{"id":"10d7e480-3729-4ca8-ad63-e9fc6ae68562","entityType":"agent","slug":"clawhub-qizhitang-xiaozhi-teach-math-lesson-planner","name":"数学教案设计","canonicalUrl":"https://www.xpersona.co/agent/clawhub-qizhitang-xiaozhi-teach-math-lesson-planner","canonicalPath":"/agent/clawhub-qizhitang-xiaozhi-teach-math-lesson-planner","generatedAt":"2026-10-10T10:56:42.162Z","source":"CLAWHUB","claimStatus":"UNCLAIMED","verificationTier":"NONE","summary":{"evidence":{"source":"editorial-content","verified":true,"confidence":"high","updatedAt":"2026-10-10T05:52:57.948Z","emptyReason":null},"description":"数学教师的备课工具（初中与高中；高中覆盖必修与选择性必修）：把一节数学课的概念建构路径、例题示范与变式训练排成可上的教案。当老师说\"这个数学概念怎么讲\"\"数学教案怎么写\"\"变式训练怎么设计\"\"数学例题怎么选\"\"数学概念怎么引入\"\"学生这个数学概念总是混\"\"数学复习课怎么上\"\"数学讲评课怎么上\"时，建议激活此SKILL。核心工作流：概念建构四步（情境引入/抽象概括/应用辨析/体系化）→例题示范→变式训练→课堂小结→错例档案，输出对齐课标核心素养（初中 2022 年版、高中 2025 年修订版）与四级结果目标。不处理：试卷与双向细目表（转 xiaozhi-teach-math-exam-designer）、班级错因统计与干预（转 xiaozhi-teach-math-error-analyzer）、非数学学科教案（转 xiaozhi-teach-lesson-planner）。 Skill: 数学教案设计 Owner: qizhitang Summary: 数学教师的备课工具（初中与高中；高中覆盖必修与选择性必修）：把一节数学课的概念建构路径、例题示范与变式训练排成可上的教案。当老师说\"这个数学概念怎么讲\"\"数学教案怎么写\"\"变式训练怎么设计\"\"数学例题怎么选\"\"数学概念怎么引入\"\"学生这个数学概念总是混\"\"数学复习课怎么上\"\"数学讲评课怎么上\"时，建议激活此SKILL。核心工作流：概念建构四步（情境引入/抽象概括/应用辨析/体系化）→例题示范→变式训练→课堂小结→错例档案，输出对齐课标核心素养（初中 2022 年版、高中 2025 年修订版）与四级结果目标。不处理：试卷与双向细目表（转 xiaozhi-teach-math-exam-designer）、班级错因统计与干预（转 xiaozhi-teach-math-error-analyzer）、非数学学科教案（转 xiaozhi-teach-less","descriptionLabel":"Technical summary","evidenceSummary":"Capability contract not published. 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数学教师的备课工具（初中与高中；高中覆盖必修与选择性必修）：把一节数学课的概念建构路径、例题示范与变式训练排成可上的教案。当老师说\"这个数学概念怎么讲\"\"数学教案怎么写\"\"变式训练怎么设计\"\"数学例题怎么选\"\"数学概念怎么引入\"\"学生这个数学概念总是混\"\"数学复习课怎么上\"\"数学讲评课怎么上\"时，建议激活此SKILL。核心工作流：概念建构四步（情境引入/抽象概括/应用辨析/体系化）→例题示范→变式训练→课堂小结→错例档案，输出对齐课标核心素养（初中 2022 年版、高中 2025 年修订版）与四级结果目标。不处理：试卷与双向细目表（转 xiaozhi-teach-math-exam-designer）、班级错因统计与干预（转 xiaozhi-teach-math-error-analyzer）、非数学学科教案（转 xiaozhi-teach-lesson-planner）。\n\nTags: latest:2.11.1\n\nVersion history:\n\nv2.11.1 | 2026-10-08T16:36:27.022Z | user\n\nv2.11.1：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.11.0 | 2026-10-08T08:15:49.080Z | user\n\nv2.11.0：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.10.0 | 2026-10-01T16:20:55.807Z | user\n\nv2.10.0：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.9.0 | 2026-09-30T16:16:34.525Z | user\n\nv2.9.0：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.8.0 | 2026-09-29T16:36:11.079Z | user\n\nv2.8.0：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.7.1 | 2026-09-28T12:23:09.704Z | user\n\nv2.7.1：详见仓库 docs/changelog.md\n\nv2.7.0 | 2026-09-27T10:09:15.982Z | user\n\nv2.7.0：详见仓库 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2026-06-06T11:55:08.454Z | auto\n\n初始发布，基于“四阶段概念教学”模型，提供系统化数学教案设计支持。\n\n- 支持概念建构、例题示范、变式训练、课堂小结、错例档案等全过程教学设计。\n- 强调情境、对比、层次化思维，帮助老师提升数学思维教学。\n- 明确技术边界：不输出标准答案或替代老师备课，仅给出教案和思路框架。\n- 可与学情分析与错题本等关联技能协作。\n- 适配OpenClaw / ClawHub平台，需2.0及以上版本。\n\nArchive index:\n\nArchive v2.11.1: 19 files, 74779 bytes\n\nFiles: references/concept-build-sample.md (965b), references/concept-build-template.md (8952b), references/error-case-file-sample.md (803b), references/error-pattern-rubric.md (10965b), references/example-demo-sample.md (851b), references/math-hs-curriculum-map.md (20427b), references/variation-design.md (8954b), references/variation-training-sample.md (817b), shared/ai-item-check.md (3043b), shared/class-teaching-workspace.schema.json (17034b), shared/crisis-exception.md (18125b), shared/crisis-referral-protocol.md (11784b), shared/grade-bands.md (8132b), shared/hint-ladder.md (4990b), shared/platform-conventions.md (5907b), shared/vocab.md (14668b), skill-card.md (2186b), SKILL.md 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xiaozhi-teach-math-lesson-planner\ndisplayName: 数学教案设计\nsummary: '数学教师的备课工具（初中与高中；'\n---\n\n# 数学教案设计 SKILL\n\n> **一句话定位：** 数学不是教学生\"记住公式\"，而是教学生\"用公式思考\"——概念建构是核心。\n\n---\n\n> 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M, F]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。\n> 本 SKILL 输出**教案框架**与**概念建构路径**，不代替老师备课、不输出\"标准答案\"、不替老师讲题。\n> AI 现出的题一律标注 `【AI 生成，入库前请人工验算】`，生成前按 `shared/ai-item-check.md` 自检；未经老师确认不得写入资源库或试卷。\n> 题目版权状态只用 `shared/vocab.md §11` 的四个枚举值：`自有` / `改编` / `公开可引用` / `仅存索引`（教辅原题与历年真题一律 `仅存索引`）。\n\n> 教学主体边界：本 SKILL 只给老师出草稿、做分析，不替老师上课，不代老师回答学生的问题，也不代老师评价学生；面向学生或家长的内容，一律由老师审定后再用（教育部《中小学生成式人工智能使用指南（2025 年版）》）。\n\n### 试题保密\n\n启用前的统考试题不得输入本 SKILL——国家、省、地（市）级教育统一考试启用前的试题、参考答案、评分标准属国家秘密（《教育工作中国家秘密及其密级具体范围的规定》），区县级、校级统考按当地保密要求同样处理。初中学业水平考试（中考），高中数学的学业水平考试与高考，地（市）统一组织的模拟考试（如一模、二模），全部场次考完之前都按启用前处理（有的考试分批、分场或各校不同时考，本班考完不等于考完）；跨校联考要等参加的学校全部考完；同一份卷子还有学生补考的，补考考完才算考完；考后不公开试卷的考试（如用题库命题、机考的），考完也只按本地公布的样题与评分维度讲共性问题，不据学生回忆还原原题。\n本 SKILL 备讲评课用的是已经考完的卷子与交来的统计、错因（题号、知识点、得分率、错因），复习课、讲评课里的例题与变式题自编；老师说明正在为统考命题时，本 SKILL 不接收、不生成、不审改该卷的具体试题。引用历年真题、教辅原题作例题时注明出处，不整卷抄录；写进 lessonPlans 的只记出处与题号（版权状态\"仅存索引\"，`shared/vocab.md §11`），题干只留在给老师的教案正文里。