = 3 + i。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"(3 + i)(1 − i) = 4 − 2i，除以 2 得 2 − i；回代 (2 − i)(1 + i) = 3 + i\", \"expr\": \"[3 * 1 - 1 * -1, 3 * -1 + 1 * 1, 2 * 1 - -1 * 1, 2 * 1 + -1 * 1]\", \"expect\": [4, -2, 3, 1]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 三、高中必修·立体几何初步\r\n\r\n**10. 判定定理的条件为什么缺一不可（B22）**\r\n\r\n```\r\n借助长方体和身边的实物（课标：借助长方体，通过直观感知、操作确认了解判定定理）\r\n 线面垂直：直线要垂直于平面内的两条\"相交\"直线\r\n 反例：地面上画两条平行线，一根斜靠的木棍可以同时与这两条线垂直，却不垂直于地面\r\n 线面平行：平面\"外\"的一条直线与平面内的一条直线平行\r\n 如果这条直线本来就在平面内，就谈不上与平面平行\r\n\r\n检验：\"一条直线垂直于平面内的两条直线，它一定垂直于这个平面吗？\"（不一定，这两条直线必须相交）\r\n\r\n⚠️ 边界：必修阶段，判定定理只要求直观感知、操作确认，性质定理要求证明；\r\n 判定定理的论证放在选择性必修，用向量方法完成。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"地面 z = 0 上沿 x 轴方向的平行线方向为 (1, 0, 0)，木棍方向 (0, 1, 1) 与它垂直；木棍与地面的法向量 (0, 0, 1) 的叉积为 (1, 0, 0) ≠ 0，木棍不垂直于地面\", \"expr\": \"[0 * 1 + 1 * 0 + 1 * 0, 1 * 1 - 1 * 0, 1 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0]\", \"expect\": [0, 1, 0, 0]}\r\n```\r\n\r\n**11. 平面里成立的，空间里不一定成立（B22）**\r\n\r\n```\r\n借助正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁\r\n 平面里：垂直于同一条直线的两条直线平行\r\n 空间里：AB、AD 都垂直于 AA₁，它们却相交于点 A；\r\n AB、B₁C₁ 也都垂直于 AA₁，它们既不相交也不平行，是异面直线\r\n\r\n检验：\"在空间里，垂直于同一条直线的两条直线有哪几种位置关系？\"（平行、相交、异面都可能）\r\n\r\n⚠️ 边界：把平面几何的结论搬到空间之前，先在长方体里找一找有没有反例。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"以 A 为原点、棱长 1：AB = (1, 0, 0)、AD = (0, 1, 0)、B₁C₁ = (0, 1, 0) 都与 AA₁ = (0, 0, 1) 垂直\", \"expr\": \"[1 * 0 + 0 * 0 + 0 * 1, 0 * 0 + 1 * 0 + 0 * 1, 0 * 0 + 1 * 0 + 0 * 1]\", \"expect\": [0, 0, 0]}\r\n```\r\n\r\n**12. 锥体体积的 1/3，以及球的两个公式（B23）**\r\n\r\n```\r\n类比：倒水实验\r\n 等底等高的圆锥形杯子装满水，倒进圆柱形杯子，倒三次正好倒满——圆锥的体积是圆柱的 1/3\r\n 棱锥与等底等高的棱柱也是这样：V锥 = (1/3)Sh，V柱 = Sh\r\n\r\n球的两个公式可以一起记：\r\n 把球面分成很多很小的块，每一块和球心连成一个\"小锥体\"，高都约等于半径 R\r\n 体积 ≈ (1/3) × 表面积 × R：(4/3)πR³ = (1/3) × 4πR² × R\r\n\r\n检验：\"底面半径 3、高 4 的圆锥，体积与侧面积各是多少？\"（体积 12π；母线长 5，侧面积 15π）\r\n\r\n⚠️ 边界：倒水实验和\"小锥体\"只帮助记忆，不是证明；课标对这些公式的要求是\"知道\"并会用。\r\n 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是母线 l，不是高 h：侧面积 = (1/2) × 2πr × l = πrl。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"（以 π 为单位）圆锥 r = 3、h = 4：体积 12，侧面积 3 × 5 = 15；R = 2 的球：(4/3)R³ 与 (1/3) × 4R² × R 都等于 32/3\", \"expr\": \"[(1 / 3) * 9 * 4, 3 * Math.hypot(3, 4), (4 / 3) * 2 ** 3, (1 / 3) * (4 * 2 ** 2) * 2]\", \"expect\": [12, 15, 10.666666666666666, 10.666666666666666]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 四、高中必修·概率\r\n\r\n**13. 列样本点：先让它们等可能（B24）**\r\n\r\n```\r\n类比：给两枚硬币编号\r\n 一枚一元、一枚五角，\"一元正、五角反\"和\"一元反、五角正\"是两件不同的事\r\n 所以样本空间是 {正正, 正反, 反正, 反反}，四个样本点等可能\r\n\r\n检验：\"掷两枚均匀的硬币，'一正一反'的概率是多少？\"（1/2）\r\n\r\n⚠️ 边界：古典概型要求样本点有限、等可能；把\"一正一反\"合成一个样本点以后，三个样本点不再等可能，\r\n 就不能用\"个数之比\"算概率。掷骰子问题见课标案例 12。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"四个等可能的样本点中，一正一反占两个，概率 1/2\", \"expr\": \"2 / 4\", \"expect\": 0.5}\r\n```\r\n\r\n**14. 互斥与独立：两回事（B25）**\r\n\r\n```\r\n对照：\r\n 互斥：A、B 不能同时发生，P(AB) = 0，此时 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)\r\n 对立：互斥，并且两者必有一个发生，P(A) + P(B) = 1\r\n 独立：一个发生与否不影响另一个的概率，P(AB) = P(A)P(B)\r\n\r\n检验：\"两个概率都大于 0 的事件如果互斥，它们可能相互独立吗？\"\r\n （不可能：互斥时 P(AB) = 0，而 P(A)P(B) > 0）\r\n\r\n⚠️ 边界：生活里说的\"没关系\"不能代替定义，要用 P(AB) = P(A)P(B) 验证（课标：结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"掷一枚骰子，A = 偶数、B = 不超过 2：P(AB) = 1/6 = P(A)P(B)，独立而不互斥；C = 1 点、D = 2 点：互斥，P(C)P(D) = 1/36 ≠ 0，不独立\", \"expr\": \"[(1 / 2) * (1 / 3), 1 / 6, (1 / 6) * (1 / 6) === 0]\", \"expect\": [0.16666666666666666, 0.16666666666666666, false]}\r\n```\r\n\r\n**15. 频率与概率（—）**\r\n\r\n```\r\n类比：抛硬币\r\n 抛 10 次，可能 6 次正面（频率 0.6），再抛 10 次，可能只有 4 次（频率 0.4）——频率随试验而变\r\n 概率是一个确定的数；试验次数很多时，频率会稳定在概率附近，所以可以用频率估计概率\r\n\r\n检验：\"抛一枚均匀的硬币 10 次，一定正好 5 次正面吗？\"（不一定；抛的次数越多，正面出现的频率一般会越稳定地在 0.5 附近摆动，但不保证每多抛一次就更接近）\r\n\r\n⚠️ 边界：用频率估计概率要有足够多的试验次数；可以用计算器或计算机产生随机数来模拟（课标教学提示）。\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 五、高中必修·统计\r\n\r\n**16. 直方图的纵轴是\"频率/组距\"（B26）**\r\n\r\n```\r\n图解：频率分布直方图里，小矩形的面积 = 组距 × 高 = 频率\r\n 所以高 = 频率/组距；所有小矩形的面积加起来等于 1\r\n\r\n检验：\"组距为 5，某一组小矩形的高是 0.04，这一组的频率是多少？\"（5 × 0.04 = 0.2）\r\n\r\n⚠️ 边界：直接把\"高\"读成频率，会把频率读错；组距不同的两组，更不能靠比高度来比频率。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"组距 5、高 0.04 的小矩形表示频率 0.2\", \"expr\": \"5 * 0.04\", \"expect\": 0.2}\r\n```\r\n\r\n**17. 百分位数（B26）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分（取法以学生所用教材为准，下面是常见教材的取法）：\r\n ① 把 n 个数据从小到大排列\r\n ② 计算 i = n × p%\r\n ③ i 不是整数：比 i 大的最小整数为 j，第 j 个数据就是第 p 百分位数\r\n i 是整数：取第 i 个与第 i + 1 个数据的平均数\r\n 中位数就是第 50 百分位数\r\n\r\n检验：\"数据 3, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 的第 25 百分位数与第 70 百分位数各是多少？\"\r\n （n = 8：8 × 25% = 2，取第 2、3 个数的平均数 5.5；8 × 70% = 5.6，取第 6 个数 10）\r\n\r\n⚠️ 边界：百分位数的含义是\"大约有 p% 的数据不超过它\"（课标：理解百分位数的统计含义，参见案例 14 阶梯电价的设计）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"数据 3, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15：第 25 百分位数 5.5，第 70 百分位数 10，中位数（第 50 百分位数）8.5\", \"expr\": \"((d) => [8 * 0.25, (d[1] + d[2]) / 2, 8 * 0.7, d[5], (d[3] + d[4]) / 2])([3, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15])\", \"expect\": [2, 5.5, 5.6, 10, 8.5]}\r\n```\r\n\r\n**18. 分层随机抽样估计总体均值：按样本量加权（B08）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n 某校高一男生 400 人、女生 600 人，按比例分配抽取 50 人：男生 20 人，女生 30 人\r\n 样本中男生的平均身高 170 cm，女生 160 cm\r\n 总样本均值 = (20 × 170 + 30 × 160)/50 = 164 cm，不是 (170 + 160)/2 = 165 cm\r\n\r\n检验：\"如果男生、女生各 500 人，按比例分配抽样，两层的样本均值仍是 170 cm 和 160 cm，估计值是多少？\"（两层一样大时，才是 165 cm）\r\n\r\n⚠️ 边界：课标要求掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差（参见案例 13）；\r\n 样本方差的合并算法以学生所用教材为准，它不是两层方差的简单平均。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"按比例分配：50 × 400/1000 = 20，50 × 600/1000 = 30；加权均值 164，简单平均 165\", \"expr\": \"[(50 * 400) / 1000, (50 * 600) / 1000, (20 * 170 + 30 * 160) / 50, (170 + 160) / 2]\", \"expect\": [20, 30, 164, 165]}\r\n```\n\nFile v2.11.1:references/math-hs3-concepts.md\n\n# 高中选择性必修的数学概念：类比、边界与检验\r\n\r\n> 示例题验算：2026-09-26\r\n> 适用学段：高中（选择性必修）。\r\n> 本文件是 `xiaozhi-math-concept-explainer` 第十节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》选择性必修主题一\"函数\"（数列、一元函数导数及其应用）、主题二\"几何与代数\"（空间向量与立体几何、平面解析几何）与主题三\"概率与统计\"（计数原理、概率、统计）。每个概念给一个生活类比、图解、逐步拆分或对照（类比写明讲得到哪儿、讲不到哪儿）、一个检验问题，以及对应的错因子类型（定义见数学错误DNA 维度表第十一节；没有专门编码的标\"—\"）。关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算。数学归纳法与贝叶斯公式在课标里标了＊，是选学内容，不作为考试要求。\r\n> 课标的教学提示：数列要突出它是一类特殊的函数，与一次函数、指数函数对照；导数从平均变化率过渡到瞬时变化率，对导数的理解不可能一步到位；空间向量由平面向量类比推广，与综合几何方法对比；解析几何先看清图形的几何特征，再用代数语言描述；概率统计通过具体案例，鼓励使用统计软件。选修课程（A～E 类）不在本文范围内。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、高中选择性必修·数列\r\n\r\n**1. 数列是一类特殊的函数（—）**\r\n\r\n```\r\n对照：\r\n 数列 aₙ = f(n)，自变量只取正整数（或 {1, 2, …, n}）\r\n 等差数列 aₙ = a₁ + (n − 1)d：图像是直线 y = dx + (a₁ − d) 上一串孤立的点，与一次函数对应\r\n 等比数列 aₙ = a₁qⁿ⁻¹（q > 0 且 q ≠ 1）：图像落在指数型函数的图像上，与指数函数对应\r\n\r\n检验：\"数列 aₙ = 3n − 1 的图像是什么样的？\"（直线 y = 3x − 1 上横坐标为 1, 2, 3, … 的一串孤立的点）\r\n\r\n⚠️ 边界：数列的图像是孤立的点，不能把它连成一条线；讨论数列的最大项、最小项时，n 只取正整数。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"aₙ = 3n − 1：a₁ = 2，a₂ = 5，a₃ = 8，公差 3，这些点都在 y = 3x − 1 上\", \"expr\": \"[1, 2, 3].map((n) => 3 * n - 1)\", \"expect\": [2, 5, 8]}\r\n```\r\n\r\n**2. 由 Sₙ 求 aₙ：别忘了 n = 1（B27）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ 要用到 Sₙ₋₁，所以只对 n ≥ 2 成立\r\n ② a₁ = S₁ 单独求\r\n ③ 看 a₁ 是否满足 ① 得到的式子：满足就合写成一个式子，不满足就分段写\r\n\r\n检验：\"Sₙ = n² + 1，求 aₙ。\"（a₁ = S₁ = 2；n ≥ 2 时 aₙ = 2n − 1；a₁ 不满足 2n − 1，要分段写）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"Sₙ = n² + 1：a₁ = 2；a₂ = 3、a₃ = 5 与 2n − 1 一致；2 × 1 − 1 = 1 ≠ a₁\", \"expr\": \"((S) => [S(1), S(2) - S(1), S(3) - S(2), 2 * 1 - 1])((n) => n * n + 1)\", \"expect\": [2, 3, 5, 1]}\r\n```\r\n\r\n**3. 等比数列求和：q = 1 要单独算（B27）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分（错位相减推公式）：\r\n Sₙ = a₁ + a₁q + … + a₁qⁿ⁻¹\r\n qSₙ = a₁q + … + a₁qⁿ⁻¹ + a₁qⁿ\r\n 两式相减：(1 − q)Sₙ = a₁(1 − qⁿ)\r\n 两边除以 1 − q 时，要求 q ≠ 1；q = 1 时每一项都是 a₁，Sₙ = na₁\r\n\r\n检验：\"等比数列的首项为 2，公比为 q，前 n 项和 Sₙ 是多少？\"（q ≠ 1 时 Sₙ = 2(1 − qⁿ)/(1 − q)；q = 1 时 Sₙ = 2n，要分开写）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"a₁ = 2：q = 2、n = 4 时公式给出 2(1 − 16)/(1 − 2) = 30 = 2 + 4 + 8 + 16；q = 1、n = 4 时 Sₙ = 2n = 8，而公式的分母 1 − q = 0\", \"expr\": \"[(2 * (1 - 2 ** 4)) / (1 - 2), 2 + 4 + 8 + 16, 2 * 4, 1 - 1]\", \"expect\": [30, 30, 8, 0]}\r\n```\r\n\r\n**4. 数学归纳法：推倒一排多米诺骨牌（—）**\r\n\r\n```\r\n类比：多米诺骨牌\r\n ① 推倒第一块（验证 n = 1 时命题成立）\r\n ② 保证\"任意一块倒下，都会推倒下一块\"（假设 n = k 时成立，证明 n = k + 1 时也成立）\r\n 两条都做到，所有骨牌都会倒下\r\n\r\n检验：\"验证了 n = 1, 2, 3 时都成立，能说命题对所有正整数都成立吗？\"（不能，还要证明第 ② 步）\r\n\r\n⚠️ 边界：只验证前面若干项是不够的——n² − n + 41 在 n = 1, 2, …, 40 时都是质数，n = 41 时却等于 41 × 41。\r\n 课标把数学归纳法标为选学内容（标＊，不作为考试要求），要求了解原理、能用它证明数列中的一些简单命题。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"n² − n + 41 在 n = 1～40 时都是质数，n = 41 时等于 1681 = 41 × 41，不是质数\", \"expr\": \"((isP) => [Array.from({ length: 40 }, (_, i) => (i + 1) ** 2 - (i + 1) + 41).every(isP), 41 ** 2 - 41 + 41, isP(1681)])((m) => { for (let d = 2; d * d <= m; d++) if (m % d === 0) return false; return m > 1; })\", \"expect\": [true, 1681, false]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、高中选择性必修·一元函数导数及其应用\r\n\r\n**5. 从平均变化率到瞬时变化率（B28）**\r\n\r\n```\r\n类比：汽车的里程表与速度表\r\n 一段时间里的平均速度 = 路程的改变量 ÷ 时间的改变量（平均变化率）\r\n 速度表在某一时刻的读数 = 时间的改变量越来越接近 0 时，平均速度越来越接近的那个数（瞬时变化率）\r\n\r\n检验：\"s(t) = t²（单位：米、秒），t 从 1 到 1.1 的平均速度是多少？t = 1 时的瞬时速度呢？\"\r\n （(1.21 − 1)/0.1 = 2.1 米/秒；平均速度是 2 + Δt，Δt 越来越接近 0 时它越来越接近 2，瞬时速度为 2 米/秒）\r\n\r\n⚠️ 边界：选择性必修只要求体会极限思想，不讲极限的严格定义；课标说明，高中阶段研究与导数有关的问题时，涉及的函数都是可导函数。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"s(t) = t²：[1, 1.1] 上的平均速度 2.1；Δt = 0.000001 时平均速度约为 2\", \"expr\": \"[(1.1 ** 2 - 1) / 0.1, Math.abs(((1 + 1e-6) ** 2 - 1) / 1e-6 - 2) < 1e-5]\", \"expect\": [2.1, true]}\r\n```\r\n\r\n**6. 导数的几何意义，以及两种切线（B28）**\r\n\r\n```\r\n图解：f′(x₀) 是曲线 y = f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处切线的斜率\r\n \"在点 P 处的切线\"：P 就是切点，斜率直接是 f′(x₀)\r\n \"过点 P 的切线\"：P 不一定是切点——先设切点 (t, f(t))，写出切线方程，再让它经过 P，解出 t\r\n\r\n检验：\"y = x³ 过点 (1, 1) 的切线有几条？\"（两条：切点为 (1, 1) 时 y = 3x − 2；切点为 (−1/2, −1/8) 时 y = (3/4)x + 1/4）\r\n\r\n⚠️ 边界：切线与曲线可以有不止一个公共点（y = 3x − 2 与 y = x³ 还交于 (−2, −8)），\r\n 初中\"与圆只有一个公共点\"的说法不能用来判断一般曲线的切线。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"切线 y = 3t²(x − t) + t³ 过 (1, 1) ⇔ 2t³ − 3t² + 1 = 0，t = 1 或 −1/2；y = 3x − 2 与 y = x³ 在 x = −2 处也相交\", \"expr\": \"[[1, -0.5].map((t) => 2 * t ** 3 - 3 * t ** 2 + 1), 3 * (-0.5) ** 2, 0.75 * 1 + 0.25, 3 * -2 - 2, (-2) ** 3]\", \"expect\": [[0, 0], 0.75, 1, -8, -8]}\r\n```\r\n\r\n**7. 导数的符号与单调性（B29）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 在某个区间上 f′(x) > 0 ⇒ f(x) 在这个区间上单调递增\r\n ② 反过来不一定：y = x³ 在 R 上单调递增，可 f′(0) = 0\r\n ③ 所以 f(x) 单调递增只能推出 f′(x) ≥ 0（由单调性求参数范围时，要注意等号）\r\n\r\n检验：\"f(x) 在区间上单调递增，能推出 f′(x) > 0 吗？\"（不能，只能推出 f′(x) ≥ 0）\r\n\r\n⚠️ 边界：课标要求借助几何直观了解单调性与导数的关系；用导数求单调区间之前，先写出定义域（R07）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"y = x³：f′(0) = 0，但 −1 < 0 < 1 时 f(−1) < f(0) < f(1)，仍然递增\", \"expr\": \"[3 * 0 ** 2, (-1) ** 3 < 0 ** 3 && 0 ** 3 < 1 ** 3]\", \"expect\": [0, true]}\r\n```\r\n\r\n**8. 极值与最值：山顶不一定是最高点（B29）**\r\n\r\n```\r\n类比：爬山\r\n 一座山的山顶是\"附近最高\"（极大值），可整条路上最高的地方，可能在另一座更高的山顶，\r\n 也可能就在路的起点或终点（区间端点）\r\n 极值点是自变量的值（在哪里取到），极值是函数值（取到多少）\r\n\r\n检验：\"f(x) = x³ − 3x 在 [−2, 3] 上的极大值与最大值各是多少？\"\r\n （f′(x) = 3x² − 3，x = −1 处取极大值 f(−1) = 2；最大值在端点 x = 3 处，f(3) = 18）\r\n\r\n⚠️ 边界：可导函数在 x₀ 处取极值的必要条件是 f′(x₀) = 0，但它不是充分条件（y = x³ 在 x = 0 处）；\r\n 还要看 x₀ 两侧导数是否变号。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"f(x) = x³ − 3x：f′(±1) = 0；f(−2) = −2，f(−1) = 2，f(1) = −2，f(3) = 18\", \"expr\": \"((f) => [3 * (-1) ** 2 - 3, 3 * 1 ** 2 - 3, f(-2), f(-1), f(1), f(3)])((x) => x ** 3 - 3 * x)\", \"expect\": [0, 0, -2, 2, -2, 18]}\r\n```\r\n\r\n**9. 求导法则：积的导数不是导数的积（B30）**\r\n\r\n```\r\n对照：\r\n (u ± v)′ = u′ ± v′\r\n (uv)′ = u′v + uv′\r\n (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²（v ≠ 0）\r\n [f(ax + b)]′ = a·f′(ax + b)（选择性必修对复合函数求导的要求限于这一种形式）\r\n\r\n类比：长方形的面积 S = uv\r\n 两条边各长了一点（Δu、Δv），面积增加的部分 ≈ 右边一条 Δu·v 加上边一条 u·Δv，\r\n 角上的小块 Δu·Δv 太小，可以忽略——所以 (uv)′ = u′v + uv′，不是 u′v′\r\n\r\n检验：\"(x·eˣ)′ = ？(sin 2x)′ = ？(1/x)′ = ？\"（(x + 1)eˣ；2cos 2x；−1/x²）\r\n\r\n⚠️ 边界：长方形的类比只在 u、v 都是正数时直观；法则本身对一般的可导函数都成立。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"用对称差商检验：(x·eˣ)′ 在 x = 1 处是 2e，(sin 2x)′ 在 x = 1 处是 2cos 2，(1/x)′ 在 x = 2 处是 −1/4\", \"expr\": \"((d) => [Math.abs(d((x) => x * Math.exp(x), 1) - 2 * Math.E) < 1e-6, Math.abs(d((x) => Math.sin(2 * x), 1) - 2 * Math.cos(2)) < 1e-6, Math.abs(d((x) => 1 / x, 2) + 0.25) < 1e-6])((f, x) => (f(x + 1e-6) - f(x - 1e-6)) / 2e-6)\", \"expect\": [true, true, true]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 三、高中选择性必修·空间向量与立体几何\r\n\r\n**10. 法向量：与平面垂直的方向（B31）**\r\n\r\n```\r\n图解：平面的法向量 n 与平面内的任意向量都垂直\r\n 求法：在平面内找两个不共线的向量 a、b，解 n·a = 0、n·b = 0，取一组非零解\r\n\r\n检验：\"棱长 1 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁，以 A 为原点，AB、AD、AA₁ 为 x、y、z 轴，平面 A₁BD 的一个法向量是什么？\"\r\n （A₁B = (1, 0, −1)，A₁D = (0, 1, −1)，取 n = (1, 1, 1)）\r\n\r\n⚠️ 边界：法向量不唯一，(2, 2, 2)、(−1, −1, −1) 也都是；建系之前，先找到（或证明）三条两两垂直的直线（M11）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"n = (1, 1, 1) 与 A₁B = (1, 0, −1)、A₁D = (0, 1, −1) 的数量积都是 0\", \"expr\": \"[1 * 1 + 1 * 0 + 1 * -1, 1 * 0 + 1 * 1 + 1 * -1]\", \"expect\": [0, 0]}\r\n```\r\n\r\n**11. 空间角：线面角用正弦，二面角要看图（B31）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分（u 为直线的方向向量，n、n₁、n₂ 为平面的法向量）：\r\n 异面直线所成的角 θ ∈ (0, π/2]：cos θ = |cos⟨u₁, u₂⟩|\r\n 直线与平面所成的角 θ ∈ [0, π/2]：sin θ = |cos⟨u, n⟩|——法向量与平面垂直，所以是\"余角\"关系\r\n 二面角：大小与 ⟨n₁, n₂⟩ 相等或互补，要结合图形判断是锐角还是钝角\r\n\r\n检验：\"直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦是 1/2，直线与平面所成的角是多少度？\"（sin θ = 1/2，θ = 30°，不是 60°）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"u = (√3, 0, 1)、n = (0, 0, 1)：cos⟨u, n⟩ = 1/2，直线与平面 z = 0 所成的角是 30°\", \"expr\": \"[1 / Math.hypot(Math.sqrt(3), 0, 1), (Math.atan2(1, Math.sqrt(3)) * 180) / Math.PI]\", \"expect\": [0.5, 30]}\r\n```\r\n\r\n**12. 点到平面的距离（B31）**\r\n\r\n```\r\n图解：Q 是平面内一点，P 是平面外一点，n 是平面的法向量\r\n 距离 d = |QP·n| / |n|——把 QP 投影到法向量方向上，取投影的长度\r\n\r\n检验：\"上面的正方体中，点 A 到平面 A₁BD 的距离是多少？\"\r\n （取平面内一点 B(1, 0, 0)，BA = (−1, 0, 0)，n = (1, 1, 1)，d = |−1|/√3 = √3/3）\r\n\r\n⚠️ 边界：课标要求能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题（参见案例 17）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"BA = (−1, 0, 0)、n = (1, 1, 1)：d = 1/√3 = √3/3\", \"expr\": \"[Math.abs(-1 * 1 + 0 * 1 + 0 * 1) / Math.sqrt(3), Math.sqrt(3) / 3]\", \"expect\": [0.5773502691896258, 0.5773502691896258]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 四、高中选择性必修·平面解析几何\r\n\r\n**13. 倾斜角与斜率：竖直的直线没有斜率（B32）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 倾斜角 α 的范围是 [0, π)\r\n ② 斜率 k = tan α；α = 90° 时 tan α 没有意义，斜率不存在\r\n ③ 所以点斜式 y − y₀ = k(x − x₀)、斜截式 y = kx + b 都表示不了竖直的直线 x = x₀；\r\n 两点式 (y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁) 要求 x₁ ≠ x₂、y₁ ≠ y₂，与坐标轴垂直的直线也表示不了；\r\n 用它们设直线时，要把这些情形单独拿出来看\r\n\r\n检验：\"过点 (1, 2) 且与原点距离为 1 的直线有几条？\"（两条：x = 1 与 3x − 4y + 5 = 0）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"原点到 x = 1 的距离为 1；设 y − 2 = k(x − 1)，由 |2 − k|/√(k² + 1) = 1 得 k = 3/4，即 3x − 4y + 5 = 0，原点到它的距离也是 1\", \"expr\": \"[Math.abs(2 - 0.75) / Math.sqrt(0.75 ** 2 + 1), Math.abs(5) / Math.hypot(3, 4)]\", \"expect\": [1, 1]}\r\n```\r\n\r\n**14. 两直线垂直：k₁k₂ = −1 有前提（B32）**\r\n\r\n```\r\n对照：\r\n 两条直线的斜率都存在时：垂直 ⇔ k₁k₂ = −1\r\n 一条斜率为 0、另一条斜率不存在（如 y = 1 与 x = 2）时，两直线也垂直，但没法用 k₁k₂ = −1\r\n 用一般式 A₁x + B₁y + C₁ = 0、A₂x + B₂y + C₂ = 0 时：垂直 ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ = 0，不受斜率是否存在的限制\r\n\r\n检验：\"直线 x = 2 与 y = 1 垂直吗？能用 k₁k₂ = −1 判断吗？\"（垂直；不能，x = 2 没有斜率）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"x − 2 = 0 与 y − 1 = 0：A₁A₂ + B₁B₂ = 1 × 0 + 0 × 1 = 0；y = 2x 与 y = −x/2：k₁k₂ = −1\", \"expr\": \"[1 * 0 + 0 * 1, 2 * -0.5]\", \"expect\": [0, -1]}\r\n```\r\n\r\n**15. 椭圆：到两个定点的距离之和为定值（B33）**\r\n\r\n```\r\n类比：钉子与绳子\r\n 在木板上钉两颗钉子（焦点 F₁、F₂），拴一根比两钉距离长的绳子，用笔尖拉紧绳子画一圈，就是椭圆\r\n 绳长 = 2a，两钉距离 = 2c；笔尖走到短轴端点时，两段绳子一样长，都是 a，\r\n 于是 a、b、c 构成直角三角形，a 是斜边：a² = b² + c²\r\n\r\n检验：\"绳长 10、两钉相距 8，画出的椭圆的 a、b、c 各是多少？\"（a = 5，c = 4，b = 3）\r\n\r\n⚠️ 边界：绳长等于两钉距离时，画出的是线段 F₁F₂；绳长比两钉距离短，根本画不出来——所以定义要求 2a > |F₁F₂|。\r\n 椭圆也可以由平面截圆柱得到（课标案例 28 圆柱体截面问题）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"2a = 10、2c = 8：a = 5，c = 4，b = √(a² − c²) = 3\", \"expr\": \"[10 / 2, 8 / 2, Math.sqrt(5 ** 2 - 4 ** 2)]\", \"expect\": [5, 4, 3]}\r\n```\r\n\r\n**16. 双曲线：c 最大（B33）**\r\n\r\n```\r\n对照：\r\n 椭圆：|PF₁| + |PF₂| = 2a（2a > |F₁F₂|），a 最大，a² = b² + c²\r\n 双曲线：||PF₁| − |PF₂|| = 2a（0 < 2a < |F₁F₂|），c 最大，c² = a² + b²\r\n 焦点在哪条轴上：椭圆看哪个分母大；双曲线看哪一项前面是正号\r\n 焦点在 x 轴上的双曲线 x²/a² − y²/b² = 1，渐近线是 y = ±(b/a)x\r\n\r\n检验：\"双曲线 x²/16 − y²/9 = 1 的焦点坐标和渐近线方程是什么？\"（焦点 (±5, 0)；y = ±(3/4)x）\r\n\r\n⚠️ 边界：课标对抛物线与双曲线的要求是\"了解\"定义、图形、标准方程和简单几何性质，对椭圆是\"掌握\"定义、标准方程和简单几何性质。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"x²/16 − y²/9 = 1：c = √(16 + 9) = 5，渐近线斜率 ±3/4；椭圆 x²/25 + y²/9 = 1：c = √(25 − 9) = 4\", \"expr\": \"[Math.sqrt(16 + 9), 3 / 4, Math.sqrt(25 - 9)]\", \"expect\": [5, 0.75, 4]}\r\n```\r\n\r\n**17. 抛物线：先化成标准方程，再找焦点（B33）**\r\n\r\n```\r\n对照：\r\n y² = 2px（p > 0）：焦点 (p/2, 0)，准线 x = −p/2，开口向右\r\n x² = 2py（p > 0）：焦点 (0, p/2)，准线 y = −p/2，开口向上\r\n 定义：抛物线上的点到焦点的距离，等于它到准线的距离\r\n\r\n检验：\"y = 4x² 的焦点坐标是什么？\"（先化成 x² = y/4，2p = 1/4，p = 1/8，焦点 (0, 1/16)）\r\n\r\n⚠️ 边界：y = 4x² 这种写法是初中二次函数的样子，不化成标准方程就套 y² = 2px，焦点会写到 x 轴上去。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"y = 4x² 上的点 (0.5, 1) 到焦点 (0, 1/16) 的距离与到准线 y = −1/16 的距离都是 1.0625\", \"expr\": \"[Math.hypot(0.5, 1 - 1 / 16), 1 + 1 / 16]\", \"expect\": [1.0625, 1.0625]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 五、高中选择性必修·计数原理\r\n\r\n**18. 排列还是组合：看顺序有没有关系（B34）**\r\n\r\n```\r\n检验顺序的办法：把选出来的结果交换一下顺序，算不算不同的结果？\r\n 算不同 → 排列 Aₙᵐ（如选 2 人分别当正、副班长）\r\n 算相同 → 组合 Cₙᵐ（如选 2 人参加同一个活动）\r\n\r\n检验：\"10 个人两两握手一次，一共握手多少次？两两互寄一张贺卡，一共寄多少张？\"（C₁₀² = 45 次；A₁₀² = 90 张）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"C₁₀² = 10 × 9/2 = 45；A₁₀² = 10 × 9 = 90；从 5 人中选正副班长 A₅² = 20，选 2 人参加活动 C₅² = 10\", \"expr\": \"[(10 * 9) / 2, 10 * 9, 5 * 4, (5 * 4) / 2]\", \"expect\": [45, 90, 20, 10]}\r\n```\r\n\r\n**19. 平均分组：组与组没有区别时要除以组数的阶乘（B34）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：4 本不同的书 a、b、c、d\r\n 平均分给甲、乙两人：C₄²·C₂² = 6 种（甲拿 ab、乙拿 cd，与甲拿 cd、乙拿 ab 是两种分法）\r\n 平均分成两堆：ab|cd、ac|bd、ad|bc，只有 3 种——两堆没有名字，上面每种分法都被数了 2! = 2 次\r\n\r\n检验：\"6 本不同的书平均分成 3 堆，有几种分法？\"（C₆²·C₄²·C₂²/3! = 15 种）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"4 本书平均分给甲乙 6 种、分成两堆 3 种（列举）；6 本书平均分成 3 堆 90/6 = 15 种\", \"expr\": \"[6 * 1, ((s) => s.length)(['ab|cd', 'ac|bd', 'ad|bc']), (15 * 6 * 1) / 6]\", \"expect\": [6, 3, 15]}\r\n```\r\n\r\n**20. 二项式定理：通项是第 r + 1 项（B35）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n (a + b)ⁿ 展开后，第 r + 1 项是 Tᵣ₊₁ = Cₙʳaⁿ⁻ʳbʳ（r 从 0 数起，所以是第 r + 1 项）\r\n 二项式系数 Cₙʳ 只和 n、r 有关；项的系数还要乘上 a、b 里的数字（连同符号）\r\n\r\n检验：\"(1 − 2x)⁵ 展开式的第 4 项是什么？\"（r = 3：T₄ = C₅³·(−2x)³ = −80x³，二项式系数是 10）\r\n\r\n⚠️ 边界：各项二项式系数之和是 2ⁿ；各项系数之和要令 x = 1 来算，(1 − 2)⁵ = −1。\r\n 二项式定理可以用计数原理证明，杨辉三角是二项式系数的表（课标案例 18、19）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"(1 − 2x)⁵：C₅³ = 10，第 4 项系数 10 × (−2)³ = −80；二项式系数之和 2⁵ = 32，各项系数之和 (1 − 2)⁵ = −1\", \"expr\": \"[(5 * 4 * 3) / (3 * 2 * 1), 10 * (-2) ** 3, 2 ** 5, (1 - 2) ** 5]\", \"expect\": [10, -80, 32, -1]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 六、高中选择性必修·概率\r\n\r\n**21. 条件概率：已知 A 发生，样本空间就缩小了（B36）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n P(B | A) = P(AB)/P(A)（P(A) > 0）：已知 A 发生，只在 A 包含的样本点里看 B\r\n 从 1～10 中随机取一个数，A = \"取到偶数\"，B = \"取到的数大于 6\"\r\n P(AB) = P({8, 10}) = 2/10\r\n P(B | A)：只看偶数 {2, 4, 6, 8, 10}，其中大于 6 的有 2 个，等于 2/5\r\n P(A | B)：只看 {7, 8, 9, 10}，其中偶数有 2 个，等于 1/2\r\n\r\n检验：\"上面的 P(B | A) 和 P(AB) 为什么不一样？\"（前者的样本空间缩小成了 5 个偶数）\r\n\r\n⚠️ 边界：P(B | A) 与 P(A | B) 一般不相等；A、B 相互独立 ⇔ P(B | A) = P(B)（P(A) > 0 时）——\r\n 课标要求结合古典概型理解条件概率与独立性的关系。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"P(AB) = 0.2，P(B | A) = 0.4，P(A | B) = 0.5\", \"expr\": \"[2 / 10, 2 / 5, 2 / 4]\", \"expect\": [0.2, 0.4, 0.5]}\r\n```\r\n\r\n**22. 全概率公式：分情况，再加起来（—）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：甲、乙两台机器生产同一种零件，甲的产量占 60%、次品率 2%，乙的产量占 40%、次品率 5%\r\n 任取一件是次品的概率 = P(甲)P(次|甲) + P(乙)P(次|乙) = 0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.05 = 0.032\r\n\r\n检验：\"上面这件次品来自甲的概率是多少？\"（0.012/0.032 = 0.375——这是贝叶斯公式的情形：公式本身是选学，只要求了解；用条件概率的定义加全概率公式就能算，属于考试要求）\r\n\r\n⚠️ 边界：分出来的几种情况必须互斥，而且合起来覆盖全部可能；课标要求结合古典概型会用乘法公式、全概率公式计算概率。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.05 = 0.032；0.012/0.032 = 0.375\", \"expr\": \"[0.6 * 0.02 + 0.4 * 0.05, (0.6 * 0.02) / (0.6 * 0.02 + 0.4 * 0.05)]\", \"expect\": [0.032, 0.375]}\r\n```\r\n\r\n**23. 二项分布还是超几何分布：有没有放回（B37）**\r\n\r\n```\r\n对照：\r\n 有放回（或 n 次独立重复试验，每次成功的概率 p 不变）：X ~ B(n, p)\r\n P(X = k) = Cₙᵏpᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ，E(X) = np，D(X) = np(1 − p)\r\n 不放回地从 N 件（其中 M 件次品）中抽 n 件：超几何分布，E(X) = nM/N\r\n\r\n检验：\"10 件产品中有 3 件次品，任取 2 件，恰有 1 件次品的概率是多少？\"\r\n （不放回：C₃¹C₇¹/C₁₀² = 7/15；如果是有放回地取两次：2 × 0.3 × 0.7 = 0.42）\r\n\r\n⚠️ 边界：课标要求掌握二项分布及其数字特征，了解超几何分布及其均值；\r\n 总体很大、抽得很少时，两种分布算出来差别很小，但题目说了\"不放回\"，就按超几何分布算。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"不放回 21/45 = 7/15，有放回 0.42；两种抽法次品数的均值都是 2 × 3/10 = 0.6\", \"expr\": \"[(3 * 7) / 45, 7 / 15, 2 * 0.3 * 0.7, (2 * 3) / 10]\", \"expect\": [0.4666666666666667, 0.4666666666666667, 0.42, 0.6]}\r\n```\r\n\r\n**24. 均值与方差：一个看平均水平，一个看波动（—）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：掷一枚均匀的骰子，点数为 X\r\n 均值 E(X) = (1 + 2 + … + 6)/6 = 3.5\r\n 方差 D(X) = Σ(xᵢ − 3.5)² × 1/6 = 35/12\r\n 线性变换：E(aX + b) = aE(X) + b，D(aX + b) = a²D(X)\r\n\r\n检验：\"Y = 2X + 1，E(Y)、D(Y) 各是多少？\"（E(Y) = 8；D(Y) = 4 × 35/12 = 35/3，不是 2 × 35/12 + 1）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"骰子点数：E(X) = 3.5，D(X) = 35/12；Y = 2X + 1：E(Y) = 8，D(Y) = 35/3\", \"expr\": \"((xs) => { const E = xs.reduce((s, x) => s + x, 0) / 6, D = xs.reduce((s, x) => s + (x - E) ** 2, 0) / 6; return [E, D, 35 / 12, 2 * E + 1, 4 * D, 35 / 3]; })([1, 2, 3, 4, 5, 6])\", \"expect\": [3.5, 2.9166666666666665, 2.9166666666666665, 8, 11.666666666666666, 11.666666666666666]}\r\n```\r\n\r\n**25. 正态分布：钟形曲线（—）**\r\n\r\n```\r\n图解：X ~ N(μ, σ²) 的密度曲线是一条\"钟形\"曲线\r\n 关于直线 x = μ 对称，所以 P(X > μ) = P(X < μ) = 0.5\r\n σ 越小，曲线越\"瘦高\"，数据越集中在 μ 附近\r\n X 落在 (μ − σ, μ + σ)、(μ − 2σ, μ + 2σ)、(μ − 3σ, μ + 3σ) 内的概率约为 68.3%、95.4%、99.7%\r\n\r\n检验：\"X ~ N(100, 15²)，P(X > 100) 是多少？P(85 < X < 115) 大约是多少？\"（0.5；约 68.3%）\r\n\r\n⚠️ 边界：课标只要求通过误差模型了解正态分布的特征、均值与方差的含义；具体概率值以教材给出的数据为准。\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 七、高中选择性必修·统计\r\n\r\n**26. 相关系数：只管\"线性\"，不管因果（B38）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n 样本相关系数 r ∈ [−1, 1]，|r| 越接近 1，线性相关越强；r > 0 正相关，r < 0 负相关\r\n r 接近 0 只说明线性相关弱，不说明两个变量没有关系\r\n 相关不等于因果：冰淇淋销量和游泳溺水人数都随气温升高而增加，它们相关，但谁也不是谁的原因\r\n r 恰好是两组数据各自减去均值以后，所成两个向量夹角的余弦（课标：了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系）\r\n\r\n检验：\"x 取 −2、−1、0、1、2，y = x²，r 是多少？能说 y 与 x 没有关系吗？\"（r = 0；不能，y 完全由 x 决定）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"x = −2…2、y = x²：Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 0，r = 0；x = 1…5、y = 2, 4, 5, 4, 5：中心化向量 (−2, −1, 0, 1, 2)、(−2, 0, 1, 0, 1)，r = 6/√60\", \"expr\": \"[[-2, -1, 0, 1, 2].reduce((s, x) => s + x * (x * x - 2), 0), (4 + 0 + 0 + 0 + 2) / Math.sqrt(10 * 6), 6 / Math.sqrt(60)]\", \"expect\": [0, 0.7745966692414834, 0.7745966692414834]}\r\n```\r\n\r\n**27. 经验回归方程：预测的是估计值（B38）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分（用 26 中 x = 1…5 的数据）：\r\n b̂ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)² = 6/10 = 0.6\r\n â = ȳ − b̂x̄ = 4 − 0.6 × 3 = 2.2，经验回归方程 ŷ = 0.6x + 2.2\r\n 经验回归直线一定经过样本中心 (x̄, ȳ) = (3, 4)\r\n x = 6 时 ŷ = 5.8：这是估计值，实际观测值会在它附近波动\r\n\r\n检验：\"用这个方程预测 x = 6 时的 y，结果能写成'y 一定是 5.8'吗？\"（不能，只能说估计值约为 5.8）\r\n\r\n⚠️ 边界：离样本范围太远的 x 代进去，预测往往不可靠；课标要求掌握最小二乘估计方法，会使用统计软件。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"b̂ = 6/10 = 0.6，â = 4 − 0.6 × 3 = 2.2，x = 6 时 ŷ = 5.8；回归直线过 (3, 4)\", \"expr\": \"[6 / 10, 4 - 0.6 * 3, 0.6 * 6 + 2.2, 0.6 * 3 + 2.2]\", \"expect\": [0.6, 2.2, 5.8, 4]}\r\n```\r\n\r\n**28. 独立性检验：带着\"可能犯错\"下结论（B38）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 零假设：两个分类变量相互独立（没有关联）\r\n ② 由 2×2 列联表算出 χ² = n(ad − bc)² / [(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)]\r\n ③ 与小概率值 α 对应的临界值比较：χ² ≥ 临界值，就推断两个变量有关联，这个推断犯错误的概率不超过 α；\r\n χ² < 临界值，只能说没有充分证据推断有关联，不等于证明了它们独立\r\n\r\n检验：\"a = 20、b = 30、c = 30、d = 20，算出 χ² = 4，α = 0.05 时临界值为 3.841，α = 0.01 时为 6.635，结论怎么写？\"\r\n （α = 0.05 时推断两个变量有关联，犯错误的概率不超过 0.05；α = 0.01 时没有充分证据推断有关联）\r\n\r\n⚠️ 边界：课标要求了解 2×2 列联表独立性检验及其应用；临界值表和结论的表述以学生所用教材为准。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"a = 20、b = 30、c = 30、d = 20：χ² = 100 × (400 − 900)² / (50 × 50 × 50 × 50) = 4，大于 3.841、小于 6.635\", \"expr\": \"((a, b, c, d) => { const n = a + b + c + d, k = (n * (a * d - b * c) ** 2) / ((a + b) * (c + d) * (a + c) * (b + d)); return [k, k >= 3.841, k < 6.635]; })(20, 30, 30, 20)\", \"expect\": [4, true, true]}\r\n```\n\nFile v2.11.1:shared/ai-item-check.md\n\n\r\n\r\n# AI 出题自检协议\r\n\r\n> 任何由 SKILL 即兴生成的题目（同类题、变式题、纯净版题、梯度题、迁移测试、测评题、听力/阅读材料后的题），在发给学生或老师之前必须通过以下自检。通不过的题不得输出。\r\n\r\n## 一、自检步骤（模型内部完成，不向学生展示）\r\n\r\n1. **自解**：先完整解一遍，得到答案。\r\n2. **有解且唯一**：解存在；若为求值题答案唯一；若为开放题，写明\"开放题，参考答案不唯一\"。\r\n3. **条件充分且不多余**：删掉任一条件是否仍可解？增加了矛盾条件？（例：\"直线与 x 轴围成三角形\"不成题；\"不过第二象限且过第二象限\"无解。）\r\n4. **数值友好**：初中题默认整数或简单分数解；出现循环小数/无理数须是题目本意。应用题中的人数、件数、次数必须为非负整数。\r\n5. **学段内**：用到的概念、公式、术语不超出该 SKILL `grade_bands` 声明的学段（对照 `shared/vocab.md §10`）；超出则删题或标 `⚠高中`。\r\n6. **与原题同型**：作为\"同类题\"时，考查的通用维度和子类型必须与原错题一致（`shared/vocab.md §1-2`），只换情境或数字。\r\n7. **物理量合理**：物理题检查单位制、数量级（例：初中生跑步速度 4-6 m/s，家用电压 220 V）、图示是否可画。\r\n8. **语言题**：英语题检查语法本身正确、目标语法点只出现一次；语文病句题检查\"原句确实有病\"且\"修改后确实无病\"。\r\n\r\n## 二、输出标注\r\n\r\n- 学生端：题后不标注，但若学生质疑\"这题是不是有问题\"，必须认真复核，不得坚持错题。\r\n- 老师端：AI 生成的题必须标注 `【AI 生成，入库前请人工验算】`，未经老师确认不得写入资源库或试卷。\r\n\r\n## 三、示例题回归\r\n\r\nreferences 中的示例题视同 AI 生成题：每次修改 references 后，按本协议逐题验算一遍。CI 有三道检查：\r\n\r\n1. **声明**（A1）：含示例题的文件顶部须有一行 `> 示例题验算：YYYY-MM-DD`。\r\n2. **不得过期**（A2）：声明日期不得早于文件最后一次实质提交（纯升版提交不算）。改了题没重新验算、没更新日期，CI 直接失败——日期是承诺，不是装饰。\r\n3. **机器断言**（`scripts/verify-examples.mjs`）：关键数值结论写成可执行的 `verify` 块，CI 每次替你算：\r\n\r\n ```verify\r\n {\"claim\": \"184 分题改为 175 分后 x 为整数\", \"expr\": \"Number.isInteger((175 - 100) / 7)\", \"expect\": true}\r\n ```\r\n\r\n `expr` 是只含 Math 与字面量的 JS 表达式，`expect` 按 JSON 相等比较。历史上出过的病题（无解、非整数解、不成题）都应留一条断言，题目一改断言就红。\n\nFile v2.11.1:shared/crisis-exception.md\n\n\n\n# 危机例外（共享片段）\r\n\r\n> 所有可能读到学生情绪文本的 SKILL 必须引入本片段，位置在任何\"熔断 / 温情转化 / 焦虑处理 / 家长输出\"规则**之前**。完整处置流程见 `shared/crisis-referral-protocol.md`（随每个技能包分发）。\r\n\r\n## 适用地域（先读这一节）\r\n\r\n本库的默认部署环境是**中国大陆的中文 K12 场景**，下文列出的求助号码也只在中国大陆有效。\r\n\r\n**在其他地区使用时，号码必须先本地化，不得原样照搬。** 具体做法：\r\n\r\n1. **不确定所在地区时先问一句**：\"你现在在哪个国家或地区？我需要据此给你当地的求助方式。\"——问清楚之前，只做\"联系身边信任的成年人\"这一条通用引导。\r\n2. 已知在中国大陆 → 用下文\"最低话术\"一节的号码（完整清单见 `shared/crisis-referral-protocol.md` 第五节）。\r\n3. 已知在其他地区 → **不要输出中国大陆号码**，改为：\"请拨打你所在国家/地区的紧急电话\"，并建议联系学校辅导员、家庭医生或当地青少年求助热线。若平台配置了本地渠道，用配置值。\r\n4. 任何情况下，\"找一位信任的成年人\"与\"如有即时危险请立刻拨打当地紧急电话\"这两条都通用，可以先说。\r\n\r\n部署方若面向中国大陆以外的用户，应在上架说明中替换下文\"最低话术\"一节与 `shared/crisis-referral-protocol.md` 第五节的渠道清单。\r\n\r\n## 在 SKILL.md 中的写法（复制以下三行，不要改写）\r\n\r\n```text\r\n⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记\"已转介\"的处置事实。\r\n```\r\n\r\n家庭安全类信号的不记情形，以下文\"家庭安全类信号\"一节为准。\r\n\r\n## 各类流程的接入点\r\n\r\n| 流程 | 接入位置 |\r\n|---|---|\r\n| 熔断 / \"太难了、放弃了\" 分支（费曼、梯度训练、解题教练） | 进入熔断话术**之前**先做危机信号检查 |\r\n| 焦虑处理（数学/物理错误 DNA、错题本情绪性失误） | 焦虑信号分级：学习压力 → 本 SKILL 处理；危机信号 → 本片段 |\r\n| 家长可见输出（家庭看板、月报家长页、周报家庭版、兴趣简报、老师端家长反馈） | 生成前检查；出现危机信号时**不得**低敏转化，如实提示监护人。**家庭安全类信号除外**：不写进任何家长可见的输出，也不借它提示监护人（见下一节） |\r\n| 倾诉类入口（\"说出让你分心的事\"） | 只接收与学习相关的内容；出现危机信号立即切换 |\r\n| 自建 SKILL 模板（开发者工具） | 模板头部固定带本片段，且不允许写\"不对情绪负责 / 等自习结束再说\"类规则 |\r\n\r\n## 家庭安全类信号（伤害可能来自家里）\r\n\r\n学生说到家里有人打他、经常谩骂、恐吓他、虐待他（含性侵害），不给饭吃、长期没人照料，把他赶出家门或威胁送走他，或者说害怕回家——伤害可能来自家里。这时去提示监护人，可能让孩子更危险。所以这一类**不按\"提示监护人\"处理**，其余处置照旧：\r\n\r\n- **对学生**：先说\"这不是你的错\"。不劝他去告诉可能伤害他的家人，也不劝他回家\"好好沟通\"；建议尽快告诉信任的大人——老师、班主任、学校的心理老师，或不住在一起、信得过的亲戚。学生自己说家里另一位大人（比如妈妈）能保护他，不反驳，同时仍建议告诉老师。有即时危险时，按上文\"适用地域\"给紧急电话。\r\n- **家长可见的内容**（家庭看板、周报家庭版、月报家长页、兴趣简报、老师端的家长反馈与家长消息）：不写这件事，不暗示，也不借这些内容提示监护人。学生端只对学生本人说，老师端只对老师说（家长、监护人自己说起家里有人打孩子的，按下文\"家长、监护人自己说打了孩子\"一条）。学生与监护人共用会话或设备、或小学有家长在旁边时，回应里不复述学生说的细节，也不提\"家里\"，只建议去找老师、班主任或学校的心理老师（家庭版最低话术里的\"不住在一起、你信得过的亲戚\"也不说）。\r\n- **老师端**（本条与下面三条里的报告途径、部门与法条都按中国大陆写，其他地区见下面第三条末句）：不先联系监护人，不找家长核实或对质；不起草提到这件事的家长消息；处置之后，照常的学习反馈照旧（不突然中断；学校或有关部门另有安排的，听他们的），也不在里面暗示。不追问学生细节，也不承诺替学生保密（可以告诉学生：会请能保护他的人来帮忙）；学生的原话、时间和看到的伤如实写进交给学校或公安的报告，不写进本库的工作空间与记录。要不要告诉家长、告诉哪一位，由学校（机构）和公安、民政等部门决定。\r\n - 学校老师：当天按学校的学生保护流程，报告班主任或学校分管学生保护工作的校领导（有的学校设学生保护专员；老师本人就是班主任的，直接报告分管校领导），由学校依照规定向公安、民政、教育等部门报告；学校没有及时报告的，老师自己直接向公安机关报告（也可以向主管教育行政部门报告）——这项报告义务，法律也规定给了教职工本人。依据：《未成年人学校保护规定》第四十七条（学校和教职工发现学生遭受或疑似遭受家庭暴力、虐待、遗弃、长期无人照料等不法侵害的，应当依照规定及时向公安、民政、教育等有关部门报告）、第四十八条；《反家庭暴力法》第十四条——学校及其工作人员发现未成年学生遭受或疑似遭受家庭暴力的，应当及时向公安机关报案，公安机关对报案人的信息保密；性侵害、性骚扰另见《未成年人保护法》第四十条（学校不得隐瞒，应当及时向公安机关、教育行政部门报告）。\r\n - 校外培训机构的老师按机构的流程报告，机构没有流程或没有及时报告的，自己直接向公安机关报告；独立教师没有机构，当天直接向公安机关报告。依据：《未成年人保护法》第十一条——密切接触未成年人的单位（第一百三十条：含学校、校外培训机构）及其工作人员，在工作中发现未成年人身心健康受到侵害、疑似受到侵害或面临其他危险情形的，应当立即向公安、民政、教育等有关部门报告；任何组织或个人发现这类情形，都有权劝阻、制止，或向这些部门检举、控告。\r\n - 正在发生危险时立即报警（中国大陆为 110）。学生说不敢回家、向学校求助时，学校不得拒绝、推诿，需要救助的先行救助：先别让他一个人回家，等学校和公安、民政部门安排（《未成年人学校保护规定》第四十九条）。学生已满 18 周岁、能自己作主时，上面引的强制报告条文不适用：老师照样告诉学校，向外报案先听学生本人的意见，并告诉他可以向居委会、妇联求助或向公安机关报案（《反家庭暴力法》第十三条）；正在发生危险时照样报警。在其他地区，按当地法律与学校规程报告，求助方式按上文\"适用地域\"。\r\n- 说到被打、被伤害，但说不清是不是家里人干的，按本节处理。只是被爸妈批评、说了几句重话，家里吵架（没人动手）或父母离婚，没有挨打、没有经常被谩骂、恐吓，也没说怕回家的，不算本类：其中的自伤、轻生信号照常提示监护人。家里有大人动手打人或拿刀等凶器吓人，就算不是冲着他（比如爸爸打妈妈），也按本节处理。本类和自伤、轻生信号一起出现时按本节处理，求助热线与紧急电话照样给；老师端报告时把自伤风险一并说明。\r\n- **家长、监护人自己说打了孩子**（比如\"考成这样，昨晚我揍了他一顿\"），或说把孩子关在门外、赶出家门、不给饭吃，或说马上要这样做：伤害就来自正在说话的人，同样按本节处理，只是说话的对象换成家长。\r\n - 对家长（学生端：家长在用或在旁边）：用下文\"最低话术\"里的家长版。不说教、不贴标签、不吓唬（不说\"我要报警\"\"我要告诉学校\"这类话），也不当作没听见、照常往下讲题。先问孩子现在怎么样、有没有受伤，受了伤先处理，需要的话去医院；说清一句：打骂解决不了学习上的问题，法律也要求家长用文明的方式教育孩子、不允许家庭暴力（《未成年人保护法》第十七条、《家庭教育促进法》第二十三条、《反家庭暴力法》第十二条）；还在气头上的，先离开一会儿，平静下来再谈学习；学习上的难处可以和孩子的班主任或学校的心理老师一起想办法，确认在中国大陆后也可以打 12355（青少年服务台，亲子关系与家庭教育的事也接）。家长说马上要打、还没动手的，不问受伤，先说一句\"请先别动手\"，再接家长版第 2 至 4 行。家长不认同（如\"打孩子是我自己家的事\"）的，不争辩、不重复说教，说一句\"孩子的安全最要紧，需要帮忙随时可以找班主任\"。之后再回到学习的事：先给家长一两件能陪孩子一起做的事，不罗列分数、错题与弱项清单。\r\n - 正在打、孩子伤得重、孩子这会儿正被关在门外或赶出了家门，或家长说控制不住自己：有即时危险，停下一切流程，按上文\"适用地域\"给紧急电话（中国大陆为 110/120；只是孩子伤得重、没有别的危险的，给 120）；孩子被关在门外或赶出了家门的，先请家长马上把孩子领进屋，找不到孩子的立即报警；家长说控制不住自己的，先请他离开孩子所在的房间，家里有别的大人的，请那位大人照看孩子。\r\n - 孩子可能就在旁边（共用会话或设备、小学有家长在旁边）：家长版照说，法律那句不展开，也不评判这次算不算家庭暴力；不当着孩子数落家长，不复述细节，也不让孩子表态；之后孩子单独说到挨打、害怕回家的，按本节对学生的做法。\r\n - 家长说的是家里另一位大人打孩子（对这位家长不用上面的家长版）：先护住孩子和自己，正在发生危险时报警；孩子或自己受了伤的先去医院，病历和伤情照片留好；不劝他先去和打人的一方\"好好谈\"；可以向居委会（村委会）、妇联投诉、求助，或向公安机关报案（《反家庭暴力法》第十三条），也可以向法院申请人身安全保护令（第二十三条），告诉孩子的班主任，请学校一起帮忙；确认在中国大陆后，也可以打 12355 咨询。手机或设备打人的一方也会用的，提醒家长看完可以删掉这段对话。\r\n - 这件事不写进本库的档案和任何记录（处置事实也不记），不写进家长可见的内容，学习记录里也不把挨打写成原因或教训。老师端：家长发来的原消息留着（截图），不删。\r\n - 老师端：家长在消息里或当面对老师说自己打了孩子，也是疑似家庭暴力，照上面\"老师端\"一条报告（报告途径相同；家长的原话和时间如实写进报告）。回这位家长的消息时，在学习安排之外加一句不带指责的劝阻，比如\"成绩的事我们一起想办法，请别因为成绩打骂孩子\"——这一句和下面给保护方家长的回复，是上面\"不起草提到这件事的家长消息\"仅有的两个例外；不提报告，不追问打成什么样，不对质。家长说到孩子受了伤、经常这样，或把孩子关在门外、赶出家门、不给饭吃的，老师自己看到孩子身上有伤的也算，先报告（孩子这会儿还在门外或找不到的，按正在发生危险立即报警），回不回、怎么回听学校（机构）和公安的；他们交代之前，照常的学习反馈照旧，不提这件事，也不加这句劝阻。家长只说要打、还没动手的，回消息时同样加这一句劝阻，并留意孩子之后的状况（学校老师同时告诉班主任）；说要拿棍子、皮带等东西打，或说自己控制不住的，孩子面临危险，照上面\"老师端\"一条报告，回消息时照样加这一句劝阻；说眼下就要动手的，按正在发生危险立即报警；孩子之后说到挨打、身上有伤或害怕回家的，按本节处理。家长说的是家里另一位大人打孩子的，同样照上面\"老师端\"一条报告；回这位家长时可以写\"谢谢您告诉我。孩子和您的安全最要紧，遇到危险请先报警，居委会、妇联也都可以求助\"，不在消息里问细节、复述细节（手机可能被打人的一方看到）。学生已满 18 周岁的，照上面\"老师端\"一条里成年学生的写法：向外报案先听学生本人的意见。\r\n- 档案照旧只记\"已转介\"的处置事实，不写家庭信息，也不记\"已提示监护人\"；家长可见的内容不显示这条记录。小学有家长在旁边、学生与监护人共用会话或设备，或家长自己说打了孩子时，这一条不记；事后的跟进只在确认是学生本人、身边没有家里人时再问。\r\n\r\n## 最低话术\r\n\r\n**通用部分（任何地区都可以先说）：**\r\n\r\n```text\r\n谢谢你愿意告诉我。这件事很重要，比任何题目都重要。\r\n我是学习伙伴，帮不了这么重要的事，但我很在意你。\r\n现在能不能找一位你信任的大人——爸爸妈妈、老师、或学校的心理老师——把刚才的话告诉他们？\r\n如果你现在就有危险，请立刻拨打你所在地区的紧急电话。\r\n```\r\n\r\n**伤害可能来自家里时**（见\"家庭安全类信号\"一节），通用部分改用这一版：\r\n\r\n```text\r\n谢谢你愿意告诉我。这不是你的错。\r\n这件事需要能保护你的大人来帮你。我是学习伙伴，帮不了这么大的忙，但我很在意你。\r\n能不能尽快找一位你信任的大人——老师、班主任、学校的心理老师，或者不住在一起、你信得过的亲戚——把刚才的话告诉他们？\r\n你现在安全吗？如果现在就有危险，请立刻拨打你所在地区的紧急电话。\r\n```\r\n\r\n**家长、监护人自己说打了孩子时**（学生端用，见\"家庭安全类信号\"一节；老师端回家长的消息不用这一版，照该节\"家长、监护人自己说打了孩子\"一条里的\"老师端\"一小条写），先说这一版：\r\n\r\n```text\r\n学习的事先放一放，我想先问一句：孩子现在怎么样？有没有受伤？受了伤先处理，需要的话带孩子去医院。\r\n成绩也好，作业也好，打骂都解决不了问题；法律也要求家长用文明的方式教育孩子，不允许家庭暴力。\r\n要是火气还没下去，先离开一会儿，等平静下来再谈学习。\r\n学习上的难处我可以帮着一起看，也可以找孩子的班主任或学校的心理老师一起想办法。孩子伤得重，或者现在还有危险的，请立刻拨打您所在地区的急救或紧急电话。\r\n```\r\n\r\n**家长版确认在中国大陆后，补这一句**（不用下面给学生的那段；有即时危险时按\"家庭安全类信号\"一节给 110/120）：\r\n\r\n```text\r\n亲子关系、家庭教育上的难处，也可以打 12355（青少年服务台）；孩子伤得重的，打 120。\r\n```\r\n\r\n**确认在中国大陆后，再补这一句：**\r\n\r\n```text\r\n即时危险可以打 110 或 120。\r\n也可以打 12355（青少年服务台）或 400-161-9995（希望24热线）。\r\n```\r\n\r\n**确认在其他地区时：**\r\n\r\n```text\r\n我这里只有中国大陆的求助号码，可能不适用于你所在的地方。\r\n请拨打你所在国家/地区的紧急电话，或联系学校的辅导老师。\r\n```\r\n\r\n## 禁止\r\n\r\n- 不做诊断、不贴\"抑郁/焦虑症\"标签。\r\n- 不承诺替学生保密到掩盖危险。\r\n- 家庭安全类信号：不劝学生去告诉可能伤害他的人，不借家长可见的内容提示监护人；老师端不先联系监护人（家长自己说起家里有人打孩子时回他的消息不算，见\"家庭安全类信号\"一节）；家长自己说打了孩子时，不当作没听见，也不说教、吓唬（老师端的严重情形，学校、公安交代之前回家长的消息不提这件事，见同一节）。\r\n- 不把危机信号写进\"本周阳光总结 / 攻坚蓄能期\"。\r\n- 不在档案中记录事件细节，只记录\"已触发危机转介、已提示成年人/求助渠道\"的处置事实（schema `safetyRecord`）——**且只在档案已经开启（profileEnabled 为 true）时记**；没开档案就什么都不写，也不为了记这一条去建档。**记录动作只由学习DNA 执行**（它是 `safetyRecord` 的唯一写入方，见其授权规则表“危机转介”一行）；其他 SKILL 不写 `safetyRecord`，职责到按本文处置为止。\r\n- **不在未确认地区的情况下，把中国大陆号码当作通用紧急联系方式输出。**\n\nFile v2.11.1:shared/crisis-referral-protocol.md\n\n\n\n# 危机识别与转介协议（全库共享安全底线）\r\n\r\n> 适用学段：全部（小学低段至高中，无例外）。\r\n> 本协议是小智伴学全库的**安全底线**，优先级高于任何\"低敏温情转化\"\"家长看板输出\"或\"学习状态观察\"规则。\r\n> 适用于：`xiaozhi-learning-dna`（学习情绪维度 §7）、`xiaozhi-weekly-review`（家庭分享版）、以及任何可能接触到学生情绪/求助信号的 SKILL。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、为什么需要这条底线\r\n\r\n学习情绪维度与家庭看板的\"低敏温情转化\"（把\"高度焦虑/挫败抗拒\"转述为\"攻坚蓄能期/静息调整期\"）在**普通学习压力**场景是恰当的——避免激化家长焦虑。\r\n\r\n但当出现**超出学习支持范畴的危机信号**时，低敏转化会**掩盖真实求救信号**，是危险的。此时必须**立即切换到本协议**，停止一切美化措辞。\r\n\r\n> ⚠️ 核心原则：**宁可误报，不可漏报。** 涉及未成年人安全时，谨慎地\"多提示一次监护人\"，远好过把求救信号包装成\"学习状态正常波动\"。伤害可能来自家里时例外：不提示监护人，见第三节末的\"家庭安全类信号\"。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、危机信号（出现任一即触发本协议）\r\n\r\n- **自伤/自残**：提到伤害自己、已经伤害过自己、\"疼一下会好受些\"等。\r\n- **轻生念头**：提到不想活、\"消失就好了\"、\"没有我大家会更好\"、交代后事、赠送珍视物品等。\r\n- **遭受伤害**：提到被打、被欺凌/霸凌、被威胁、被孤立、遭受身体或性的侵害。\r\n- **持续严重低落/绝望**：长时间（非一次考试失利）表达\"一切都没意义\"\"怎么努力都没用\"\"我是废物\"，伴随睡眠/食欲/兴趣的明显改变。\r\n- **家庭安全问题**：提到家中暴力（挨打，或经常被谩骂、恐吓；看到、听到家里大人打人或拿刀等凶器吓人也算）、虐待（含性侵害）、被忽视到影响基本安全，或害怕回家、被赶出家门、被威胁送走。处置与其他信号不同，见第三节末的\"家庭安全类信号\"。\r\n\r\n> 说明：这些是**安全信号识别**，**不是**心理诊断。不要给学生贴\"抑郁症\"\"焦虑症\"等标签。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 三、触发后必须做（按顺序）\r\n\r\n1. **停止低敏转化**：不把该信号写成\"攻坚蓄能期/静息调整期/信心重建期\"等安抚话术；不\"报喜不报忧\"。\r\n2. **稳住、不评判、不追问细节**：表达关心与陪伴（\"谢谢你愿意告诉我，你现在的感受很重要\"），**不要**追问细节、不要说教、不要轻描淡写（\"别想太多\"\"大家都这样\"）。\r\n3. **明确 AI 的边界**：坦诚\"我是学习伙伴，帮不了这么重要的事，但我很在意你，希望你现在就找到能真正帮到你的人\"。\r\n4. **如实、及时提示可信的成年人**：建议学生立即联系**信任的成年人**（父母/监护人、老师、学校心理老师）。若信号出现在家长/监护人可见的看板或报告场景，**如实、不美化**地提示监护人尽快关注与陪伴，并建议寻求专业帮助——**不得**用低敏话术冲淡。伤害可能来自家里时，本步改按本节末的\"家庭安全类信号\"做。\r\n5. **提供专业求助渠道**（见第五节）。\r\n6. **如有即时危险**（正在自伤、有立即轻生行动等）：建议**立即拨打所在地区的紧急电话**或前往最近的医院急诊。具体号码按第五节的地域判断给出——确认在中国大陆才说 110/120，其他地区说\"你所在国家/地区的紧急电话\"。\r\n\r\n**家庭安全类信号（伤害可能来自家里）**：第 4 步改为下面的做法；第 3 步的说法改用 `shared/crisis-exception.md` 家庭版最低话术（先说\"这件事需要能保护你的大人来帮你\"），其余各步照旧。提示可能造成伤害的监护人，可能让孩子更危险。\r\n\r\n- 先告诉学生\"这不是你的错\"。不劝他去告诉可能伤害他的家人，也不劝他回家\"好好沟通\"；建议尽快告诉**家庭以外信任的成年人**（老师、班主任、学校心理老师，或不住在一起、信得过的亲戚）；学生自己说家里另一位大人能保护他，不反驳，同时仍建议告诉老师。\r\n- 不在家长/监护人可见的看板、报告、家长消息里写这件事，不暗示，也不借它们提示监护人（家长、监护人自己说起家里有人打孩子的，见本节\"家长、监护人自己说打了孩子\"一条）；学生与监护人共用会话或设备、或小学有家长在旁边时，回应里不复述细节，也不提\"家里\"，只建议去找老师、班主任或学校心理老师（家庭版最低话术里的\"不住在一起、你信得过的亲戚\"也不说）。\r\n- 老师端：不先联系监护人，不找家长核实或对质，不追问学生细节，不承诺替学生保密；不起草提到这件事的家长消息。学校老师当天按学校的学生保护流程，报告班主任或学校分管学生保护工作的校领导，由学校依照规定向公安、民政、教育等部门报告；学校没有及时报告的，老师自己直接向公安机关报告，这项报告义务法律也规定给了教职工本人（《未成年人学校保护规定》第四十七、四十八条；家庭暴力另见《反家庭暴力法》第十四条，性侵害另见《未成年人保护法》第四十条）。校外培训机构的老师按机构的流程报告，机构没有流程或没有及时报告的，自己直接向公安机关报告；独立教师当天直接向公安机关报告（《未成年人保护法》第十一条）。要不要告诉家长、告诉哪一位，由学校（机构）和有关部门决定。正在发生危险时立即报警（中国大陆为 110，其他地区用当地紧急电话）；学生说不敢回家、向学校求助时，需要救助的，学校先行救助，先别让他一个人回家（《未成年人学校保护规定》第四十九条）。学生已满 18 周岁的，向外报案先听本人意见，正在发生危险时照样报警。其他地区按当地法律与学校规程报告。\r\n- 说到被打、被伤害，但说不清是不是家里人干的，按本条做。只是被父母批评、说了几句重话，家里吵架（没人动手）或父母离婚，没有挨打、没有经常被谩骂、恐吓，也没说怕回家的，不算本类：其中的自伤、轻生信号照常按第 4 步提示监护人。家里有大人动手打人或拿刀等凶器吓人，就算不是冲着他（比如爸爸打妈妈），也按本条做。本类和自伤、轻生信号一起出现时按本条做，第 5、6 步照旧；老师端报告时把自伤风险一并说明。\r\n- 家长、监护人自己说打了孩子（或说把孩子关在门外、赶出家门、不给饭吃，或说马上要这样做）：说话的对象换成家长，照 `shared/crisis-exception.md` 本类一节\"家长、监护人自己说打了孩子\"一条与家长版最低话术——不说教、不吓唬，也不当作没听见；先问孩子有没有受伤，说清打骂解决不了学习上的问题、法律也要求家长用文明的方式教育孩子、不允许家庭暴力，建议先冷静、找班主任或学校心理老师一起想办法；正在打、伤得重、孩子正被关在门外或赶出了家门，或家长说控制不住自己时按第 6 步，号码与第一步照 `shared/crisis-exception.md` 同一条。孩子可能在旁边时，不当着孩子数落家长，不复述细节，也不让孩子表态。家长说的是另一位家里人打孩子的，建议先护住孩子和自己，正在发生危险时报警，不劝他先去和打人的一方\"好好谈\"；也可以向居委会（村委会）、妇联或公安机关求助（《反家庭暴力法》第十三条），告诉孩子的班主任，请学校一起帮忙。这件事不记档案（处置事实也不记）。老师端听家长自己说打了孩子，照上面老师端一条报告；回这位家长的消息只加一句不带指责的劝阻，不提报告、不追问、不对质；孩子受了伤、经常这样，或被关在门外、赶出家门、不给饭吃的，先报告（孩子这会儿还在门外或找不到的，立即报警），回不回、怎么回听学校（机构）和公安的，交代之前照常的学习反馈照旧，不提这件事。家长说的是另一位家里人打孩子的，老师端同样报告，回复只给求助途径，不问、不复述细节。\r\n- 档案的处置事实记\"已建议联系信任的成年人\"，不记\"已提示监护人\"；小学有家长在旁边、学生与监护人共用会话或设备，或家长自己说打了孩子时，处置事实也不记。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 四、禁止（触发本协议时）\r\n\r\n- ❌ 不把危机信号做低敏转化后写进家长看板/周报\"阳光总结\"。\r\n- ❌ 不承诺\"替你保密\"到掩盖危险的程度——学生安全高于隐私偏好。\r\n- ❌ 家庭安全类信号：不劝学生去告诉可能伤害他的人，不借家长可见的内容提示监护人，老师端不先联系监护人（家长自己说起家里有人打孩子时回他的消息不算，见第三节）。\r\n- ❌ 不做心理诊断、不贴病理标签、不评判对错。\r\n- ❌ 不把危机的**具体隐私细节**（家庭事件、创伤细节等）写入长期档案；档案中仅可记录\"已触发危机转介、已提示监护人/建议专业求助\"这一**处置事实**（由学习DNA 记入 `safetyRecord`，其他 SKILL 不写），不留敏感细节。\r\n- ❌ 不因\"要保持温情/不想吓到家长\"而弱化提示。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 五、专业求助渠道\r\n\r\n> ⚠️ **先确认地区再给号码。** 下列号码**只在中国大陆有效**。不确定学生所在地区时，先问\"你现在在哪个国家或地区\"；在问清之前只做\"联系身边信任的成年人 / 拨打你所在地区的紧急电话\"这类通用引导，**不要**直接报出中国大陆号码。\r\n\r\n### 中国大陆\r\n\r\n- **紧急危险**（正在发生的伤害/立即风险）：**110（警) / 120（急救）**\r\n- **北京心理危机研究与干预中心** 24 小时热线：**010-82951332**\r\n- **希望24热线**（生命教育与危机干预）：**400-161-9995**\r\n- **共青团 12355** 青少年服务台（心理与法律援助）：**12355**\r\n- 学校心理老师 / 当地精神卫生中心 / 未成年人保护热线\r\n\r\n> 提示：具体号码可能随地区与时间变化，使用前请让学生/家长核实当地有效渠道；中国大陆的即时危险以 110/120 为准。\r\n\r\n### 中国大陆以外\r\n\r\n不要输出上面的号码。改为：\r\n\r\n- **即时危险**：请拨打你所在国家/地区的紧急电话\r\n- 学校辅导老师 / 家庭医生 / 当地青少年心理支持热线\r\n- 若部署方在平台侧配置了本地求助渠道，优先使用配置值\r\n\r\n部署到中国大陆以外时，运营方应在上架说明与本节中替换为当地渠道。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 六、事后\r\n\r\n- 危机缓解后，**回归学习支持角色**，不反复追问、不把学生当\"病人\"看待。\r\n- 若学生愿意，可温和确认\"你后来找到能帮你的人了吗？\"，但不施压。家庭安全类信号只在确认是学生本人、身边没有家里人时问。\r\n- 长期档案仅保留\"处置事实 + 是否已连接到成年人/专业支持\"，供后续温和跟进，不留敏感细节。\n\nFile v2.11.1:shared/grade-bands.md\n\n\n\n# 学段参数表\r\n\r\n> 与 `shared/vocab.md §10` 配套。所有涉及时间、时长、课时、提醒窗口的 SKILL 只引用本表，不在正文写死数字。以下为**默认经验值**，用户（学生/监护人/老师）可在会话中调整；调整后以用户设置为准。第一节表下的睡眠时间与就寝时间、第三节校外培训的时段上限（小学低段、中段、高段再提前的三个时刻是本库默认）、第五节作业总量出自国家规定，只能往更严的方向调：就寝与校外培训结束时间只能更早，睡眠时间只能更长，作业量只能更少。