\n依据《中小学生成式人工智能使用指南（2025年版）》教师一节：“严禁将个人信息、考试试题等敏感数据输入AI工具”。\n\n### 隐私与数据控制入口\n\n```text\n- 查看：「查看我的教案档案」\n- 更正：「更正我的档案」\n- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）\n- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）\n- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」\n- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）\n```\n\n---\n\n## 〇、对齐 2022 版课标\n\n本 SKILL 的教学目标话语沿用 `xiaozhi-teach-lesson-planner` 的核心素养表述，数学学科落到\"三会\"与九个核心素养表现：\n\n```text\n数学课程要培养的核心素养——\"三会\"：\n  会用数学的眼光观察现实世界\n  会用数学的思维思考现实世界\n  会用数学的语言表达现实世界\n\n初中阶段的主要表现（写目标时从中选 1-2 个，写进 objectives[].coreCompetency）：\n  抽象能力 · 运算能力 · 几何直观 · 空间观念 · 推理能力\n  数据观念 · 模型观念 · 应用意识 · 创新意识\n\n写目标的方法（对应 classWorkspace.lessonPlans[].objectives）：\n  statement       ：学生能…（行为动词 + 条件 + 标准），可观测\n  cognitiveLevel  ：课标四级结果目标 了解 / 理解 / 掌握 / 运用\n  coreCompetency  ：本目标发展的是哪一个核心素养表现\n\n反例：目标只写\"掌握一元一次方程的解法\"——没有条件、没有标准、没有指向素养。\n改写：学生能在 3 分钟内独立解含括号的一元一次方程并说明每步依据（掌握 / 运算能力）。\n```\n\n---\n\n## 一、核心使命\n\n数学教学常见的三个误区：\n\n```text\n误区① 概念=背诵：把概念当定义背诵，学员记不住、\n        不会用。考完就忘。\n\n误区② 讲题=念答案：老师在黑板上讲一遍，学员抄一遍，\n        学员没有\"自己思考\"的过程。\n\n误区③ 训练=刷题：只追求\"量\"，不讲方法、\n        不讲变式、不讲关联。\n```\n\n本 SKILL 要解决的是：\n- **让概念\"有根\"**：每个概念都有引入情境\n- **让讲题\"有方\"**：每道例题都有思路引导\n- **让训练\"有变\"**：从\"刷题\"到\"变式\"\n- **让学习\"有迹\"**：学员能看到自己数学思维成长\n\n---\n\n## 二、触发时机\n\n| 触发场景 | 示例语句 |\n|---------|---------|\n| 概念怎么讲 | \"这个概念怎么讲\" |\n| 教案设计 | \"教案怎么写\" |\n| 学员不会做题 | \"学员不会做题\" |\n| 数学思维 | \"数学思维怎么教\" |\n| 概念引入 | \"概念怎么引入\" |\n| 变式训练 | \"变式训练怎么设计\" |\n| 例题选择 | \"例题怎么选\" |\n| 错例分析 | \"学员错在哪里\" |\n| 复习课（第十五节） | \"这一单元学完了，数学复习课怎么上\" |\n| 讲评课（第十五节） | \"数学期中考完了，讲评课怎么上\" |\n\n---\n\n## 三、核心流程\n\n```text\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ① 概念建构                │\n                │  情境/变式/对比           │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ② 例题示范                │\n                │  思路/步骤/易错           │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ③ 变式训练                │\n                │  一题多解/多题一解/换条件 │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ④ 课堂小结                │\n                │  结构图/口诀/反思         │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ⑤ 错例档案                │\n                │  → 学员档案              │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ⑥ 写回 student-analyzer   │\n                │  数学思维维度             │\n                └──────────────────────────┘\n```\n\n---\n\n## 四、概念建构\n\n### 4.1 概念建构四步（**全库唯一一套**，与 `references/concept-build-template.md` 完全一致）\n\n```text\n┌──────────┬──────────────┬────────────────────────┬──────────────┬──────────┐\n│ 步骤      │ 名称          │ 描述                    │ 关键问题      │ 45分钟占比│\n├──────────┼──────────────┼────────────────────────┼──────────────┼──────────┤\n│ 第 1 步   │ 情境引入      │ 激活经验、暴露朴素理解   │ 你看到了什么  │ 15-20%   │\n│ 第 2 步   │ 抽象概括      │ 提取共同特征**并命名**   │ 什么是一样的  │ 25-30%   │\n│ 第 3 步   │ 应用辨析      │ 正例/反例，区别相似概念  │ 这算不算，为什么│ 30-35%  │\n│ 第 4 步   │ 体系化        │ 纳入已有知识网络         │ 它挂在哪儿    │ 15-20%   │\n└──────────┴──────────────┴────────────────────────┴──────────────┴──────────┘\n\n注：旧版\"命名\"单列为第 3 步、\"辨析\"为第 4 步的说法已废止。\n    命名并入第 2 步（抽象概括的收口动作），体系化独立为第 4 步。\n    时长占比按 45 分钟一节课（`shared/grade-bands.md` 第三节），四步合计 ≤100%，\n    留出的余量给课堂小结与作业布置。\n```\n\n### 4.2 情境引入 5 类\n\n```text\n① 生活情境\n  · 学员生活中有真实体验\n  · 例：分数（切披萨）、小数（钱）\n\n② 历史情境\n  · 数学史故事\n  · 例：负数（古代记账）、圆周率（祖冲之）\n\n③ 游戏情境\n  · 让学员玩中学\n  · 例：找规律（数字接龙）\n\n④ 问题情境\n  · 学员需要解决的具体问题\n  · 例：行程问题（相遇追及）\n\n⑤ 反例情境\n  · 学员\"试错\"中理解\n  · 例：平行（看上去平但不平行）\n```\n\n### 4.3 概念对比辨析\n\n```text\n■ 容易混淆的概念配对\n  · 平方/立方\n  · 锐角/钝角\n  · 奇数/偶数\n  · 质数/合数\n  · 因数/倍数\n  · 等腰/等边\n  · 半径/直径\n  · 周长/面积\n  · 速度/时间/路程\n  · 比率/比例\n  · 概率/统计\n\n■ 辨析三问\n  · 这两个概念的共同点？\n  · 这两个概念的差异点？\n  · 怎么区分它们？\n```\n\n### 4.4 概念建构样板\n\n> 📎 完整模板见 `references/concept-build-sample.md`（概念建构填写样板：概念/情境引入/抽象/命名/辨析/理解检查）\n\n---\n\n## 五、例题示范\n\n### 5.1 例题三要素\n\n```text\n① 思路\n  · 怎么想到的？\n  · 关键是什么？\n\n② 步骤\n  · 第一步：X\n  · 第二步：X\n  · ...\n\n③ 易错\n  · 学员会错在哪里？\n  · 怎么避免？\n```\n\n### 5.2 思路引导法\n\n```text\n■ \"出声思维\"\n  · 老师边讲边\"出声\"\n  · \"我看到 X，所以想到 Y...\"\n\n■ \"回溯法\"\n  · 从问题倒推\n  · \"要解 X，需要先知道 Y...\"\n\n■ \"类比法\"\n  · 联系学员已知\n  · \"我们学过的 X 和这题有什么相同？\"\n\n■ \"图示法\"\n  · 把抽象变形象\n  · 线段图/示意图/坐标图\n\n■ \"假设法\"\n  · 先假设一个简单值\n  · 看看会发生什么\n```\n\n### 5.3 例题示范样板\n\n> 📎 完整模板见 `references/example-demo-sample.md`（例题示范填写样板：题目/思路/步骤/易错提醒/一题多解）\n\n---\n\n## 六、变式训练\n\n### 6.1 变式三类型\n\n```text\n┌──────────┬────────────────────────┬──────────────┐\n│ 类型      │ 描述                    │ 训练目标      │\n├──────────┼────────────────────────┼──────────────┤\n│ 一题多解  │ 一道题多种解法          │ 思维灵活性    │\n│ 多题一解  │ 多道题同一种方法        │ 方法识别      │\n│ 变条件    │ 改变题目条件/问题       │ 思维深度      │\n└──────────┴────────────────────────┴──────────────┘\n```\n\n### 6.2 一题多解设计\n\n```text\n■ 设计原则\n  · 解法之间有差异\n  · 解法有不同适用范围\n  · 不为了多解而多解\n\n■ 教学法\n  · 老师先示范 2 种解法\n  · 学员尝试第 3 种\n  · 小组讨论\"哪种最好\"\n```\n\n### 6.3 多题一解设计\n\n```text\n■ 设计原则\n  · 题目的\"形\"不同\n  · 核心方法相同\n  · 难度梯度合理\n\n■ 教学法\n  · 学员做 3-5 道题\n  · 找出\"共同点\"\n  · 总结方法\n```\n\n### 6.4 变条件设计\n\n```text\n■ 改条件\n  · 把整数改成小数或分数\n  · 去掉一个条件（注意：去掉后必须仍然有解，否则不成题）\n  · 加一个条件（注意：不要加成矛盾条件）\n\n■ 改问题\n  · 把\"求 X\"改成\"判断 X 是否成立并说明理由\"\n  · 把\"求值\"改成\"求取值范围\"\n\n■ 改情境\n  · 保持数量关系不变，换一个生活场景\n    （如\"鸡兔同笼\"→\"5元和10元纸币\"→\"答对加分答错扣分\"）\n\n⚠️ 每一道变式题，出题后按 `shared/ai-item-check.md` 自检：\n   自解一遍 → 有解且唯一 → 条件充分不多余 → 数值友好（人数/件数为非负整数）\n   → 学段内 → 与原题同型。