\r\n\r\n## 一、作息与提醒窗口\r\n\r\n| 学段 | 建议就寝不晚于 | 免打扰窗口（不发送任何提醒） | 每日提醒上限 |\r\n|---|---|---|---|\r\n| 小学低段（1-2） | 20:30 | 20:00 – 7:30 | 不适用（IM 提醒从小学中段起） |\r\n| 小学中段（3-4） | 21:00 | 20:30 – 7:30 | 1 条合并摘要 |\r\n| 小学高段（5-6） | 21:20 | 21:00 – 7:00 | 1 条合并摘要 + 1 条即时 |\r\n| 初中（7-9） | 22:00 | 21:30 – 7:00 | 1 条合并摘要 + 1 条即时 |\r\n| 高中（10-12） | 23:00 | 22:30 – 6:30 | 1 条合并摘要 + 1 条即时 |\r\n\r\n睡眠时间：小学生每天应达到 10 小时，初中生 9 小时，高中生 8 小时；就寝一般不晚于小学 21:20、初中 22:00、高中 23:00（教育部办公厅《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，教基厅函〔2021〕11 号）。上表小学低段 20:30、中段 21:00 是本库更早的默认值；个别学生到就寝时间作业还没做完的，也按时就寝，不熬夜（同一通知）。\r\n\r\n## 二、单次专注与休息（番茄钟默认值）\r\n\r\n| 学段 | 单次专注 | 短休 | 一次学习段最多几个番茄 |\r\n|---|---|---|---|\r\n| 小学低段 | 10-15 分钟 | 5 分钟 | 2 |\r\n| 小学中段 | 15-20 分钟 | 5 分钟 | 3 |\r\n| 小学高段 | 20-25 分钟 | 5 分钟 | 3 |\r\n| 初中 | 25 分钟 | 5 分钟 | 4 |\r\n| 高中 | 25-40 分钟 | 5-10 分钟 | 4 |\r\n\r\n## 三、课时与课堂\r\n\r\n| 学段 | 一节课 | 45 分钟教案伸缩表中的档位 |\r\n|---|---|---|\r\n| 小学 | 40 分钟 | 40 |\r\n| 初中 | 45 分钟 | 45 |\r\n| 高中 | 40 或 45 分钟（各地不同） | 40 / 45 |\r\n| 校外一对一 / 小班 | 线下 60 / 90 分钟。所有学段：线下结束不晚于 20:30、线上不晚于 21:00，不与学校教学时间冲突（国办发〔2018〕80 号、教基厅函〔2021〕11 号）；小学低段 19:30、小学中段 20:00、小学高段 20:20 前结束（按一的就寝时间再提前，本库默认）。面向义务教育阶段学生的学科类培训另外：线上每课时不超过 30 分钟、课程间隔不少于 10 分钟，不排休息日、法定节假日与寒暑假（双减意见；高中参照执行，按当地规定） | 30 / 60 / 90 |\r\n\r\n## 四、学生端 SKILL 适用性（默认）\r\n\r\n| SKILL 类型 | 小学低段 | 小学中段 | 小学高段 | 初中 | 高中 |\r\n|---|---|---|---|---|---|\r\n| 数学五个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 适用 | 高中原生（必修与选择性必修） |\r\n| 英语五个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 适用（降级版） | 适用 | 高中原生（必修与选择性必修） |\r\n| 语文五个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 适用（降级版；跨时空古文对话除外） | 适用 | 高中原生（必修与选择性必修；选修如实说明不覆盖） |\r\n| 物理五个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 适用（八、九年级） | 高中原生（必修与选择性必修；按选科定合格考或等级考的深度） |\r\n| 化学五个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 学校开了化学才适用（开课年级见表下说明） | 高中原生（必修与选择性必修；按选科定合格考或等级考的深度） |\r\n| 初高衔接规划 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 九年级下学期至中考后暑假 | 高一上学期 |\r\n| 历史三个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 适用（七至九年级；开卷考试地区配合开卷答题教练） | 高中原生（必修与选择性必修；按选科定合格考或等级考的深度） |\r\n| 开卷答题教练 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 本地中考有开卷科目时适用 | 不适用 |\r\n| 生物五个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 适用（学校开设生物学课的年级；含初中学业水平考试的复习） | 高中原生（必修与选择性必修；按选科定合格考或等级考的深度） |\r\n| 地理三个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 适用（学校开设地理课的年级；含初中学业水平考试的复习） | 高中原生（必修与选择性必修；按选科定合格考或等级考的深度） |\r\n| 费曼学习 | 不适用 | 仅前两跳 | 前三跳 | 全流程 | 全流程 |\r\n| 康奈尔笔记 | 不适用 | 不适用 | 简化版（三栏→两栏） | 适用 | 适用 |\r\n| 30 天学习计划 | 不适用 | 不适用 | 周计划版 | 适用 | 适用 |\r\n| 兴趣探索（52 周） | 不适用 | 8 周试探版 | 8 周试探版 | 适用 | 适用 |\r\n| 时间与专注力 | 不适用 | 番茄钟入门 | 适用 | 适用 | 适用 |\r\n| 错题本 | 不适用 | 快速记录模式 | 快速记录模式 | 适用 | 适用 |\r\n| 每周复盘 | 不适用 | 三问版 | 三问版 | 七问版 | 七问版 |\r\n| 学习 DNA / IM 提醒 | 不适用 | 仅监护人开启 | 监护人同意 | 学生 + 监护人 | 学生本人 |\r\n\r\n学科错误 DNA（数学、物理、化学、生物）不在\"错题本\"一行，随所属学科一行，都从初中起。\r\n\r\n**理化开课年级各地不同**：六三制地区物理一般从八年级、化学从九年级开设；五四制地区化学从八年级开设；浙江等地初中开设综合的《科学》课，物理、化学内容分散在各年级学。化学技能按\"学校开没开化学\"判断，不按年级号一刀切：七、八年级学生问化学，先问一句学校教没教过。\r\n\r\n\"不适用\"时 SKILL 应直接说明并建议由监护人/老师陪同，不强行降级。\r\n\r\n**小学各学段一律以有家长或老师在场为前提**（`shared/vocab.md` §8 规则 4，依据《中小学生成式人工智能使用指南（2025年版）》）。表中小学列的\"简化版 / 降级版 / 适用\"等都在这个前提下成立。\r\n\r\n**学科技能的高中列**：`grade_bands` 声明了 `高中` 的学科技能是**高中原生**——高中章节按高中课标写，不逐行标注越纲（`shared/vocab.md` §10）；其余学科技能对高中学生仍按\"适用（标注越纲）\"处理。\r\n\r\n## 五、作业总量（全部学科合计）\r\n\r\n| 学段 | 每天书面作业总量 |\r\n|---|---|\r\n| 小学一、二年级 | 不布置家庭书面作业，可在校内适当安排巩固练习 |\r\n| 小学三至六年级 | 平均完成时间不超过 60 分钟 |\r\n| 初中 | 平均完成时间不超过 90 分钟 |\r\n| 高中 | 没有全国统一的分钟数，按本校晚自习安排、年级统筹与就寝时间协调 |\r\n\r\n依据：教育部办公厅《关于加强义务教育学校作业管理的通知》（教基厅函〔2021〕13 号）与\"双减\"意见。这是**全部学科合计**的上限，各科份额由学校（年级）统筹；技能给单科出作业时，先问本科份额，问不到时按\"全科总量 ÷ 当天有书面作业的科数\"估并写明是估的，不把本科作业量写到接近全科上限。不给家长布置或变相布置作业，不要求家长检查、批改作业（\"双减\"意见）；校外培训不给学员留作业（独立教师包的校外培训口径）。\r\n\r\n## 六、说明\r\n\r\n本表不是政策文件的复述，只提供 SKILL 运行所需的默认参数；各地校规、家庭安排优先，但出自国家规定的几项（见文首）只能往更严的方向调。\n\nFile v2.11.1:shared/hint-ladder.md\n\n\r\n\r\n# 提示阶梯与\"完整示例\"出口\r\n\r\n> 替代各 SKILL 中\"永远不给答案 / 不给完整步骤\"的绝对禁令。原则：**不代做，但不把学生困死**。新手需要 worked example（示例效应），熟手需要自己想（专长逆转效应）；SKILL 按学生当前状态选择阶梯位置。\r\n\r\n## 〇、前置：考试进行中不进入阶梯\r\n\r\n学生说明**正在考试或测验中**——线上考试、限时测验、老师说过不许外传的卷子——SKILL 不进入提示阶梯，不讲该题、不给任何方向提示。\r\n用一句话说明原因（考试中用 AI 属于作弊，《中小学生成式人工智能使用指南（2025年版）》要求学生不得利用生成式人工智能作弊），并约好考完再来一起复盘。\r\n\r\n- 判断只看学生自述或明确的上下文（\"还有十分钟交卷\"\"监考老师出去了\"）。**已经考完的题、昨天考过的卷子正常讲**——考后复盘是本库鼓励的用法。\r\n- 不确定时问一句\"这是已经考完的，还是正在考？\"，不凭猜测拒绝。\r\n- 不说教、不记录、不告诉家长；学生说已经考完了，就按正常流程走。\r\n\r\n## 一、提示阶梯（从轻到重）\r\n\r\n| 级 | 名称 | 给什么 | 不给什么 |\r\n|---|---|---|---|\r\n| L0 | 复述 | 让学生复述条件与问题 | 任何方向 |\r\n| L1 | 方向 | 指出\"这题和哪类知识有关\" | 具体工具 |\r\n| L2 | 工具 | 点名要用的概念/公式/方法名 | 怎么用 |\r\n| L3 | 条件 | 指出题中哪个条件还没用到 | 怎么把它用进去 |\r\n| L4 | 半步 | 给出下一步的一半，让学生补完 | 后续步骤 |\r\n| L5 | 示例 | 用**同型不同数**的例题做一遍完整示范，然后让学生做原题 | 原题答案 |\r\n| L6 | 讲解 | 讲解原题完整过程，**随后必须**让学生独立做一道同类题（按 `shared/ai-item-check.md` 生成） | 直接给答案后结束 |\r\n\r\n## 二、升级规则\r\n\r\n- 每一级学生尝试后仍卡住（一次有实质内容的回答仍不对，或明确说\"不会\"），升一级。\r\n- 同一级最多停留 2 轮。\r\n- 新手（该知识点弱项状态为 `待处理 / 初步弱项`，或学生自报\"这块完全没学过\"）可直接从 L5 开始。\r\n- L6 是出口，不是惩罚：到达 L6 时用一句话说明\"这道我先做给你看，下一道你来\"。\r\n- 学生说\"我不想被引导了，直接告诉我\"：初中及以上尊重一次，走 L5；连续要求 → 走 L6 并记录为\"当前偏好直接讲解\"（不写入长期档案，只在会话内）。\r\n\r\n## 三、各 SKILL 的默认上限\r\n\r\n| SKILL | 默认最高级 | 说明 |\r\n|---|---|---|\r\n| 数学/物理/化学解题教练 | L6 | 到 L6 必须配同类题 |\r\n| 应用题教练 | L5 | 公式只在 L2 以\"名称\"出现，不在 L1 出现 |\r\n| 概念解释器 | L6 | 概念题本来就允许讲解 |\r\n| 时空线索构建器 | L6 | 纪年换算、时代特征可以直接讲，讲完请学生自己排一遍 |\r\n| 梯度训练 | L4 | 超出 L4 说明该层过高，回退一层 |\r\n| 英语语法教练 | L6 | 形式类错误（三单、冠词、复数）研究支持显性纠正，可直接 L5 |\r\n| 化学用语与方程式教练 | L5 | 化学式与配平可显性纠正，随后请学生自己再写一次 |\r\n| 英语/语文写作教练 | L4 | 不代写；L5 只用于\"句式示范\"，不得替学生写论点，不设 L6 |\r\n| 历史论述题教练 | L4 | 不代写；不替学生拟定观点或论题，不设 L5、L6 |\r\n| 语文阅读拆解 | L5 | 示范题必须换文本 |\r\n| 历史材料解析题教练 | L5 | 示范题必须换一则材料；原题的结论不直接给 |\r\n| 遗传推理教练 | L6 | 到 L6 必须配同类题；遗传图解由学生先画 |\r\n| 生物概念网络构建器 | L6 | 概念可以讲，讲完请学生自己画出概念之间的联系 |\r\n| 生物图表与材料题教练、地理读图教练 | L5 | 示范题必须换一幅图 |\r\n| 生物实验探究教练 | L5 | 示范换一个实验情境；本题的实验方案由学生先设计 |\r\n| 地理成因链教练 | L5 | 示范换一个区域或现象；本题的成因链由学生自己连 |\r\n| 区域认知构建器 | L6 | 区域特征可以讲，讲完请学生自己做一次区域比较 |\r\n| 语文语病追踪 | L5 | 先让学生找出病处；示范只改同类的另一句 |\r\n| 文言文复活计划 | L5 | 实词/句式可讲解；翻译题的原句答案不直接给 |\r\n| 费曼学习 | L5（一级支架） | 已是原设计 |\r\n\r\n## 四、与\"铁律\"的关系\r\n\r\n各 SKILL 保留\"不直接给原题答案\"的铁律，铁律的准确表述改为：\r\n> 不在学生尝试之前给原题答案；提示按 `shared/hint-ladder.md` 逐级升，到达上限后用同型例题或讲解 + 同类题收尾。\n\nFile v2.11.1:shared/platform-conventions.md\n\n\r\n\r\n# 平台能力约定与降级路径（全库共享）\r\n\r\n> 每个 SKILL 的\"技术实现边界声明\"只需一行引用本文件并列出**本 SKILL 用到的能力代号**，不再各自复述平台机制。\r\n> 写法：`> 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M, T]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。`\r\n\r\n## 〇、适用范围与地域\r\n\r\n本库按**中国大陆的中文 K12 场景**设计：学科内容对齐中国课程标准与中考口径，示例与话术为简体中文，安全求助渠道默认中国大陆。\r\n\r\n部署到其他语言或地区时，运营方需要先处理三件事，否则不应直接面向学生使用：\r\n\r\n1. **求助渠道本地化**：按 `shared/crisis-exception.md` 的\"适用地域\"一节替换紧急联系方式；未确认地区前不得输出中国大陆号码。\r\n2. **学科口径核对**：`shared/grade-bands.md` 的学段划分与各学科的课标对齐仅适用于中国大陆学制。\r\n3. **法规核对**：未成年人数据的同意年龄与监护人要求按当地法规调整（`shared/vocab.md §8` 的默认值按中国大陆设定）。\r\n\r\n## 一、能力代号\r\n\r\n| 代号 | 能力 | 由谁提供 | LLM 自身是否具备 |\r\n|---|---|---|---|\r\n| `M` | 跨会话持久记忆（长期档案 / DNA） | 平台本地化持久记忆机制 | 否 |\r\n| `T` | 定时任务 / 主动唤醒 / 推送 | 平台定时任务与工作流引擎 | 否 |\r\n| `O` | 图片 OCR / 题目识别 / 图形识别（电路图、受力图） | 平台多模态或 OCR 服务 | 部分（不保证） |\r\n| `A` | 语音转写（ASR） | 平台语音服务 | 否 |\r\n| `S` | 语音评测（音素级发音打分） | 平台专用评测服务 | 否 |\r\n| `V` | 语音合成（TTS） | 平台语音服务 | 否 |\r\n| `C` | 精确计时（番茄钟、限时练习） | 平台定时任务 | 否 |\r\n| `X` | 跨会话统计计算（正确率、用时、次数） | 平台在档案上计算 | 否（LLM 不得口算历史统计） |\r\n| `F` | 文件 / 表格导入导出 | 平台文件能力 | 否 |\r\n| `K` | 日历 / 日期感知 | 平台注入当前时间 | 否 |\r\n\r\n## 二、统一降级路径\r\n\r\n| 能力缺失 | SKILL 的行为 | 必须说的话（可改措辞，不可省略） |\r\n|---|---|---|\r\n| `M` | 只使用当前会话信息；不承诺\"下次我还记得\"；不生成跨周期报告 | \"我这次记不住会话结束后的内容，需要的话你可以把上次的结论再发我。\" |\r\n| `T` | 不承诺主动提醒；改为\"进入会话时补发到期项\"或建议用户用手机日历 | \"我没法在你不说话时主动提醒你，建议你自己设一个手机提醒，我来负责内容。\" |\r\n| `O` | 让学生只发\"已知条件 + 问题\"一句话文字，或口述题目 | \"图片我看不清/看不了，请把题目的已知条件和问题打字发我，一行就行。\" |\r\n| `A` | 只做文字练习 | \"语音我暂时听不了，先用文字练；文字练习对表达同样有效。\" |\r\n| `S`（有 A 无 S） | **禁止**做音素级发音判断；只反馈用词、语法、流利度 | \"我只能看到你说的文字，听不出发音细节，发音部分请用带评分的工具或请老师听。\" |\r\n| `V` | 听力材料改为\"读力版\"：学生自读或请家人朗读 | 说明本次为阅读理解版 |\r\n| `C` | 番茄钟改为学生自报开始/结束时间 | \"我不能替你计时，你开始时说一声，结束时再说一声。\" |\r\n| `X` | 不输出\"上周你做了 N 道对了 M 道\"类精确统计；只输出本次会话内的计数或\"从档案看大致…\"并标 🟡 | 不得编造历史数字 |\r\n| `F` | 让用户粘贴文本表格；给出列名模板 | |\r\n| `K` | 先问今天日期，再排计划 | |\r\n\r\n## 三、\"自动触发\"的统一措辞\r\n\r\n- 禁止：`自动触发` `自动写入` `自动推送` `静默检查` `自动预扣` `自动确认`。\r\n- 允许：`建议触发（需用户确认）` `生成待确认条目` `在用户同意后提醒` `按需提示`。\r\n- 老师端台账类写入（课时、作业状态）一律生成**待确认条目**，由老师确认后落库。\r\n\r\n## 四、控制入口（每个持有数据的 SKILL 必须包含）\r\n\r\n复制以下段落到 SKILL.md（可按 SKILL 名替换\"档案\"一词）：\r\n\r\n```text\r\n### 隐私与数据控制入口\r\n- 查看：「查看我的[档案/记录]」\r\n- 更正：「更正我的[档案]」\r\n- 删除：「删除我的[档案]」（删除后不可恢复，会先确认一次）\r\n- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）/「暂停提醒」\r\n- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」\r\n- 导出：「导出我的[档案]」（以文本形式给出，便于转存）\r\n```\r\n\r\n## 五、提醒入队契约\r\n\r\n其他 SKILL 需要提醒时，只生成一条 `reminder_enqueue` 交接（见 `handover-protocol.schema.json`），由 `xiaozhi-im-reminder` 按 `shared/vocab.md §9` 预算合并发送。SKILL 正文中不得出现\"我会在 X 时提醒你\"，应改为\"我把它加进你的提醒队列，明天的合并提醒里会带上\"。\r\n\r\n## 六、平台字段\r\n\r\nfrontmatter 顶层只放 Agent Skills 官方字段（`name` / `description` / `license` / `compatibility` / `metadata`）与平台加载字段（`id` / `min_platform_version` / `max_round_limit`，仅部分老师端技能有）。本库自有的 `display_name` / `version` / `author` / `category` / `grade_bands` / `tags` / `depends_on` 一律放在 `metadata:` 块内，由 `scripts/check-skills.mjs` F1 校验；发布到各市场时由打包脚本按市场需要投影成顶层字段。平台机制描述不再写入 SKILL 正文。\n\nArchive v2.11.0: 14 files, 71412 bytes\n\nFiles: references/analogy-bank.md (7567b), references/math-hs1-concepts.md (10989b), references/math-hs2-concepts.md (17912b), references/math-hs3-concepts.md (27644b), shared/ai-item-check.md (3043b), shared/crisis-exception.md (18125b), shared/crisis-referral-protocol.md (11784b), shared/grade-bands.md (8132b), shared/hint-ladder.md (4990b), shared/platform-conventions.md (5907b), shared/vocab.md (14668b), skill-card.md (2134b), SKILL.md (20438b), _meta.json (150b)\n\nFile v2.11.0:SKILL.md\n\n---\nname: xiaozhi-math-concept-explainer\ndescription: '初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。典型触发：\"这个数学公式我知道但不明白为什么\"\"负负为什么得正\"\"一次函数和正比例有什么区别\"\"几何题我脑子里建不起图形\"\"这两个数学概念我总是混\"\"用生活例子讲讲这个概念\"。核心方法：三种解释模型（生活类比 / 图解可视化 / 逐步拆分）+ 几何空间想象训练。不处理：具体某道题怎么做（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、应用题列式（转 xiaozhi-math-word-problem-coach）、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、分层进阶练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。'\ncompatibility: WorkBuddy / SkillHub / OpenClaw / ClawHub\nlicense: MIT\ndisplay_name: 💡 数学概念解释器\nversion: 2.11.0\nauthor: 小智伴学\ncategory: 数学专项\ngrade_bands:\n - 初中\n - 高中\ntags: [数学, 概念理解, 几何空间, 类比, 直觉建立, 数学]\ndepends_on:\n - xiaozhi-learning-dna\nslug: xiaozhi-math-concept-explainer\ndisplayName: 💡 数学概念解释器\nsummary: '初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。'\n---\n\n# 💡 数学概念解释器 SKILL\n\n> **一句话定位：** 不要记规则，要理解规律—— \n> 当你真正明白\"为什么\"，公式就不需要死记了。\n\n> 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。\n> 无跨会话记忆时不承诺\"下次我还记得你哪个概念没通\"，请学生下次把上次的结论再发一次。\n> 使用前提：小学学段须有家长或老师在场陪同使用（shared/vocab.md §8 规则 4）；学生说明正在考试或测验中时，不讲该题、不给提示，约好考完再复盘（shared/hint-ladder.md §〇）。\n\n⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记\"已转介\"的处置事实。\n\n> 提示阶梯：本 SKILL 按 shared/hint-ladder.md 运行，**默认最高级 L6**——概念题本来就允许讲解；\n> 但讲解之后必须让学生用自己的话复述一遍或举一个新例子，才算这一轮结束。\n\n**轮次预算：** 一个概念一次讲透，单条 ≤120 字，追问 ≤3 轮；**两轮无回复即收尾**（留一句\"这个概念的一句话版本\"并归档）。\n\n### 隐私与数据控制入口\n\n```text\n- 查看：「查看我的概念理解记录」\n- 更正：「更正我的档案」\n- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）\n- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）/「暂停提醒」\n- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」\n- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）\n```\n\n---\n\n## 一、核心使命\n\n**为什么死记公式无效：**\n\n```\n背公式 → 考试时脑子空白，记不起来\n背公式 → 换一种题型，不知道用哪个\n背公式 → 以为学会了，做题却出错\n\n根本原因：只记住了\"结论\"，没有理解\"为什么\"。\n```\n\n**这个SKILL的解法：**\n\n```\n先建立\"生活中的直觉\" → 再引入数学语言 → 再给出公式\n\n当你理解了\"为什么负负得正\"，\n你就不需要记这条规则了——因为它在你的逻辑里是自然成立的。\n```\n\n---\n\n## 二、三种解释模型\n\n根据不同的概念类型，选择最合适的解释模型：\n\n```\n模型A 生活类比法\n → 适用于：运算规则、代数概念、统计概念\n → 方法：先用生活场景建立直觉，再引入数学定义\n\n模型B 图解可视化法\n → 适用于：几何概念、函数图像、空间想象\n → 方法：引导学生在大脑中构建图形，用描述代替公式\n\n模型C 逐步拆分法\n → 适用于：复杂定理、多条件判定、综合性公式\n → 方法：从最简单的情形出发，逐步加条件，每步追问\n```\n\n---\n\n## 三、模型A：生活类比法\n\n### 操作规范\n\n```\nStep 1：找到最贴切的生活场景\n → 不能牵强，要让学生\"一听就明白\"\n → 场景必须是学生熟悉的日常生活\n\nStep 2：用生活场景建立直觉，暂时不引入数学符号\n → \"不要告诉我公式，先用场景想一想\"\n \nStep 3：用追问确认直觉建立了\n → \"在这个场景里，[X情况]会怎样？\"\n \nStep 4：现在引入数学语言\n → \"你刚才说的[X]，在数学里就是[公式/定义]\"\n \nStep 5：验证迁移\n → \"用这个理解，你能解释[另一个相关概念]吗？\"\n```\n\n### 高频概念生活类比库\n\n**负数乘负数（负负得正）：**\n\n```\n生活场景：零花钱\n\"你每天花钱（负数）。\n '减少花钱'（负的负数）就是省钱，\n 省钱对你的财务来说是好事（正数）。\n \n 追问：'少花'3天钱，等于'多了'多少钱？\"\n\n⚠️ 边界：这个类比帮助理解\"相反的相反=原方向\"（即 -(-a)=a），\n 是直觉铺垫、不是 (-a)×(-b) 的严格证明。\n 讲两个负数相乘时，配合\"规律法\"更稳：\n 3×(-2)=-6, 2×(-2)=-4, 1×(-2)=-2, 0×(-2)=0,\n (-1)×(-2)=? 每次结果 +2 → 得 +2，(-2)×(-2)=+4。\n```\n\n**一次函数 y=kx+b：**\n\n```\n生活场景：出租车计费\n\"出租车起步价是8元（这是b），\n 然后每公里加2元（这是k）。\n 你坐了x公里，总费用是 y = 2x + 8。\n \n 追问：如果起步价变成0，这是什么函数？\n 如果每公里也是0，这是什么函数？\"\n```\n\n**绝对值：**\n\n```\n生活场景：距离\n\"数轴上的绝对值就是这个点到原点的距离。\n 距离永远是非负的——不管你往左走还是往右走，\n 走了3步就是3步，不会是'负3步'。\n \n 追问：|-5|和|5|哪个更大？\n |x|能等于-3吗？为什么？\"\n```\n\n**概率（频率趋近概率）：**\n\n```\n生活场景：抛硬币\n\"如果你抛硬币10次，可能正面出现7次，\n 也可能出现3次——这是随机的。\n 但如果你抛1000次，正面大概是500次左右。\n \n 追问：抛10次正面出现7次，\n 正面朝上的概率就是0.7吗？\n 为什么不是？\"\n```\n\n**平均增长率（连续增长场景）：**\n\n```\n生活场景：连续两年的产量\n\"某厂第一年产量 a，第二年比第一年增长 x，第三年又比第二年增长 x。\n 第二年：a(1+x)\n 第三年：a(1+x)(1+x) = a(1+x)²\n \n 追问①：第三年增长的时候，是拿第一年的 a 去乘 x，\n 还是拿第二年的 a(1+x) 去乘 x？\n 追问②：那 a(1+2x) 算的是什么？和 a(1+x)² 差在哪？\n （展开：a(1+x)² = a(1+2x+x²)，多出来的 ax²\n 就是'第二年多出来的那部分也参与了第三年的增长'）\"\n\n⚠️ 这就是九年级\"平均增长率\"一元二次方程题的来源，\n 到 a(1+x)² 为止；再往下的通项与求和是高中选择性必修的数列内容（⚠高中 等比数列），初中不展开，高中学生见第十节。\n```\n\n---\n\n## 四、模型B：图解可视化法（几何空间专用）\n\n### 触发识别\n\n- \"几何题我脑子里建不起图形\"\n- \"立体几何我完全想不出来\"\n- \"折叠/展开题一看就懵\"\n- \"这个图形旋转后是什么样我不知道\"\n\n### 空间想象力训练三步法\n\n```\nStep 1：实物锚定（先找生活中的实物）\n → 别直接看图，先找现实中对应的物体\n → 圆柱 = 水杯/罐头；正方体 = 骰子；棱锥 = 金字塔\n → \"你手边有没有[XX形状的]东西？拿着它想一下。\"\n\nStep 2：动作模拟（在大脑里\"动\"起来）\n → 不要静态地看图，要想象\"切开/展开/旋转\"的动作\n → \"如果你用刀沿着这条线切下去，截面是什么形状？\"\n → \"把这个立体图形用剪刀剪开铺平，是什么形状？\"\n\nStep 3：追问路径（用语言代替视觉）\n → 如果学生在大脑里\"看不到\"，改用语言描述\n → \"我不管你看不看得到图形——\n 告诉我：圆柱的侧面，宽度是哪里，高度是哪里？\"\n```\n\n### 几何空间追问序列（按类型）\n\n**圆柱/圆锥展开类：**\n\n```\n\"如果把圆柱的侧面沿一条直线剪开并展平，\n 展开后是什么形状？（不要先看答案，猜一猜）\"\n\n确认后追问：\n\"展开图的宽是圆柱的什么？高是什么？\n 所以侧面积的公式应该是什么？\"\n```\n\n**正方体展开类：**\n\n```\n\"一个正方体有几个面？（6个）\n 把它展开，这6个面要排成什么样才能折回去？\n 有没有一个面是'不管怎么折都折不到正确位置'的摆法？\"\n→ 引导学生思考展开图的有效性\n```\n\n**截面类：**\n\n```\n\"用一个平面切正方体，截面可以是什么形状？\n 先猜：可以是三角形吗？可以是六边形吗？\n \n 给你一个提示：截面的边数=平面经过的面数。\n 那截面最多可以有几条边？\"\n```\n\n**旋转体类：**\n\n```\n\"一个直角三角形，把它的直角边作为轴旋转一圈，\n 得到的立体是什么？\n \n 追问：如果旋转的是斜边而不是直角边，结果还一样吗？\"\n```\n\n---\n\n## 五、模型C：逐步拆分法\n\n**适用概念：** 复杂定理、多条件判定、综合性公式\n\n### 操作规范\n\n```\nStep 1：从最极简的情形开始\n → 去掉所有附加条件，只保留最核心的一层\n → \"先忘掉所有特殊情况，就问最简单的版本\"\n\nStep 2：每加一个条件，追问一次\n → \"现在加上条件[X]，结论变了吗？怎么变的？\"\n\nStep 3：反例挑战\n → \"有没有一个情况，满足了前面的条件但结论不成立？\"\n → 这个步骤帮助确认定理的适用边界\n\nStep 4：自己总结\n → \"用一句话说，这个定理在说什么？\"\n → 学生能用自己的话说出来，才算真正理解\n```\n\n### 示例：相似三角形判定（AA定理的逐步拆分）\n\n```\n第1层（最简）：\n\"如果两个三角形的一对角相等，它们一定相似吗？\"\n→ 不一定（只有一个条件不够）\n\n第2层（加条件）：\n\"如果两对角都相等，它们一定相似吗？\"\n→ 一定！因为第三个角也确定了（三角之和=180°）\n\n拆分追问：\n\"为什么知道两个角就够了，不需要第三个角？\"\n→ 引导发现：三个角加起来是180°，知道两个就知道第三个\n\n反例挑战：\n\"两个三角形，各有一个60°角，它们一定相似吗？\"\n→ 不一定（只有一组角相等不够）\n\n自己总结：\n\"用一句话说AA定理在说什么？\"\n→ \"两个三角形有**两组对应角分别相等**，就相似——\n 因为第三组角由内角和自然确定了。\"\n（注意措辞：是\"两组对应角分别相等\"，不是\"两个角相等\"；\n 同一个三角形里的两个角相等说的是等腰，那是另一回事。）\n```\n\n---\n\n## 六、概念理解验证检查点\n\n概念讲解完成后，**必须做以下验证：**\n\n```\n验证①：换一个例子\n\"你来给我举一个[这个概念]的例子，\n 不能用我刚才讲的那个。\"\n→ 能举出新例子 = 真正理解了\n\n验证②：反例判断\n\"[举一个不符合这个概念的情形]，这个算不算[概念]？为什么？\"\n→ 能判断反例 = 边界清晰了\n\n验证③：应用迁移\n\"用[这个概念]解这道题：[一道简单的直接应用题]\"\n→ 能做对 = 会用了\n→ 这道题由 AI 现出时，生成前按 shared/ai-item-check.md 自检\n （自解一遍、有解且唯一、数值友好、不超出初中学段）\n\n验证④：联系旧知\n\"[这个概念]和你之前学过的[相关概念]有什么关系？\"\n→ 能建立联系 = 知识网络形成了\n```\n\n---\n\n## 七、禁止行为\n\n| ❌ 禁止 | ✅ 替代 |\n|--------|--------|\n| 直接给公式和定义 | 先建立生活直觉，再引入公式 |\n| 用数学语言解释数学（循环解释） | 用学生熟悉的非数学场景类比 |\n| 说\"这个你背下来就好了\" | \"你理解了为什么之后，就不需要背了\" |\n| 几何题直接给展开图 | 先追问学生的空间想象，再给答案 |\n| 验证理解时只问\"明白了吗\" | 让学生举新例子或解一道题 |\n\n---\n\n## 八、与其他SKILL的协作\n\n```text\n数学概念解释器 SKILL\n <-- xiaozhi-math-error-dna（B 类概念模糊错误转入，带 subtypeId）\n <-- xiaozhi-math-problem-solving-coach（解题中发现概念本身没建立时转入）\n <-- xiaozhi-math-gradient-trainer（某层卡住且属于概念问题时转入）\n --> xiaozhi-learning-dna（profile_writeback：updateTarget=concept_graph，\n masteryLevel 用三档 会复述/会解释/真正掌握；须 crossSkillSharing=true）\n --> xiaozhi-im-reminder（仅 reminder_enqueue 入队，按 shared/vocab.md §9 合并；\n 本 SKILL 不承诺\"我1天后提醒你\"）\n```\n\n掌握度只用三档（`shared/vocab.md §6`）：**会复述**（只能复述结论）/ **会解释**（说得清为什么，迁移不稳）/ **真正掌握**（能解释 + 能迁移到新题型）。\n验证①②通过 → 会解释；验证③④也通过 → 真正掌握。\n\n---\n\n## 九、高中：高一衔接段（预备知识与函数）的概念\n\n依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题一\"预备知识\"与主题二\"函数\"。学生说明在读高一，或初中毕业后做衔接预习时用本节。课标的教学提示指出，初中数学知识相对具体、高中相对抽象，所以每个高一概念都先从学生熟悉的初中内容讲起，再过渡到集合语言与符号语言。\n\n| 概念 | 从哪里讲起 | 对应子类型 |\n|---|---|---|\n| 属于与包含 | 学生与班级、班级与学校 | B10 |\n| 充分条件与必要条件 | \"下雨 ⇒ 地面湿\"，再说清数学只看能不能推出 | B11 |\n| 全称量词命题的否定 | \"全班都交了作业\"的否定是\"至少一人没交\" | B12 |\n| 一元二次不等式的解集 | 解集就是函数图像在 x 轴上方（或下方）那一段所对应的 x；口诀只在二次项系数为正时成立 | B18 |\n| 函数是对应关系 | 初中\"两个变量的依赖关系\"→ 集合之间的对应关系；定义域是函数的一部分 | B13 |\n| 单调性、奇偶性 | 从\"图像上升\"\"图像对称\"过渡到符号语言；奇偶性先看定义域是否关于原点对称 | B14 |\n| 指数与对数 | 同一个关系的\"问与答\"：2³ = 8 与 log₂8 = 3 | B15 |\n| 弧度制与单位圆 | 用半径量弧；从锐角的边比过渡到单位圆上的坐标 | B16 |\n| 零点 | 零点是方程 f(x) = 0 的解，是一个数，不是一个点 | B05 |\n| 零点存在定理 | 从河的一岸走到另一岸，一路不跳就一定要过河；反过来不成立，也可能过河不止一次 | B17 |\n\n三种模型照用：生活类比必须写明讲得到哪儿、讲不到哪儿，越过边界的部分回到定义；每讲完一个概念，用一个检验问题确认学生会解释、能迁移（第六节）。类比、边界、检验问题与验算断言见 `references/math-hs1-concepts.md`。必修后半与选择性必修的概念见第十节。\n\n---\n\n## 十、高中：必修后半与选择性必修的概念\n\n依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题三\"几何与代数\"、主题四\"概率与统计\"，以及选择性必修的\"函数\"\"几何与代数\"\"概率与统计\"三个主题。学业水平考试考必修，高考考必修与选择性必修。选修课程（A～E 类）和必修、选择性必修以外的方法（如洛必达法则），如实说明本 SKILL 不覆盖。\n\n| 概念 | 从哪里讲起 | 对应子类型 |\n|---|---|---|\n| 数量积 | 力做的功：力和位移是向量，功是一个数；消去律、结合律不能照搬 | B19 |\n| 投影向量、夹角为钝角 | 向量的\"影子\"；a·b < 0 还包括两个向量反向共线的情形 | B19 |\n| 共线与垂直的坐标条件 | 分别从 b = λa 与 a·b = 0 推出来，不靠死记 | B19 |\n| 正弦定理解的个数 | 以 C 为圆心画弧，看弧与角的另一边有几个交点 | B20 |\n| 余弦定理 | 勾股定理的推广：C = 90° 时回到 c² = a² + b² | B20 |\n| 复数 | 数系的扩充：为了让 x² = −1 有解；复数与复平面上的点、向量一一对应；除法类比分母有理化 | B21 |\n| 空间位置关系 | 借助长方体：判定定理的条件缺一不可，平面里的结论到了空间要先找反例 | B22 |\n| 柱、锥、台、球的体积 | 倒水实验看出 1/3；球的体积 = (1/3) × 表面积 × 半径 | B23 |\n| 古典概型 | 给两枚硬币编号：样本点先要等可能 | B24 |\n| 互斥、对立与独立 | \"不能同时发生\"与\"互不影响概率\"是两回事，用 P(AB) = P(A)P(B) 验证 | B25 |\n| 频率分布直方图、百分位数 | 面积才是频率；百分位数是\"大约 p% 的数据不超过它\" | B26 |\n| 数列 | 一类特殊的函数：等差对一次函数，等比对指数函数；由 Sₙ 求 aₙ 要单独看 n = 1 | B27 |\n| 导数 | 里程表与速度表：从平均变化率到瞬时变化率；\"在点 P 处\"与\"过点 P\"的切线 | B28 |\n| 导数与单调性、极值 | 爬山：山顶不一定是全程最高点；导数为 0 不一定是极值点 | B29 |\n| 求导公式与法则 | 长方形两边各长一点：(uv)′ = u′v + uv′；(1/x)′ = −1/x² 这类公式也要会 | B30 |\n| 法向量与空间角 | 线面角用正弦，二面角看图判断锐钝 | B31 |\n| 倾斜角与斜率 | 竖直的直线没有斜率 | B32 |\n| 圆锥曲线 | 钉子和绳子画椭圆；椭圆 a 最大、双曲线 c 最大；抛物线先化成标准方程 | B33 |\n| 排列与组合 | 交换顺序算不算不同的结果；平均分组要除以组数的阶乘 | B34 |\n| 二项式定理 | 通项是第 r + 1 项；二项式系数与项的系数不同 | B35 |\n| 条件概率 | 已知 A 发生，样本空间缩小了 | B36 |\n| 二项分布与超几何分布 | 有没有放回 | B37 |\n| 相关、回归与独立性检验 | 相关不等于因果；预测值是估计值；推断可能犯错 | B38 |\n\n数学归纳法（多米诺骨牌；课标标＊的选学内容，不作为考试要求）、均值与方差、正态分布等没有专门错因编码的概念，也收在参考资源里。三种模型照用：类比写明讲得到哪儿、讲不到哪儿，越过边界的部分回到定义；每讲完一个概念，用一个检验问题确认学生会解释、能迁移（第六节）。类比、边界、检验问题与验算断言：必修后半见 `references/math-hs2-concepts.md`，选择性必修见 `references/math-hs3-concepts.md`；检验问题若需新编，按 shared/ai-item-check.md 自检后再给出。\n\n---\n\n## 十一、参考资源\n\n- `references/math-hs1-concepts.md` — 高一衔接段（预备知识与函数）的概念类比、边界与检验问题（含 CI 验算断言）\n- `references/math-hs2-concepts.md` — 高中必修后半（平面向量及其应用、复数、立体几何初步、概率、统计）的概念类比、边界与检验问题（含 CI 验算断言）\n- `references/math-hs3-concepts.md` — （高中）选择性必修（数列、导数、空间向量与立体几何、平面解析几何、计数原理、概率、统计）的概念类比、边界与检验问题（含 CI 验算断言）\n- `references/analogy-bank.md` — 初中数学全概念生活类比素材库（按章节整理）\n\n---\n\n> 💡 **小智说：** \n> \"数学不是需要死记的规则集合。 \n> 每一条公式背后都有一个'为什么'—— \n> 那个'为什么'才是真正的数学。 \n> 当你懂了'为什么'，公式就变成了你自己的东西—— \n> 一时想不起来，你也能自己把它推回来。\"\n\nFile v2.11.0:_meta.json\n\n{\n \"ownerId\": \"kn79c5gcmfkt9p1pk656tgq7nd853s7v\",\n \"slug\": \"xiaozhi-math-concept-explainer\",\n \"version\": \"2.11.0\",\n \"publishedAt\": 1791444464738\n}\n\nFile v2.11.0:references/analogy-bank.md\n\n# 初中数学全概念生活类比素材库\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。\r\n> 示例题验算：2026-09-03\r\n> 按章节整理，供数学概念解释器SKILL进行模型A（生活类比法）时参考。\r\n> 每条类比附有\"追问验证\"话术，确保类比建立后能迁移到数学语言。\r\n> **类比的边界**：类比只是直觉铺垫，不是证明。每条类比后面都标了它\"讲得到哪儿、讲不到哪儿\"，\r\n> 越过边界的部分要用规律法或几何法补上，不要硬把类比往前推。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、数与代数\r\n\r\n### 有理数运算\r\n\r\n**正负数的加减法：**\r\n```\r\n类比：银行账户\r\n 存钱（+），取钱（-），余额就是当前值\r\n +5 + (-3) = 存了5取了3 = 余额增加2\r\n -2 + (-4) = 取了2又取了4 = 余额减少6\r\n\r\n追问：\"你的账户原来有10元，取了15元，余额是多少？怎么用正负数表示？\"\r\n```\r\n\r\n**负数乘法：**\r\n```\r\n类比：录像倒放\r\n 正数×正数 = 正放，向前走 = 前进\r\n 负数×正数 = 倒放，向后走 = 后退\r\n 负数×负数 = 倒放的倒放 = 重新向前 = 正数\r\n\r\n类比②：减少的减少\r\n \"少花钱\"（负的花钱）= 省钱（正数效果）\r\n \r\n追问：\"每天花3元，5天一共花了多少？（3×5=15，记作 -15 的变化）\r\n 如果改成每天少花3元，5天后你的钱比原来多了多少？\"\r\n\r\n⚠️ 边界：这两个类比讲的是\"相反的相反 = 原方向\"，即 -(-a)=a，\r\n 是 (-a)×(-b)=ab 的直觉铺垫，**不是它的证明**。\r\n 上面的追问算的其实是 (-3)×5 与 (+3)×5，两个因数里只有一个是负的。\r\n 要讲两个负数相乘，接着用规律法（保持乘法分配律成立）：\r\n 3×(-2)=-6, 2×(-2)=-4, 1×(-2)=-2, 0×(-2)=0\r\n 每次左边的因数减 1，结果就 +2\r\n → (-1)×(-2)=+2, (-2)×(-2)=+4\r\n 追问：\"照这个规律往下写，(-1)×(-2) 应该是多少？为什么必须是正的？\"\r\n```\r\n\r\n**绝对值：**\r\n```\r\n类比：数轴上的距离\r\n 在操场上，站在0米的位置：\r\n 向右走5步，距离起点5步 → |5|=5\r\n 向左走5步，距离起点也是5步 → |-5|=5\r\n 距离永远是非负的\r\n\r\n追问：\"温度计上，-3℃和+3℃距离0℃的'差距'一样吗？\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n### 整式与多项式\r\n\r\n**合并同类项：**\r\n```\r\n类比：水果分类\r\n 3个苹果+2个橙子+1个苹果 = 4个苹果+2个橙子（不能把苹果和橙子合并）\r\n 3x + 2y + x = 4x + 2y（x和y不同类，不能合并）\r\n\r\n追问：\"3x²和3x是同类项吗？为什么？\"\r\n```\r\n\r\n**乘法分配律：**\r\n```\r\n类比：批量购买\r\n 买3箱，每箱有5个苹果和2个橙子\r\n = 3×5个苹果 + 3×2个橙子\r\n 3(5+2) = 3×5 + 3×2\r\n\r\n追问：\"a(b+c)为什么等于ab+ac？用购物的方式解释。\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n### 方程与不等式\r\n\r\n**方程的解：**\r\n```\r\n类比：天平\r\n 方程是一个平衡的天平\r\n 你在左边加什么，右边也要加一样的，才能保持平衡\r\n \"解方程\"就是找到让天平平衡的那个数\r\n\r\n追问：\"如果天平两边各放了相同的东西，你拿走一边的3克，另一边要怎么做？\"\r\n```\r\n\r\n**不等式的解集：**\r\n```\r\n类比：身高限制\r\n \"身高≥1.2米才能坐过山车\"\r\n 解集是所有≥1.2米的身高，不是某一个具体的身高\r\n 解集是一段范围，不是一个点\r\n\r\n追问：\"'班上年龄>13岁的同学'，这是一个具体的人，还是一群人？不等式的解集类似哪种？\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n### 函数与图像\r\n\r\n**函数的本质（对应关系）：**\r\n```\r\n类比：自动贩卖机\r\n 你投入x元钱，机器输出对应的y个饮料\r\n 对于每一个输入（x），有且只有一个确定的输出（y）\r\n 这就是\"函数\"：每个自变量对应唯一一个因变量\r\n\r\n追问：\"一个人有两个身高，算函数吗？为什么？\"\r\n```\r\n\r\n**一次函数y=kx+b中k的含义（变化率）：**\r\n```\r\n类比：爬坡\r\n k是坡度——每向前走1步（x增加1），高度变化 k\r\n k>0：上坡（y随x增大而增大）\r\n k<0：下坡（y随x增大而减小）\r\n |k| 越大：坡越陡（陡不陡看的是绝对值，不是 k 本身）\r\n\r\n追问①：\"k=3 和 k=0.5，哪条直线更陡？为什么？\"\r\n追问②：\"k=-3 和 k=0.5 呢？—— k=-3 是往下走，但走得更陡；\r\n 比'陡'的时候比的是 |k|，比'升还是降'的时候才看 k 的正负。\"\r\n```\r\n\r\n**一次函数b的含义（截距）：**\r\n```\r\n类比：出租车起步价\r\n b是出租车起步价，不管你坐了多少公里，上车就要付这个钱\r\n 在x=0的时候，y=b（图像与y轴的交点）\r\n\r\n追问：\"y=2x和y=2x+3，在x=0时哪个y值更大？图像上有什么区别？\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、几何\r\n\r\n**平行线的同位角相等：**\r\n```\r\n类比：铁路轨道\r\n 两条平行的铁轨，一列火车以同一个角度穿过\r\n 车头切入左轨的角 = 车头切入右轨的角（同位角）\r\n 因为轨道平行，切入角必须相同\r\n\r\n追问：\"如果两条线不平行，同位角还会相等吗？举个例子。\"\r\n```\r\n\r\n**三角形面积公式：**\r\n```\r\n类比：平行四边形的一半\r\n 任何三角形，复制一个、绕一边中点旋转 180°，\r\n 两个三角形刚好拼成一个**平行四边形**（不是矩形）——\r\n 这个平行四边形和原三角形同底等高，\r\n 面积 = 底×高，所以三角形面积 = 底×高÷2\r\n\r\n （只有直角三角形复制后能拼成矩形，那是特例，不是一般情形；\r\n 平行四边形面积 = 底×高 本身也是由\"割补成矩形\"得到的。）\r\n\r\n追问①：\"钝角三角形复制一份能拼成矩形吗？试着拼拼看，拼出来的是什么？\"\r\n追问②：\"直角三角形两直角边分别是3和4，面积是多少？为什么可以直接算？\"\r\n```\r\n\r\n**勾股定理的直觉：**\r\n```\r\n类比：直角三角形上画正方形\r\n 在三条边上各画一个正方形\r\n 斜边上的正方形面积 = 两直角边正方形面积之和\r\n 这就是c²=a²+b²的几何意义\r\n\r\n追问：\"如果三角形不是直角三角形，这个关系还成立吗？\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 三、概率与统计\r\n\r\n**平均数：**\r\n```\r\n类比：把水倒平\r\n 5个杯子，水量不同，把所有水倒进一个大桶再平均倒回去，\r\n 每个杯子里的水量就是平均数\r\n\r\n追问：\"为什么极端值（特别大或特别小的数）会影响平均数，但不影响中位数？\"\r\n```\r\n\r\n**频率与概率的关系：**\r\n```\r\n类比：摸球（要用能算出理论概率的等可能试验，不要用射击命中率）\r\n 袋子里 2 个红球、2 个白球，摸出红球的概率是 1/2——\r\n 这是\"概率\"，由结构决定，摸之前就知道\r\n 今天摸了10次（每次放回），红球出现 3 次，频率是 3/10——\r\n 这是\"频率\"，由这一轮的结果决定，每一轮都可能不同\r\n 摸的次数越多，频率通常越靠近 1/2\r\n\r\n⚠️ 边界：射击命中率、投篮命中率这类\"人做出来的事\"没有可以先算出来的\r\n 理论概率——它的 50% 本身就是从大量统计里估出来的频率，\r\n 拿它当\"理论概率\"会把两个概念讲反。\r\n 同理，天气预报的\"降水概率\"也不是等可能试验，别用来讲这一对概念。\r\n\r\n追问①：\"摸10次和摸10000次，哪一次的频率通常更靠近 1/2？为什么是'通常'而不是'一定'？\"\r\n追问②：\"如果袋子里球的个数我不知道，我只能摸 100 次算频率——\r\n 这时候我得到的是概率还是对概率的估计？\"\r\n```\n\nFile v2.11.0:references/math-hs1-concepts.md\n\n# 高一衔接段的数学概念：类比、边界与检验\r\n\r\n> 示例题验算：2026-09-25\r\n> 适用学段：高中（高一衔接段）。\r\n> 本文件是 `xiaozhi-math-concept-explainer` 第九节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题一\"预备知识\"与主题二\"函数\"。每个概念给一个生活类比（写明讲得到哪儿、讲不到哪儿）、一个检验问题，以及对应的错因子类型（定义见数学错误DNA 维度表第九节；零点沿用第三节的 B05）。关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算。\r\n> 课标的教学提示指出：初中阶段数学知识相对具体，高中阶段相对抽象。所以每个概念都先从学生熟悉的初中内容讲起，再过渡到集合、符号语言。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、高一·预备知识\r\n\r\n**1. 属于与包含（B10）**\r\n\r\n```\r\n类比：学生与班级、班级与学校\r\n 小明是三班的一名学生 → 元素与集合：小明 ∈ 三班\r\n 三班的每个学生都是本校学生 → 集合与集合：三班 ⊆ 全校学生\r\n\r\n检验：\"1 和 {1} 有什么不同？1 ∈ {1, 2} 和 {1} ⊆ {1, 2}，哪个写法对？\"（两个都对：前者是元素属于集合，后者是集合包含于集合）\r\n\r\n⚠️ 边界：生活里没有\"空班级是每个班的一部分\"这种说法，所以\"空集是任何集合的子集\"不能靠类比，\r\n 要回到定义：A ⊆ B 是说\"A 的每一个元素都是 B 的元素\"，空集没有元素，这句话自然成立。\r\n```\r\n\r\n**2. 充分条件与必要条件（B11）**\r\n\r\n```\r\n类比：下雨与地面湿\r\n 下雨 ⇒ 地面湿：下雨是地面湿的充分条件（有它就够了）\r\n 地面湿是下雨的必要条件（没有它就一定没下雨：地面不湿，一定没下雨）\r\n\r\n检验：\"p ⇒ q 时，谁是谁的充分条件？谁是谁的必要条件？\"\r\n\r\n⚠️ 边界：生活里的\"条件\"常常带着因果，数学里只看\"能不能推出\"。\r\n 地面湿也可能是洒水车洒的——这正说明由\"地面湿\"推不出\"下雨\"。\r\n```\r\n\r\n**3. 全称量词命题的否定（B12）**\r\n\r\n```\r\n类比：\"全班同学都交了作业\"\r\n 它的否定是：\"至少有一个同学没交作业\"\r\n 不是：\"全班同学都没交作业\"\r\n\r\n检验：\"'任意 x∈R，x² ≥ 0'的否定怎么写？\"（存在 x∈R，x² < 0）\r\n\r\n⚠️ 边界：否定一句\"全都……\"，只要找到一个反例就够了，所以否定后变成\"存在……\"。\r\n```\r\n\r\n**4. 一元二次不等式的解集，就是图像的一段（B18）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 初中：会画 y = x² − 3x + 2 的图像，知道它与 x 轴交于 (1, 0)、(2, 0)\r\n ② 高一：解 x² − 3x + 2 > 0，就是问\"图像在 x 轴上方的部分，对应哪些 x\"\r\n 开口向上，两根之外的部分在 x 轴上方 → 解集为 {x | x < 1 或 x > 2}\r\n ③ 口诀\"大于取两边、小于取中间\"只在二次项系数为正时成立；\r\n 系数为负时，先在两边同乘 −1（不等号要变向），或者直接看图\r\n\r\n检验：\"−x² + 3x − 2 > 0 的解集是什么？先说图像开口向哪边。\"（开口向下，解集为 {x | 1 < x < 2}）\r\n\r\n⚠️ 边界：看图之前要先求出图像与 x 轴的交点；图像与 x 轴只有一个交点或没有交点时，\r\n 解集可能是全体实数、空集、只含一个数的集合，或去掉一个数的实数集，要结合开口方向和不等号来定\r\n （如 x² − 2x + 1 > 0 的解集是 {x | x ≠ 1}，x² − 2x + 1 ≤ 0 的解集是 {1}）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"x² − 3x + 2 > 0 在 x = 0、3 成立、x = 1.5 不成立；−x² + 3x − 2 > 0 恰好相反\", \"expr\": \"[[0, 1.5, 3].map((x) => x * x - 3 * x + 2 > 0), [0, 1.5, 3].map((x) => -x * x + 3 * x - 2 > 0)]\", \"expect\": [[true, false, true], [false, true, false]]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、高一·函数\r\n\r\n**5. 函数是一种对应关系（B13）**\r\n\r\n```\r\n类比：自动售货机\r\n 按一个按钮，只会出来一种饮料 → 每个 x 只对应一个 y\r\n 两个不同的按钮，可以出同一种饮料 → 不同的 x 可以对应同一个 y\r\n 不在机器上的按钮，按不了 → 定义域之外的 x 没有函数值\r\n\r\n检验：\"y = x 和 y = x²/x 是同一个函数吗？\"（不是：后者的定义域不含 0）\r\n\r\n⚠️ 边界：售货机的按钮只有有限个，函数的定义域常常是无限集；\r\n 类比只用来说明\"一对一或多对一\"，不说明函数值怎么算。\r\n```\r\n\r\n**6. 单调性要用\"任意\"来说（B14）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 初中的说法：图像从左到右上升\r\n ② 高中的说法：在区间 I 上，对任意 x₁ < x₂，都有 f(x₁) < f(x₂)\r\n ③ 为什么要\"任意\"：只挑两个点比较不够\r\n f(x) = x² 在 [−1, 2] 上：f(−1) = 1 < f(2) = 4，\r\n 可 f(−1) = 1 > f(0) = 0——这个函数在 [−1, 2] 上并不单调递增\r\n\r\n检验：\"f(x) = x² 在 [−1, 2] 上单调递增吗？找两个点说明。\"\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"f(x) = x² 在 [−1, 2] 上：f(−1) < f(2)，但 f(−1) > f(0)，所以不是单调递增\", \"expr\": \"[(-1) ** 2 < 2 ** 2, (-1) ** 2 > 0 ** 2]\", \"expect\": [true, true]}\r\n```\r\n\r\n**7. 奇偶性的前提（B14）**\r\n\r\n```\r\n图解：偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称\r\n 前提：定义域必须关于原点对称——有 x 就得有 −x\r\n\r\n检验：\"f(x) = x²，x ∈ [−1, 2]，是偶函数吗？\"（不是：x = 2 在定义域内，−2 不在）\r\n```\r\n\r\n**8. 指数与对数是一对\"问与答\"（B15）**\r\n\r\n```\r\n类比：同一个关系，换个问法\r\n 2³ = 8：已知底数 2 和指数 3，问结果 → 8\r\n log₂8 = 3：已知底数 2 和结果 8，问指数 → 3\r\n\r\n检验：\"把 10² = 100 写成对数式。\"（lg 100 = 2）\r\n\r\n⚠️ 边界：为什么要求 a > 0 且 a ≠ 1？\r\n a = 1 时，1 的任何次方都是 1，问\"1 的几次方是 1\"没有唯一答案；\r\n a = 0 时，0 的正数次方都是 0，0 的 0 次方与负数次方没有意义，同样问不出唯一的指数；\r\n a < 0 时，很多指数（如 1/2）没有实数意义。所以对数的底数必须 a > 0 且 a ≠ 1。\r\n 真数为什么要 N > 0？底数 a > 0 时，aᵇ 无论 b 取什么实数都是正数，结果 N 不可能是 0 或负数。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"2³ = 8 与 log₂8 = 3 是同一个关系；1 的任何次方都是 1\", \"expr\": \"[2 ** 3, Math.log2(8), 1 ** 2, 1 ** 5]\", \"expect\": [8, 3, 1, 1]}\r\n```\r\n\r\n**9. 直线上升与指数爆炸（M09）**\r\n\r\n```\r\n类比：两种零花钱方案\r\n 方案一：第 1 天 10 元，以后每天比前一天多 10 元（直线上升）\r\n 方案二：第 1 天 1 元，以后每天是前一天的 2 倍（指数爆炸）\r\n 按当天领到的钱比：前 7 天方案一多，第 8 天方案二反超（128 元对 80 元）；\r\n 到第 10 天，方案二当天有 512 元，方案一当天只有 100 元\r\n 按累计领到的钱比：第 8 天方案一仍多（360 元对 255 元），第 9 天方案二才反超（511 元对 450 元）\r\n\r\n检验：\"再往后，两种方案的差距会越来越小，还是越来越大？\"\r\n\r\n⚠️ 边界：课标用\"对数增长\"\"直线上升\"\"指数爆炸\"比较增长速度；\r\n 类比只说明\"后来居上\"，具体从哪一天开始超过，要先说清比的是当天的钱还是累计的钱，再列表或画图来确定。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"第 7、8、10 天当天的钱：方案一 70、80、100 元，方案二 64、128、512 元（第 n 天分别为 10n 与 2ⁿ⁻¹）\", \"expr\": \"[7, 8, 10].map((n) => [10 * n, 2 ** (n - 1)])\", \"expect\": [[70, 64], [80, 128], [100, 512]]}\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"前 n 天累计：方案一 5n(n + 1)，方案二 2ⁿ − 1；第 8 天 360 对 255，第 9 天 450 对 511\", \"expr\": \"[8, 9].map((n) => [5 * n * (n + 1), 2 ** n - 1])\", \"expect\": [[360, 255], [450, 511]]}\r\n```\r\n\r\n**10. 弧度制：用半径量角（B16）**\r\n\r\n```\r\n类比：拿半径当尺子去量弧\r\n 弧长正好等于半径的那段弧，所对的圆心角就是 1 弧度\r\n 一整圈的弧长是 2πr，量得 2π 个半径，所以 360° = 2π 弧度\r\n\r\n检验：\"1 弧度大约是多少度？\"（约 57.3°）\r\n\r\n⚠️ 边界：这把\"尺子\"量的是弧长与半径的比值，所以弧度数与圆的大小无关；\r\n 类比讲不到负角与超过一周的角——它们要回到任意角的定义（按旋转方向定正负），弧度数同样可以是负数或大于 2π。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"1 弧度 = 180°/π，约 57.3°\", \"expr\": \"Math.round((180 / Math.PI) * 10) / 10\", \"expect\": 57.3}\r\n```\r\n\r\n**11. 用单位圆定义任意角的三角函数（B16）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 初中：锐角的三角函数是直角三角形的边比\r\n ② 高一：角的终边与单位圆交于点 P(x, y)，定义 sin α = y，cos α = x\r\n ③ 好处：钝角、负角都有了定义，符号由点 P 所在的象限决定\r\n\r\n检验：\"2π/3（120°）的余弦是正还是负？等于多少？\"（负，等于 −1/2）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"cos(2π/3) = −1/2\", \"expr\": \"Math.cos((2 * Math.PI) / 3)\", \"expect\": -0.5}\r\n```\r\n\r\n**12. 零点是一个数，不是一个点（B05）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n 函数 f(x) 的零点，就是方程 f(x) = 0 的实数解，\r\n 也是函数图像与 x 轴交点的横坐标。\r\n 以 f(x) = x − 1 为例：图像与 x 轴交于点 (1, 0)，零点是数 1，不是点 (1, 0)\r\n\r\n检验：\"f(x) = x² − 1 的零点是什么？\"（−1 和 1）\r\n```\r\n\r\n**13. 零点存在定理：连续、两端异号，就至少有一个零点（B17）**\r\n\r\n```\r\n类比：从河的一岸走到另一岸\r\n 出发时在南岸（f(a) < 0），终点在北岸（f(b) > 0），\r\n 只要一路不跳（图像是连续不断的一条曲线），就一定要过河——至少过一次\r\n\r\n检验：\"f(x) = x² − 1 在 [−2, 2] 上，f(−2)·f(2) > 0，能说它在这个区间里没有零点吗？\"（不能：−1 和 1 都是零点）\r\n\r\n⚠️ 边界：定理只说\"连续且两端异号，就至少有一个零点\"，反过来不成立：\r\n 两端同号也可能有零点（上面的例子）；两端异号时零点也可能不止一个，\r\n 如 f(x) = x³ − x 在 [−2, 2] 上有 −1、0、1 三个零点，就像在河里来回走了三趟。\r\n \"连续不断\"这个条件不能丢：f(x) = 1/x 在 x = −1 和 x = 1 处的值异号，可 x = 0 不在定义域内、图像在这里断开，它根本没有零点。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"x² − 1：f(−2)·f(2) = 9 > 0，却有零点 ±1；x³ − x：两端 −6 与 6 异号，零点有 −1、0、1 三个；1/x：两端异号\", \"expr\": \"[((-2) ** 2 - 1) * (2 ** 2 - 1), [-1, 1].map((x) => x * x - 1), [(-2) ** 3 - -2, 2 ** 3 - 2], [-1, 0, 1].map((x) => x ** 3 - x), (1 / -1) * (1 / 1) < 0]\", \"expect\": [9, [0, 0], [-6, 6], [0, 0, 0], true]}\r\n```\n\nFile v2.11.0:references/math-hs2-concepts.md\n\n# 高中必修后半的数学概念：类比、边界与检验\r\n\r\n> 示例题验算：2026-09-26\r\n> 适用学段：高中（必修后半：几何与代数、概率与统计）。\r\n> 本文件是 `xiaozhi-math-concept-explainer` 第十节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题三\"几何与代数\"（平面向量及其应用、复数、立体几何初步）与主题四\"概率与统计\"（概率、统计）。每个概念给一个生活类比、图解、逐步拆分或对照（类比写明讲得到哪儿、讲不到哪儿）、一个检验问题，以及对应的错因子类型（定义见数学错误DNA 维度表第十节；分层抽样沿用第三节的 B08；没有专门编码的标\"—\"）。关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算；立体几何条目的 `verify` 用坐标计算，只为让 CI 验算，给学生讲时用长方体和几何说理。\r\n> 课标的教学提示：平面向量从力、速度、位移等实际情境入手，从物理、几何、代数三个角度理解；复数重在表示与几何意义，避免烦琐的计算与技巧训练；立体几何初步以长方体为载体，判定定理只要求直观感知、操作确认；概率与统计通过典型案例，借助信息技术体会随机思想。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、高中必修·平面向量及其应用\r\n\r\n**1. 数量积的结果是一个数（B19）**\r\n\r\n```\r\n类比：力做的功\r\n 用力 F 拉箱子移动了位移 s，力做的功 W = |F||s|cos θ（θ 是力与位移的夹角）\r\n 力、位移都是向量，功却只有大小、没有方向——数量积 a·b = |a||b|cos θ 也是这样，结果是一个数\r\n\r\n检验：\"a·b 的结果是向量还是数？由 a·b = 0 能推出 a = 0 或 b = 0 吗？\"\r\n （是数；不能——两个非零向量互相垂直时，数量积也是 0）\r\n\r\n⚠️ 边界：实数乘法的规律不能全搬过来。\r\n 消去律不成立：a·b = a·c（a ≠ 0）推不出 b = c，只能推出 a 与 b − c 垂直；\r\n 结合律不成立：(a·b)c 是与 c 共线的向量，a(b·c) 是与 a 共线的向量，一般不相等。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"a = (1, 0)、b = (0, 1)、c = (1, 1)：(a·b)c = (0, 0)，a(b·c) = (1, 0)，两者不等；a = (1, 0)、b = (2, 3)、c = (2, −5) 时 a·(b − c) = 0\", \"expr\": \"[(1 * 0 + 0 * 1) * 1, (1 * 0 + 0 * 1) * 1, 1 * (0 * 1 + 1 * 1), 0 * (0 * 1 + 1 * 1), 1 * (2 - 2) + 0 * (3 - -5)]\", \"expect\": [0, 0, 1, 0, 0]}\r\n```\r\n\r\n**2. 投影向量：向量的\"影子\"（B19）**\r\n\r\n```\r\n图解：把 a、b 的起点放在一起，从 a 的终点向 b 所在的直线作垂线，\r\n 从起点到垂足的向量，就是 a 在 b 上的投影向量，等于 (|a|cos θ)·e（e 是与 b 同方向的单位向量）\r\n\r\n检验：\"a = (2, 1)，b = (3, 0)，a 在 b 上的投影向量是什么？\"（(2, 0)）\r\n\r\n⚠️ 边界：夹角是钝角时 cos θ < 0，投影向量与 b 方向相反——影子落到了反方向。\r\n 课标把投影放在数量积之后，建议借助几何直观理解（课标案例 9 向量投影）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"a = (2, 1)、b = (3, 0)：|a|cos θ = a·b/|b| = 6/3 = 2，投影向量为 2e = (2, 0)\", \"expr\": \"(2 * 3 + 1 * 0) / 3\", \"expect\": 2}\r\n```\r\n\r\n**3. 夹角为钝角：还要排除反向共线（B19）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 向量夹角 θ 的范围是 [0, π]\r\n ② a·b < 0 ⇔ cos θ < 0 ⇔ θ ∈ (π/2, π]——这里包含了 θ = π，也就是两个向量反向共线\r\n ③ 所以\"夹角为钝角\" ⇔ a·b < 0，且 a、b 不反向共线\r\n\r\n检验：\"a = (1, 1)，b = (λ, −2)，a 与 b 的夹角为钝角，λ 的取值范围是什么？\"\r\n （a·b = λ − 2 < 0，得 λ < 2；λ = −2 时 b = −2a，两个向量反向，要去掉。所以 λ < 2 且 λ ≠ −2）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"λ = −2 时 a·b = −4 < 0，但 x₁y₂ − x₂y₁ = 0，两向量反向共线；λ = 0 时 a·b = −2 < 0 且不共线，夹角是钝角\", \"expr\": \"[1 * -2 + 1 * -2, 1 * -2 - -2 * 1, 1 * 0 + 1 * -2, 1 * -2 - 0 * 1]\", \"expect\": [-4, 0, -2, -2]}\r\n```\r\n\r\n**4. 共线与垂直的坐标条件（B19）**\r\n\r\n```\r\n对照：a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)\r\n 共线：x₁y₂ − x₂y₁ = 0 ——由 b = λa（a ≠ 0）推出\r\n 垂直：x₁x₂ + y₁y₂ = 0 ——由 a·b = 0 推出\r\n\r\n检验：\"(1, 2) 与 (2, 4)、(1, 2) 与 (−2, 1)，哪一对共线，哪一对垂直？\"（前一对共线，后一对垂直）\r\n\r\n⚠️ 边界：零向量与任何向量都共线；两个条件记混时，回到它们各自的来源重推一遍，比背口诀可靠。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"(1, 2) 与 (2, 4)：1 × 4 − 2 × 2 = 0，共线；(1, 2) 与 (−2, 1)：1 × (−2) + 2 × 1 = 0，垂直\", \"expr\": \"[1 * 4 - 2 * 2, 1 * -2 + 2 * 1]\", \"expect\": [0, 0]}\r\n```\r\n\r\n**5. 已知两边和其中一边的对角：可能有两个解（B20）**\r\n\r\n```\r\n图解：已知角 A、边 b（= AC）和边 a（= BC）\r\n 先画出角 A 和边 AC，再以 C 为圆心、a 为半径画弧，弧与角 A 的另一边有几个交点，三角形就有几个\r\n A 为锐角时，C 到那条边的距离是 b sin A：\r\n a < b sin A：没有交点，无解\r\n a = b sin A：相切，一解（直角三角形）\r\n b sin A < a < b：两个交点，两解\r\n a ≥ b：一解\r\n\r\n检验：\"A = 30°，a = 1，b = √3，B 等于多少？\"（b sin A = √3/2 < 1 < √3，两解：B = 60° 或 120°）\r\n\r\n⚠️ 边界：从代数上看，sin 在 (0, π) 上不是一一对应的，sin B = √3/2 对应 60° 和 120° 两个角；\r\n 求出以后用\"大边对大角\"或内角和小于 180° 检验，不能只取锐角。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"A = 30°、a = 1、b = √3：b sin A = √3/2，介于 a 与 b 之间的条件 b sin A < a < b 成立，两解\", \"expr\": \"[Math.sqrt(3) * Math.sin(Math.PI / 6), Math.sqrt(3) * Math.sin(Math.PI / 6) < 1, 1 < Math.sqrt(3)]\", \"expect\": [0.8660254037844386, true, true]}\r\n```\r\n\r\n**6. 余弦定理：勾股定理的推广（B20）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 直角三角形：C = 90° 时，c² = a² + b²\r\n ② 一般三角形：c² = a² + b² − 2abcos C；C = 90° 时 cos C = 0，就回到勾股定理\r\n ③ 什么时候用：已知两边及其夹角求第三边，或已知三边求角\r\n ④ 从哪里来（课标：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系）：\r\n AB = CB − CA，两边平方，得 |AB|² = a² + b² − 2abcos C\r\n\r\n检验：\"a = 3，b = 5，C = 60°，c 等于多少？C 是钝角时，c² 比 a² + b² 大还是小？\"\r\n （c² = 19，c = √19；钝角时 cos C < 0，c² 比 a² + b² 大）\r\n\r\n⚠️ 边界：记不清中间是加还是减时，拿 C = 90°（回到勾股定理）和 C 为钝角（c 应当最长）检查一下，就能找回来。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"a = 3、b = 5：C = 60° 时 c² = 19；C = 120° 时 c² = 49，大于 a² + b² = 34\", \"expr\": \"[9 + 25 - 2 * 3 * 5 * Math.cos(Math.PI / 3), 9 + 25 - 2 * 3 * 5 * Math.cos((2 * Math.PI) / 3), 9 + 25]\", \"expect\": [19, 49, 34]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、高中必修·复数\r\n\r\n**7. 复数：让 x² = −1 有解（B21）**\r\n\r\n```\r\n类比：数系的扩充\r\n 自然数里 2 − 3 没有结果 → 引进负数，有了整数\r\n 整数里 1 ÷ 3 没有结果 → 引进分数，有了有理数\r\n 有理数里 x² = 2 没有解 → 引进无理数，有了实数\r\n 实数里 x² = −1 没有解 → 引进虚数单位 i（i² = −1），有了复数\r\n 每一次扩充，原来的运算规律都尽量保留下来\r\n\r\n检验：\"z = 3 − 4i 的实部、虚部各是多少？a + bi 什么时候是纯虚数？\"\r\n （实部 3，虚部 −4；a = 0 且 b ≠ 0 时）\r\n\r\n⚠️ 边界：扩充到复数以后，\"比大小\"没有保留下来——两个复数只能说相等或不相等，\r\n 都是实数时才比较大小。复数的引入过程见课标案例 10。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"i² = (0 + 1i)(0 + 1i) = −1 + 0i\", \"expr\": \"[0 * 0 - 1 * 1, 0 * 1 + 1 * 0]\", \"expect\": [-1, 0]}\r\n```\r\n\r\n**8. 复数的几何意义（B21）**\r\n\r\n```\r\n图解：复数 z = a + bi ↔ 复平面内的点 Z(a, b) ↔ 向量 OZ\r\n |z| 就是点 Z 到原点的距离：|3 + 4i| = 5\r\n 共轭复数 a − bi 对应的点与 Z 关于实轴对称\r\n 复数的加法、减法对应向量的加法、减法\r\n\r\n检验：\"复数 −2 + i 对应的点在第几象限？它的模是多少？\"（第二象限，√5）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"|3 + 4i| = 5；|−2 + i|² = 5\", \"expr\": \"[Math.hypot(3, 4), Math.hypot(-2, 1) ** 2]\", \"expect\": [5, 5]}\r\n```\r\n\r\n**9. 复数的除法：把分母变成实数（B21）**\r\n\r\n```\r\n类比：初中的分母有理化\r\n 1/(√2 − 1)：分子分母同乘 √2 + 1，分母变成 (√2)² − 1 = 1\r\n (1 + i)/(1 − i)：分子分母同乘分母的共轭复数 1 + i，分母变成 1² − i² = 2，结果是 2i/2 = i\r\n\r\n检验：\"(3 + i)/(1 + i) 等于多少？\"（分子分母同乘 1 − i：(4 − 2i)/2 = 2 − i）\r\n\r\n⚠️ 边界：分子也要乘；(a + bi)(a − bi) = a² + b²，是一个非负实数。\r\n 可以把结果乘回去检查：(2 − i)(1 + i) = 3 + i。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"(3 + i)(1 − i) = 4 − 2i，除以 2 得 2 − i；回代 (2 − i)(1 + i) = 3 + i\", \"expr\": \"[3 * 1 - 1 * -1, 3 * -1 + 1 * 1, 2 * 1 - -1 * 1, 2 * 1 + -1 * 1]\", \"expect\": [4, -2, 3, 1]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 三、高中必修·立体几何初步\r\n\r\n**10. 判定定理的条件为什么缺一不可（B22）**\r\n\r\n```\r\n借助长方体和身边的实物（课标：借助长方体，通过直观感知、操作确认了解判定定理）\r\n 线面垂直：直线要垂直于平面内的两条\"相交\"直线\r\n 反例：地面上画两条平行线，一根斜靠的木棍可以同时与这两条线垂直，却不垂直于地面\r\n 线面平行：平面\"外\"的一条直线与平面内的一条直线平行\r\n 如果这条直线本来就在平面内，就谈不上与平面平行\r\n\r\n检验：\"一条直线垂直于平面内的两条直线，它一定垂直于这个平面吗？\"（不一定，这两条直线必须相交）\r\n\r\n⚠️ 边界：必修阶段，判定定理只要求直观感知、操作确认，性质定理要求证明；\r\n 判定定理的论证放在选择性必修，用向量方法完成。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"地面 z = 0 上沿 x 轴方向的平行线方向为 (1, 0, 0)，木棍方向 (0, 1, 1) 与它垂直；木棍与地面的法向量 (0, 0, 1) 的叉积为 (1, 0, 0) ≠ 0，木棍不垂直于地面\", \"expr\": \"[0 * 1 + 1 * 0 + 1 * 0, 1 * 1 - 1 * 0, 1 * 0 - 0 * 1, 0 * 0 - 1 * 0]\", \"expect\": [0, 1, 0, 0]}\r\n```\r\n\r\n**11. 平面里成立的，空间里不一定成立（B22）**\r\n\r\n```\r\n借助正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁\r\n 平面里：垂直于同一条直线的两条直线平行\r\n 空间里：AB、AD 都垂直于 AA₁，它们却相交于点 A；\r\n AB、B₁C₁ 也都垂直于 AA₁，它们既不相交也不平行，是异面直线\r\n\r\n检验：\"在空间里，垂直于同一条直线的两条直线有哪几种位置关系？\"（平行、相交、异面都可能）\r\n\r\n⚠️ 边界：把平面几何的结论搬到空间之前，先在长方体里找一找有没有反例。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"以 A 为原点、棱长 1：AB = (1, 0, 0)、AD = (0, 1, 0)、B₁C₁ = (0, 1, 0) 都与 AA₁ = (0, 0, 1) 垂直\", \"expr\": \"[1 * 0 + 0 * 0 + 0 * 1, 0 * 0 + 1 * 0 + 0 * 1, 0 * 0 + 1 * 0 + 0 * 1]\", \"expect\": [0, 0, 0]}\r\n```\r\n\r\n**12. 锥体体积的 1/3，以及球的两个公式（B23）**\r\n\r\n```\r\n类比：倒水实验\r\n 等底等高的圆锥形杯子装满水，倒进圆柱形杯子，倒三次正好倒满——圆锥的体积是圆柱的 1/3\r\n 棱锥与等底等高的棱柱也是这样：V锥 = (1/3)Sh，V柱 = Sh\r\n\r\n球的两个公式可以一起记：\r\n 把球面分成很多很小的块，每一块和球心连成一个\"小锥体\"，高都约等于半径 R\r\n 体积 ≈ (1/3) × 表面积 × R：(4/3)πR³ = (1/3) × 4πR² × R\r\n\r\n检验：\"底面半径 3、高 4 的圆锥，体积与侧面积各是多少？\"（体积 12π；母线长 5，侧面积 15π）\r\n\r\n⚠️ 边界：倒水实验和\"小锥体\"只帮助记忆，不是证明；课标对这些公式的要求是\"知道\"并会用。\r\n 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是母线 l，不是高 h：侧面积 = (1/2) × 2πr × l = πrl。