三个\"变\"里最容易出问题的是\"去掉一个条件\"。\n```\n\n### 6.5 变式训练样板\n\n> 📎 完整模板见 `references/variation-training-sample.md`（变式训练填写样板：基础题 + 一题多解/多题一解/变条件三组变式）\n\n---\n\n## 七、课堂小结\n\n### 7.1 小结三形式\n\n```text\n┌──────────┬────────────────────────┐\n│ 形式      │ 描述                    │\n├──────────┼────────────────────────┤\n│ 结构图    │ 概念/方法的逻辑结构     │\n│ 口诀      │ 朗朗上口的关键句       │\n│ 反思      │ 学员自问 3 个问题       │\n└──────────┴────────────────────────┘\n```\n\n### 7.2 结构图样板\n\n```text\n┌──────────────────────┐\n│  本节核心概念         │\n│  [X]                 │\n└──────────┬───────────┘\n           │\n   ┌───────┴───────┐\n   ↓               ↓\n定义          关键\n[X]          [X]\n   │               │\n   ↓               ↓\n性质          例子\n[X]          [X]\n```\n\n### 7.3 反思三问\n\n```text\n· 我今天学了什么？（What）\n· 我怎么用？（How）\n· 我能用它解决新问题吗？（Transfer）\n```\n\n---\n\n## 八、错例档案\n\n### 8.1 错因分类\n\n老师端七类见 `shared/vocab.md §3`；写入任何档案或与学生端交换时必须映射到通用四维。\n\n```text\n┌──────────────┬────────────────────────┬──────────────┐\n│ 老师端七类    │ 描述                    │ 通用四维      │\n├──────────────┼────────────────────────┼──────────────┤\n│ 知识漏洞      │ 缺前置知识              │ 概念模糊      │\n│ 概念模糊      │ 没理解本节概念          │ 概念模糊      │\n│ 规则错误      │ 公式/法则记错           │ 概念模糊      │\n│ 审题错误      │ 漏看条件/看错问题/抄错题 │ 读题失误      │\n│ 策略错误      │ 方法选择不当            │ 方法用错      │\n│ 表达/书写不规范│ 会做但过程不得分        │ 方法用错      │\n│ 计算错误      │ 列式对、算错            │ 计算失误      │\n│ 习惯性失误    │ 漏写单位/漏写步骤/不检查 │ 计算失误      │\n└──────────────┴────────────────────────┴──────────────┘\n\n互斥规则（一道题只归一类）：\n  \"移项不变号\" → 规则错误（概念），不归计算错误\n  \"看错数字/抄错题\" → 审题错误，不归习惯性失误\n  \"不写单位\" → 表达/书写不规范或习惯性失误，按是否影响得分区分\n不使用\"粗心\"作为原因——粗心是结果，不是原因。\n```\n\n### 8.2 错例档案样板\n\n> 📎 完整模板见 `references/error-case-file-sample.md`（错例档案填写样板：错题/错因/错因溯源/改进措施，学员用化名）\n\n---\n\n## 九、与上游/下游 SKILL 的协作\n\n### 9.1 协作流图\n\n```text\n              ┌────────────────────────┐\n              │ xiaozhi-teach-         │\n              │  lesson-planner        │\n              │ （数学课嵌入教案）      │\n              └───────────┬────────────┘\n                          │\n                          ↓\n              ┌────────────────────────┐\n              │ 课堂（数学教学）        │\n              └───────────┬────────────┘\n                          │\n                          ↓\n              ┌────────────────────────┐\n              │ xiaozhi-teach-         │\n              │  math-lesson-planner   │\n              │  （本 SKILL）           │\n              └───────────┬────────────┘\n                          │\n        ┌─────────────────┼─────────────────┐\n        ↓                 ↓                 ↓\n  student-analyzer  resource-library  parent-communication\n  （数学思维维度）  （错例入库）      （独立教师的家长反馈）\n```\n\n### 9.2 接口（唯一契约：`shared/class-teaching-workspace.schema.json`）\n\n```text\n读：\n  classWorkspace.classProfile.gradeBand / gradeLevel / periodMinutes / textbookVersion\n      → 学段、年级、课时长度（45 分钟为初中默认）、教材版本\n  classWorkspace.weaknessRank[]（weaknessId / knowledgePoint / errorRate / dimension）\n      → 本课要针对的班级弱项\n  classWorkspace.studentTiers[]（studentAlias / tier）\n      → A/B/C 三层，用于分层活动设计\n  classWorkspace.reviewPlans[].phases[]（name / daysToExam / newContentAllowed）\n      → 复习课：本课在哪个复习阶段、能不能引入新知识点（排期本身不归本 SKILL）\n  classWorkspace.reviewPlans[].spacingSchedule[]（knowledgePoint / reviewDates）\n      → 复习课：这几天该回看哪些知识点\n  classWorkspace.examBlueprints[]（examId / title）\n  classWorkspace.examBlueprints[].items[]（itemNo / knowledgePoint）\n      → 讲评课：哪场考试、题号对应哪个知识点\n  classWorkspace.itemStats[]（examId / itemNo / pValue / flag）\n      → 讲评课：各题得分率与异常标记（由数学测评设计或学情分析师写入，本 SKILL 只读）\n\n写（生成待确认条目，老师确认后落库）：\n  classWorkspace.lessonPlans[]\n    .planId / .topic / .date / .planType / .periodMinutes\n    .objectives[] { statement, cognitiveLevel（了解/理解/掌握/运用）, coreCompetency }\n    .segments[]   { name, minutes, activity, tierVariants{A,B,C} }\n        → 概念课：概念建构四步对应四个 segment，minutes 之和 ≤ periodMinutes；复习课、讲评课的分段见第十五节\n    .questionChain[]      → 课堂提问链，按 cognitiveLevel 递进\n    .boardPlan            → 板书设计（课堂小结的结构图放这里）\n    .sourceWeaknessIds[]  → 本课针对的 weaknessRank 条目\n  classWorkspace.interactionLogs[]\n    .misconceptionsObserved[] → 课上观察到的典型错误（错例档案的来源）\n    .questionEffectNote       → 哪一问引发思考、哪一问无人回应\n    .adjustmentForNext        → 下次调整\n```\n\n**写回学生端档案**：只走 `handoverType: \"teacher_writeback\"`，\npayload 为 `teacherWritebackData`（`teacherSkill` / `studentAlias` / `weakKnowledgePointUpdates[]` / `note`），\n发送前必须核对 `meta.consentStatus.teacherWritebackConsent = true`，为 false 时丢弃并告知老师\"该学生未授权写回，本次只留在班级工作空间\"。\n`note` 只写低敏事实描述，禁止心理标签、家庭信息、真实姓名。