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"（以 π 为单位）圆锥 r = 3、h = 4：体积 12，侧面积 3 × 5 = 15；R = 2 的球：(4/3)R³ 与 (1/3) × 4R² × R 都等于 32/3\", \"expr\": \"[(1 / 3) * 9 * 4, 3 * Math.hypot(3, 4), (4 / 3) * 2 ** 3, (1 / 3) * (4 * 2 ** 2) * 2]\", \"expect\": [12, 15, 10.666666666666666, 10.666666666666666]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 四、高中必修·概率\r\n\r\n**13. 列样本点：先让它们等可能（B24）**\r\n\r\n```\r\n类比：给两枚硬币编号\r\n 一枚一元、一枚五角，\"一元正、五角反\"和\"一元反、五角正\"是两件不同的事\r\n 所以样本空间是 {正正, 正反, 反正, 反反}，四个样本点等可能\r\n\r\n检验：\"掷两枚均匀的硬币，'一正一反'的概率是多少？\"（1/2）\r\n\r\n⚠️ 边界：古典概型要求样本点有限、等可能；把\"一正一反\"合成一个样本点以后，三个样本点不再等可能，\r\n 就不能用\"个数之比\"算概率。掷骰子问题见课标案例 12。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"四个等可能的样本点中，一正一反占两个，概率 1/2\", \"expr\": \"2 / 4\", \"expect\": 0.5}\r\n```\r\n\r\n**14. 互斥与独立：两回事（B25）**\r\n\r\n```\r\n对照：\r\n 互斥：A、B 不能同时发生，P(AB) = 0，此时 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)\r\n 对立：互斥，并且两者必有一个发生，P(A) + P(B) = 1\r\n 独立：一个发生与否不影响另一个的概率，P(AB) = P(A)P(B)\r\n\r\n检验：\"两个概率都大于 0 的事件如果互斥，它们可能相互独立吗？\"\r\n （不可能：互斥时 P(AB) = 0，而 P(A)P(B) > 0）\r\n\r\n⚠️ 边界：生活里说的\"没关系\"不能代替定义，要用 P(AB) = P(A)P(B) 验证（课标：结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"掷一枚骰子，A = 偶数、B = 不超过 2：P(AB) = 1/6 = P(A)P(B)，独立而不互斥；C = 1 点、D = 2 点：互斥，P(C)P(D) = 1/36 ≠ 0，不独立\", \"expr\": \"[(1 / 2) * (1 / 3), 1 / 6, (1 / 6) * (1 / 6) === 0]\", \"expect\": [0.16666666666666666, 0.16666666666666666, false]}\r\n```\r\n\r\n**15. 频率与概率（—）**\r\n\r\n```\r\n类比：抛硬币\r\n 抛 10 次，可能 6 次正面（频率 0.6），再抛 10 次，可能只有 4 次（频率 0.4）——频率随试验而变\r\n 概率是一个确定的数；试验次数很多时，频率会稳定在概率附近，所以可以用频率估计概率\r\n\r\n检验：\"抛一枚均匀的硬币 10 次，一定正好 5 次正面吗？\"（不一定；抛的次数越多，正面出现的频率一般会越稳定地在 0.5 附近摆动，但不保证每多抛一次就更接近）\r\n\r\n⚠️ 边界：用频率估计概率要有足够多的试验次数；可以用计算器或计算机产生随机数来模拟（课标教学提示）。\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 五、高中必修·统计\r\n\r\n**16. 直方图的纵轴是\"频率/组距\"（B26）**\r\n\r\n```\r\n图解：频率分布直方图里，小矩形的面积 = 组距 × 高 = 频率\r\n 所以高 = 频率/组距；所有小矩形的面积加起来等于 1\r\n\r\n检验：\"组距为 5，某一组小矩形的高是 0.04，这一组的频率是多少？\"（5 × 0.04 = 0.2）\r\n\r\n⚠️ 边界：直接把\"高\"读成频率，会把频率读错；组距不同的两组，更不能靠比高度来比频率。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"组距 5、高 0.04 的小矩形表示频率 0.2\", \"expr\": \"5 * 0.04\", \"expect\": 0.2}\r\n```\r\n\r\n**17. 百分位数（B26）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分（取法以学生所用教材为准，下面是常见教材的取法）：\r\n ① 把 n 个数据从小到大排列\r\n ② 计算 i = n × p%\r\n ③ i 不是整数：比 i 大的最小整数为 j，第 j 个数据就是第 p 百分位数\r\n i 是整数：取第 i 个与第 i + 1 个数据的平均数\r\n 中位数就是第 50 百分位数\r\n\r\n检验：\"数据 3, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 的第 25 百分位数与第 70 百分位数各是多少？\"\r\n （n = 8：8 × 25% = 2，取第 2、3 个数的平均数 5.5；8 × 70% = 5.6，取第 6 个数 10）\r\n\r\n⚠️ 边界：百分位数的含义是\"大约有 p% 的数据不超过它\"（课标：理解百分位数的统计含义，参见案例 14 阶梯电价的设计）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"数据 3, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15：第 25 百分位数 5.5，第 70 百分位数 10，中位数（第 50 百分位数）8.5\", \"expr\": \"((d) => [8 * 0.25, (d[1] + d[2]) / 2, 8 * 0.7, d[5], (d[3] + d[4]) / 2])([3, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15])\", \"expect\": [2, 5.5, 5.6, 10, 8.5]}\r\n```\r\n\r\n**18. 分层随机抽样估计总体均值：按样本量加权（B08）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n 某校高一男生 400 人、女生 600 人，按比例分配抽取 50 人：男生 20 人，女生 30 人\r\n 样本中男生的平均身高 170 cm，女生 160 cm\r\n 总样本均值 = (20 × 170 + 30 × 160)/50 = 164 cm，不是 (170 + 160)/2 = 165 cm\r\n\r\n检验：\"如果男生、女生各 500 人，按比例分配抽样，两层的样本均值仍是 170 cm 和 160 cm，估计值是多少？\"（两层一样大时，才是 165 cm）\r\n\r\n⚠️ 边界：课标要求掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差（参见案例 13）；\r\n 样本方差的合并算法以学生所用教材为准，它不是两层方差的简单平均。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"按比例分配：50 × 400/1000 = 20，50 × 600/1000 = 30；加权均值 164，简单平均 165\", \"expr\": \"[(50 * 400) / 1000, (50 * 600) / 1000, (20 * 170 + 30 * 160) / 50, (170 + 160) / 2]\", \"expect\": [20, 30, 164, 165]}\r\n```\n\nFile v2.11.0:references/math-hs3-concepts.md\n\n# 高中选择性必修的数学概念：类比、边界与检验\r\n\r\n> 示例题验算：2026-09-26\r\n> 适用学段：高中（选择性必修）。\r\n> 本文件是 `xiaozhi-math-concept-explainer` 第十节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》选择性必修主题一\"函数\"（数列、一元函数导数及其应用）、主题二\"几何与代数\"（空间向量与立体几何、平面解析几何）与主题三\"概率与统计\"（计数原理、概率、统计）。每个概念给一个生活类比、图解、逐步拆分或对照（类比写明讲得到哪儿、讲不到哪儿）、一个检验问题，以及对应的错因子类型（定义见数学错误DNA 维度表第十一节；没有专门编码的标\"—\"）。关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算。数学归纳法与贝叶斯公式在课标里标了＊，是选学内容，不作为考试要求。\r\n> 课标的教学提示：数列要突出它是一类特殊的函数，与一次函数、指数函数对照；导数从平均变化率过渡到瞬时变化率，对导数的理解不可能一步到位；空间向量由平面向量类比推广，与综合几何方法对比；解析几何先看清图形的几何特征，再用代数语言描述；概率统计通过具体案例，鼓励使用统计软件。选修课程（A～E 类）不在本文范围内。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、高中选择性必修·数列\r\n\r\n**1. 数列是一类特殊的函数（—）**\r\n\r\n```\r\n对照：\r\n 数列 aₙ = f(n)，自变量只取正整数（或 {1, 2, …, n}）\r\n 等差数列 aₙ = a₁ + (n − 1)d：图像是直线 y = dx + (a₁ − d) 上一串孤立的点，与一次函数对应\r\n 等比数列 aₙ = a₁qⁿ⁻¹（q > 0 且 q ≠ 1）：图像落在指数型函数的图像上，与指数函数对应\r\n\r\n检验：\"数列 aₙ = 3n − 1 的图像是什么样的？\"（直线 y = 3x − 1 上横坐标为 1, 2, 3, … 的一串孤立的点）\r\n\r\n⚠️ 边界：数列的图像是孤立的点，不能把它连成一条线；讨论数列的最大项、最小项时，n 只取正整数。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"aₙ = 3n − 1：a₁ = 2，a₂ = 5，a₃ = 8，公差 3，这些点都在 y = 3x − 1 上\", \"expr\": \"[1, 2, 3].map((n) => 3 * n - 1)\", \"expect\": [2, 5, 8]}\r\n```\r\n\r\n**2. 由 Sₙ 求 aₙ：别忘了 n = 1（B27）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ 要用到 Sₙ₋₁，所以只对 n ≥ 2 成立\r\n ② a₁ = S₁ 单独求\r\n ③ 看 a₁ 是否满足 ① 得到的式子：满足就合写成一个式子，不满足就分段写\r\n\r\n检验：\"Sₙ = n² + 1，求 aₙ。\"（a₁ = S₁ = 2；n ≥ 2 时 aₙ = 2n − 1；a₁ 不满足 2n − 1，要分段写）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"Sₙ = n² + 1：a₁ = 2；a₂ = 3、a₃ = 5 与 2n − 1 一致；2 × 1 − 1 = 1 ≠ a₁\", \"expr\": \"((S) => [S(1), S(2) - S(1), S(3) - S(2), 2 * 1 - 1])((n) => n * n + 1)\", \"expect\": [2, 3, 5, 1]}\r\n```\r\n\r\n**3. 等比数列求和：q = 1 要单独算（B27）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分（错位相减推公式）：\r\n Sₙ = a₁ + a₁q + … + a₁qⁿ⁻¹\r\n qSₙ = a₁q + … + a₁qⁿ⁻¹ + a₁qⁿ\r\n 两式相减：(1 − q)Sₙ = a₁(1 − qⁿ)\r\n 两边除以 1 − q 时，要求 q ≠ 1；q = 1 时每一项都是 a₁，Sₙ = na₁\r\n\r\n检验：\"等比数列的首项为 2，公比为 q，前 n 项和 Sₙ 是多少？\"（q ≠ 1 时 Sₙ = 2(1 − qⁿ)/(1 − q)；q = 1 时 Sₙ = 2n，要分开写）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"a₁ = 2：q = 2、n = 4 时公式给出 2(1 − 16)/(1 − 2) = 30 = 2 + 4 + 8 + 16；q = 1、n = 4 时 Sₙ = 2n = 8，而公式的分母 1 − q = 0\", \"expr\": \"[(2 * (1 - 2 ** 4)) / (1 - 2), 2 + 4 + 8 + 16, 2 * 4, 1 - 1]\", \"expect\": [30, 30, 8, 0]}\r\n```\r\n\r\n**4. 数学归纳法：推倒一排多米诺骨牌（—）**\r\n\r\n```\r\n类比：多米诺骨牌\r\n ① 推倒第一块（验证 n = 1 时命题成立）\r\n ② 保证\"任意一块倒下，都会推倒下一块\"（假设 n = k 时成立，证明 n = k + 1 时也成立）\r\n 两条都做到，所有骨牌都会倒下\r\n\r\n检验：\"验证了 n = 1, 2, 3 时都成立，能说命题对所有正整数都成立吗？\"（不能，还要证明第 ② 步）\r\n\r\n⚠️ 边界：只验证前面若干项是不够的——n² − n + 41 在 n = 1, 2, …, 40 时都是质数，n = 41 时却等于 41 × 41。\r\n 课标把数学归纳法标为选学内容（标＊，不作为考试要求），要求了解原理、能用它证明数列中的一些简单命题。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"n² − n + 41 在 n = 1～40 时都是质数，n = 41 时等于 1681 = 41 × 41，不是质数\", \"expr\": \"((isP) => [Array.from({ length: 40 }, (_, i) => (i + 1) ** 2 - (i + 1) + 41).every(isP), 41 ** 2 - 41 + 41, isP(1681)])((m) => { for (let d = 2; d * d <= m; d++) if (m % d === 0) return false; return m > 1; })\", \"expect\": [true, 1681, false]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、高中选择性必修·一元函数导数及其应用\r\n\r\n**5. 从平均变化率到瞬时变化率（B28）**\r\n\r\n```\r\n类比：汽车的里程表与速度表\r\n 一段时间里的平均速度 = 路程的改变量 ÷ 时间的改变量（平均变化率）\r\n 速度表在某一时刻的读数 = 时间的改变量越来越接近 0 时，平均速度越来越接近的那个数（瞬时变化率）\r\n\r\n检验：\"s(t) = t²（单位：米、秒），t 从 1 到 1.1 的平均速度是多少？t = 1 时的瞬时速度呢？\"\r\n （(1.21 − 1)/0.1 = 2.1 米/秒；平均速度是 2 + Δt，Δt 越来越接近 0 时它越来越接近 2，瞬时速度为 2 米/秒）\r\n\r\n⚠️ 边界：选择性必修只要求体会极限思想，不讲极限的严格定义；课标说明，高中阶段研究与导数有关的问题时，涉及的函数都是可导函数。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"s(t) = t²：[1, 1.1] 上的平均速度 2.1；Δt = 0.000001 时平均速度约为 2\", \"expr\": \"[(1.1 ** 2 - 1) / 0.1, Math.abs(((1 + 1e-6) ** 2 - 1) / 1e-6 - 2) < 1e-5]\", \"expect\": [2.1, true]}\r\n```\r\n\r\n**6. 导数的几何意义，以及两种切线（B28）**\r\n\r\n```\r\n图解：f′(x₀) 是曲线 y = f(x) 在点 (x₀, f(x₀)) 处切线的斜率\r\n \"在点 P 处的切线\"：P 就是切点，斜率直接是 f′(x₀)\r\n \"过点 P 的切线\"：P 不一定是切点——先设切点 (t, f(t))，写出切线方程，再让它经过 P，解出 t\r\n\r\n检验：\"y = x³ 过点 (1, 1) 的切线有几条？\"（两条：切点为 (1, 1) 时 y = 3x − 2；切点为 (−1/2, −1/8) 时 y = (3/4)x + 1/4）\r\n\r\n⚠️ 边界：切线与曲线可以有不止一个公共点（y = 3x − 2 与 y = x³ 还交于 (−2, −8)），\r\n 初中\"与圆只有一个公共点\"的说法不能用来判断一般曲线的切线。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"切线 y = 3t²(x − t) + t³ 过 (1, 1) ⇔ 2t³ − 3t² + 1 = 0，t = 1 或 −1/2；y = 3x − 2 与 y = x³ 在 x = −2 处也相交\", \"expr\": \"[[1, -0.5].map((t) => 2 * t ** 3 - 3 * t ** 2 + 1), 3 * (-0.5) ** 2, 0.75 * 1 + 0.25, 3 * -2 - 2, (-2) ** 3]\", \"expect\": [[0, 0], 0.75, 1, -8, -8]}\r\n```\r\n\r\n**7. 导数的符号与单调性（B29）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 在某个区间上 f′(x) > 0 ⇒ f(x) 在这个区间上单调递增\r\n ② 反过来不一定：y = x³ 在 R 上单调递增，可 f′(0) = 0\r\n ③ 所以 f(x) 单调递增只能推出 f′(x) ≥ 0（由单调性求参数范围时，要注意等号）\r\n\r\n检验：\"f(x) 在区间上单调递增，能推出 f′(x) > 0 吗？\"（不能，只能推出 f′(x) ≥ 0）\r\n\r\n⚠️ 边界：课标要求借助几何直观了解单调性与导数的关系；用导数求单调区间之前，先写出定义域（R07）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"y = x³：f′(0) = 0，但 −1 < 0 < 1 时 f(−1) < f(0) < f(1)，仍然递增\", \"expr\": \"[3 * 0 ** 2, (-1) ** 3 < 0 ** 3 && 0 ** 3 < 1 ** 3]\", \"expect\": [0, true]}\r\n```\r\n\r\n**8. 极值与最值：山顶不一定是最高点（B29）**\r\n\r\n```\r\n类比：爬山\r\n 一座山的山顶是\"附近最高\"（极大值），可整条路上最高的地方，可能在另一座更高的山顶，\r\n 也可能就在路的起点或终点（区间端点）\r\n 极值点是自变量的值（在哪里取到），极值是函数值（取到多少）\r\n\r\n检验：\"f(x) = x³ − 3x 在 [−2, 3] 上的极大值与最大值各是多少？\"\r\n （f′(x) = 3x² − 3，x = −1 处取极大值 f(−1) = 2；最大值在端点 x = 3 处，f(3) = 18）\r\n\r\n⚠️ 边界：可导函数在 x₀ 处取极值的必要条件是 f′(x₀) = 0，但它不是充分条件（y = x³ 在 x = 0 处）；\r\n 还要看 x₀ 两侧导数是否变号。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"f(x) = x³ − 3x：f′(±1) = 0；f(−2) = −2，f(−1) = 2，f(1) = −2，f(3) = 18\", \"expr\": \"((f) => [3 * (-1) ** 2 - 3, 3 * 1 ** 2 - 3, f(-2), f(-1), f(1), f(3)])((x) => x ** 3 - 3 * x)\", \"expect\": [0, 0, -2, 2, -2, 18]}\r\n```\r\n\r\n**9. 求导法则：积的导数不是导数的积（B30）**\r\n\r\n```\r\n对照：\r\n (u ± v)′ = u′ ± v′\r\n (uv)′ = u′v + uv′\r\n (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²（v ≠ 0）\r\n [f(ax + b)]′ = a·f′(ax + b)（选择性必修对复合函数求导的要求限于这一种形式）\r\n\r\n类比：长方形的面积 S = uv\r\n 两条边各长了一点（Δu、Δv），面积增加的部分 ≈ 右边一条 Δu·v 加上边一条 u·Δv，\r\n 角上的小块 Δu·Δv 太小，可以忽略——所以 (uv)′ = u′v + uv′，不是 u′v′\r\n\r\n检验：\"(x·eˣ)′ = ？(sin 2x)′ = ？(1/x)′ = ？\"（(x + 1)eˣ；2cos 2x；−1/x²）\r\n\r\n⚠️ 边界：长方形的类比只在 u、v 都是正数时直观；法则本身对一般的可导函数都成立。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"用对称差商检验：(x·eˣ)′ 在 x = 1 处是 2e，(sin 2x)′ 在 x = 1 处是 2cos 2，(1/x)′ 在 x = 2 处是 −1/4\", \"expr\": \"((d) => [Math.abs(d((x) => x * Math.exp(x), 1) - 2 * Math.E) < 1e-6, Math.abs(d((x) => Math.sin(2 * x), 1) - 2 * Math.cos(2)) < 1e-6, Math.abs(d((x) => 1 / x, 2) + 0.25) < 1e-6])((f, x) => (f(x + 1e-6) - f(x - 1e-6)) / 2e-6)\", \"expect\": [true, true, true]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 三、高中选择性必修·空间向量与立体几何\r\n\r\n**10. 法向量：与平面垂直的方向（B31）**\r\n\r\n```\r\n图解：平面的法向量 n 与平面内的任意向量都垂直\r\n 求法：在平面内找两个不共线的向量 a、b，解 n·a = 0、n·b = 0，取一组非零解\r\n\r\n检验：\"棱长 1 的正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁，以 A 为原点，AB、AD、AA₁ 为 x、y、z 轴，平面 A₁BD 的一个法向量是什么？\"\r\n （A₁B = (1, 0, −1)，A₁D = (0, 1, −1)，取 n = (1, 1, 1)）\r\n\r\n⚠️ 边界：法向量不唯一，(2, 2, 2)、(−1, −1, −1) 也都是；建系之前，先找到（或证明）三条两两垂直的直线（M11）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"n = (1, 1, 1) 与 A₁B = (1, 0, −1)、A₁D = (0, 1, −1) 的数量积都是 0\", \"expr\": \"[1 * 1 + 1 * 0 + 1 * -1, 1 * 0 + 1 * 1 + 1 * -1]\", \"expect\": [0, 0]}\r\n```\r\n\r\n**11. 空间角：线面角用正弦，二面角要看图（B31）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分（u 为直线的方向向量，n、n₁、n₂ 为平面的法向量）：\r\n 异面直线所成的角 θ ∈ (0, π/2]：cos θ = |cos⟨u₁, u₂⟩|\r\n 直线与平面所成的角 θ ∈ [0, π/2]：sin θ = |cos⟨u, n⟩|——法向量与平面垂直，所以是\"余角\"关系\r\n 二面角：大小与 ⟨n₁, n₂⟩ 相等或互补，要结合图形判断是锐角还是钝角\r\n\r\n检验：\"直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦是 1/2，直线与平面所成的角是多少度？\"（sin θ = 1/2，θ = 30°，不是 60°）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"u = (√3, 0, 1)、n = (0, 0, 1)：cos⟨u, n⟩ = 1/2，直线与平面 z = 0 所成的角是 30°\", \"expr\": \"[1 / Math.hypot(Math.sqrt(3), 0, 1), (Math.atan2(1, Math.sqrt(3)) * 180) / Math.PI]\", \"expect\": [0.5, 30]}\r\n```\r\n\r\n**12. 点到平面的距离（B31）**\r\n\r\n```\r\n图解：Q 是平面内一点，P 是平面外一点，n 是平面的法向量\r\n 距离 d = |QP·n| / |n|——把 QP 投影到法向量方向上，取投影的长度\r\n\r\n检验：\"上面的正方体中，点 A 到平面 A₁BD 的距离是多少？\"\r\n （取平面内一点 B(1, 0, 0)，BA = (−1, 0, 0)，n = (1, 1, 1)，d = |−1|/√3 = √3/3）\r\n\r\n⚠️ 边界：课标要求能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题（参见案例 17）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"BA = (−1, 0, 0)、n = (1, 1, 1)：d = 1/√3 = √3/3\", \"expr\": \"[Math.abs(-1 * 1 + 0 * 1 + 0 * 1) / Math.sqrt(3), Math.sqrt(3) / 3]\", \"expect\": [0.5773502691896258, 0.5773502691896258]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 四、高中选择性必修·平面解析几何\r\n\r\n**13. 倾斜角与斜率：竖直的直线没有斜率（B32）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 倾斜角 α 的范围是 [0, π)\r\n ② 斜率 k = tan α；α = 90° 时 tan α 没有意义，斜率不存在\r\n ③ 所以点斜式 y − y₀ = k(x − x₀)、斜截式 y = kx + b 都表示不了竖直的直线 x = x₀；\r\n 两点式 (y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁) 要求 x₁ ≠ x₂、y₁ ≠ y₂，与坐标轴垂直的直线也表示不了；\r\n 用它们设直线时，要把这些情形单独拿出来看\r\n\r\n检验：\"过点 (1, 2) 且与原点距离为 1 的直线有几条？\"（两条：x = 1 与 3x − 4y + 5 = 0）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"原点到 x = 1 的距离为 1；设 y − 2 = k(x − 1)，由 |2 − k|/√(k² + 1) = 1 得 k = 3/4，即 3x − 4y + 5 = 0，原点到它的距离也是 1\", \"expr\": \"[Math.abs(2 - 0.75) / Math.sqrt(0.75 ** 2 + 1), Math.abs(5) / Math.hypot(3, 4)]\", \"expect\": [1, 1]}\r\n```\r\n\r\n**14. 两直线垂直：k₁k₂ = −1 有前提（B32）**\r\n\r\n```\r\n对照：\r\n 两条直线的斜率都存在时：垂直 ⇔ k₁k₂ = −1\r\n 一条斜率为 0、另一条斜率不存在（如 y = 1 与 x = 2）时，两直线也垂直，但没法用 k₁k₂ = −1\r\n 用一般式 A₁x + B₁y + C₁ = 0、A₂x + B₂y + C₂ = 0 时：垂直 ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ = 0，不受斜率是否存在的限制\r\n\r\n检验：\"直线 x = 2 与 y = 1 垂直吗？能用 k₁k₂ = −1 判断吗？\"（垂直；不能，x = 2 没有斜率）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"x − 2 = 0 与 y − 1 = 0：A₁A₂ + B₁B₂ = 1 × 0 + 0 × 1 = 0；y = 2x 与 y = −x/2：k₁k₂ = −1\", \"expr\": \"[1 * 0 + 0 * 1, 2 * -0.5]\", \"expect\": [0, -1]}\r\n```\r\n\r\n**15. 椭圆：到两个定点的距离之和为定值（B33）**\r\n\r\n```\r\n类比：钉子与绳子\r\n 在木板上钉两颗钉子（焦点 F₁、F₂），拴一根比两钉距离长的绳子，用笔尖拉紧绳子画一圈，就是椭圆\r\n 绳长 = 2a，两钉距离 = 2c；笔尖走到短轴端点时，两段绳子一样长，都是 a，\r\n 于是 a、b、c 构成直角三角形，a 是斜边：a² = b² + c²\r\n\r\n检验：\"绳长 10、两钉相距 8，画出的椭圆的 a、b、c 各是多少？\"（a = 5，c = 4，b = 3）\r\n\r\n⚠️ 边界：绳长等于两钉距离时，画出的是线段 F₁F₂；绳长比两钉距离短，根本画不出来——所以定义要求 2a > |F₁F₂|。\r\n 椭圆也可以由平面截圆柱得到（课标案例 28 圆柱体截面问题）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"2a = 10、2c = 8：a = 5，c = 4，b = √(a² − c²) = 3\", \"expr\": \"[10 / 2, 8 / 2, Math.sqrt(5 ** 2 - 4 ** 2)]\", \"expect\": [5, 4, 3]}\r\n```\r\n\r\n**16. 双曲线：c 最大（B33）**\r\n\r\n```\r\n对照：\r\n 椭圆：|PF₁| + |PF₂| = 2a（2a > |F₁F₂|），a 最大，a² = b² + c²\r\n 双曲线：||PF₁| − |PF₂|| = 2a（0 < 2a < |F₁F₂|），c 最大，c² = a² + b²\r\n 焦点在哪条轴上：椭圆看哪个分母大；双曲线看哪一项前面是正号\r\n 焦点在 x 轴上的双曲线 x²/a² − y²/b² = 1，渐近线是 y = ±(b/a)x\r\n\r\n检验：\"双曲线 x²/16 − y²/9 = 1 的焦点坐标和渐近线方程是什么？\"（焦点 (±5, 0)；y = ±(3/4)x）\r\n\r\n⚠️ 边界：课标对抛物线与双曲线的要求是\"了解\"定义、图形、标准方程和简单几何性质，对椭圆是\"掌握\"定义、标准方程和简单几何性质。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"x²/16 − y²/9 = 1：c = √(16 + 9) = 5，渐近线斜率 ±3/4；椭圆 x²/25 + y²/9 = 1：c = √(25 − 9) = 4\", \"expr\": \"[Math.sqrt(16 + 9), 3 / 4, Math.sqrt(25 - 9)]\", \"expect\": [5, 0.75, 4]}\r\n```\r\n\r\n**17. 抛物线：先化成标准方程，再找焦点（B33）**\r\n\r\n```\r\n对照：\r\n y² = 2px（p > 0）：焦点 (p/2, 0)，准线 x = −p/2，开口向右\r\n x² = 2py（p > 0）：焦点 (0, p/2)，准线 y = −p/2，开口向上\r\n 定义：抛物线上的点到焦点的距离，等于它到准线的距离\r\n\r\n检验：\"y = 4x² 的焦点坐标是什么？\"（先化成 x² = y/4，2p = 1/4，p = 1/8，焦点 (0, 1/16)）\r\n\r\n⚠️ 边界：y = 4x² 这种写法是初中二次函数的样子，不化成标准方程就套 y² = 2px，焦点会写到 x 轴上去。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"y = 4x² 上的点 (0.5, 1) 到焦点 (0, 1/16) 的距离与到准线 y = −1/16 的距离都是 1.0625\", \"expr\": \"[Math.hypot(0.5, 1 - 1 / 16), 1 + 1 / 16]\", \"expect\": [1.0625, 1.0625]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 五、高中选择性必修·计数原理\r\n\r\n**18. 排列还是组合：看顺序有没有关系（B34）**\r\n\r\n```\r\n检验顺序的办法：把选出来的结果交换一下顺序，算不算不同的结果？\r\n 算不同 → 排列 Aₙᵐ（如选 2 人分别当正、副班长）\r\n 算相同 → 组合 Cₙᵐ（如选 2 人参加同一个活动）\r\n\r\n检验：\"10 个人两两握手一次，一共握手多少次？两两互寄一张贺卡，一共寄多少张？\"（C₁₀² = 45 次；A₁₀² = 90 张）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"C₁₀² = 10 × 9/2 = 45；A₁₀² = 10 × 9 = 90；从 5 人中选正副班长 A₅² = 20，选 2 人参加活动 C₅² = 10\", \"expr\": \"[(10 * 9) / 2, 10 * 9, 5 * 4, (5 * 4) / 2]\", \"expect\": [45, 90, 20, 10]}\r\n```\r\n\r\n**19. 平均分组：组与组没有区别时要除以组数的阶乘（B34）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：4 本不同的书 a、b、c、d\r\n 平均分给甲、乙两人：C₄²·C₂² = 6 种（甲拿 ab、乙拿 cd，与甲拿 cd、乙拿 ab 是两种分法）\r\n 平均分成两堆：ab|cd、ac|bd、ad|bc，只有 3 种——两堆没有名字，上面每种分法都被数了 2! = 2 次\r\n\r\n检验：\"6 本不同的书平均分成 3 堆，有几种分法？\"（C₆²·C₄²·C₂²/3! = 15 种）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"4 本书平均分给甲乙 6 种、分成两堆 3 种（列举）；6 本书平均分成 3 堆 90/6 = 15 种\", \"expr\": \"[6 * 1, ((s) => s.length)(['ab|cd', 'ac|bd', 'ad|bc']), (15 * 6 * 1) / 6]\", \"expect\": [6, 3, 15]}\r\n```\r\n\r\n**20. 二项式定理：通项是第 r + 1 项（B35）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n (a + b)ⁿ 展开后，第 r + 1 项是 Tᵣ₊₁ = Cₙʳaⁿ⁻ʳbʳ（r 从 0 数起，所以是第 r + 1 项）\r\n 二项式系数 Cₙʳ 只和 n、r 有关；项的系数还要乘上 a、b 里的数字（连同符号）\r\n\r\n检验：\"(1 − 2x)⁵ 展开式的第 4 项是什么？\"（r = 3：T₄ = C₅³·(−2x)³ = −80x³，二项式系数是 10）\r\n\r\n⚠️ 边界：各项二项式系数之和是 2ⁿ；各项系数之和要令 x = 1 来算，(1 − 2)⁵ = −1。\r\n 二项式定理可以用计数原理证明，杨辉三角是二项式系数的表（课标案例 18、19）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"(1 − 2x)⁵：C₅³ = 10，第 4 项系数 10 × (−2)³ = −80；二项式系数之和 2⁵ = 32，各项系数之和 (1 − 2)⁵ = −1\", \"expr\": \"[(5 * 4 * 3) / (3 * 2 * 1), 10 * (-2) ** 3, 2 ** 5, (1 - 2) ** 5]\", \"expect\": [10, -80, 32, -1]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 六、高中选择性必修·概率\r\n\r\n**21. 条件概率：已知 A 发生，样本空间就缩小了（B36）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n P(B | A) = P(AB)/P(A)（P(A) > 0）：已知 A 发生，只在 A 包含的样本点里看 B\r\n 从 1～10 中随机取一个数，A = \"取到偶数\"，B = \"取到的数大于 6\"\r\n P(AB) = P({8, 10}) = 2/10\r\n P(B | A)：只看偶数 {2, 4, 6, 8, 10}，其中大于 6 的有 2 个，等于 2/5\r\n P(A | B)：只看 {7, 8, 9, 10}，其中偶数有 2 个，等于 1/2\r\n\r\n检验：\"上面的 P(B | A) 和 P(AB) 为什么不一样？\"（前者的样本空间缩小成了 5 个偶数）\r\n\r\n⚠️ 边界：P(B | A) 与 P(A | B) 一般不相等；A、B 相互独立 ⇔ P(B | A) = P(B)（P(A) > 0 时）——\r\n 课标要求结合古典概型理解条件概率与独立性的关系。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"P(AB) = 0.2，P(B | A) = 0.4，P(A | B) = 0.5\", \"expr\": \"[2 / 10, 2 / 5, 2 / 4]\", \"expect\": [0.2, 0.4, 0.5]}\r\n```\r\n\r\n**22. 全概率公式：分情况，再加起来（—）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：甲、乙两台机器生产同一种零件，甲的产量占 60%、次品率 2%，乙的产量占 40%、次品率 5%\r\n 任取一件是次品的概率 = P(甲)P(次|甲) + P(乙)P(次|乙) = 0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.05 = 0.032\r\n\r\n检验：\"上面这件次品来自甲的概率是多少？\"（0.012/0.032 = 0.375——这是贝叶斯公式的情形：公式本身是选学，只要求了解；用条件概率的定义加全概率公式就能算，属于考试要求）\r\n\r\n⚠️ 边界：分出来的几种情况必须互斥，而且合起来覆盖全部可能；课标要求结合古典概型会用乘法公式、全概率公式计算概率。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"0.6 × 0.02 + 0.4 × 0.05 = 0.032；0.012/0.032 = 0.375\", \"expr\": \"[0.6 * 0.02 + 0.4 * 0.05, (0.6 * 0.02) / (0.6 * 0.02 + 0.4 * 0.05)]\", \"expect\": [0.032, 0.375]}\r\n```\r\n\r\n**23. 二项分布还是超几何分布：有没有放回（B37）**\r\n\r\n```\r\n对照：\r\n 有放回（或 n 次独立重复试验，每次成功的概率 p 不变）：X ~ B(n, p)\r\n P(X = k) = Cₙᵏpᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ，E(X) = np，D(X) = np(1 − p)\r\n 不放回地从 N 件（其中 M 件次品）中抽 n 件：超几何分布，E(X) = nM/N\r\n\r\n检验：\"10 件产品中有 3 件次品，任取 2 件，恰有 1 件次品的概率是多少？\"\r\n （不放回：C₃¹C₇¹/C₁₀² = 7/15；如果是有放回地取两次：2 × 0.3 × 0.7 = 0.42）\r\n\r\n⚠️ 边界：课标要求掌握二项分布及其数字特征，了解超几何分布及其均值；\r\n 总体很大、抽得很少时，两种分布算出来差别很小，但题目说了\"不放回\"，就按超几何分布算。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"不放回 21/45 = 7/15，有放回 0.42；两种抽法次品数的均值都是 2 × 3/10 = 0.6\", \"expr\": \"[(3 * 7) / 45, 7 / 15, 2 * 0.3 * 0.7, (2 * 3) / 10]\", \"expect\": [0.4666666666666667, 0.4666666666666667, 0.42, 0.6]}\r\n```\r\n\r\n**24. 均值与方差：一个看平均水平，一个看波动（—）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：掷一枚均匀的骰子，点数为 X\r\n 均值 E(X) = (1 + 2 + … + 6)/6 = 3.5\r\n 方差 D(X) = Σ(xᵢ − 3.5)² × 1/6 = 35/12\r\n 线性变换：E(aX + b) = aE(X) + b，D(aX + b) = a²D(X)\r\n\r\n检验：\"Y = 2X + 1，E(Y)、D(Y) 各是多少？