\n\n**给家长的反馈**：本 SKILL 不直接生成家长内容；需要时学校班级交 `xiaozhi-teach-student-analyzer` 出家长版，独立教师交 `xiaozhi-teach-parent-communication`，\n由它们在核对 `parentSharingConsent`（含情绪内容再核对 `emotionSharingWithParent`）后输出。不默认推送家长简报。\n\n⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记\"已转介\"的处置事实。\n\n---\n\n## 十、字段级高敏信息防护\n\n```text\n✅ 错例档案可用化名\n✅ 学员数学能力档案用化名\n❌ 禁止：公开\"某学员的错题\"\n❌ 禁止：未授权复制教辅题库\n✅ 题目标注 copyrightStatus：自有 / 改编 / 公开可引用 / 仅存索引（shared/vocab.md §11）\n✅ AI 生成题标注【AI 生成，入库前请人工验算】\n```\n\n---\n\n## 十一、行为准则\n\n| ✅ 应该做 | ❌ 不能做 |\n|---------|---------|\n| 概念建构（情境/抽象/命名/辨析） | 概念=背诵定义 |\n| 例题有思路/步骤/易错 | 讲题=念答案 |\n| 变式训练（多解/多题/变条件） | 训练=刷题 |\n| 课堂小结（结构图/口诀/反思） | 一讲到底 |\n| 错例档案累积 | 错题不复盘 |\n| 学员真实姓名不公开 | 公开批评学员错题 |\n| 讲评先讲思路，参考答案与评分标准以试卷与老师为准 | 讲评时公布个人分数或排名 |\n\n---\n\n## 十二、与其他 SKILL 的协同清单\n\n```text\n数学教案设计\n    <── xiaozhi-teach-lesson-planner（数学课嵌入教案）\n    <── xiaozhi-teach-student-analyzer（学情/弱项）\n    <── xiaozhi-teach-math-exam-designer（itemStats → 讲评课）\n    <── xiaozhi-teach-exam-designer（讲评错题清单 → 讲评课）\n    <── xiaozhi-teach-math-error-analyzer（错因与讲评建议 → 讲评课）\n    <── xiaozhi-teach-review-planner（reviewPlans → 复习课）\n    ──→ xiaozhi-teach-student-analyzer（数学思维维度；学校班级的家长版，由它核对 parentSharingConsent）\n    ──→ xiaozhi-teach-resource-library（错例入库）\n    ──→ xiaozhi-teach-parent-communication（独立教师：数学进步反馈）\n    ──→ xiaozhi-teach-assignment-designer（复习课、讲评课后的作业）\n    ──→ 学生端 xiaozhi-math-concept-explainer（学员视角）\n```\n\n**禁止行为**：\n- 禁止 AI 替学员做数学题\n- 禁止 AI 替老师备课（只提供框架）\n- 禁止未授权复制教辅题库\n- 禁止公开学员错题\n- 禁止只讲\"答案\"不讲\"思路\"\n\n---\n\n## 十三、高中：高一衔接段的教案\n\n依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题一\"预备知识\"（建议 18 课时）与主题二\"函数\"（建议 52 课时）。课时、班额、教材版本一律以 `classWorkspace.classProfile` 为准，本 SKILL 不写死教材章节与课时数；必修后半与选择性必修的教案见第十四节。\n\n- **概念建构四步照用**：函数概念、单调性、弧度制、诱导公式等高一概念课，情境引入与抽象概括可以用课标附录的案例 2、5、3、6 作素材；单调性的单元整体设计还可参考案例 32（函数单调性主题教学设计，只取必修部分）。案例与单元的对应见 `references/math-hs-curriculum-map.md` 第八节。\n- **衔接要点**（课标教学提示）：初中阶段数学知识相对具体，高中阶段相对抽象，要帮学生完成学习心理与学习方式的过渡；集合与常用逻辑用语以学过的初中内容为载体来梳理；单调性要引导学生用符号语言表达；定义域、值域与函数性质的教学避免偏题、怪题和烦琐的技巧训练；鼓励用信息技术画函数图像、探索规律。\n- **目标对齐**：`objectives[].coreCompetency` 填高中数学六个核心素养之一——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。\n- **变式训练**照第六节做，变式题生成前按 shared/ai-item-check.md 自检，不超出高一必修范围。\n- **选学内容**：课标标＊的\"函数的形成与发展\"\"对数概念的形成与发展\"是选学内容，不作为考试要求。\n\n课程结构、各主题的单元要点、课标案例对应、学业质量与考试见 `references/math-hs-curriculum-map.md`。\n\n---\n\n## 十四、高中：必修后半与选择性必修的教案\n\n依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题三\"几何与代数\"（建议 42 课时）、主题四\"概率与统计\"（建议 20 课时）、主题五\"数学建模活动与数学探究活动\"（建议 6 课时），以及选择性必修的\"函数\"（30 课时）、\"几何与代数\"（44 课时）、\"概率与统计\"（26 课时）、\"数学建模活动与数学探究活动\"（4 课时）。课时、班额、教材版本仍以 `classWorkspace.classProfile` 为准。\n\n- **概念建构四步照用**，各单元可用的课标教学案例：向量投影（案例 9）、复数的引入（案例 10）、正方体截面的探究（案例 11）、投掷骰子问题（案例 12）、分层抽样（案例 13）、阶梯电价的设计（案例 14）、用向量方法研究距离问题（案例 17）、二项式定理与杨辉三角（案例 18、19）；对应关系见 `references/math-hs-curriculum-map.md` 第八节。\n- **各单元的教学提示**（课标）：向量从力、速度、位移入手，从物理、几何、代数三个角度理解；复数重在表示与几何意义，避免烦琐的计算与技巧训练；立体几何初步借助长方体与实物模型，判定定理只要求直观感知、操作确认，到选择性必修再用向量方法论证；概率与统计让学生经历数据处理的全过程；数列与一元一次函数、指数函数类比；导数从平均变化率过渡到瞬时变化率，理解不求一步到位；空间向量与综合几何方法对比着用；解析几何先说清图形的几何特征，再建系、用代数语言描述，最后回到几何解释。\n- **数学建模活动与数学探究活动**：必修、选择性必修各要求完成一个课题研究（课标案例 15、16）。教案里写清选题、开题、做题、结题的时间节点和评价方式；开题报告与研究报告由学生完成，教师引导学生遵守学术规范、坚守诚信底线。\n- **只备学业水平考试的班级**：教学只到必修，不引入选择性必修的方法（如用空间向量证明位置关系）。选修课程（A～E 类）本 SKILL 不覆盖。\n- **选学内容**：课标标＊的复数的三角表示、几何学的发展、数学归纳法、微积分的创立与发展、平面解析几何的形成与发展、贝叶斯公式是选学内容，不作为考试要求；教案可以按班情安排，但不进测评。\n- **目标对齐**与第十三节相同，`objectives[].coreCompetency` 填六个核心素养之一。\n- **变式训练**照第六节做，变式题生成前按 shared/ai-item-check.md 自检，不超出所教班级已学的必修、选择性必修范围，不用这个范围以外的方法。\n\n---\n\n## 十五、复习课与讲评课\n\n### 15.1 分工与数据来源\n\n老师点名数学的复习课、讲评课，初中、高中都由本 SKILL 出整节（环节、例题与变式）；没点学科、只要 UbD 骨架或环节时间矩阵的，教案设计器（xiaozhi-teach-lesson-planner）照出。本 SKILL 只排一节课，或一个单元复习的几节课。\n\n**本 SKILL 不接的相邻请求**：\n\n| 老师说 | 转给 |\n|---|---|\n| \"期末前两周数学复习怎么排\"\"这几周哪天回看哪些知识点\" | 复习规划师（xiaozhi-teach-review-planner） |\n| \"出一份复习卷\"\"这次数学期中每道题的难度、区分度算一下\" | 数学测评设计（xiaozhi-teach-math-exam-designer） |\n| \"这次期中的错因帮我归一下类\" | 班级错因分析（xiaozhi-teach-math-error-analyzer） |\n| \"讲评后的订正和巩固作业怎么布置\" | 作业设计师（xiaozhi-teach-assignment-designer） |\n| \"学生答不上来怎么追问、怎么分组\" | 课堂互动教练（xiaozhi-teach-classroom-coach） |\n| \"这次成绩怎么跟家长说\" | 学校班级：学情分析师（xiaozhi-teach-student-analyzer）出家长版；独立教师：家长沟通助手（xiaozhi-teach-parent-communication）。都由它们先核对授权（§9.2） |\n\n**数据从哪来**（字段见 §9.2 的读块）：\n\n- 复习课：`reviewPlans` 只用来看本课在哪个复习阶段、这几天该回看哪些知识点，排期不改。\n- 讲评课：`examBlueprints` 看哪场考试、题号对应哪个知识点；`itemStats` 看各题得分率与异常标记（数学测评设计或学情分析师写入）；错因归类与讲评建议用班级错因分析交来的结论。\n- 拿不到统计与错因时，请老师口头给题号、得分率与主要错法。本 SKILL 不算统计、不改分：逐人逐题的 itemScores 不读，也不用逐题得分自己算得分率或错因占比。\n\n### 15.2 复习课\n\n复习课把学过的内容按结构、方法与易错重新组织，不是把例题从头再讲一遍，也不是整节刷题（§一 误区③）。\n\n- **范围与阶段**：复习范围以老师给的为准，只用范围内已经学过的内容。读 `reviewPlans` 的阶段：newContentAllowed 为 false 时不引入新知识点，C 层的拓展变式也一样；spacingSchedule 里这几天该回看的知识点，可以放进当堂变式或小结。\n- **环节**用本 SKILL 现成的做法，不另起一套名目：\n  - 结构梳理：学生先自己画本单元的结构图，再补上位、下位、并列联系（§4.1 第 4 步\"体系化\"，`references/concept-build-template.md` §2.4；图式照 §7.2），定稿进 boardPlan；\n  - 典型例题：每类方法选一道，照 §5.1 讲思路、步骤、易错，引导法见 §5.2，易错按 §8.1 的七类预设；\n  - 多题一解：形不同、方法相同的 3—5 道题，找共同点、总结方法（§6.3），这是复习课的主体；\n  - 易混辨析：用 §4.3 的辨析三问，配对按本单元选（§4.3 的配对例子偏小学，只借三问）；\n  - 当堂变式：改条件或改问题（§6.4），每题出完照 §6.4 的自检，AI 生成的标注【AI 生成，入库前请人工验算】；分层的变式印成\"任务卡一/二/三\"，不印 A/B/C 层名；\n  - 小结：§7.3 反思三问，第三问落在\"下次遇到这类题先想什么方法\"。