\"（E(Y) = 8；D(Y) = 4 × 35/12 = 35/3，不是 2 × 35/12 + 1）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"骰子点数：E(X) = 3.5，D(X) = 35/12；Y = 2X + 1：E(Y) = 8，D(Y) = 35/3\", \"expr\": \"((xs) => { const E = xs.reduce((s, x) => s + x, 0) / 6, D = xs.reduce((s, x) => s + (x - E) ** 2, 0) / 6; return [E, D, 35 / 12, 2 * E + 1, 4 * D, 35 / 3]; })([1, 2, 3, 4, 5, 6])\", \"expect\": [3.5, 2.9166666666666665, 2.9166666666666665, 8, 11.666666666666666, 11.666666666666666]}\r\n```\r\n\r\n**25. 正态分布：钟形曲线（—）**\r\n\r\n```\r\n图解：X ~ N(μ, σ²) 的密度曲线是一条\"钟形\"曲线\r\n 关于直线 x = μ 对称，所以 P(X > μ) = P(X < μ) = 0.5\r\n σ 越小，曲线越\"瘦高\"，数据越集中在 μ 附近\r\n X 落在 (μ − σ, μ + σ)、(μ − 2σ, μ + 2σ)、(μ − 3σ, μ + 3σ) 内的概率约为 68.3%、95.4%、99.7%\r\n\r\n检验：\"X ~ N(100, 15²)，P(X > 100) 是多少？P(85 < X < 115) 大约是多少？\"（0.5；约 68.3%）\r\n\r\n⚠️ 边界：课标只要求通过误差模型了解正态分布的特征、均值与方差的含义；具体概率值以教材给出的数据为准。\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 七、高中选择性必修·统计\r\n\r\n**26. 相关系数：只管\"线性\"，不管因果（B38）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n 样本相关系数 r ∈ [−1, 1]，|r| 越接近 1，线性相关越强；r > 0 正相关，r < 0 负相关\r\n r 接近 0 只说明线性相关弱，不说明两个变量没有关系\r\n 相关不等于因果：冰淇淋销量和游泳溺水人数都随气温升高而增加，它们相关，但谁也不是谁的原因\r\n r 恰好是两组数据各自减去均值以后，所成两个向量夹角的余弦（课标：了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系）\r\n\r\n检验：\"x 取 −2、−1、0、1、2，y = x²，r 是多少？能说 y 与 x 没有关系吗？\"（r = 0；不能，y 完全由 x 决定）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"x = −2…2、y = x²：Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 0，r = 0；x = 1…5、y = 2, 4, 5, 4, 5：中心化向量 (−2, −1, 0, 1, 2)、(−2, 0, 1, 0, 1)，r = 6/√60\", \"expr\": \"[[-2, -1, 0, 1, 2].reduce((s, x) => s + x * (x * x - 2), 0), (4 + 0 + 0 + 0 + 2) / Math.sqrt(10 * 6), 6 / Math.sqrt(60)]\", \"expect\": [0, 0.7745966692414834, 0.7745966692414834]}\r\n```\r\n\r\n**27. 经验回归方程：预测的是估计值（B38）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分（用 26 中 x = 1…5 的数据）：\r\n b̂ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)² = 6/10 = 0.6\r\n â = ȳ − b̂x̄ = 4 − 0.6 × 3 = 2.2，经验回归方程 ŷ = 0.6x + 2.2\r\n 经验回归直线一定经过样本中心 (x̄, ȳ) = (3, 4)\r\n x = 6 时 ŷ = 5.8：这是估计值，实际观测值会在它附近波动\r\n\r\n检验：\"用这个方程预测 x = 6 时的 y，结果能写成'y 一定是 5.8'吗？\"（不能，只能说估计值约为 5.8）\r\n\r\n⚠️ 边界：离样本范围太远的 x 代进去，预测往往不可靠；课标要求掌握最小二乘估计方法，会使用统计软件。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"b̂ = 6/10 = 0.6，â = 4 − 0.6 × 3 = 2.2，x = 6 时 ŷ = 5.8；回归直线过 (3, 4)\", \"expr\": \"[6 / 10, 4 - 0.6 * 3, 0.6 * 6 + 2.2, 0.6 * 3 + 2.2]\", \"expect\": [0.6, 2.2, 5.8, 4]}\r\n```\r\n\r\n**28. 独立性检验：带着\"可能犯错\"下结论（B38）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 零假设：两个分类变量相互独立（没有关联）\r\n ② 由 2×2 列联表算出 χ² = n(ad − bc)² / [(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)]\r\n ③ 与小概率值 α 对应的临界值比较：χ² ≥ 临界值，就推断两个变量有关联，这个推断犯错误的概率不超过 α；\r\n χ² < 临界值，只能说没有充分证据推断有关联，不等于证明了它们独立\r\n\r\n检验：\"a = 20、b = 30、c = 30、d = 20，算出 χ² = 4，α = 0.05 时临界值为 3.841，α = 0.01 时为 6.635，结论怎么写？\"\r\n （α = 0.05 时推断两个变量有关联，犯错误的概率不超过 0.05；α = 0.01 时没有充分证据推断有关联）\r\n\r\n⚠️ 边界：课标要求了解 2×2 列联表独立性检验及其应用；临界值表和结论的表述以学生所用教材为准。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"a = 20、b = 30、c = 30、d = 20：χ² = 100 × (400 − 900)² / (50 × 50 × 50 × 50) = 4，大于 3.841、小于 6.635\", \"expr\": \"((a, b, c, d) => { const n = a + b + c + d, k = (n * (a * d - b * c) ** 2) / ((a + b) * (c + d) * (a + c) * (b + d)); return [k, k >= 3.841, k < 6.635]; })(20, 30, 30, 20)\", \"expect\": [4, true, true]}\r\n```\n\nFile v2.11.0:shared/ai-item-check.md\n\n\r\n\r\n# AI 出题自检协议\r\n\r\n> 任何由 SKILL 即兴生成的题目（同类题、变式题、纯净版题、梯度题、迁移测试、测评题、听力/阅读材料后的题），在发给学生或老师之前必须通过以下自检。通不过的题不得输出。\r\n\r\n## 一、自检步骤（模型内部完成，不向学生展示）\r\n\r\n1. **自解**：先完整解一遍，得到答案。\r\n2. **有解且唯一**：解存在；若为求值题答案唯一；若为开放题，写明\"开放题，参考答案不唯一\"。\r\n3. **条件充分且不多余**：删掉任一条件是否仍可解？增加了矛盾条件？（例：\"直线与 x 轴围成三角形\"不成题；\"不过第二象限且过第二象限\"无解。）\r\n4. **数值友好**：初中题默认整数或简单分数解；出现循环小数/无理数须是题目本意。应用题中的人数、件数、次数必须为非负整数。\r\n5. **学段内**：用到的概念、公式、术语不超出该 SKILL `grade_bands` 声明的学段（对照 `shared/vocab.md §10`）；超出则删题或标 `⚠高中`。\r\n6. **与原题同型**：作为\"同类题\"时，考查的通用维度和子类型必须与原错题一致（`shared/vocab.md §1-2`），只换情境或数字。\r\n7. **物理量合理**：物理题检查单位制、数量级（例：初中生跑步速度 4-6 m/s，家用电压 220 V）、图示是否可画。\r\n8. **语言题**：英语题检查语法本身正确、目标语法点只出现一次；语文病句题检查\"原句确实有病\"且\"修改后确实无病\"。\r\n\r\n## 二、输出标注\r\n\r\n- 学生端：题后不标注，但若学生质疑\"这题是不是有问题\"，必须认真复核，不得坚持错题。\r\n- 老师端：AI 生成的题必须标注 `【AI 生成，入库前请人工验算】`，未经老师确认不得写入资源库或试卷。\r\n\r\n## 三、示例题回归\r\n\r\nreferences 中的示例题视同 AI 生成题：每次修改 references 后，按本协议逐题验算一遍。CI 有三道检查：\r\n\r\n1. **声明**（A1）：含示例题的文件顶部须有一行 `> 示例题验算：YYYY-MM-DD`。\r\n2. **不得过期**（A2）：声明日期不得早于文件最后一次实质提交（纯升版提交不算）。改了题没重新验算、没更新日期，CI 直接失败——日期是承诺，不是装饰。\r\n3. **机器断言**（`scripts/verify-examples.mjs`）：关键数值结论写成可执行的 `verify` 块，CI 每次替你算：\r\n\r\n ```verify\r\n {\"claim\": \"184 分题改为 175 分后 x 为整数\", \"expr\": \"Number.isInteger((175 - 100) / 7)\", \"expect\": true}\r\n ```\r\n\r\n `expr` 是只含 Math 与字面量的 JS 表达式，`expect` 按 JSON 相等比较。历史上出过的病题（无解、非整数解、不成题）都应留一条断言，题目一改断言就红。\n\nFile v2.11.0:shared/crisis-exception.md\n\n\n\n# 危机例外（共享片段）\r\n\r\n> 所有可能读到学生情绪文本的 SKILL 必须引入本片段，位置在任何\"熔断 / 温情转化 / 焦虑处理 / 家长输出\"规则**之前**。完整处置流程见 `shared/crisis-referral-protocol.md`（随每个技能包分发）。\r\n\r\n## 适用地域（先读这一节）\r\n\r\n本库的默认部署环境是**中国大陆的中文 K12 场景**，下文列出的求助号码也只在中国大陆有效。\r\n\r\n**在其他地区使用时，号码必须先本地化，不得原样照搬。** 具体做法：\r\n\r\n1. **不确定所在地区时先问一句**：\"你现在在哪个国家或地区？我需要据此给你当地的求助方式。\"——问清楚之前，只做\"联系身边信任的成年人\"这一条通用引导。\r\n2. 已知在中国大陆 → 用下文\"最低话术\"一节的号码（完整清单见 `shared/crisis-referral-protocol.md` 第五节）。\r\n3. 已知在其他地区 → **不要输出中国大陆号码**，改为：\"请拨打你所在国家/地区的紧急电话\"，并建议联系学校辅导员、家庭医生或当地青少年求助热线。若平台配置了本地渠道，用配置值。\r\n4. 任何情况下，\"找一位信任的成年人\"与\"如有即时危险请立刻拨打当地紧急电话\"这两条都通用，可以先说。\r\n\r\n部署方若面向中国大陆以外的用户，应在上架说明中替换下文\"最低话术\"一节与 `shared/crisis-referral-protocol.md` 第五节的渠道清单。\r\n\r\n## 在 SKILL.md 中的写法（复制以下三行，不要改写）\r\n\r\n```text\r\n⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记\"已转介\"的处置事实。\r\n```\r\n\r\n家庭安全类信号的不记情形，以下文\"家庭安全类信号\"一节为准。\r\n\r\n## 各类流程的接入点\r\n\r\n| 流程 | 接入位置 |\r\n|---|---|\r\n| 熔断 / \"太难了、放弃了\" 分支（费曼、梯度训练、解题教练） | 进入熔断话术**之前**先做危机信号检查 |\r\n| 焦虑处理（数学/物理错误 DNA、错题本情绪性失误） | 焦虑信号分级：学习压力 → 本 SKILL 处理；危机信号 → 本片段 |\r\n| 家长可见输出（家庭看板、月报家长页、周报家庭版、兴趣简报、老师端家长反馈） | 生成前检查；出现危机信号时**不得**低敏转化，如实提示监护人。**家庭安全类信号除外**：不写进任何家长可见的输出，也不借它提示监护人（见下一节） |\r\n| 倾诉类入口（\"说出让你分心的事\"） | 只接收与学习相关的内容；出现危机信号立即切换 |\r\n| 自建 SKILL 模板（开发者工具） | 模板头部固定带本片段，且不允许写\"不对情绪负责 / 等自习结束再说\"类规则 |\r\n\r\n## 家庭安全类信号（伤害可能来自家里）\r\n\r\n学生说到家里有人打他、经常谩骂、恐吓他、虐待他（含性侵害），不给饭吃、长期没人照料，把他赶出家门或威胁送走他，或者说害怕回家——伤害可能来自家里。这时去提示监护人，可能让孩子更危险。所以这一类**不按\"提示监护人\"处理**，其余处置照旧：\r\n\r\n- **对学生**：先说\"这不是你的错\"。不劝他去告诉可能伤害他的家人，也不劝他回家\"好好沟通\"；建议尽快告诉信任的大人——老师、班主任、学校的心理老师，或不住在一起、信得过的亲戚。学生自己说家里另一位大人（比如妈妈）能保护他，不反驳，同时仍建议告诉老师。有即时危险时，按上文\"适用地域\"给紧急电话。\r\n- **家长可见的内容**（家庭看板、周报家庭版、月报家长页、兴趣简报、老师端的家长反馈与家长消息）：不写这件事，不暗示，也不借这些内容提示监护人。学生端只对学生本人说，老师端只对老师说（家长、监护人自己说起家里有人打孩子的，按下文\"家长、监护人自己说打了孩子\"一条）。学生与监护人共用会话或设备、或小学有家长在旁边时，回应里不复述学生说的细节，也不提\"家里\"，只建议去找老师、班主任或学校的心理老师（家庭版最低话术里的\"不住在一起、你信得过的亲戚\"也不说）。\r\n- **老师端**（本条与下面三条里的报告途径、部门与法条都按中国大陆写，其他地区见下面第三条末句）：不先联系监护人，不找家长核实或对质；不起草提到这件事的家长消息；处置之后，照常的学习反馈照旧（不突然中断；学校或有关部门另有安排的，听他们的），也不在里面暗示。不追问学生细节，也不承诺替学生保密（可以告诉学生：会请能保护他的人来帮忙）；学生的原话、时间和看到的伤如实写进交给学校或公安的报告，不写进本库的工作空间与记录。要不要告诉家长、告诉哪一位，由学校（机构）和公安、民政等部门决定。\r\n - 学校老师：当天按学校的学生保护流程，报告班主任或学校分管学生保护工作的校领导（有的学校设学生保护专员；老师本人就是班主任的，直接报告分管校领导），由学校依照规定向公安、民政、教育等部门报告；学校没有及时报告的，老师自己直接向公安机关报告（也可以向主管教育行政部门报告）——这项报告义务，法律也规定给了教职工本人。依据：《未成年人学校保护规定》第四十七条（学校和教职工发现学生遭受或疑似遭受家庭暴力、虐待、遗弃、长期无人照料等不法侵害的，应当依照规定及时向公安、民政、教育等有关部门报告）、第四十八条；《反家庭暴力法》第十四条——学校及其工作人员发现未成年学生遭受或疑似遭受家庭暴力的，应当及时向公安机关报案，公安机关对报案人的信息保密；性侵害、性骚扰另见《未成年人保护法》第四十条（学校不得隐瞒，应当及时向公安机关、教育行政部门报告）。\r\n - 校外培训机构的老师按机构的流程报告，机构没有流程或没有及时报告的，自己直接向公安机关报告；独立教师没有机构，当天直接向公安机关报告。依据：《未成年人保护法》第十一条——密切接触未成年人的单位（第一百三十条：含学校、校外培训机构）及其工作人员，在工作中发现未成年人身心健康受到侵害、疑似受到侵害或面临其他危险情形的，应当立即向公安、民政、教育等有关部门报告；任何组织或个人发现这类情形，都有权劝阻、制止，或向这些部门检举、控告。\r\n - 正在发生危险时立即报警（中国大陆为 110）。学生说不敢回家、向学校求助时，学校不得拒绝、推诿，需要救助的先行救助：先别让他一个人回家，等学校和公安、民政部门安排（《未成年人学校保护规定》第四十九条）。学生已满 18 周岁、能自己作主时，上面引的强制报告条文不适用：老师照样告诉学校，向外报案先听学生本人的意见，并告诉他可以向居委会、妇联求助或向公安机关报案（《反家庭暴力法》第十三条）；正在发生危险时照样报警。在其他地区，按当地法律与学校规程报告，求助方式按上文\"适用地域\"。\r\n- 说到被打、被伤害，但说不清是不是家里人干的，按本节处理。只是被爸妈批评、说了几句重话，家里吵架（没人动手）或父母离婚，没有挨打、没有经常被谩骂、恐吓，也没说怕回家的，不算本类：其中的自伤、轻生信号照常提示监护人。家里有大人动手打人或拿刀等凶器吓人，就算不是冲着他（比如爸爸打妈妈），也按本节处理。本类和自伤、轻生信号一起出现时按本节处理，求助热线与紧急电话照样给；老师端报告时把自伤风险一并说明。\r\n- **家长、监护人自己说打了孩子**（比如\"考成这样，昨晚我揍了他一顿\"），或说把孩子关在门外、赶出家门、不给饭吃，或说马上要这样做：伤害就来自正在说话的人，同样按本节处理，只是说话的对象换成家长。\r\n - 对家长（学生端：家长在用或在旁边）：用下文\"最低话术\"里的家长版。不说教、不贴标签、不吓唬（不说\"我要报警\"\"我要告诉学校\"这类话），也不当作没听见、照常往下讲题。先问孩子现在怎么样、有没有受伤，受了伤先处理，需要的话去医院；说清一句：打骂解决不了学习上的问题，法律也要求家长用文明的方式教育孩子、不允许家庭暴力（《未成年人保护法》第十七条、《家庭教育促进法》第二十三条、《反家庭暴力法》第十二条）；还在气头上的，先离开一会儿，平静下来再谈学习；学习上的难处可以和孩子的班主任或学校的心理老师一起想办法，确认在中国大陆后也可以打 12355（青少年服务台，亲子关系与家庭教育的事也接）。家长说马上要打、还没动手的，不问受伤，先说一句\"请先别动手\"，再接家长版第 2 至 4 行。家长不认同（如\"打孩子是我自己家的事\"）的，不争辩、不重复说教，说一句\"孩子的安全最要紧，需要帮忙随时可以找班主任\"。之后再回到学习的事：先给家长一两件能陪孩子一起做的事，不罗列分数、错题与弱项清单。\r\n - 正在打、孩子伤得重、孩子这会儿正被关在门外或赶出了家门，或家长说控制不住自己：有即时危险，停下一切流程，按上文\"适用地域\"给紧急电话（中国大陆为 110/120；只是孩子伤得重、没有别的危险的，给 120）；孩子被关在门外或赶出了家门的，先请家长马上把孩子领进屋，找不到孩子的立即报警；家长说控制不住自己的，先请他离开孩子所在的房间，家里有别的大人的，请那位大人照看孩子。\r\n - 孩子可能就在旁边（共用会话或设备、小学有家长在旁边）：家长版照说，法律那句不展开，也不评判这次算不算家庭暴力；不当着孩子数落家长，不复述细节，也不让孩子表态；之后孩子单独说到挨打、害怕回家的，按本节对学生的做法。\r\n - 家长说的是家里另一位大人打孩子（对这位家长不用上面的家长版）：先护住孩子和自己，正在发生危险时报警；孩子或自己受了伤的先去医院，病历和伤情照片留好；不劝他先去和打人的一方\"好好谈\"；可以向居委会（村委会）、妇联投诉、求助，或向公安机关报案（《反家庭暴力法》第十三条），也可以向法院申请人身安全保护令（第二十三条），告诉孩子的班主任，请学校一起帮忙；确认在中国大陆后，也可以打 12355 咨询。手机或设备打人的一方也会用的，提醒家长看完可以删掉这段对话。\r\n - 这件事不写进本库的档案和任何记录（处置事实也不记），不写进家长可见的内容，学习记录里也不把挨打写成原因或教训。老师端：家长发来的原消息留着（截图），不删。\r\n - 老师端：家长在消息里或当面对老师说自己打了孩子，也是疑似家庭暴力，照上面\"老师端\"一条报告（报告途径相同；家长的原话和时间如实写进报告）。回这位家长的消息时，在学习安排之外加一句不带指责的劝阻，比如\"成绩的事我们一起想办法，请别因为成绩打骂孩子\"——这一句和下面给保护方家长的回复，是上面\"不起草提到这件事的家长消息\"仅有的两个例外；不提报告，不追问打成什么样，不对质。家长说到孩子受了伤、经常这样，或把孩子关在门外、赶出家门、不给饭吃的，老师自己看到孩子身上有伤的也算，先报告（孩子这会儿还在门外或找不到的，按正在发生危险立即报警），回不回、怎么回听学校（机构）和公安的；他们交代之前，照常的学习反馈照旧，不提这件事，也不加这句劝阻。家长只说要打、还没动手的，回消息时同样加这一句劝阻，并留意孩子之后的状况（学校老师同时告诉班主任）；说要拿棍子、皮带等东西打，或说自己控制不住的，孩子面临危险，照上面\"老师端\"一条报告，回消息时照样加这一句劝阻；说眼下就要动手的，按正在发生危险立即报警；孩子之后说到挨打、身上有伤或害怕回家的，按本节处理。家长说的是家里另一位大人打孩子的，同样照上面\"老师端\"一条报告；回这位家长时可以写\"谢谢您告诉我。孩子和您的安全最要紧，遇到危险请先报警，居委会、妇联也都可以求助\"，不在消息里问细节、复述细节（手机可能被打人的一方看到）。学生已满 18 周岁的，照上面\"老师端\"一条里成年学生的写法：向外报案先听学生本人的意见。\r\n- 档案照旧只记\"已转介\"的处置事实，不写家庭信息，也不记\"已提示监护人\"；家长可见的内容不显示这条记录。小学有家长在旁边、学生与监护人共用会话或设备，或家长自己说打了孩子时，这一条不记；事后的跟进只在确认是学生本人、身边没有家里人时再问。\r\n\r\n## 最低话术\r\n\r\n**通用部分（任何地区都可以先说）：**\r\n\r\n```text\r\n谢谢你愿意告诉我。这件事很重要，比任何题目都重要。\r\n我是学习伙伴，帮不了这么重要的事，但我很在意你。\r\n现在能不能找一位你信任的大人——爸爸妈妈、老师、或学校的心理老师——把刚才的话告诉他们？\r\n如果你现在就有危险，请立刻拨打你所在地区的紧急电话。\r\n```\r\n\r\n**伤害可能来自家里时**（见\"家庭安全类信号\"一节），通用部分改用这一版：\r\n\r\n```text\r\n谢谢你愿意告诉我。这不是你的错。\r\n这件事需要能保护你的大人来帮你。我是学习伙伴，帮不了这么大的忙，但我很在意你。\r\n能不能尽快找一位你信任的大人——老师、班主任、学校的心理老师，或者不住在一起、你信得过的亲戚——把刚才的话告诉他们？\r\n你现在安全吗？如果现在就有危险，请立刻拨打你所在地区的紧急电话。\r\n```\r\n\r\n**家长、监护人自己说打了孩子时**（学生端用，见\"家庭安全类信号\"一节；老师端回家长的消息不用这一版，照该节\"家长、监护人自己说打了孩子\"一条里的\"老师端\"一小条写），先说这一版：\r\n\r\n```text\r\n学习的事先放一放，我想先问一句：孩子现在怎么样？有没有受伤？受了伤先处理，需要的话带孩子去医院。\r\n成绩也好，作业也好，打骂都解决不了问题；法律也要求家长用文明的方式教育孩子，不允许家庭暴力。\r\n要是火气还没下去，先离开一会儿，等平静下来再谈学习。\r\n学习上的难处我可以帮着一起看，也可以找孩子的班主任或学校的心理老师一起想办法。孩子伤得重，或者现在还有危险的，请立刻拨打您所在地区的急救或紧急电话。\r\n```\r\n\r\n**家长版确认在中国大陆后，补这一句**（不用下面给学生的那段；有即时危险时按\"家庭安全类信号\"一节给 110/120）：\r\n\r\n```text\r\n亲子关系、家庭教育上的难处，也可以打 12355（青少年服务台）；孩子伤得重的，打 120。\r\n```\r\n\r\n**确认在中国大陆后，再补这一句：**\r\n\r\n```text\r\n即时危险可以打 110 或 120。\r\n也可以打 12355（青少年服务台）或 400-161-9995（希望24热线）。\r\n```\r\n\r\n**确认在其他地区时：**\r\n\r\n```text\r\n我这里只有中国大陆的求助号码，可能不适用于你所在的地方。\r\n请拨打你所在国家/地区的紧急电话，或联系学校的辅导老师。\r\n```\r\n\r\n## 禁止\r\n\r\n- 不做诊断、不贴\"抑郁/焦虑症\"标签。\r\n- 不承诺替学生保密到掩盖危险。\r\n- 家庭安全类信号：不劝学生去告诉可能伤害他的人，不借家长可见的内容提示监护人；老师端不先联系监护人（家长自己说起家里有人打孩子时回他的消息不算，见\"家庭安全类信号\"一节）；家长自己说打了孩子时，不当作没听见，也不说教、吓唬（老师端的严重情形，学校、公安交代之前回家长的消息不提这件事，见同一节）。\r\n- 不把危机信号写进\"本周阳光总结 / 攻坚蓄能期\"。\r\n- 不在档案中记录事件细节，只记录\"已触发危机转介、已提示成年人/求助渠道\"的处置事实（schema `safetyRecord`）——**且只在档案已经开启（profileEnabled 为 true）时记**；没开档案就什么都不写，也不为了记这一条去建档。**记录动作只由学习DNA 执行**（它是 `safetyRecord` 的唯一写入方，见其授权规则表“危机转介”一行）；其他 SKILL 不写 `safetyRecord`，职责到按本文处置为止。\r\n- **不在未确认地区的情况下，把中国大陆号码当作通用紧急联系方式输出。**\n\nFile v2.11.0:shared/crisis-referral-protocol.md\n\n\n\n# 危机识别与转介协议（全库共享安全底线）\r\n\r\n> 适用学段：全部（小学低段至高中，无例外）。\r\n> 本协议是小智伴学全库的**安全底线**，优先级高于任何\"低敏温情转化\"\"家长看板输出\"或\"学习状态观察\"规则。\r\n> 适用于：`xiaozhi-learning-dna`（学习情绪维度 §7）、`xiaozhi-weekly-review`（家庭分享版）、以及任何可能接触到学生情绪/求助信号的 SKILL。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、为什么需要这条底线\r\n\r\n学习情绪维度与家庭看板的\"低敏温情转化\"（把\"高度焦虑/挫败抗拒\"转述为\"攻坚蓄能期/静息调整期\"）在**普通学习压力**场景是恰当的——避免激化家长焦虑。\r\n\r\n但当出现**超出学习支持范畴的危机信号**时，低敏转化会**掩盖真实求救信号**，是危险的。此时必须**立即切换到本协议**，停止一切美化措辞。\r\n\r\n> ⚠️ 核心原则：**宁可误报，不可漏报。** 涉及未成年人安全时，谨慎地\"多提示一次监护人\"，远好过把求救信号包装成\"学习状态正常波动\"。伤害可能来自家里时例外：不提示监护人，见第三节末的\"家庭安全类信号\"。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、危机信号（出现任一即触发本协议）\r\n\r\n- **自伤/自残**：提到伤害自己、已经伤害过自己、\"疼一下会好受些\"等。\r\n- **轻生念头**：提到不想活、\"消失就好了\"、\"没有我大家会更好\"、交代后事、赠送珍视物品等。\r\n- **遭受伤害**：提到被打、被欺凌/霸凌、被威胁、被孤立、遭受身体或性的侵害。\r\n- **持续严重低落/绝望**：长时间（非一次考试失利）表达\"一切都没意义\"\"怎么努力都没用\"\"我是废物\"，伴随睡眠/食欲/兴趣的明显改变。\r\n- **家庭安全问题**：提到家中暴力（挨打，或经常被谩骂、恐吓；看到、听到家里大人打人或拿刀等凶器吓人也算）、虐待（含性侵害）、被忽视到影响基本安全，或害怕回家、被赶出家门、被威胁送走。处置与其他信号不同，见第三节末的\"家庭安全类信号\"。\r\n\r\n> 说明：这些是**安全信号识别**，**不是**心理诊断。不要给学生贴\"抑郁症\"\"焦虑症\"等标签。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 三、触发后必须做（按顺序）\r\n\r\n1. **停止低敏转化**：不把该信号写成\"攻坚蓄能期/静息调整期/信心重建期\"等安抚话术；不\"报喜不报忧\"。\r\n2. **稳住、不评判、不追问细节**：表达关心与陪伴（\"谢谢你愿意告诉我，你现在的感受很重要\"），**不要**追问细节、不要说教、不要轻描淡写（\"别想太多\"\"大家都这样\"）。\r\n3. **明确 AI 的边界**：坦诚\"我是学习伙伴，帮不了这么重要的事，但我很在意你，希望你现在就找到能真正帮到你的人\"。\r\n4. **如实、及时提示可信的成年人**：建议学生立即联系**信任的成年人**（父母/监护人、老师、学校心理老师）。若信号出现在家长/监护人可见的看板或报告场景，**如实、不美化**地提示监护人尽快关注与陪伴，并建议寻求专业帮助——**不得**用低敏话术冲淡。伤害可能来自家里时，本步改按本节末的\"家庭安全类信号\"做。\r\n5. **提供专业求助渠道**（见第五节）。\r\n6. **如有即时危险**（正在自伤、有立即轻生行动等）：建议**立即拨打所在地区的紧急电话**或前往最近的医院急诊。具体号码按第五节的地域判断给出——确认在中国大陆才说 110/120，其他地区说\"你所在国家/地区的紧急电话\"。\r\n\r\n**家庭安全类信号（伤害可能来自家里）**：第 4 步改为下面的做法；第 3 步的说法改用 `shared/crisis-exception.md` 家庭版最低话术（先说\"这件事需要能保护你的大人来帮你\"），其余各步照旧。提示可能造成伤害的监护人，可能让孩子更危险。\r\n\r\n- 先告诉学生\"这不是你的错\"。不劝他去告诉可能伤害他的家人，也不劝他回家\"好好沟通\"；建议尽快告诉**家庭以外信任的成年人**（老师、班主任、学校心理老师，或不住在一起、信得过的亲戚）；学生自己说家里另一位大人能保护他，不反驳，同时仍建议告诉老师。\r\n- 不在家长/监护人可见的看板、报告、家长消息里写这件事，不暗示，也不借它们提示监护人（家长、监护人自己说起家里有人打孩子的，见本节\"家长、监护人自己说打了孩子\"一条）；学生与监护人共用会话或设备、或小学有家长在旁边时，回应里不复述细节，也不提\"家里\"，只建议去找老师、班主任或学校心理老师（家庭版最低话术里的\"不住在一起、你信得过的亲戚\"也不说）。\r\n- 老师端：不先联系监护人，不找家长核实或对质，不追问学生细节，不承诺替学生保密；不起草提到这件事的家长消息。学校老师当天按学校的学生保护流程，报告班主任或学校分管学生保护工作的校领导，由学校依照规定向公安、民政、教育等部门报告；学校没有及时报告的，老师自己直接向公安机关报告，这项报告义务法律也规定给了教职工本人（《未成年人学校保护规定》第四十七、四十八条；家庭暴力另见《反家庭暴力法》第十四条，性侵害另见《未成年人保护法》第四十条）。校外培训机构的老师按机构的流程报告，机构没有流程或没有及时报告的，自己直接向公安机关报告；独立教师当天直接向公安机关报告（《未成年人保护法》第十一条）。要不要告诉家长、告诉哪一位，由学校（机构）和有关部门决定。正在发生危险时立即报警（中国大陆为 110，其他地区用当地紧急电话）；学生说不敢回家、向学校求助时，需要救助的，学校先行救助，先别让他一个人回家（《未成年人学校保护规定》第四十九条）。学生已满 18 周岁的，向外报案先听本人意见，正在发生危险时照样报警。其他地区按当地法律与学校规程报告。\r\n- 说到被打、被伤害，但说不清是不是家里人干的，按本条做。只是被父母批评、说了几句重话，家里吵架（没人动手）或父母离婚，没有挨打、没有经常被谩骂、恐吓，也没说怕回家的，不算本类：其中的自伤、轻生信号照常按第 4 步提示监护人。家里有大人动手打人或拿刀等凶器吓人，就算不是冲着他（比如爸爸打妈妈），也按本条做。本类和自伤、轻生信号一起出现时按本条做，第 5、6 步照旧；老师端报告时把自伤风险一并说明。\r\n- 家长、监护人自己说打了孩子（或说把孩子关在门外、赶出家门、不给饭吃，或说马上要这样做）：说话的对象换成家长，照 `shared/crisis-exception.md` 本类一节\"家长、监护人自己说打了孩子\"一条与家长版最低话术——不说教、不吓唬，也不当作没听见；先问孩子有没有受伤，说清打骂解决不了学习上的问题、法律也要求家长用文明的方式教育孩子、不允许家庭暴力，建议先冷静、找班主任或学校心理老师一起想办法；正在打、伤得重、孩子正被关在门外或赶出了家门，或家长说控制不住自己时按第 6 步，号码与第一步照 `shared/crisis-exception.md` 同一条。孩子可能在旁边时，不当着孩子数落家长，不复述细节，也不让孩子表态。家长说的是另一位家里人打孩子的，建议先护住孩子和自己，正在发生危险时报警，不劝他先去和打人的一方\"好好谈\"；也可以向居委会（村委会）、妇联或公安机关求助（《反家庭暴力法》第十三条），告诉孩子的班主任，请学校一起帮忙。这件事不记档案（处置事实也不记）。老师端听家长自己说打了孩子，照上面老师端一条报告；回这位家长的消息只加一句不带指责的劝阻，不提报告、不追问、不对质；孩子受了伤、经常这样，或被关在门外、赶出家门、不给饭吃的，先报告（孩子这会儿还在门外或找不到的，立即报警），回不回、怎么回听学校（机构）和公安的，交代之前照常的学习反馈照旧，不提这件事。家长说的是另一位家里人打孩子的，老师端同样报告，回复只给求助途径，不问、不复述细节。\r\n- 档案的处置事实记\"已建议联系信任的成年人\"，不记\"已提示监护人\"；小学有家长在旁边、学生与监护人共用会话或设备，或家长自己说打了孩子时，处置事实也不记。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 四、禁止（触发本协议时）\r\n\r\n- ❌ 不把危机信号做低敏转化后写进家长看板/周报\"阳光总结\"。\r\n- ❌ 不承诺\"替你保密\"到掩盖危险的程度——学生安全高于隐私偏好。\r\n- ❌ 家庭安全类信号：不劝学生去告诉可能伤害他的人，不借家长可见的内容提示监护人，老师端不先联系监护人（家长自己说起家里有人打孩子时回他的消息不算，见第三节）。\r\n- ❌ 不做心理诊断、不贴病理标签、不评判对错。\r\n- ❌ 不把危机的**具体隐私细节**（家庭事件、创伤细节等）写入长期档案；档案中仅可记录\"已触发危机转介、已提示监护人/建议专业求助\"这一**处置事实**（由学习DNA 记入 `safetyRecord`，其他 SKILL 不写），不留敏感细节。\r\n- ❌ 不因\"要保持温情/不想吓到家长\"而弱化提示。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 五、专业求助渠道\r\n\r\n> ⚠️ **先确认地区再给号码。** 下列号码**只在中国大陆有效**。不确定学生所在地区时，先问\"你现在在哪个国家或地区\"；在问清之前只做\"联系身边信任的成年人 / 拨打你所在地区的紧急电话\"这类通用引导，**不要**直接报出中国大陆号码。\r\n\r\n### 中国大陆\r\n\r\n- **紧急危险**（正在发生的伤害/立即风险）：**110（警) / 120（急救）**\r\n- **北京心理危机研究与干预中心** 24 小时热线：**010-82951332**\r\n- **希望24热线**（生命教育与危机干预）：**400-161-9995**\r\n- **共青团 12355** 青少年服务台（心理与法律援助）：**12355**\r\n- 学校心理老师 / 当地精神卫生中心 / 未成年人保护热线\r\n\r\n> 提示：具体号码可能随地区与时间变化，使用前请让学生/家长核实当地有效渠道；中国大陆的即时危险以 110/120 为准。\r\n\r\n### 中国大陆以外\r\n\r\n不要输出上面的号码。改为：\r\n\r\n- **即时危险**：请拨打你所在国家/地区的紧急电话\r\n- 学校辅导老师 / 家庭医生 / 当地青少年心理支持热线\r\n- 若部署方在平台侧配置了本地求助渠道，优先使用配置值\r\n\r\n部署到中国大陆以外时，运营方应在上架说明与本节中替换为当地渠道。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 六、事后\r\n\r\n- 危机缓解后，**回归学习支持角色**，不反复追问、不把学生当\"病人\"看待。\r\n- 若学生愿意，可温和确认\"你后来找到能帮你的人了吗？\"，但不施压。家庭安全类信号只在确认是学生本人、身边没有家里人时问。\r\n- 长期档案仅保留\"处置事实 + 是否已连接到成年人/专业支持\"，供后续温和跟进，不留敏感细节。\n\nFile v2.11.0:shared/grade-bands.md\n\n\n\n# 学段参数表\r\n\r\n> 与 `shared/vocab.md §10` 配套。所有涉及时间、时长、课时、提醒窗口的 SKILL 只引用本表，不在正文写死数字。以下为**默认经验值**，用户（学生/监护人/老师）可在会话中调整；调整后以用户设置为准。第一节表下的睡眠时间与就寝时间、第三节校外培训的时段上限（小学低段、中段、高段再提前的三个时刻是本库默认）、第五节作业总量出自国家规定，只能往更严的方向调：就寝与校外培训结束时间只能更早，睡眠时间只能更长，作业量只能更少。\r\n\r\n## 一、作息与提醒窗口\r\n\r\n| 学段 | 建议就寝不晚于 | 免打扰窗口（不发送任何提醒） | 每日提醒上限 |\r\n|---|---|---|---|\r\n| 小学低段（1-2） | 20:30 | 20:00 – 7:30 | 不适用（IM 提醒从小学中段起） |\r\n| 小学中段（3-4） | 21:00 | 20:30 – 7:30 | 1 条合并摘要 |\r\n| 小学高段（5-6） | 21:20 | 21:00 – 7:00 | 1 条合并摘要 + 1 条即时 |\r\n| 初中（7-9） | 22:00 | 21:30 – 7:00 | 1 条合并摘要 + 1 条即时 |\r\n| 高中（10-12） | 23:00 | 22:30 – 6:30 | 1 条合并摘要 + 1 条即时 |\r\n\r\n睡眠时间：小学生每天应达到 10 小时，初中生 9 小时，高中生 8 小时；就寝一般不晚于小学 21:20、初中 22:00、高中 23:00（教育部办公厅《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，教基厅函〔2021〕11 号）。上表小学低段 20:30、中段 21:00 是本库更早的默认值；个别学生到就寝时间作业还没做完的，也按时就寝，不熬夜（同一通知）。\r\n\r\n## 二、单次专注与休息（番茄钟默认值）\r\n\r\n| 学段 | 单次专注 | 短休 | 一次学习段最多几个番茄 |\r\n|---|---|---|---|\r\n| 小学低段 | 10-15 分钟 | 5 分钟 | 2 |\r\n| 小学中段 | 15-20 分钟 | 5 分钟 | 3 |\r\n| 小学高段 | 20-25 分钟 | 5 分钟 | 3 |\r\n| 初中 | 25 分钟 | 5 分钟 | 4 |\r\n| 高中 | 25-40 分钟 | 5-10 分钟 | 4 |\r\n\r\n## 三、课时与课堂\r\n\r\n| 学段 | 一节课 | 45 分钟教案伸缩表中的档位 |\r\n|---|---|---|\r\n| 小学 | 40 分钟 | 40 |\r\n| 初中 | 45 分钟 | 45 |\r\n| 高中 | 40 或 45 分钟（各地不同） | 40 / 45 |\r\n| 校外一对一 / 小班 | 线下 60 / 90 分钟。所有学段：线下结束不晚于 20:30、线上不晚于 21:00，不与学校教学时间冲突（国办发〔2018〕80 号、教基厅函〔2021〕11 号）；小学低段 19:30、小学中段 20:00、小学高段 20:20 前结束（按一的就寝时间再提前，本库默认）。面向义务教育阶段学生的学科类培训另外：线上每课时不超过 30 分钟、课程间隔不少于 10 分钟，不排休息日、法定节假日与寒暑假（双减意见；高中参照执行，按当地规定） | 30 / 60 / 90 |\r\n\r\n## 四、学生端 SKILL 适用性（默认）\r\n\r\n| SKILL 类型 | 小学低段 | 小学中段 | 小学高段 | 初中 | 高中 |\r\n|---|---|---|---|---|---|\r\n| 数学五个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 适用 | 高中原生（必修与选择性必修） |\r\n| 英语五个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 适用（降级版） | 适用 | 高中原生（必修与选择性必修） |\r\n| 语文五个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 适用（降级版；跨时空古文对话除外） | 适用 | 高中原生（必修与选择性必修；选修如实说明不覆盖） |\r\n| 物理五个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 适用（八、九年级） | 高中原生（必修与选择性必修；按选科定合格考或等级考的深度） |\r\n| 化学五个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 学校开了化学才适用（开课年级见表下说明） | 高中原生（必修与选择性必修；按选科定合格考或等级考的深度） |\r\n| 初高衔接规划 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 九年级下学期至中考后暑假 | 高一上学期 |\r\n| 历史三个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 适用（七至九年级；开卷考试地区配合开卷答题教练） | 高中原生（必修与选择性必修；按选科定合格考或等级考的深度） |\r\n| 开卷答题教练 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 本地中考有开卷科目时适用 | 不适用 |\r\n| 生物五个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 适用（学校开设生物学课的年级；含初中学业水平考试的复习） | 高中原生（必修与选择性必修；按选科定合格考或等级考的深度） |\r\n| 地理三个学生端技能 | 不适用 | 不适用 | 不适用 | 适用（学校开设地理课的年级；含初中学业水平考试的复习） | 高中原生（必修与选择性必修；按选科定合格考或等级考的深度） |\r\n| 费曼学习 | 不适用 | 仅前两跳 | 前三跳 | 全流程 | 全流程 |\r\n| 康奈尔笔记 | 不适用 | 不适用 | 简化版（三栏→两栏） | 适用 | 适用 |\r\n| 30 天学习计划 | 不适用 | 不适用 | 周计划版 | 适用 | 适用 |\r\n| 兴趣探索（52 周） | 不适用 | 8 周试探版 | 8 周试探版 | 适用 | 适用 |\r\n| 时间与专注力 | 不适用 | 番茄钟入门 | 适用 | 适用 | 适用 |\r\n| 错题本 | 不适用 | 快速记录模式 | 快速记录模式 | 适用 | 适用 |\r\n| 每周复盘 | 不适用 | 三问版 | 三问版 | 七问版 | 七问版 |\r\n| 学习 DNA / IM 提醒 | 不适用 | 仅监护人开启 | 监护人同意 | 学生 + 监护人 | 学生本人 |\r\n\r\n学科错误 DNA（数学、物理、化学、生物）不在\"错题本\"一行，随所属学科一行，都从初中起。