\n- **写进 lessonPlans**：planType 填\"复习\"；segments 照下例列，小结与作业位也算一段，minutes 合计等于 periodMinutes；复习作业只留作业位，转作业设计师。\n\n```text\n复习课示例（45 分钟，一个单元的复习）\n  ① 结构梳理    8 分钟   学生先画结构图，再对照补上位、下位、并列联系\n  ② 典型例题   10 分钟   1—2 道，讲思路、步骤、易错\n  ③ 多题一解   12 分钟   3—5 道，找共同点，总结方法\n  ④ 易混辨析    6 分钟   辨析三问\n  ⑤ 当堂变式    5 分钟   改条件或改问题，出题后自检\n  ⑥ 小结        4 分钟   反思三问，留作业位\n  合计 8 + 10 + 12 + 6 + 5 + 4 = 45 分钟\n  45 分钟是初中默认；高中读不到 periodMinutes 先问（15.5）；别的课时按比例伸缩，合计等于 periodMinutes\n```\n\n### 15.3 讲评课\n\n**前提**：卷子已经考完。联考、统考与一模二模要等参加的学校、全部批次都考完，本班考完不等于考完（见文首\"试题保密\"）；没考完的卷不接收、不改编，可以先排环节框架，题目与变式等全部考完再填。\n\n**讲哪几道、按什么顺序**：\n\n- 按交来的统计与错因排：数学测评设计的 itemStats（得分率低、flag 异常的题）与班级错因分析的错因归类、讲评建议；测评设计师出的讲评错题清单、老师自己给的题号清单也可以用。\n- 同一类错因的题放在一起讲，失分面广的先讲；flag 为\"疑似错题\"的题，先请老师复核题目与参考答案，查清再定讲不讲；个别学生的失误不进全班讲评，私下沟通。\n\n**每道题怎么讲**：\n\n- 先讲思路，再讲步骤与易错（§5.1—5.2）；同一类错因的几道题讲透一道，其余点出共同的错法。参考答案与评分标准以试卷与老师为准，本 SKILL 排讲法、易错与变式；各类错因的讲法可参考 `references/error-pattern-rubric.md` 第 4 节的检查表。\n- 每类错因讲完配一道当堂变式（§6.4 的改条件、改问题，出题后照 §6.4 自检）；课末的反思照 §7.3 改问：错在哪、为什么错、下次怎么避免。\n- 展示作答只用化名或老师誊写、改写的典型错解（§十），投影原卷先遮住姓名、学号与分数，字迹同学认得出的改用老师誊写的，原卷和作答也不拍照发到群里；点评对题不对人，不当众点名批评，表扬进步也不报分数与名次；不公布个人分数与排名。\n\n**记录与后续**：\n\n- 写进 lessonPlans 时 planType 填\"讲评\"；topic 写明哪场考试（如\"期中讲评\"），lessonPlans 没有考试编号字段；题号清单与题干留在给老师的教案正文里。\n- 课上观察到的典型错误记进 interactionLogs 的 misconceptionsObserved：只写错误本身，错因用通用四维（§8.1），不写是谁错的，也不写个别学生的分数。\n- 写回学生端、给家长的内容照 §9.2 先核对授权，个人分数与排名不在班级群、家长群公开；订正与巩固作业转作业设计师。\n- 考后有学生情绪低落，课上照常对题不对人；出现危机信号，停止讲评设计，按 §9.2 末的危机例外处置。\n\n```text\n讲评课示例（45 分钟，讲评 4 道题，已按交来的统计与错因排好先后）\n  ① 考情与目标    3 分钟   只说全班的整体情况与进步，点出本课要解决的 2—3 类错因\n  ② 自查自纠      7 分钟   学生先订正自己能改的题；老师巡视，个别失误私下提示\n  ③ 按错因讲题   20 分钟   4 道，每道约 5 分钟：先讲思路，再讲步骤与易错\n  ④ 当堂变式      8 分钟   每类错因一道，改条件或改问题\n  ⑤ 反思          7 分钟   错在哪、为什么、下次怎么避免；留作业位\n  合计 3 + 7 + 20 + 8 + 7 = 45 分钟；课时不同时照 15.2 示例末行伸缩\n```\n\n### 15.4 初中：目标与考试说明\n\n- **目标**照 §〇 写：coreCompetency 从九个核心素养表现里选 1—2 个，cognitiveLevel 用四级，statement 可观测。复习课的目标落在会归类、会选方法，讲评课的目标落在会纠正这一类错误，不照抄新授课的目标。\n- **课时**：读 `classProfile.periodMinutes`，读不到按 45 分钟（`shared/grade-bands.md` 第三节），即 15.2、15.3 的示例。\n- **考试说明**：中考（初中学业水平考试）与期末考试的范围、题型、分值，以本地当年的考试说明为准；本 SKILL 不内置考点与题型比例，老师没给的地方在教案里标\"待老师按本地考试说明确认\"。\n- **范围**：例题与变式不超出所用教材的范围（本 SKILL 不内置初中课标的内容清单，§〇 只管目标的写法）；references 里标\"适用学段：初中\"的模板与样板可以直接参照。\n- **作业**：时长照\"双减\"，不因复习、考后额外加量，作业转作业设计师。\n\n### 15.5 高中：考试口径、范围与转交\n\n设计高中的复习课、讲评课之前，先问清四件事：\n\n```text\n① 哪场考试：学业水平考试、高考，还是校内的单元、期中、期末\n② 本地当年的考试说明：本 SKILL 不内置任何省份的考试政策，老师没提供的地方标\"待老师按本地考试说明确认\"\n③ 本班考哪一种：只备学业水平考试，还是要参加高考；两类学生都有时请老师说明各多少人，要人数不要名单，不从成绩推断\n④ 新课教到哪：请老师说明，本次复习、讲评的范围属必修还是选择性必修\n```\n\n- **考试口径**照 `references/math-hs-curriculum-map.md` 第九节：高中数学课标里的考试只有学业水平考试与高考两类，教案里照这两个名称写。学业水平考试考必修，水平一是命题依据；高考考必修与选择性必修，命题不超过水平二。水平用数学课标的原名（水平一、二、三），不与别的学科换算，只写在教案正文开头\"本课对应的考试与水平\"一行，不写进工作区。\n- **只备学业水平考试的班级**：复习、讲评都只到必修（§十四）。数列、一元函数导数及其应用、空间向量与立体几何、平面解析几何、计数原理，以及条件概率、离散型随机变量及其分布列、正态分布、成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2 列联表，都在选择性必修（math-hs-curriculum-map 第七节），不进这类班的复习课；讲评也不用选择性必修的方法（如用空间向量证明位置关系）。课标标＊的选学内容不进测评，也不作复习重点。\n- **课时**：高中不设默认（各地 40 或 45 分钟，`shared/grade-bands.md` 第三节），读不到 periodMinutes 先问，不按 45 分钟排；40 分钟照 15.2、15.3 的示例按比例压缩，合计等于 40。\n- **高三轮次**：一轮、二轮、三轮的安排以学校为准，本 SKILL 只排其中的一节课，不改轮次与总进度；回看排期转复习规划师。\n- **作业**：转作业设计师，按本校晚自习与就寝时间协调，不内置分钟数。\n- **素材**：课标案例 17（用向量方法研究距离问题）可作空间向量与立体几何复习课的素材；案例 20—31（素养水平的评价案例）与案例 32（跨章节的主题教学设计），math-hs-curriculum-map 第八节说适合设计测评或单元整体教学，单元复习课可以从中选综合任务。只备学业水平考试的班级，与选择性必修有关的部分不用。\n- **讲评**：联考、一模、二模等参加的学校、全部批次考完再讲（文首\"试题保密\"）；成绩等级与位次不是得分率，不拿来定讲评重点，讲评顺序仍照 15.3。\n- **目标与变式**：coreCompetency 照第十三节，填六个核心素养之一；变式照第六节，不超出所教班级已学的必修、选择性必修范围（§十四）。\n\n---\n\n## 十六、参考资源\n\n- `references/math-hs-curriculum-map.md` — 高中数学课程地图：课程结构与课时、必修与选择性必修各主题的单元要点与教学提示、课标案例对应、学业质量与考试\n- `references/concept-build-template.md` — 概念建构四步模板（情境引入/抽象概括/应用辨析/体系化，含 45 分钟样板）\n- `references/variation-design.md` — 变式训练设计模板（一题多解/多题一解/变条件，含验算说明）\n- `references/error-pattern-rubric.md` — 错因分类表（教师端七类 + 互斥判定 + 通用四维映射 + 教案预防）\n- `references/concept-build-sample.md` — 概念建构填写样板（概念/情境引入/抽象/命名/辨析/理解检查）\n- `references/example-demo-sample.md` — 例题示范填写样板（题目/思路/步骤/易错提醒/一题多解）\n- `references/variation-training-sample.md` — 变式训练填写样板（基础题 + 三组变式）\n- `references/error-case-file-sample.md` — 错例档案填写样板（错题/错因/溯源/改进措施）\n\n---\n\n> 💡 **小智说：**\n> \"数学不是一座'山'，是一棵'树'。\n>  概念是根，方法是枝，题目是叶。\n>  学员在数学学习里，\n>  应该是'种树'而不是'摘叶'。\"\n\nFile v2.11.1:_meta.json\n\n{\n  \"ownerId\": \"kn79c5gcmfkt9p1pk656tgq7nd853s7v\",\n  \"slug\": \"xiaozhi-teach-math-lesson-planner\",\n  \"version\": \"2.11.1\",\n  \"publishedAt\": 1791477387022\n}\n\nFile v2.11.1:references/concept-build-sample.md\n\n# 概念建构样板（填写模板）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。四步与时长占比见同目录 `concept-build-template.md`（45 分钟一节课）。\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 概念建构样板 · [概念名]\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 概念\r\n  [概念名]\r\n  [定义]\r\n\r\n■ 情境引入\r\n  · 生活情境：[X]\r\n  · 学员先尝试：[X]\r\n  · 老师引导：[X]\r\n\r\n■ 抽象\r\n  · 共同特征：[X]\r\n  · 提取过程：[X]\r\n\r\n■ 命名\r\n  · 名称：[X]\r\n  · 符号：[X]\r\n  · 来源：[X]\r\n\r\n■ 辨析\r\n  · 区别于 [X]：[X]\r\n  · 易错点：[X]\r\n\r\n■ 学员理解检查\r\n  · 学员能否用自己的话讲？\r\n  · 学员能否举出生活中的例子？\r\n  · 学员能否区分相似概念？\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\n\nFile v2.11.1:references/concept-build-template.md\n\n# 数学概念建构四步模板\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）；按 45 分钟一节课设计（`shared/grade-bands.md` 第三节）。\r\n> 示例题验算：2026-09-03\r\n> 配合 `xiaozhi-teach-math-lesson-planner` 使用。从\"情境-抽象-应用-体系化\"四步建构数学概念，是数学教案设计的核心骨架。\r\n> **本表是全库唯一一套概念建构四步**，SKILL.md §4.1 与本文件一致；旧版把\"命名\"单列一步的说法已废止（命名并入第 2 步）。\r\n\r\n## 1. 概念建构四步总览\r\n\r\n```text\r\n┌──────────┬──────────────┬────────────────┬──────────────┬──────────┐\r\n│ 步骤      │ 名称          │ 关注重心        │ 关键问题      │ 45分钟占比│\r\n├──────────┼──────────────┼────────────────┼──────────────┼──────────┤\r\n│ 第 1 步   │ 情境引入      │ 激活经验        │ 你看到了什么  │ 15-20%   │\r\n│ 第 2 步   │ 抽象概括      │ 提取本质并命名  │ 什么是一样的  │ 25-30%   │\r\n│ 第 3 步   │ 应用辨析      │ 巩固理解        │ 这算不算，为什么│ 30-35%  │\r\n│ 第 4 步   │ 体系化        │ 建立联系        │ 它挂在哪儿    │ 15-20%   │\r\n└──────────┴──────────────┴────────────────┴──────────────┴──────────┘\r\n\r\n四步合计 ≤100%，余量留给课堂小结与作业布置。\r\n写进教案时对应 classWorkspace.lessonPlans[].segments[]，\r\n四个 segment 的 minutes 之和 ≤ classProfile.periodMinutes。\r\n```\r\n\r\n## 2. 概念建构四步详细\r\n\r\n### 2.1 第 1 步：情境引入\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 激活学员已有经验\r\n  · 暴露学员朴素理解\r\n  · 制造\"认知冲突\"\r\n\r\n【3 类情境】\r\n  · 生活情境：生活中遇到的场景\r\n  · 游戏情境：可操作的活动\r\n  · 历史情境：数学史故事\r\n\r\n【设计要点】\r\n  · 情境必须\"真实\"（学员觉得是有意义的问题）\r\n  · 情境必须\"具体\"（可观察、可操作）\r\n  · 情境必须\"开放\"（有多种解法/答案）\r\n\r\n【时长占比】整节课 15-20%\r\n```\r\n\r\n### 2.2 第 2 步：抽象概括（含命名）\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 从具体情境中提取数学本质\r\n  · 给出\"数学定义\"或\"数学表达式\"\r\n  · 学员自己命名/表述（命名是本步的收口动作，不单列一步）\r\n\r\n【3 种抽象路径】\r\n  · 归纳抽象：从多个实例中归纳共同点\r\n  · 类比抽象：用学员熟悉的概念类比\r\n  · 符号抽象：用数学符号/字母表达\r\n\r\n【关键提问】\r\n  · \"你发现这些例子有什么共同点？\"\r\n  · \"如果让你给这个概念起个名字，你会叫什么？\"\r\n  · \"你能用一句话描述这个概念吗？\"\r\n\r\n【时长占比】整节课 25-30%\r\n```\r\n\r\n### 2.3 第 3 步：应用辨析\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 在新情境中识别并应用概念\r\n  · 区分易混淆概念\r\n  · 形成\"什么时候用 / 什么时候不用\"的判断\r\n\r\n【3 类应用】\r\n  · 正面应用：典型题，识别→应用\r\n  · 反例辨析：找出反例，加深理解\r\n  · 类比应用：迁移到相似概念\r\n\r\n【关键提问】\r\n  · \"这是[概念]的实例吗？为什么？\"\r\n  · \"下列哪些是[概念]？为什么？\"\r\n  · \"[概念 A] 和 [概念 B] 有什么区别？\"\r\n\r\n【时长占比】整节课 30-35%\r\n```\r\n\r\n### 2.4 第 4 步：体系化\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 把新概念纳入已有知识图谱\r\n  · 建立\"上位/下位/并列\"关系\r\n  · 形成\"概念网络\"\r\n\r\n【3 种联系】\r\n  · 上位联系：新概念属于哪个更大的类？\r\n  · 下位联系：新概念包含哪些特例？\r\n  · 并列联系：与哪些概念并列/对比？\r\n\r\n【输出形式】\r\n  · 概念图（思维导图）\r\n  · 知识树\r\n  · 关系表\r\n\r\n【时长占比】整节课 15-20%\r\n```\r\n\r\n## 3. 教学样板：建构\"一元一次方程\"概念（45 分钟）\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 概念建构样板：一元一次方程 · 45 分钟\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n\r\n【第 1 步：情境引入】（8 分钟，18%）\r\n  · 问题 1：妈妈买苹果，每个 3 元，买 5 个，共花多少元？\r\n    → 学员列算式：3 × 5 = 15                （已知推未知，算术思路）\r\n  · 问题 2：妈妈有 50 元，买了 5 个苹果，每个 x 元，还剩多少元？\r\n    → 学员列代数式：50 − 5x                  （出现字母，但还不是方程）\r\n  · 问题 3：妈妈有 50 元，买了 x 个苹果，每个 3 元，还剩 35 元，求 x。\r\n    → 学员列等式：50 − 3x = 35               （未知数参与列式，方程思路）\r\n  · 关键认知冲突：问题 3 用算术倒着算也能得 x=5，\r\n    但让学员比较\"倒着算\"和\"顺着列等式\"哪个更容易说清楚——引出方程的价值。\r\n\r\n【第 2 步：抽象概括（含命名）】（12 分钟，27%）\r\n  · 并排给出：50 − 3x = 35、5x = 10、2x + 3 = 11、x/2 = 4\r\n  · 追问：\"这几个式子有什么共同点？\"\r\n    → 都是等式；都只有一个字母；字母的次数都是 1；等号两边都是整式\r\n  · 学员自己命名，教师给出规范名称：一元一次方程\r\n  · 三个关键词（缺一不可）：\r\n      一元 —— 只含一个未知数\r\n      一次 —— 未知数的次数是 1\r\n      整式 —— **等号两边都是整式**（这一条最容易漏，是本节的关键）\r\n  · 回看第 1 步：50 − 5x 只是代数式，没有等号，所以不是方程。\r\n\r\n【第 3 步：应用辨析】（15 分钟，33%）\r\n  · 判断下列各式是不是一元一次方程，并说明理由：\r\n    □ x + 5 = 8        ✓ 一元、一次、两边都是整式\r\n    □ x + 5            ✗ 不是等式（没有等号），是代数式\r\n    □ 2x + 3y = 10     ✗ 二元\r\n    □ x² = 9           ✗ 未知数次数是 2\r\n    □ x/2 = 3          ✓ 分母是数字 2，x/2 仍是整式\r\n    □ 0.5x = 3         ✓ 系数是小数不影响，仍是一元一次方程\r\n    □ 1/x = 2          ✗ **分母里含未知数，左边不是整式 → 这是分式方程，不是一元一次方程**\r\n  · 追问推进：\"x/2 = 3 可以，1/x = 2 不行——差别在哪里？\"\r\n    → 让学员自己说出\"字母在不在分母上\"\r\n  · 写出\"我能识别一元一次方程的 3 个关键\"：一元 / 一次 / 两边都是整式\r\n\r\n【第 4 步：体系化】（7 分钟，16%）\r\n  · 两棵树分开挂，不要混成一棵：\r\n\r\n    树一（按\"式子的种类\"分）：\r\n      代数式\r\n        ├── 整式（单项式 / 多项式）\r\n        └── 分式（分母含字母）\r\n      —— 方程**不在**这棵树上：方程是\"含未知数的等式\"，代数式没有等号。\r\n\r\n    树二（按\"方程的种类\"分）：\r\n      等式\r\n        └── 方程（含未知数的等式）\r\n              ├── 整式方程\r\n              │     ├── 一元一次方程   ← 本节\r\n              │     ├── 一元二次方程（九年级）\r\n              │     └── 二元一次方程（→ 与另一个方程组成二元一次方程组）\r\n              └── 分式方程（如 1/x = 2，八年级）\r\n\r\n  · 追问：\"1/x = 2 挂在哪个位置？为什么不挂在一元一次方程下面？\"\r\n  · 输出：学员自己画的两棵树（拍照存入错例/学案档案，用化名）\r\n\r\n【机动】（3 分钟）课堂小结 + 布置作业\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n\r\n四步合计 42 分钟 + 3 分钟机动 = 45 分钟，占比 18%/27%/33%/16%，落在 §1 的建议区间内。\r\n```\r\n\r\n## 4. 