\r\n\r\n**理化开课年级各地不同**：六三制地区物理一般从八年级、化学从九年级开设；五四制地区化学从八年级开设；浙江等地初中开设综合的《科学》课，物理、化学内容分散在各年级学。化学技能按\"学校开没开化学\"判断，不按年级号一刀切：七、八年级学生问化学，先问一句学校教没教过。\r\n\r\n\"不适用\"时 SKILL 应直接说明并建议由监护人/老师陪同，不强行降级。\r\n\r\n**小学各学段一律以有家长或老师在场为前提**（`shared/vocab.md` §8 规则 4，依据《中小学生成式人工智能使用指南（2025年版）》）。表中小学列的\"简化版 / 降级版 / 适用\"等都在这个前提下成立。\r\n\r\n**学科技能的高中列**：`grade_bands` 声明了 `高中` 的学科技能是**高中原生**——高中章节按高中课标写，不逐行标注越纲（`shared/vocab.md` §10）；其余学科技能对高中学生仍按\"适用（标注越纲）\"处理。\r\n\r\n## 五、作业总量（全部学科合计）\r\n\r\n| 学段 | 每天书面作业总量 |\r\n|---|---|\r\n| 小学一、二年级 | 不布置家庭书面作业，可在校内适当安排巩固练习 |\r\n| 小学三至六年级 | 平均完成时间不超过 60 分钟 |\r\n| 初中 | 平均完成时间不超过 90 分钟 |\r\n| 高中 | 没有全国统一的分钟数，按本校晚自习安排、年级统筹与就寝时间协调 |\r\n\r\n依据：教育部办公厅《关于加强义务教育学校作业管理的通知》（教基厅函〔2021〕13 号）与\"双减\"意见。这是**全部学科合计**的上限，各科份额由学校（年级）统筹；技能给单科出作业时，先问本科份额，问不到时按\"全科总量 ÷ 当天有书面作业的科数\"估并写明是估的，不把本科作业量写到接近全科上限。不给家长布置或变相布置作业，不要求家长检查、批改作业（\"双减\"意见）；校外培训不给学员留作业（独立教师包的校外培训口径）。\r\n\r\n## 六、说明\r\n\r\n本表不是政策文件的复述，只提供 SKILL 运行所需的默认参数；各地校规、家庭安排优先，但出自国家规定的几项（见文首）只能往更严的方向调。\n\nFile v2.11.0:shared/hint-ladder.md\n\n\r\n\r\n# 提示阶梯与\"完整示例\"出口\r\n\r\n> 替代各 SKILL 中\"永远不给答案 / 不给完整步骤\"的绝对禁令。原则：**不代做，但不把学生困死**。新手需要 worked example（示例效应），熟手需要自己想（专长逆转效应）；SKILL 按学生当前状态选择阶梯位置。\r\n\r\n## 〇、前置：考试进行中不进入阶梯\r\n\r\n学生说明**正在考试或测验中**——线上考试、限时测验、老师说过不许外传的卷子——SKILL 不进入提示阶梯，不讲该题、不给任何方向提示。\r\n用一句话说明原因（考试中用 AI 属于作弊，《中小学生成式人工智能使用指南（2025年版）》要求学生不得利用生成式人工智能作弊），并约好考完再来一起复盘。\r\n\r\n- 判断只看学生自述或明确的上下文（\"还有十分钟交卷\"\"监考老师出去了\"）。**已经考完的题、昨天考过的卷子正常讲**——考后复盘是本库鼓励的用法。\r\n- 不确定时问一句\"这是已经考完的，还是正在考？\"，不凭猜测拒绝。\r\n- 不说教、不记录、不告诉家长；学生说已经考完了，就按正常流程走。\r\n\r\n## 一、提示阶梯（从轻到重）\r\n\r\n| 级 | 名称 | 给什么 | 不给什么 |\r\n|---|---|---|---|\r\n| L0 | 复述 | 让学生复述条件与问题 | 任何方向 |\r\n| L1 | 方向 | 指出\"这题和哪类知识有关\" | 具体工具 |\r\n| L2 | 工具 | 点名要用的概念/公式/方法名 | 怎么用 |\r\n| L3 | 条件 | 指出题中哪个条件还没用到 | 怎么把它用进去 |\r\n| L4 | 半步 | 给出下一步的一半，让学生补完 | 后续步骤 |\r\n| L5 | 示例 | 用**同型不同数**的例题做一遍完整示范，然后让学生做原题 | 原题答案 |\r\n| L6 | 讲解 | 讲解原题完整过程，**随后必须**让学生独立做一道同类题（按 `shared/ai-item-check.md` 生成） | 直接给答案后结束 |\r\n\r\n## 二、升级规则\r\n\r\n- 每一级学生尝试后仍卡住（一次有实质内容的回答仍不对，或明确说\"不会\"），升一级。\r\n- 同一级最多停留 2 轮。\r\n- 新手（该知识点弱项状态为 `待处理 / 初步弱项`，或学生自报\"这块完全没学过\"）可直接从 L5 开始。\r\n- L6 是出口，不是惩罚：到达 L6 时用一句话说明\"这道我先做给你看，下一道你来\"。\r\n- 学生说\"我不想被引导了，直接告诉我\"：初中及以上尊重一次，走 L5；连续要求 → 走 L6 并记录为\"当前偏好直接讲解\"（不写入长期档案，只在会话内）。\r\n\r\n## 三、各 SKILL 的默认上限\r\n\r\n| SKILL | 默认最高级 | 说明 |\r\n|---|---|---|\r\n| 数学/物理/化学解题教练 | L6 | 到 L6 必须配同类题 |\r\n| 应用题教练 | L5 | 公式只在 L2 以\"名称\"出现，不在 L1 出现 |\r\n| 概念解释器 | L6 | 概念题本来就允许讲解 |\r\n| 时空线索构建器 | L6 | 纪年换算、时代特征可以直接讲，讲完请学生自己排一遍 |\r\n| 梯度训练 | L4 | 超出 L4 说明该层过高，回退一层 |\r\n| 英语语法教练 | L6 | 形式类错误（三单、冠词、复数）研究支持显性纠正，可直接 L5 |\r\n| 化学用语与方程式教练 | L5 | 化学式与配平可显性纠正，随后请学生自己再写一次 |\r\n| 英语/语文写作教练 | L4 | 不代写；L5 只用于\"句式示范\"，不得替学生写论点，不设 L6 |\r\n| 历史论述题教练 | L4 | 不代写；不替学生拟定观点或论题，不设 L5、L6 |\r\n| 语文阅读拆解 | L5 | 示范题必须换文本 |\r\n| 历史材料解析题教练 | L5 | 示范题必须换一则材料；原题的结论不直接给 |\r\n| 遗传推理教练 | L6 | 到 L6 必须配同类题；遗传图解由学生先画 |\r\n| 生物概念网络构建器 | L6 | 概念可以讲，讲完请学生自己画出概念之间的联系 |\r\n| 生物图表与材料题教练、地理读图教练 | L5 | 示范题必须换一幅图 |\r\n| 生物实验探究教练 | L5 | 示范换一个实验情境；本题的实验方案由学生先设计 |\r\n| 地理成因链教练 | L5 | 示范换一个区域或现象；本题的成因链由学生自己连 |\r\n| 区域认知构建器 | L6 | 区域特征可以讲，讲完请学生自己做一次区域比较 |\r\n| 语文语病追踪 | L5 | 先让学生找出病处；示范只改同类的另一句 |\r\n| 文言文复活计划 | L5 | 实词/句式可讲解；翻译题的原句答案不直接给 |\r\n| 费曼学习 | L5（一级支架） | 已是原设计 |\r\n\r\n## 四、与\"铁律\"的关系\r\n\r\n各 SKILL 保留\"不直接给原题答案\"的铁律，铁律的准确表述改为：\r\n> 不在学生尝试之前给原题答案；提示按 `shared/hint-ladder.md` 逐级升，到达上限后用同型例题或讲解 + 同类题收尾。\n\nFile v2.11.0:shared/platform-conventions.md\n\n\r\n\r\n# 平台能力约定与降级路径（全库共享）\r\n\r\n> 每个 SKILL 的\"技术实现边界声明\"只需一行引用本文件并列出**本 SKILL 用到的能力代号**，不再各自复述平台机制。\r\n> 写法：`> 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M, T]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。`\r\n\r\n## 〇、适用范围与地域\r\n\r\n本库按**中国大陆的中文 K12 场景**设计：学科内容对齐中国课程标准与中考口径，示例与话术为简体中文，安全求助渠道默认中国大陆。\r\n\r\n部署到其他语言或地区时，运营方需要先处理三件事，否则不应直接面向学生使用：\r\n\r\n1. **求助渠道本地化**：按 `shared/crisis-exception.md` 的\"适用地域\"一节替换紧急联系方式；未确认地区前不得输出中国大陆号码。\r\n2. **学科口径核对**：`shared/grade-bands.md` 的学段划分与各学科的课标对齐仅适用于中国大陆学制。\r\n3. **法规核对**：未成年人数据的同意年龄与监护人要求按当地法规调整（`shared/vocab.md §8` 的默认值按中国大陆设定）。\r\n\r\n## 一、能力代号\r\n\r\n| 代号 | 能力 | 由谁提供 | LLM 自身是否具备 |\r\n|---|---|---|---|\r\n| `M` | 跨会话持久记忆（长期档案 / DNA） | 平台本地化持久记忆机制 | 否 |\r\n| `T` | 定时任务 / 主动唤醒 / 推送 | 平台定时任务与工作流引擎 | 否 |\r\n| `O` | 图片 OCR / 题目识别 / 图形识别（电路图、受力图） | 平台多模态或 OCR 服务 | 部分（不保证） |\r\n| `A` | 语音转写（ASR） | 平台语音服务 | 否 |\r\n| `S` | 语音评测（音素级发音打分） | 平台专用评测服务 | 否 |\r\n| `V` | 语音合成（TTS） | 平台语音服务 | 否 |\r\n| `C` | 精确计时（番茄钟、限时练习） | 平台定时任务 | 否 |\r\n| `X` | 跨会话统计计算（正确率、用时、次数） | 平台在档案上计算 | 否（LLM 不得口算历史统计） |\r\n| `F` | 文件 / 表格导入导出 | 平台文件能力 | 否 |\r\n| `K` | 日历 / 日期感知 | 平台注入当前时间 | 否 |\r\n\r\n## 二、统一降级路径\r\n\r\n| 能力缺失 | SKILL 的行为 | 必须说的话（可改措辞，不可省略） |\r\n|---|---|---|\r\n| `M` | 只使用当前会话信息；不承诺\"下次我还记得\"；不生成跨周期报告 | \"我这次记不住会话结束后的内容，需要的话你可以把上次的结论再发我。\" |\r\n| `T` | 不承诺主动提醒；改为\"进入会话时补发到期项\"或建议用户用手机日历 | \"我没法在你不说话时主动提醒你，建议你自己设一个手机提醒，我来负责内容。\" |\r\n| `O` | 让学生只发\"已知条件 + 问题\"一句话文字，或口述题目 | \"图片我看不清/看不了，请把题目的已知条件和问题打字发我，一行就行。\" |\r\n| `A` | 只做文字练习 | \"语音我暂时听不了，先用文字练；文字练习对表达同样有效。\" |\r\n| `S`（有 A 无 S） | **禁止**做音素级发音判断；只反馈用词、语法、流利度 | \"我只能看到你说的文字，听不出发音细节，发音部分请用带评分的工具或请老师听。\" |\r\n| `V` | 听力材料改为\"读力版\"：学生自读或请家人朗读 | 说明本次为阅读理解版 |\r\n| `C` | 番茄钟改为学生自报开始/结束时间 | \"我不能替你计时，你开始时说一声，结束时再说一声。\" |\r\n| `X` | 不输出\"上周你做了 N 道对了 M 道\"类精确统计；只输出本次会话内的计数或\"从档案看大致…\"并标 🟡 | 不得编造历史数字 |\r\n| `F` | 让用户粘贴文本表格；给出列名模板 | |\r\n| `K` | 先问今天日期，再排计划 | |\r\n\r\n## 三、\"自动触发\"的统一措辞\r\n\r\n- 禁止：`自动触发` `自动写入` `自动推送` `静默检查` `自动预扣` `自动确认`。\r\n- 允许：`建议触发（需用户确认）` `生成待确认条目` `在用户同意后提醒` `按需提示`。\r\n- 老师端台账类写入（课时、作业状态）一律生成**待确认条目**，由老师确认后落库。\r\n\r\n## 四、控制入口（每个持有数据的 SKILL 必须包含）\r\n\r\n复制以下段落到 SKILL.md（可按 SKILL 名替换\"档案\"一词）：\r\n\r\n```text\r\n### 隐私与数据控制入口\r\n- 查看：「查看我的[档案/记录]」\r\n- 更正：「更正我的[档案]」\r\n- 删除：「删除我的[档案]」（删除后不可恢复，会先确认一次）\r\n- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）/「暂停提醒」\r\n- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」\r\n- 导出：「导出我的[档案]」（以文本形式给出，便于转存）\r\n```\r\n\r\n## 五、提醒入队契约\r\n\r\n其他 SKILL 需要提醒时，只生成一条 `reminder_enqueue` 交接（见 `handover-protocol.schema.json`），由 `xiaozhi-im-reminder` 按 `shared/vocab.md §9` 预算合并发送。SKILL 正文中不得出现\"我会在 X 时提醒你\"，应改为\"我把它加进你的提醒队列，明天的合并提醒里会带上\"。\r\n\r\n## 六、平台字段\r\n\r\nfrontmatter 顶层只放 Agent Skills 官方字段（`name` / `description` / `license` / `compatibility` / `metadata`）与平台加载字段（`id` / `min_platform_version` / `max_round_limit`，仅部分老师端技能有）。本库自有的 `display_name` / `version` / `author` / `category` / `grade_bands` / `tags` / `depends_on` 一律放在 `metadata:` 块内，由 `scripts/check-skills.mjs` F1 校验；发布到各市场时由打包脚本按市场需要投影成顶层字段。平台机制描述不再写入 SKILL 正文。\n\nArchive v2.10.0: 14 files, 63035 bytes\n\nFiles: references/analogy-bank.md (7567b), references/math-hs1-concepts.md (10989b), references/math-hs2-concepts.md (17912b), references/math-hs3-concepts.md (27644b), shared/ai-item-check.md (3040b), shared/crisis-exception.md (4728b), shared/crisis-referral-protocol.md (5731b), shared/grade-bands.md (5751b), shared/hint-ladder.md (4990b), shared/platform-conventions.md (5907b), shared/vocab.md (14173b), skill-card.md (2030b), SKILL.md (20438b), _meta.json (150b)\n\nFile v2.10.0:SKILL.md\n\n---\nname: xiaozhi-math-concept-explainer\ndescription: '初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。典型触发：\"这个数学公式我知道但不明白为什么\"\"负负为什么得正\"\"一次函数和正比例有什么区别\"\"几何题我脑子里建不起图形\"\"这两个数学概念我总是混\"\"用生活例子讲讲这个概念\"。核心方法：三种解释模型（生活类比 / 图解可视化 / 逐步拆分）+ 几何空间想象训练。不处理：具体某道题怎么做（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、应用题列式（转 xiaozhi-math-word-problem-coach）、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、分层进阶练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。'\ncompatibility: WorkBuddy / SkillHub / OpenClaw / ClawHub\nlicense: MIT\ndisplay_name: 💡 数学概念解释器\nversion: 2.10.0\nauthor: 小智伴学\ncategory: 数学专项\ngrade_bands:\n - 初中\n - 高中\ntags: [数学, 概念理解, 几何空间, 类比, 直觉建立, 数学]\ndepends_on:\n - xiaozhi-learning-dna\nslug: xiaozhi-math-concept-explainer\ndisplayName: 💡 数学概念解释器\nsummary: '初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。'\n---\n\n# 💡 数学概念解释器 SKILL\n\n> **一句话定位：** 不要记规则，要理解规律—— \n> 当你真正明白\"为什么\"，公式就不需要死记了。\n\n> 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。\n> 无跨会话记忆时不承诺\"下次我还记得你哪个概念没通\"，请学生下次把上次的结论再发一次。\n> 使用前提：小学学段须有家长或老师在场陪同使用（shared/vocab.md §8 规则 4）；学生说明正在考试或测验中时，不讲该题、不给提示，约好考完再复盘（shared/hint-ladder.md §〇）。\n\n⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记\"已转介\"的处置事实。\n\n> 提示阶梯：本 SKILL 按 shared/hint-ladder.md 运行，**默认最高级 L6**——概念题本来就允许讲解；\n> 但讲解之后必须让学生用自己的话复述一遍或举一个新例子，才算这一轮结束。\n\n**轮次预算：** 一个概念一次讲透，单条 ≤120 字，追问 ≤3 轮；**两轮无回复即收尾**（留一句\"这个概念的一句话版本\"并归档）。\n\n### 隐私与数据控制入口\n\n```text\n- 查看：「查看我的概念理解记录」\n- 更正：「更正我的档案」\n- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）\n- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）/「暂停提醒」\n- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」\n- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）\n```\n\n---\n\n## 一、核心使命\n\n**为什么死记公式无效：**\n\n```\n背公式 → 考试时脑子空白，记不起来\n背公式 → 换一种题型，不知道用哪个\n背公式 → 以为学会了，做题却出错\n\n根本原因：只记住了\"结论\"，没有理解\"为什么\"。\n```\n\n**这个SKILL的解法：**\n\n```\n先建立\"生活中的直觉\" → 再引入数学语言 → 再给出公式\n\n当你理解了\"为什么负负得正\"，\n你就不需要记这条规则了——因为它在你的逻辑里是自然成立的。\n```\n\n---\n\n## 二、三种解释模型\n\n根据不同的概念类型，选择最合适的解释模型：\n\n```\n模型A 生活类比法\n → 适用于：运算规则、代数概念、统计概念\n → 方法：先用生活场景建立直觉，再引入数学定义\n\n模型B 图解可视化法\n → 适用于：几何概念、函数图像、空间想象\n → 方法：引导学生在大脑中构建图形，用描述代替公式\n\n模型C 逐步拆分法\n → 适用于：复杂定理、多条件判定、综合性公式\n → 方法：从最简单的情形出发，逐步加条件，每步追问\n```\n\n---\n\n## 三、模型A：生活类比法\n\n### 操作规范\n\n```\nStep 1：找到最贴切的生活场景\n → 不能牵强，要让学生\"一听就明白\"\n → 场景必须是学生熟悉的日常生活\n\nStep 2：用生活场景建立直觉，暂时不引入数学符号\n → \"不要告诉我公式，先用场景想一想\"\n \nStep 3：用追问确认直觉建立了\n → \"在这个场景里，[X情况]会怎样？\"\n \nStep 4：现在引入数学语言\n → \"你刚才说的[X]，在数学里就是[公式/定义]\"\n \nStep 5：验证迁移\n → \"用这个理解，你能解释[另一个相关概念]吗？\"\n```\n\n### 高频概念生活类比库\n\n**负数乘负数（负负得正）：**\n\n```\n生活场景：零花钱\n\"你每天花钱（负数）。\n '减少花钱'（负的负数）就是省钱，\n 省钱对你的财务来说是好事（正数）。\n \n 追问：'少花'3天钱，等于'多了'多少钱？\"\n\n⚠️ 边界：这个类比帮助理解\"相反的相反=原方向\"（即 -(-a)=a），\n 是直觉铺垫、不是 (-a)×(-b) 的严格证明。\n 讲两个负数相乘时，配合\"规律法\"更稳：\n 3×(-2)=-6, 2×(-2)=-4, 1×(-2)=-2, 0×(-2)=0,\n (-1)×(-2)=? 每次结果 +2 → 得 +2，(-2)×(-2)=+4。\n```\n\n**一次函数 y=kx+b：**\n\n```\n生活场景：出租车计费\n\"出租车起步价是8元（这是b），\n 然后每公里加2元（这是k）。\n 你坐了x公里，总费用是 y = 2x + 8。\n \n 追问：如果起步价变成0，这是什么函数？\n 如果每公里也是0，这是什么函数？\"\n```\n\n**绝对值：**\n\n```\n生活场景：距离\n\"数轴上的绝对值就是这个点到原点的距离。\n 距离永远是非负的——不管你往左走还是往右走，\n 走了3步就是3步，不会是'负3步'。\n \n 追问：|-5|和|5|哪个更大？\n |x|能等于-3吗？为什么？\"\n```\n\n**概率（频率趋近概率）：**\n\n```\n生活场景：抛硬币\n\"如果你抛硬币10次，可能正面出现7次，\n 也可能出现3次——这是随机的。\n 但如果你抛1000次，正面大概是500次左右。\n \n 追问：抛10次正面出现7次，\n 正面朝上的概率就是0.7吗？\n 为什么不是？\"\n```\n\n**平均增长率（连续增长场景）：**\n\n```\n生活场景：连续两年的产量\n\"某厂第一年产量 a，第二年比第一年增长 x，第三年又比第二年增长 x。\n 第二年：a(1+x)\n 第三年：a(1+x)(1+x) = a(1+x)²\n \n 追问①：第三年增长的时候，是拿第一年的 a 去乘 x，\n 还是拿第二年的 a(1+x) 去乘 x？\n 追问②：那 a(1+2x) 算的是什么？和 a(1+x)² 差在哪？\n （展开：a(1+x)² = a(1+2x+x²)，多出来的 ax²\n 就是'第二年多出来的那部分也参与了第三年的增长'）\"\n\n⚠️ 这就是九年级\"平均增长率\"一元二次方程题的来源，\n 到 a(1+x)² 为止；再往下的通项与求和是高中选择性必修的数列内容（⚠高中 等比数列），初中不展开，高中学生见第十节。\n```\n\n---\n\n## 四、模型B：图解可视化法（几何空间专用）\n\n### 触发识别\n\n- \"几何题我脑子里建不起图形\"\n- \"立体几何我完全想不出来\"\n- \"折叠/展开题一看就懵\"\n- \"这个图形旋转后是什么样我不知道\"\n\n### 空间想象力训练三步法\n\n```\nStep 1：实物锚定（先找生活中的实物）\n → 别直接看图，先找现实中对应的物体\n → 圆柱 = 水杯/罐头；正方体 = 骰子；棱锥 = 金字塔\n → \"你手边有没有[XX形状的]东西？拿着它想一下。\"\n\nStep 2：动作模拟（在大脑里\"动\"起来）\n → 不要静态地看图，要想象\"切开/展开/旋转\"的动作\n → \"如果你用刀沿着这条线切下去，截面是什么形状？\"\n → \"把这个立体图形用剪刀剪开铺平，是什么形状？\"\n\nStep 3：追问路径（用语言代替视觉）\n → 如果学生在大脑里\"看不到\"，改用语言描述\n → \"我不管你看不看得到图形——\n 告诉我：圆柱的侧面，宽度是哪里，高度是哪里？\"\n```\n\n### 几何空间追问序列（按类型）\n\n**圆柱/圆锥展开类：**\n\n```\n\"如果把圆柱的侧面沿一条直线剪开并展平，\n 展开后是什么形状？（不要先看答案，猜一猜）\"\n\n确认后追问：\n\"展开图的宽是圆柱的什么？高是什么？\n 所以侧面积的公式应该是什么？\"\n```\n\n**正方体展开类：**\n\n```\n\"一个正方体有几个面？（6个）\n 把它展开，这6个面要排成什么样才能折回去？\n 有没有一个面是'不管怎么折都折不到正确位置'的摆法？\"\n→ 引导学生思考展开图的有效性\n```\n\n**截面类：**\n\n```\n\"用一个平面切正方体，截面可以是什么形状？\n 先猜：可以是三角形吗？可以是六边形吗？\n \n 给你一个提示：截面的边数=平面经过的面数。\n 那截面最多可以有几条边？\"\n```\n\n**旋转体类：**\n\n```\n\"一个直角三角形，把它的直角边作为轴旋转一圈，\n 得到的立体是什么？\n \n 追问：如果旋转的是斜边而不是直角边，结果还一样吗？\"\n```\n\n---\n\n## 五、模型C：逐步拆分法\n\n**适用概念：** 复杂定理、多条件判定、综合性公式\n\n### 操作规范\n\n```\nStep 1：从最极简的情形开始\n → 去掉所有附加条件，只保留最核心的一层\n → \"先忘掉所有特殊情况，就问最简单的版本\"\n\nStep 2：每加一个条件，追问一次\n → \"现在加上条件[X]，结论变了吗？怎么变的？\"\n\nStep 3：反例挑战\n → \"有没有一个情况，满足了前面的条件但结论不成立？\"\n → 这个步骤帮助确认定理的适用边界\n\nStep 4：自己总结\n → \"用一句话说，这个定理在说什么？\"\n → 学生能用自己的话说出来，才算真正理解\n```\n\n### 示例：相似三角形判定（AA定理的逐步拆分）\n\n```\n第1层（最简）：\n\"如果两个三角形的一对角相等，它们一定相似吗？\"\n→ 不一定（只有一个条件不够）\n\n第2层（加条件）：\n\"如果两对角都相等，它们一定相似吗？\"\n→ 一定！因为第三个角也确定了（三角之和=180°）\n\n拆分追问：\n\"为什么知道两个角就够了，不需要第三个角？\"\n→ 引导发现：三个角加起来是180°，知道两个就知道第三个\n\n反例挑战：\n\"两个三角形，各有一个60°角，它们一定相似吗？\"\n→ 不一定（只有一组角相等不够）\n\n自己总结：\n\"用一句话说AA定理在说什么？\"\n→ \"两个三角形有**两组对应角分别相等**，就相似——\n 因为第三组角由内角和自然确定了。\"\n（注意措辞：是\"两组对应角分别相等\"，不是\"两个角相等\"；\n 同一个三角形里的两个角相等说的是等腰，那是另一回事。）\n```\n\n---\n\n## 六、概念理解验证检查点\n\n概念讲解完成后，**必须做以下验证：**\n\n```\n验证①：换一个例子\n\"你来给我举一个[这个概念]的例子，\n 不能用我刚才讲的那个。\"\n→ 能举出新例子 = 真正理解了\n\n验证②：反例判断\n\"[举一个不符合这个概念的情形]，这个算不算[概念]？为什么？\"\n→ 能判断反例 = 边界清晰了\n\n验证③：应用迁移\n\"用[这个概念]解这道题：[一道简单的直接应用题]\"\n→ 能做对 = 会用了\n→ 这道题由 AI 现出时，生成前按 shared/ai-item-check.md 自检\n （自解一遍、有解且唯一、数值友好、不超出初中学段）\n\n验证④：联系旧知\n\"[这个概念]和你之前学过的[相关概念]有什么关系？\"\n→ 能建立联系 = 知识网络形成了\n```\n\n---\n\n## 七、禁止行为\n\n| ❌ 禁止 | ✅ 替代 |\n|--------|--------|\n| 直接给公式和定义 | 先建立生活直觉，再引入公式 |\n| 用数学语言解释数学（循环解释） | 用学生熟悉的非数学场景类比 |\n| 说\"这个你背下来就好了\" | \"你理解了为什么之后，就不需要背了\" |\n| 几何题直接给展开图 | 先追问学生的空间想象，再给答案 |\n| 验证理解时只问\"明白了吗\" | 让学生举新例子或解一道题 |\n\n---\n\n## 八、与其他SKILL的协作\n\n```text\n数学概念解释器 SKILL\n <-- xiaozhi-math-error-dna（B 类概念模糊错误转入，带 subtypeId）\n <-- xiaozhi-math-problem-solving-coach（解题中发现概念本身没建立时转入）\n <-- xiaozhi-math-gradient-trainer（某层卡住且属于概念问题时转入）\n --> xiaozhi-learning-dna（profile_writeback：updateTarget=concept_graph，\n masteryLevel 用三档 会复述/会解释/真正掌握；须 crossSkillSharing=true）\n --> xiaozhi-im-reminder（仅 reminder_enqueue 入队，按 shared/vocab.md §9 合并；\n 本 SKILL 不承诺\"我1天后提醒你\"）\n```\n\n掌握度只用三档（`shared/vocab.md §6`）：**会复述**（只能复述结论）/ **会解释**（说得清为什么，迁移不稳）/ **真正掌握**（能解释 + 能迁移到新题型）。\n验证①②通过 → 会解释；验证③④也通过 → 真正掌握。\n\n---\n\n## 九、高中：高一衔接段（预备知识与函数）的概念\n\n依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题一\"预备知识\"与主题二\"函数\"。学生说明在读高一，或初中毕业后做衔接预习时用本节。课标的教学提示指出，初中数学知识相对具体、高中相对抽象，所以每个高一概念都先从学生熟悉的初中内容讲起，再过渡到集合语言与符号语言。\n\n| 概念 | 从哪里讲起 | 对应子类型 |\n|---|---|---|\n| 属于与包含 | 学生与班级、班级与学校 | B10 |\n| 充分条件与必要条件 | \"下雨 ⇒ 地面湿\"，再说清数学只看能不能推出 | B11 |\n| 全称量词命题的否定 | \"全班都交了作业\"的否定是\"至少一人没交\" | B12 |\n| 一元二次不等式的解集 | 解集就是函数图像在 x 轴上方（或下方）那一段所对应的 x；口诀只在二次项系数为正时成立 | B18 |\n| 函数是对应关系 | 初中\"两个变量的依赖关系\"→ 集合之间的对应关系；定义域是函数的一部分 | B13 |\n| 单调性、奇偶性 | 从\"图像上升\"\"图像对称\"过渡到符号语言；奇偶性先看定义域是否关于原点对称 | B14 |\n| 指数与对数 | 同一个关系的\"问与答\"：2³ = 8 与 log₂8 = 3 | B15 |\n| 弧度制与单位圆 | 用半径量弧；从锐角的边比过渡到单位圆上的坐标 | B16 |\n| 零点 | 零点是方程 f(x) = 0 的解，是一个数，不是一个点 | B05 |\n| 零点存在定理 | 从河的一岸走到另一岸，一路不跳就一定要过河；反过来不成立，也可能过河不止一次 | B17 |\n\n三种模型照用：\n\nArchive v2.9.0: 14 files, 63004 bytes\n\nFiles: references/analogy-bank.md (7567b), references/math-hs1-concepts.md (10989b), references/math-hs2-concepts.md (17912b), references/math-hs3-concepts.md (27644b), shared/ai-item-check.md (3040b), shared/crisis-exception.md (4728b), shared/crisis-referral-protocol.md (5731b), shared/grade-bands.md (5751b), shared/hint-ladder.md (4990b), shared/platform-conventions.md (5907b), shared/vocab.md (14173b), skill-card.md (2278b), SKILL.md (20437b), _meta.json (149b)\n\nArchive v2.8.0: 14 files, 63031 bytes\n\nFiles: references/analogy-bank.md (7567b), references/math-hs1-concepts.md (10989b), references/math-hs2-concepts.md (17912b), references/math-hs3-concepts.md (27644b), shared/ai-item-check.md (3040b), shared/crisis-exception.md (4728b), shared/crisis-referral-protocol.md (5731b), shared/grade-bands.md (5666b), shared/hint-ladder.md (4990b), shared/platform-conventions.md (5907b), shared/vocab.md (14173b), skill-card.md (2305b), SKILL.md (20437b), _meta.json (149b)\n\nArchive v2.7.1: 14 files, 63255 bytes\n\nFiles: references/analogy-bank.md (7567b), references/math-hs1-concepts.md (10989b), references/math-hs2-concepts.md (17912b), references/math-hs3-concepts.md (27644b), shared/ai-item-check.md (3040b), shared/crisis-exception.md (4728b), shared/crisis-referral-protocol.md (5731b), shared/grade-bands.md (5630b), shared/hint-ladder.md (4990b), shared/platform-conventions.md (5907b), shared/vocab.md (14173b), skill-card.md (2598b), SKILL.md (20437b), _meta.json (149b)\n\nArchive v2.7.0: 14 files, 63013 bytes\n\nFiles: references/analogy-bank.md (7567b), references/math-hs1-concepts.md (10989b), references/math-hs2-concepts.md (17912b), references/math-hs3-concepts.md (27644b), shared/ai-item-check.md (3040b), shared/crisis-exception.md (4728b), shared/crisis-referral-protocol.md (5731b), shared/grade-bands.md (5630b), shared/hint-ladder.md (4990b), shared/platform-conventions.md (5907b), shared/vocab.md (14173b), skill-card.md (2221b), SKILL.md (20437b), _meta.json (149b)\n\nArchive v2.6.0: 12 files, 41896 bytes\n\nFiles: references/analogy-bank.md (7567b), references/math-hs1-concepts.md (10989b), shared/ai-item-check.md (3040b), shared/crisis-exception.md (4728b), shared/crisis-referral-protocol.md (5731b), shared/grade-bands.md (5657b), shared/hint-ladder.md (4990b), shared/platform-conventions.md (5907b), shared/vocab.md (14173b), skill-card.md (2006b), SKILL.md (16413b), _meta.json (149b)\n\nArchive v2.4.0: 11 files, 35708 bytes\n\nFiles: references/analogy-bank.md (7567b), shared/ai-item-check.md (3040b), shared/crisis-exception.md (4728b), shared/crisis-referral-protocol.md (5731b), shared/grade-bands.md (5349b), shared/hint-ladder.md (4990b), shared/platform-conventions.md (5751b), shared/vocab.md (14173b), skill-card.md (1907b), SKILL.md (14002b), _meta.json (149b)\n\nArchive v2.3.0: 11 files, 35376 bytes\n\nFiles: references/analogy-bank.md (7567b), shared/ai-item-check.md (3040b), shared/crisis-exception.md (4728b), shared/crisis-referral-protocol.md (5731b), shared/grade-bands.md (4860b), shared/hint-ladder.md (4392b), shared/platform-conventions.md (5751b), shared/vocab.md (13621b), skill-card.md (2841b), SKILL.md (14002b), _meta.json (149b)","readmeExcerpt":"Skill: 数学概念解释器 Owner: qizhitang Summary: 初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。典型触发：\"这个数学公式我知道但不明白为什么\"\"负负为什么得正\"\"一次函数和正比例有什么区别\"\"几何题我脑子里建不起图形\"\"这两个数学概念我总是混\"\"用生活例子讲讲这个概念\"。核心方法：三种解释模型（生活类比 / 图解可视化 / 逐步拆分）+ 几何空间想象训练。不处理：具体某道题怎么做（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、应用题列式（转 xiaozhi-math-word-problem-coach）、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、分层进阶练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。 Tags: latest:2.11","codeSnippets":[],"executableExamples":[{"language":"text","snippet":"- 查看：「查看我的概念理解记录」\n- 更正：「更正我的档案」\n- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）\n- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）/「暂停提醒」\n- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」\n- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）"},{"language":"text","snippet":"背公式 → 考试时脑子空白，记不起来\n背公式 → 换一种题型，不知道用哪个\n背公式 → 以为学会了，做题却出错\n\n根本原因：只记住了\"结论\"，没有理解\"为什么\"。"},{"language":"text","snippet":"先建立\"生活中的直觉\" → 再引入数学语言 → 再给出公式\n\n当你理解了\"为什么负负得正\"，\n你就不需要记这条规则了——因为它在你的逻辑里是自然成立的。"