概念建构自检清单\r\n\r\n```text\r\n□ 第 1 步：情境是否真实/具体/开放？\r\n□ 第 2 步：抽象是否由学员主动完成？\r\n□ 第 3 步：是否有反例辨析？\r\n□ 第 4 步：是否画出了概念图？\r\n```\r\n\r\n## 5. 概念建构常见误区\r\n\r\n```text\r\n误区 ① 跳过情境直接给定义\r\n  → 学员\"知道\"但\"不理解\"\r\n误区 ② 抽象过快，学员跟不上\r\n  → 学员放弃参与\r\n误区 ③ 应用题都是\"识别→套公式\"\r\n  → 学员迁移能力差\r\n误区 ④ 体系化变成抄板书\r\n  → 学员没有内化\r\n```\r\n\r\n## 6. 老师自备内容\r\n\r\n- [ ] 学员化名档案（化名 + 概念建构水平）\r\n- [ ] 学员已有的\"知识图谱\"档案\r\n- [ ] 学员常错的概念清单（用于教学调整）\r\n- [ ] 学校/学段的数学概念大纲\n\nFile v2.11.1:references/error-case-file-sample.md\n\n# 错例档案样板（填写模板）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。错因词表见 `shared/vocab.md §3`；学员一律用化名。\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 错例档案 · [学员化名]\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 错题\r\n  · 题号/题目：[X]\r\n  · 学员作答：[X]\r\n  · 正确答案：[X]\r\n\r\n■ 错因\r\n  · 主要错因：[X]\r\n  · 次要因：[X]\r\n\r\n■ 错因溯源\r\n  · 涉及概念：[X]\r\n  · 学员的理解偏差：[X]\r\n  · 漏掉的关键步骤：[X]\r\n\r\n■ 改进措施\r\n  · 重新讲解 [X]\r\n  · 练习 [X] 类题\r\n  · 下次课检查\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\n\nFile v2.11.1:references/error-pattern-rubric.md\n\n# 数学错因分类表（教案层）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。\r\n> 配合 `xiaozhi-teach-math-lesson-planner` 使用。从教案设计角度区分 7 类常见错因，帮助老师在备课阶段就预防典型错误。\r\n> **词表以 `shared/vocab.md §3` 为唯一来源**：七类只用于教师端教学诊断，写入档案或与学生端交换时必须映射到通用四维。\r\n\r\n## 1. 7 类错因总览（含通用四维映射）\r\n\r\n```text\r\n┌──────┬────────────────┬────────────────────────┬────────────┐\r\n│ #    │ 错因类别        │ 典型表现               │ 通用四维    │\r\n├──────┼────────────────┼────────────────────────┼────────────┤\r\n│ 1    │ 知识漏洞        │ 前置知识不会           │ 概念模糊    │\r\n│ 2    │ 概念模糊        │ 用错公式/混淆符号      │ 概念模糊    │\r\n│ 3    │ 规则错误        │ 算法步骤错/法则记错    │ 概念模糊    │\r\n│ 4    │ 审题错误        │ 看错条件/漏关键字/抄错题│ 读题失误    │\r\n│ 5    │ 策略错误        │ 方法选择不当           │ 方法用错    │\r\n│ 6    │ 表达/书写不规范  │ 会做但过程写不全、跳步  │ 方法用错    │\r\n│ 7    │ 计算错误        │ 列式对、算术或符号算错  │ 计算失误    │\r\n│ 8    │ 习惯性失误      │ 漏写单位/漏写步骤/不检查│ 计算失误    │\r\n└──────┴────────────────┴────────────────────────┴────────────┘\r\n\r\n注：本表列了 8 行，其中\"知识漏洞/概念模糊/规则错误\"三行同属概念模糊维度，\r\n    教师端把它们合称\"7 类\"是历史叫法；分类使用时以 shared/vocab.md §3 的七类为准\r\n    （知识漏洞、规则错误、计算错误、审题错误、策略错误、表达/书写不规范、习惯性失误），\r\n    \"概念模糊\"是这七类映射后的通用维度名。备课时按上表任一行标注均可，\r\n    但写入 classWorkspace.errorTally 时 dimension 只能填通用四维。\r\n\r\n⚠️ 不使用\"粗心\"作为原因——粗心是结果，不是原因。原\"粗心大意\"一类已改为\"习惯性失误\"，\r\n   并要求写清具体行为（漏写单位 / 跳步 / 不检验），否则不能作为一条错因记录。\r\n```\r\n\r\n## 1.1 互斥判定规则（一道题只归一类）\r\n\r\n```text\r\n一题一类。同一道题出现多个特征时，按下面的优先顺序判：\r\n\r\n① 前置知识都没有 → 知识漏洞（不再往下判）\r\n② 本节概念说不清 → 概念模糊\r\n③ 概念清楚但法则记错（移项不变号、不等式两边乘负数不变号）\r\n   → **规则错误**，不归计算错误\r\n④ 条件读错、看错数字、抄错题 → **审题错误**，不归习惯性失误\r\n⑤ 读题无误、概念清楚，但选错方法/路径 → 策略错误\r\n⑥ 方法对、答案对，只是过程写不全或跳步扣分 → 表达/书写不规范\r\n⑦ 列式正确、只在运算中出错 → 计算错误\r\n⑧ 以上都不是，属于漏写单位/不检验一类的固定动作缺失 → 习惯性失误\r\n\r\n高频争议对照：\r\n  \"移项不变号\"        → 规则错误（③），不是计算错误\r\n  \"看错 5 写成 6\"     → 审题错误（④），不是习惯性失误\r\n  \"不等式乘负数没变号\" → 规则错误（③）\r\n  \"结果没写单位\"      → 表达/书写不规范或习惯性失误，按是否扣分区分\r\n  \"会做但没时间写完\"  → 不记为错因，记为答题节奏问题\r\n```\r\n\r\n## 2. 七类错因详解\r\n\r\n### 2.1 概念模糊\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员对核心概念理解不透彻\r\n【典型表现】\r\n  · 用错公式（如把长方形面积当周长）\r\n  · 混淆符号（如把 ≠ 当 =）\r\n  · 概念张冠李戴（如把\"等腰\"当\"等边\"）\r\n  · 概念边界不清（如不知道\"0\"是否属于正数）\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 在概念引入时增加正/反例对比\r\n  · 给出\"概念辨析卡\"\r\n  · 设计\"找错\"练习\r\n```\r\n\r\n### 2.2 规则错误\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员对运算法则/规则记忆错\r\n【典型表现】\r\n  · 解方程移项不变号\r\n  · 分数运算不找最小公倍数\r\n  · 因式分解漏项\r\n  · 函数单调性记反\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 把规则拆成最小步骤\r\n  · 设计\"我说你做\"操练\r\n  · 配合口诀/图示\r\n```\r\n\r\n### 2.3 审题错误\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员没看清题目条件\r\n【典型表现】\r\n  · 看错数字（如把 5 看 6）\r\n  · 漏掉关键字（如\"至少\"、\"整数\"）\r\n  · 多余条件没排除\r\n  · 问什么答什么没搞清\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 设计\"信息提取卡\"\r\n  · 训练\"圈关键字\"习惯\r\n  · 答案前问\"题目问什么\"\r\n```\r\n\r\n### 2.4 策略错误\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员选择的方法不当\r\n【典型表现】\r\n  · 用复杂方法解决简单题\r\n  · 不会用方程/反用算术\r\n  · 不会分类讨论\r\n  · 不画图分析\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 一题多解展示\r\n  · 策略选择\"决策树\"\r\n  · 强调\"先想再算\"\r\n```\r\n\r\n### 2.5 计算错误\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员算术/代数运算错\r\n【典型表现】\r\n  · 整数加减错\r\n  · 分数四则错\r\n  · 移项变号错\r\n  · 公式代入错\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 强计算专项训练\r\n  · 分步展示避免跳步\r\n  · 估算验证（先估后算）\r\n```\r\n\r\n### 2.6 习惯性失误（原\"粗心大意\"一类）\r\n\r\n```text\r\n【定义】固定动作缺失导致的失分——是**行为习惯问题**，不是态度问题\r\n【典型表现】\r\n  · 誊抄自己的中间结果时写错（如把自己算出的 8 抄成 3）\r\n  · 漏写单位、漏写答句\r\n  · 跳步导致自己回看时接不上\r\n  · 做完不检验（方程不代回、几何不复核图）\r\n\r\n【不属于本类】\r\n  · 看错题目里的数字 → 审题错误\r\n  · 抄错题目 → 审题错误\r\n  · 法则记错 → 规则错误\r\n\r\n【教案预防】（训练的是流程，不是心态）\r\n  · 规范答题模板：设→列→解→检验→答，五步固定\r\n  · \"二次检查\"清单化：符号 / 单位 / 是否回答了所问\r\n  · 把检验写进例题示范里，让检验成为解题的一部分而不是额外动作\r\n  · 限时训练用于练节奏，不用于施压\r\n```\r\n\r\n### 2.7 知识漏洞\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员前置知识不会\r\n【典型表现】\r\n  · 分数运算不会 → 比例不会\r\n  · 三角形面积不会 → 几何综合题不会\r\n  · 一元一次方程不会 → 一元二次不会\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 课前测诊断\r\n  · 关联前置知识复习\r\n  · 阶梯式例题设计\r\n```\r\n\r\n## 3. 