},{"language":"text","snippet":"模型A 生活类比法\n → 适用于：运算规则、代数概念、统计概念\n → 方法：先用生活场景建立直觉，再引入数学定义\n\n模型B 图解可视化法\n → 适用于：几何概念、函数图像、空间想象\n → 方法：引导学生在大脑中构建图形，用描述代替公式\n\n模型C 逐步拆分法\n → 适用于：复杂定理、多条件判定、综合性公式\n → 方法：从最简单的情形出发，逐步加条件，每步追问"},{"language":"text","snippet":"Step 1：找到最贴切的生活场景\n → 不能牵强，要让学生\"一听就明白\"\n → 场景必须是学生熟悉的日常生活\n\nStep 2：用生活场景建立直觉，暂时不引入数学符号\n → \"不要告诉我公式，先用场景想一想\"\n \nStep 3：用追问确认直觉建立了\n → \"在这个场景里，[X情况]会怎样？\"\n \nStep 4：现在引入数学语言\n → \"你刚才说的[X]，在数学里就是[公式/定义]\"\n \nStep 5：验证迁移\n → \"用这个理解，你能解释[另一个相关概念]吗？\""},{"language":"text","snippet":"生活场景：零花钱\n\"你每天花钱（负数）。\n '减少花钱'（负的负数）就是省钱，\n 省钱对你的财务来说是好事（正数）。\n \n 追问：'少花'3天钱，等于'多了'多少钱？\"\n\n⚠️ 边界：这个类比帮助理解\"相反的相反=原方向\"（即 -(-a)=a），\n 是直觉铺垫、不是 (-a)×(-b) 的严格证明。\n 讲两个负数相乘时，配合\"规律法\"更稳：\n 3×(-2)=-6, 2×(-2)=-4, 1×(-2)=-2, 0×(-2)=0,\n (-1)×(-2)=? 每次结果 +2 → 得 +2，(-2)×(-2)=+4。"}],"parameters":null,"dependencies":[],"permissions":[],"extractedFiles":[{"path":"SKILL.md","content":"---\nname: xiaozhi-math-concept-explainer\ndescription: '初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。典型触发：\"这个数学公式我知道但不明白为什么\"\"负负为什么得正\"\"一次函数和正比例有什么区别\"\"几何题我脑子里建不起图形\"\"这两个数学概念我总是混\"\"用生活例子讲讲这个概念\"。核心方法：三种解释模型（生活类比 / 图解可视化 / 逐步拆分）+ 几何空间想象训练。不处理：具体某道题怎么做（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、应用题列式（转 xiaozhi-math-word-problem-coach）、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、分层进阶练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。'\ncompatibility: WorkBuddy / SkillHub / OpenClaw / ClawHub\nlicense: MIT\ndisplay_name: 💡 数学概念解释器\nversion: 2.11.1\nauthor: 小智伴学\ncategory: 数学专项\ngrade_bands:\n - 初中\n - 高中\ntags: [数学, 概念理解, 几何空间, 类比, 直觉建立, 数学]\ndepends_on:\n - xiaozhi-learning-dna\nslug: xiaozhi-math-concept-explainer\ndisplayName: 💡 数学概念解释器\nsummary: '初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。'\n---\n\n# 💡 数学概念解释器 SKILL\n\n> **一句话定位：** 不要记规则，要理解规律—— \n> 当你真正明白\"为什么\"，公式就不需要死记了。\n\n> 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。\n> 无跨会话记忆时不承诺\"下次我还记得你哪个概念没通\"，请学生下次把上次的结论再发一次。\n> 使用前提：小学学段须有家长或老师在场陪同使用（shared/vocab.md §8 规则 4）；学生说明正在考试或测验中时，不讲该题、不给提示，约好考完再复盘（shared/hint-ladder.md §〇）。\n\n⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记\"已转介\"的处置事实。\n\n> 提示阶梯：本 SKILL 按 shared/hint-ladder.md 运行，**默认最高级 L6**——概念题本来就允许讲解；\n> 但讲解之后必须让学生用自己的话复述一遍或举一个新例子，才算这一轮结束。\n\n**轮次预算：** 一个概念一次讲透，单条 ≤120 字，追问 ≤3 轮；**两轮无回复即收尾**（留一句\"这个概念的一句话版本\"并归档）。\n\n### 隐私与数据控制入口\n\n```text\n- 查看：「查看我的概念理解记录」\n- 更正：「更正我的档案」\n- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）\n- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）/「暂停提醒」\n- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」\n- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）\n```\n\n---\n\n## 一、核心使命\n\n**为什么死记公式无效：**\n\n```\n背公式 → 考试时脑子空白，记不起来\n背公式 → 换一种题型，不知道用哪个\n背公式 → 以为学会了，做题却出错\n\n根本原因：只记住了\"结论\"，没有理解\"为什么\"。\n```\n\n**这个SKILL的解法：**\n\n```\n先建立\"生活中的直觉\" → 再引入数学语言 → 再给出公式\n\n当你理解了\"为什么负负得正\"，\n你就不需要记这条规则了——因为它在你的逻辑里是自然成立的。\n```\n\n---\n\n## 二、三种解释模型\n\n根据不同的概念类型，选择最合适的解释模型：\n\n```\n模型A 生活类比法\n → 适用于：运算规则、代数概念、统计概念\n → 方法：先用生活场景建立直觉，再引入数学定义\n\n模型B 图解可视化法\n → 适用于：几何概念、函数图像、空间想象\n → 方法：引导学生在大脑中构建图形，用描述代替公式\n\n模型C 逐步拆分法\n → 适用于：复杂定理、多条件判定、综合性公式\n → 方法：从最简单的情形出发，逐步加条件，每步追问\n```\n\n---\n\n## 三、模型A：生活类比法\n\n### 操作规范\n\n```\nStep 1：找到最贴切的生活场景\n → 不能牵强，要让学生\"一听就明白\"\n → 场景必须是学生熟悉的日常生活\n\nStep 2：用生活场景建立直觉，暂时不引入数学符号\n → \"不要告诉我公式，先用场景想一想\"\n \nStep 3：用追问确认直觉建立了\n → \"在这个场景里，[X情况]会怎样？\"\n \nStep 4：现在引入数学语言\n → \"你刚才说的[X]，在数学里就是[公式/定义]\"\n \nStep 5：验证迁移\n → \"用这个理解，你能解释[另一个相关概念]吗？\"\n```\n\n### 高频概念生活类比库\n\n**负数乘负数（负负得正）：**\n\n```\n生活场景：零花钱\n\"你每天花钱（负数）。\n '减少花钱'（负的负数）就是省钱，\n 省钱对你的财务来说是好事（正数）。\n \n 追问：'少花'3天钱，等于'多了'多少钱？\"\n\n⚠️ 边界：这个类比帮助理解\"相反的相反=原方向\"（即 -(-a)=a），\n 是直觉铺垫、不是 (-a)×(-b) 的严格证明。\n 讲两个负数相乘时，配合\"规律法\"更稳：\n 3×(-2)=-6, 2×(-2)=-4, 1×(-2)=-2, 0×(-2)=0,\n (-1)×(-2)=? 每次结果 +2 → 得 +2，(-2)×(-2)=+4。\n```\n\n**一次函数 y=kx+b：**\n\n```\n生活场景：出租车计费\n\"出租车起步价是8元（这是b），\n 然后每公里加2元（这是k）。\n 你坐了x公里，总费用是 y = 2x + 8。\n \n 追问：如果起步价变成0，这是什么函数？\n 如果每公里也是0，这是什么函数？\"\n```\n\n**绝对值：**\n\n```\n生活场景：距离\n\"数轴上的绝对值就是这个点到原点的距离。\n 距离永远是非负的——不管你往左走还是往右走，\n 走了3步就是3步，不会是'负3步"},{"path":"_meta.json","content":"{\n \"ownerId\": \"kn79c5gcmfkt9p1pk656tgq7nd853s7v\",\n \"slug\": \"xiaozhi-math-concept-explainer\",\n \"version\": \"2.11.1\",\n \"publishedAt\": 1791475343185\n}"},{"path":"references/analogy-bank.md","content":"# 初中数学全概念生活类比素材库\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。\r\n> 示例题验算：2026-09-03\r\n> 按章节整理，供数学概念解释器SKILL进行模型A（生活类比法）时参考。\r\n> 每条类比附有\"追问验证\"话术，确保类比建立后能迁移到数学语言。\r\n> **类比的边界**：类比只是直觉铺垫，不是证明。每条类比后面都标了它\"讲得到哪儿、讲不到哪儿\"，\r\n> 越过边界的部分要用规律法或几何法补上，不要硬把类比往前推。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、数与代数\r\n\r\n### 有理数运算\r\n\r\n**正负数的加减法：**\r\n```\r\n类比：银行账户\r\n 存钱（+），取钱（-），余额就是当前值\r\n +5 + (-3) = 存了5取了3 = 余额增加2\r\n -2 + (-4) = 取了2又取了4 = 余额减少6\r\n\r\n追问：\"你的账户原来有10元，取了15元，余额是多少？怎么用正负数表示？\"\r\n```\r\n\r\n**负数乘法：**\r\n```\r\n类比：录像倒放\r\n 正数×正数 = 正放，向前走 = 前进\r\n 负数×正数 = 倒放，向后走 = 后退\r\n 负数×负数 = 倒放的倒放 = 重新向前 = 正数\r\n\r\n类比②：减少的减少\r\n \"少花钱\"（负的花钱）= 省钱（正数效果）\r\n \r\n追问：\"每天花3元，5天一共花了多少？（3×5=15，记作 -15 的变化）\r\n 如果改成每天少花3元，5天后你的钱比原来多了多少？\"\r\n\r\n⚠️ 边界：这两个类比讲的是\"相反的相反 = 原方向\"，即 -(-a)=a，\r\n 是 (-a)×(-b)=ab 的直觉铺垫，**不是它的证明**。\r\n 上面的追问算的其实是 (-3)×5 与 (+3)×5，两个因数里只有一个是负的。\r\n 要讲两个负数相乘，接着用规律法（保持乘法分配律成立）：\r\n 3×(-2)=-6, 2×(-2)=-4, 1×(-2)=-2, 0×(-2)=0\r\n 每次左边的因数减 1，结果就 +2\r\n → (-1)×(-2)=+2, (-2)×(-2)=+4\r\n 追问：\"照这个规律往下写，(-1)×(-2) 应该是多少？为什么必须是正的？\"\r\n```\r\n\r\n**绝对值：**\r\n```\r\n类比：数轴上的距离\r\n 在操场上，站在0米的位置：\r\n 向右走5步，距离起点5步 → |5|=5\r\n 向左走5步，距离起点也是5步 → |-5|=5\r\n 距离永远是非负的\r\n\r\n追问：\"温度计上，-3℃和+3℃距离0℃的'差距'一样吗？\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n### 整式与多项式\r\n\r\n**合并同类项：**\r\n```\r\n类比：水果分类\r\n 3个苹果+2个橙子+1个苹果 = 4个苹果+2个橙子（不能把苹果和橙子合并）\r\n 3x + 2y + x = 4x + 2y（x和y不同类，不能合并）\r\n\r\n追问：\"3x²和3x是同类项吗？为什么？\"\r\n```\r\n\r\n**乘法分配律：**\r\n```\r\n类比：批量购买\r\n 买3箱，每箱有5个苹果和2个橙子\r\n = 3×5个苹果 + 3×2个橙子\r\n 3(5+2) = 3×5 + 3×2\r\n\r\n追问：\"a(b+c)为什么等于ab+ac？用购物的方式解释。\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n### 方程与不等式\r\n\r\n**方程的解：**\r\n```\r\n类比：天平\r\n 方程是一个平衡的天平\r\n 你在左边加什么，右边也要加一样的，才能保持平衡\r\n \"解方程\"就是找到让天平平衡的那个数\r\n\r\n追问：\"如果天平两边各放了相同的东西，你拿走一边的3克，另一边要怎么做？\"\r\n```\r\n\r\n**不等式的解集：**\r\n```\r\n类比：身高限制\r\n \"身高≥1.2米才能坐过山车\"\r\n 解集是所有≥1.2米的身高，不是某一个具体的身高\r\n 解集是一段范围，不是一个点\r\n\r\n追问：\"'班上年龄>13岁的同学'，这是一个具体的人，还是一群人？不等式的解集类似哪种？\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n### 函数与图像\r\n\r\n**函数的本质（对应关系）：**\r\n```\r\n类比：自动贩卖机\r\n 你投入x元钱，机器输出对应的y个饮料\r\n 对于每一个输入（x），有且只有一个确定的输出（y）\r\n 这就是\"函数\"：每个自变量对应唯一一个因变量\r\n\r\n追问：\"一个人有两个身高，算函数吗？为什么？\"\r\n```\r\n\r\n**一次函数y=kx+b中k的含义（变化率）：**\r\n```\r\n类比：爬坡\r\n k是坡度——每向前走1步（x增加1），高度变化 k\r\n k>0：上坡（y随x增大而增大）\r\n k<0：下坡（y随x增大而减小）\r\n |k| 越大：坡越陡（陡不陡看的是绝对值，不是 k 本身）\r\n\r\n追问①：\"k=3 和 k=0.5，哪条直线更陡？为什么？\"\r\n追问②：\"k=-3 和 k=0.5 呢？—— k=-3 是往下走，但走得更陡；\r\n 比'陡'的时候比的是 |k|，比'升还是降'的时候才看 k 的正负。\"\r\n```\r\n\r\n**一次函数b的含义（截距）：**\r\n```\r\n类比：出租车起步价\r\n b是出租车起步价，不管你坐了多少公里，上车就要付这个钱\r\n 在x=0的时候，y=b（图像与y轴的交点）\r\n\r\n追问：\"y=2x和y=2x+3，在x=0时哪个y值更大？图像上有什么区别？\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、几何\r\n\r\n**平行线的同位角相等：**\r\n```\r\n类比：铁路轨道\r\n 两条平行的铁轨，一列火车以同一个角度穿过\r\n 车头切入左轨的角 = 车头切入右轨的角（同位角）\r\n 因为轨道平行，切入角必须相同\r\n\r\n追问：\"如果两条线不平行，同位角还会相等吗？举个例子。\"\r\n```\r\n\r\n**三角形面积公式：**\r\n```\r\n类比：平行四边形的一半\r\n 任何三角形，复制一个、绕一边中点旋转 180°，\r\n 两个三角形刚好拼成一个**平行四边形**（不是矩形）——\r\n 这个平行四边形和原三角形同底等高，\r\n 面积 = 底×高，所以三角形面积 = 底×高÷2\r\n\r\n （只有直角三角形复制后能拼成矩形，那是特例，不是一般情形；\r\n 平行四边形面积 = 底×高 本身也是由\"割补成矩形\"得到的。）\r\n\r\n追问①：\"钝角三角形复制一份能拼成矩形吗？试着拼拼看，拼出来的是什么？\"\r\n追问②：\"直角三角形两直角边分别是3和4，面积是多少？为什么可以直接算？\"\r\n```\r\n\r\n**勾股定理的直觉：**\r\n```\r\n类比：直角三角形上画正方形\r\n 在三条边上各画一个正方形\r\n 斜边上的正方形面积 = 两直角边正方形面积之和\r\n 这就是c²=a²+b²的几何意义\r\n\r\n追问：\"如果三角形不是直角三角形，这个关系还成立吗？\"\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 三、概率与统计\r\n\r\n**平均数：**\r\n```\r\n类比：把水倒平\r\n 5个杯子，水量不同，把所有水倒进一个大桶再平均倒回去，\r\n 每个杯子里的水量就是平均数\r\n\r\n追问：\"为什么极端值（特别大或特别小的数）会影响平均数，但不影响中位数？\"\r\n```\r\n\r\n**频率与概率的关系：**\r"},{"path":"references/math-hs1-concepts.md","content":"# 高一衔接段的数学概念：类比、边界与检验\r\n\r\n> 示例题验算：2026-09-25\r\n> 适用学段：高中（高一衔接段）。\r\n> 本文件是 `xiaozhi-math-concept-explainer` 第九节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题一\"预备知识\"与主题二\"函数\"。每个概念给一个生活类比（写明讲得到哪儿、讲不到哪儿）、一个检验问题，以及对应的错因子类型（定义见数学错误DNA 维度表第九节；零点沿用第三节的 B05）。关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算。\r\n> 课标的教学提示指出：初中阶段数学知识相对具体，高中阶段相对抽象。所以每个概念都先从学生熟悉的初中内容讲起，再过渡到集合、符号语言。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、高一·预备知识\r\n\r\n**1. 属于与包含（B10）**\r\n\r\n```\r\n类比：学生与班级、班级与学校\r\n 小明是三班的一名学生 → 元素与集合：小明 ∈ 三班\r\n 三班的每个学生都是本校学生 → 集合与集合：三班 ⊆ 全校学生\r\n\r\n检验：\"1 和 {1} 有什么不同？1 ∈ {1, 2} 和 {1} ⊆ {1, 2}，哪个写法对？\"（两个都对：前者是元素属于集合，后者是集合包含于集合）\r\n\r\n⚠️ 边界：生活里没有\"空班级是每个班的一部分\"这种说法，所以\"空集是任何集合的子集\"不能靠类比，\r\n 要回到定义：A ⊆ B 是说\"A 的每一个元素都是 B 的元素\"，空集没有元素，这句话自然成立。\r\n```\r\n\r\n**2. 充分条件与必要条件（B11）**\r\n\r\n```\r\n类比：下雨与地面湿\r\n 下雨 ⇒ 地面湿：下雨是地面湿的充分条件（有它就够了）\r\n 地面湿是下雨的必要条件（没有它就一定没下雨：地面不湿，一定没下雨）\r\n\r\n检验：\"p ⇒ q 时，谁是谁的充分条件？谁是谁的必要条件？\"\r\n\r\n⚠️ 边界：生活里的\"条件\"常常带着因果，数学里只看\"能不能推出\"。\r\n 地面湿也可能是洒水车洒的——这正说明由\"地面湿\"推不出\"下雨\"。\r\n```\r\n\r\n**3. 全称量词命题的否定（B12）**\r\n\r\n```\r\n类比：\"全班同学都交了作业\"\r\n 它的否定是：\"至少有一个同学没交作业\"\r\n 不是：\"全班同学都没交作业\"\r\n\r\n检验：\"'任意 x∈R，x² ≥ 0'的否定怎么写？\"（存在 x∈R，x² < 0）\r\n\r\n⚠️ 边界：否定一句\"全都……\"，只要找到一个反例就够了，所以否定后变成\"存在……\"。\r\n```\r\n\r\n**4. 一元二次不等式的解集，就是图像的一段（B18）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 初中：会画 y = x² − 3x + 2 的图像，知道它与 x 轴交于 (1, 0)、(2, 0)\r\n ② 高一：解 x² − 3x + 2 > 0，就是问\"图像在 x 轴上方的部分，对应哪些 x\"\r\n 开口向上，两根之外的部分在 x 轴上方 → 解集为 {x | x < 1 或 x > 2}\r\n ③ 口诀\"大于取两边、小于取中间\"只在二次项系数为正时成立；\r\n 系数为负时，先在两边同乘 −1（不等号要变向），或者直接看图\r\n\r\n检验：\"−x² + 3x − 2 > 0 的解集是什么？先说图像开口向哪边。\"（开口向下，解集为 {x | 1 < x < 2}）\r\n\r\n⚠️ 边界：看图之前要先求出图像与 x 轴的交点；图像与 x 轴只有一个交点或没有交点时，\r\n 解集可能是全体实数、空集、只含一个数的集合，或去掉一个数的实数集，要结合开口方向和不等号来定\r\n （如 x² − 2x + 1 > 0 的解集是 {x | x ≠ 1}，x² − 2x + 1 ≤ 0 的解集是 {1}）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"x² − 3x + 2 > 0 在 x = 0、3 成立、x = 1.5 不成立；−x² + 3x − 2 > 0 恰好相反\", \"expr\": \"[[0, 1.5, 3].map((x) => x * x - 3 * x + 2 > 0), [0, 1.5, 3].map((x) => -x * x + 3 * x - 2 > 0)]\", \"expect\": [[true, false, true], [false, true, false]]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、高一·函数\r\n\r\n**5. 函数是一种对应关系（B13）**\r\n\r\n```\r\n类比：自动售货机\r\n 按一个按钮，只会出来一种饮料 → 每个 x 只对应一个 y\r\n 两个不同的按钮，可以出同一种饮料 → 不同的 x 可以对应同一个 y\r\n 不在机器上的按钮，按不了 → 定义域之外的 x 没有函数值\r\n\r\n检验：\"y = x 和 y = x²/x 是同一个函数吗？\"（不是：后者的定义域不含 0）\r\n\r\n⚠️ 边界：售货机的按钮只有有限个，函数的定义域常常是无限集；\r\n 类比只用来说明\"一对一或多对一\"，不说明函数值怎么算。\r\n```\r\n\r\n**6. 单调性要用\"任意\"来说（B14）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 初中的说法：图像从左到右上升\r\n ② 高中的说法：在区间 I 上，对任意 x₁ < x₂，都有 f(x₁) < f(x₂)\r\n ③ 为什么要\"任意\"：只挑两个点比较不够\r\n f(x) = x² 在 [−1, 2] 上：f(−1) = 1 < f(2) = 4，\r\n 可 f(−1) = 1 > f(0) = 0——这个函数在 [−1, 2] 上并不单调递增\r\n\r\n检验：\"f(x) = x² 在 [−1, 2] 上单调递增吗？找两个点说明。\"\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"f(x) = x² 在 [−1, 2] 上：f(−1) < f(2)，但 f(−1) > f(0)，所以不是单调递增\", \"expr\": \"[(-1) ** 2 < 2 ** 2, (-1) ** 2 > 0 ** 2]\", \"expect\": [true, true]}\r\n```\r\n\r\n**7. 奇偶性的前提（B14）**\r\n\r\n```\r\n图解：偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称\r\n 前提：定义域必须关于原点对称——有 x 就得有 −x\r\n\r\n检验：\"f(x) = x²，x ∈ [−1, 2]，是偶函数吗？\"（不是：x = 2 在定义域内，−2 不在）\r\n```\r\n\r\n**8. 指数与对数是一对\"问与答\"（B15）**\r\n\r\n```\r\n类比：同一个关系，换个问法\r\n 2³ = 8：已知底数 2 和指数 3，问结果 → 8\r\n log₂8 = 3：已知底数 2 和结果 8，问指数 → 3\r\n\r\n检验：\"把 10² = 100 写成对数式。\"（lg 100 = 2）\r\n\r\n⚠️ 边界：为什么要求 a > 0 且 a ≠ 1？\r\n a = 1 时，1 的任何次方都是 1，问\"1 "},{"path":"references/math-hs2-concepts.md","content":"# 高中必修后半的数学概念：类比、边界与检验\r\n\r\n> 示例题验算：2026-09-26\r\n> 适用学段：高中（必修后半：几何与代数、概率与统计）。\r\n> 本文件是 `xiaozhi-math-concept-explainer` 第十节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题三\"几何与代数\"（平面向量及其应用、复数、立体几何初步）与主题四\"概率与统计\"（概率、统计）。每个概念给一个生活类比、图解、逐步拆分或对照（类比写明讲得到哪儿、讲不到哪儿）、一个检验问题，以及对应的错因子类型（定义见数学错误DNA 维度表第十节；分层抽样沿用第三节的 B08；没有专门编码的标\"—\"）。关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算；立体几何条目的 `verify` 用坐标计算，只为让 CI 验算，给学生讲时用长方体和几何说理。\r\n> 课标的教学提示：平面向量从力、速度、位移等实际情境入手，从物理、几何、代数三个角度理解；复数重在表示与几何意义，避免烦琐的计算与技巧训练；立体几何初步以长方体为载体，判定定理只要求直观感知、操作确认；概率与统计通过典型案例，借助信息技术体会随机思想。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、高中必修·平面向量及其应用\r\n\r\n**1. 数量积的结果是一个数（B19）**\r\n\r\n```\r\n类比：力做的功\r\n 用力 F 拉箱子移动了位移 s，力做的功 W = |F||s|cos θ（θ 是力与位移的夹角）\r\n 力、位移都是向量，功却只有大小、没有方向——数量积 a·b = |a||b|cos θ 也是这样，结果是一个数\r\n\r\n检验：\"a·b 的结果是向量还是数？由 a·b = 0 能推出 a = 0 或 b = 0 吗？\"\r\n （是数；不能——两个非零向量互相垂直时，数量积也是 0）\r\n\r\n⚠️ 边界：实数乘法的规律不能全搬过来。\r\n 消去律不成立：a·b = a·c（a ≠ 0）推不出 b = c，只能推出 a 与 b − c 垂直；\r\n 结合律不成立：(a·b)c 是与 c 共线的向量，a(b·c) 是与 a 共线的向量，一般不相等。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"a = (1, 0)、b = (0, 1)、c = (1, 1)：(a·b)c = (0, 0)，a(b·c) = (1, 0)，两者不等；a = (1, 0)、b = (2, 3)、c = (2, −5) 时 a·(b − c) = 0\", \"expr\": \"[(1 * 0 + 0 * 1) * 1, (1 * 0 + 0 * 1) * 1, 1 * (0 * 1 + 1 * 1), 0 * (0 * 1 + 1 * 1), 1 * (2 - 2) + 0 * (3 - -5)]\", \"expect\": [0, 0, 1, 0, 0]}\r\n```\r\n\r\n**2. 投影向量：向量的\"影子\"（B19）**\r\n\r\n```\r\n图解：把 a、b 的起点放在一起，从 a 的终点向 b 所在的直线作垂线，\r\n 从起点到垂足的向量，就是 a 在 b 上的投影向量，等于 (|a|cos θ)·e（e 是与 b 同方向的单位向量）\r\n\r\n检验：\"a = (2, 1)，b = (3, 0)，a 在 b 上的投影向量是什么？\"（(2, 0)）\r\n\r\n⚠️ 边界：夹角是钝角时 cos θ < 0，投影向量与 b 方向相反——影子落到了反方向。\r\n 课标把投影放在数量积之后，建议借助几何直观理解（课标案例 9 向量投影）。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"a = (2, 1)、b = (3, 0)：|a|cos θ = a·b/|b| = 6/3 = 2，投影向量为 2e = (2, 0)\", \"expr\": \"(2 * 3 + 1 * 0) / 3\", \"expect\": 2}\r\n```\r\n\r\n**3. 夹角为钝角：还要排除反向共线（B19）**\r\n\r\n```\r\n逐步拆分：\r\n ① 向量夹角 θ 的范围是 [0, π]\r\n ② a·b < 0 ⇔ cos θ < 0 ⇔ θ ∈ (π/2, π]——这里包含了 θ = π，也就是两个向量反向共线\r\n ③ 所以\"夹角为钝角\" ⇔ a·b < 0，且 a、b 不反向共线\r\n\r\n检验：\"a = (1, 1)，b = (λ, −2)，a 与 b 的夹角为钝角，λ 的取值范围是什么？\"\r\n （a·b = λ − 2 < 0，得 λ < 2；λ = −2 时 b = −2a，两个向量反向，要去掉。所以 λ < 2 且 λ ≠ −2）\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"λ = −2 时 a·b = −4 < 0，但 x₁y₂ − x₂y₁ = 0，两向量反向共线；λ = 0 时 a·b = −2 < 0 且不共线，夹角是钝角\", \"expr\": \"[1 * -2 + 1 * -2, 1 * -2 - -2 * 1, 1 * 0 + 1 * -2, 1 * -2 - 0 * 1]\", \"expect\": [-4, 0, -2, -2]}\r\n```\r\n\r\n**4. 共线与垂直的坐标条件（B19）**\r\n\r\n```\r\n对照：a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)\r\n 共线：x₁y₂ − x₂y₁ = 0 ——由 b = λa（a ≠ 0）推出\r\n 垂直：x₁x₂ + y₁y₂ = 0 ——由 a·b = 0 推出\r\n\r\n检验：\"(1, 2) 与 (2, 4)、(1, 2) 与 (−2, 1)，哪一对共线，哪一对垂直？\"（前一对共线，后一对垂直）\r\n\r\n⚠️ 边界：零向量与任何向量都共线；两个条件记混时，回到它们各自的来源重推一遍，比背口诀可靠。\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"(1, 2) 与 (2, 4)：1 × 4 − 2 × 2 = 0，共线；(1, 2) 与 (−2, 1)：1 × (−2) + 2 × 1 = 0，垂直\", \"expr\": \"[1 * 4 - 2 * 2, 1 * -2 + 2 * 1]\", \"expect\": [0, 0]}\r\n```\r\n\r\n**5. 已知两边和其中一边的对角：可能有两个解（B20）**\r\n\r\n```\r\n图解：已知角 A、边 b（= AC）和边 a（= BC）\r\n 先画出角 A 和边 AC，再以 C 为圆心、a 为半径画弧，弧与角 A 的另一边有几个交点，三角形就有几个\r\n A 为锐角时，C 到那条边的距离是 b sin A：\r\n a < b sin A：没有交点，无解\r\n a = b sin A：相切，一解（直角三角形）\r\n b sin A < a < b：两个交点，两解\r\n a ≥ b：一解\r\n\r\n检验：\"A = 30°，a = 1，b = √3，B 等于多少？\"（b sin A = √3/2 < 1 < √3，两解：B = 60° 或 120°）\r\n\r\n⚠️ 边界：从代数上看，sin 在 (0, π) 上不是一一对应的"}],"languages":[],"docsSourceLabel":"CLAWHUB","editorialOverview":"初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。典型触发：\"这个数学公式我知道但不明白为什么\"\"负负为什么得正\"\"一次函数和正比例有什么区别\"\"几何题我脑子里建不起图形\"\"这两个数学概念我总是混\"\"用生活例子讲讲这个概念\"。核心方法：三种解释模型（生活类比 / 图解可视化 / 逐步拆分）+ 几何空间想象训练。不处理：具体某道题怎么做（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、应用题列式（转 xiaozhi-math-word-problem-coach）、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、分层进阶练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。 Skill: 数学概念解释器 Owner: qizhitang Summary: 初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在\"这个数学概念本身没懂\"时用。典型触发：\"这个数学公式我知道但不明白为什么\"\"负负为什么得正\"\"一次函数和正比例有什么区别\"\"几何题我脑子里建不起图形\"\"这两个数学概念我总是混\"\"用生活例子讲讲这个概念\"。核心方法：三种解释模型（生活类比 / 图解可视化 / 逐步拆分）+ 几何空间想象训练。不处理：具体某道题怎么做（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、应用题列式（转 xiaozhi-math-word-problem-coach）、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、分层进阶练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。 Tags: latest:2.11","editorialQuality":{"score":100,"threshold":65,"status":"ready","wordCount":529,"uniquenessScore":60,"reasons":[]}},"media":{"evidence":{"source":"no-media","verified":false,"confidence":"low","updatedAt":"2026-10-10T05:18:22.553Z","emptyReason":"No screenshots, media assets, or demo links are available."},"primaryImageUrl":null,"mediaAssetCount":0,"assets":[],"demoUrl":null},"ownerResources":{"evidence":{"source":"unclaimed","verified":false,"confidence":"low","updatedAt":"2026-10-10T05:18:22.553Z","emptyReason":"This page has not been claimed by the agent owner."},"hasCustomPage":false,"customPageUpdatedAt":null,"customLinks":[],"structuredLinks":{"docsUrl":null,"demoUrl":null,"supportUrl":null,"pricingUrl":null,"statusUrl":null},"customPage":null},"relatedAgents":{"evidence":{"source":"protocol-neighbors","verified":false,"confidence":"medium","updatedAt":"2026-10-10T10:44:11.054Z","emptyReason":null},"items":[{"id":"8ebccd8e-3863-4187-8355-c3f14e1f9edf","entityType":"agent","canonicalPath":"/agent/iofficeai-aionui","slug":"iofficeai-aionui","name":"AionUi","description":"Free, local, open-source 24/7 Cowork app and OpenClaw for Gemini CLI, Claude Code, Codex, OpenCode, Qwen Code, Goose CLI, Auggie, and more | 🌟 Star if you like it!","url":"https://github.com/iOfficeAI/AionUi","homepage":"https://www.aionui.com","source":"GITHUB_REPOS","protocols":["MCP","OPENCLAW"],"capabilities":[],"safetyScore":100,"overallRank":70,"updatedAt":"2026-10-09T19:11:12.944Z","createdAt":"2026-02-25T03:38:16.584Z","downloads":null},{"id":"b917f68a-ebff-438e-84f8-3f4b2494c0bc","entityType":"agent","canonicalPath":"/agent/activepieces-activepieces","slug":"activepieces-activepieces","name":"activepieces","description":"AI Agents & MCPs & AI Workflow Automation • (~400 MCP servers for AI agents) • AI Automation / AI Agent with MCPs • AI Workflows & AI Agents • MCPs for AI Agents","url":"https://github.com/activepieces/activepieces","homepage":"https://www.activepieces.com","source":"GITHUB_REPOS","protocols":["OPENCLAW"],"capabilities":[],"safetyScore":100,"overallRank":70,"updatedAt":"2026-04-15T02:22:12.426Z","createdAt":"2026-02-25T03:38:12.412Z","downloads":null},{"id":"5cb26759-3a39-483f-94cf-276a98c13bb8","entityType":"agent","canonicalPath":"/agent/cherryhq-cherry-studio","slug":"cherryhq-cherry-studio","name":"cherry-studio","description":"AI productivity studio with smart chat, autonomous agents, and 300+ assistants. Unified access to frontier LLMs","url":"https://github.com/CherryHQ/cherry-studio","homepage":"https://cherry-ai.com","source":"GITHUB_REPOS","protocols":["MCP","OPENCLAW"],"capabilities":[],"safetyScore":100,"overallRank":70,"updatedAt":"2026-04-11T14:38:40.986Z","createdAt":"2026-02-25T03:38:19.379Z","downloads":null},{"id":"6f6582d0-5d76-4f0f-b81d-86520247950b","entityType":"agent","canonicalPath":"/agent/copilotkit-copilotkit","slug":"copilotkit-copilotkit","name":"CopilotKit","description":"The Frontend for Agents & Generative UI. React + Angular","url":"https://github.com/CopilotKit/CopilotKit","homepage":"https://docs.copilotkit.ai","source":"GITHUB_REPOS","protocols":["OPENCLAW"],"capabilities":[],"safetyScore":100,"overallRank":70,"updatedAt":"2026-03-25T09:50:57.846Z","createdAt":"2026-02-25T03:39:14.617Z","downloads":null}],"links":{"hub":"/agent","source":"/agent/source/clawhub","protocols":[{"label":"OpenClaw","href":"/agent/protocol/openclew"}]}}}