错因识别流程（按 §1.1 的顺序，问到第一个\"否\"就定类）\r\n\r\n```text\r\n学员答错 → 按顺序问：\r\n  ① 前置知识会不会？   不会 → 知识漏洞（停）\r\n  ② 本节概念说得清吗？ 说不清 → 概念模糊（停）\r\n  ③ 法则记对了吗？     记错 → 规则错误（停）\r\n  ④ 题目读对了吗？     读错/抄错 → 审题错误（停）\r\n  ⑤ 方法选对了吗？     选错 → 策略错误（停）\r\n  ⑥ 过程写全了吗？     没写全但方法对 → 表达/书写不规范（停）\r\n  ⑦ 运算做对了吗？     列式对、算错 → 计算错误（停）\r\n  ⑧ 以上都过了 →       习惯性失误（写清具体是哪个动作缺失）\r\n\r\n一题只走一遍这个流程，只落一类。\r\n```\r\n\r\n## 4. 教案错因预防检查表\r\n\r\n```text\r\n┌────────────────┬──────────────────┬────────────────┐\r\n│ 错因            │ 教案预防措施      │ 备课时是否落实  │\r\n├────────────────┼──────────────────┼────────────────┤\r\n│ 知识漏洞        │ 前置知识链接/课前测│ □ 是  □ 否     │\r\n│ 概念模糊        │ 概念辨析卡+正反例  │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 规则错误        │ 最小步骤拆解+操练  │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 审题错误        │ 信息提取训练      │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 策略错误        │ 一题多解展示      │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 表达/书写不规范  │ 过程分示范+评分说明│ □ 是  □ 否     │\r\n│ 计算错误        │ 估算验证环节      │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 习惯性失误      │ 规范答题模板+检验步│ □ 是  □ 否     │\r\n└────────────────┴──────────────────┴────────────────┘\r\n```\r\n\r\n## 5. 各类错因的高发知识点（用于备课时预设易错点）\r\n\r\n```text\r\n┌────────────────┬──────────────────────────────┐\r\n│ 错因            │ 高发知识点                    │\r\n├────────────────┼──────────────────────────────┤\r\n│ 知识漏洞        │ 跨章节综合、需要用到前一学期内容的题 │\r\n│ 概念模糊        │ 函数概念、几何判定、符号与绝对值    │\r\n│ 规则错误        │ 移项变号、不等式两边乘负数、去括号  │\r\n│ 审题错误        │ 应用题、含\"至少/不少于/整数解\"的题 │\r\n│ 策略错误        │ 综合题、压轴题、需要分类讨论的题    │\r\n│ 表达/书写不规范  │ 证明题、解答题的过程分            │\r\n│ 计算错误        │ 分式运算、二次根式、代数式化简      │\r\n│ 习惯性失误      │ 应用题不写答句、几何不标图、不检验   │\r\n└────────────────┴──────────────────────────────┘\r\n```\r\n\r\n> **本表不给占比**：各类错因的比例因班、因单元、因试卷难度差异很大，\r\n> 全库统一的占比数字没有出处，也会误导备课重点。\r\n> 需要占比时，用本班 `classWorkspace.homeworkAssignments[].completionSummary.commonErrors[]`\r\n> 或 `classWorkspace.itemScores[]` 的实际数据现算，并注明样本量与来源。\r\n\r\n## 6. 老师自备内容\r\n\r\n- [ ] 学员化名档案（化名 + 常错类型）\r\n- [ ] 历次作业/试卷的错因分布数据\r\n- [ ] 班级常错知识点清单\r\n- [ ] 学校/学段的错因分布参考数据\n\nFile v2.11.1:references/example-demo-sample.md\n\n# 例题示范样板（填写模板）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。AI 现出的例题按 `shared/ai-item-check.md` 自检，并标【AI 生成，入库前请人工验算】。\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 例题示范样板\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 题目\r\n  [X]\r\n\r\n■ 思路\r\n  · 看到什么：[X]\r\n  · 想到什么：[X]\r\n  · 关键点：[X]\r\n\r\n■ 步骤\r\n  · 第一步：[X]\r\n  · 第二步：[X]\r\n  · 第三步：[X]\r\n\r\n■ 易错提醒\r\n  · 易错 1：[X] → 怎么避免：[X]\r\n  · 易错 2：[X] → 怎么避免：[X]\r\n\r\n■ 一题多解（可选）\r\n  · 解法 1：[X]\r\n  · 解法 2：[X]\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\n\nFile v2.11.1:references/math-hs-curriculum-map.md\n\n# 高中数学课程地图：必修与选择性必修\r\n\r\n> 适用学段：高中。\r\n> 本文是 `xiaozhi-teach-math-lesson-planner` 第十三、十四节的参考资源：高中数学的课程结构与课时建议、必修与选择性必修各主题的单元要点与教学提示、课标教学与评价案例的对应、学业质量与考试。本文只写课程标准层面的结构，不写死任何版本教材的章节与课时。\r\n> 课程依据：《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》。课时为课标给出的建议，教材编写与教学实施时可以根据实际作适当调整。选修课程（A～E 类）不在本文范围内。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、高中·课程结构\r\n\r\n**学分**：必修课程 8 学分，选择性必修课程 6 学分，选修课程 6 学分。\r\n\r\n**核心素养**：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。\r\n\r\n**必修课程**：8 学分 144 课时，五个主题。\r\n\r\n| 主题 | 单元 | 建议课时 |\r\n|---|---|---|\r\n| 主题一　预备知识 | 集合；常用逻辑用语；相等关系与不等关系；从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 | 18 |\r\n| 主题二　函数 | 函数概念与性质；幂函数、指数函数、对数函数；三角函数；函数应用 | 52 |\r\n| 主题三　几何与代数 | 平面向量及其应用；复数；立体几何初步 | 42 |\r\n| 主题四　概率与统计 | 概率；统计 | 20 |\r\n| 主题五　数学建模活动与数学探究活动 | 数学建模活动与数学探究活动 | 6 |\r\n| 机动 | — | 6 |\r\n\r\n**选择性必修课程**：6 学分 108 课时，四个主题。\r\n\r\n| 主题 | 单元 | 建议课时 |\r\n|---|---|---|\r\n| 主题一　函数 | 数列；一元函数导数及其应用 | 30 |\r\n| 主题二　几何与代数 | 空间向量与立体几何；平面解析几何 | 44 |\r\n| 主题三　概率与统计 | 计数原理；概率；统计 | 26 |\r\n| 主题四　数学建模活动与数学探究活动 | 数学建模活动与数学探究活动 | 4 |\r\n| 机动 | — | 4 |\r\n\r\n必修课程是学业水平考试和高考的内容要求，选择性必修课程是高考的内容要求。以高中毕业为目标的学生完成必修、参加学业水平考试；以进入高等学校为目标的学生完成必修与选择性必修、参加高考。\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"必修课时 18 + 52 + 42 + 20 + 6 + 6 = 144；选择性必修课时 30 + 44 + 26 + 4 + 4 = 108\", \"expr\": \"[18 + 52 + 42 + 20 + 6 + 6, 30 + 44 + 26 + 4 + 4]\", \"expect\": [144, 108]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、高一·主题一\"预备知识\"（建议 18 课时）\r\n\r\n课标定位：以义务教育阶段的数学内容为载体，结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容，为高中数学做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡。\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 集合 | 集合的含义，元素与集合的属于关系；用符号语言刻画集合；全集与空集；包含与相等、子集；并集、交集、补集；用 Venn 图表达集合的关系与运算 |\r\n| 常用逻辑用语 | 必要条件、充分条件、充要条件（分别与性质定理、判定定理、数学定义对应）；全称量词与存在量词；全称量词命题与存在量词命题的否定 |\r\n| 相等关系与不等关系 | 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质；掌握基本不等式 √(ab) ≤ (a + b)/2（a，b ≥ 0），能解决简单的最大值或最小值问题 |\r\n| 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 | 借助一元二次函数的图像判断一元二次方程实根的存在性与个数，了解函数的零点与方程根的关系；借助一元二次函数求解一元二次不等式，用集合表示解集 |\r\n\r\n**教学提示要点**：初中阶段数学知识相对具体，高中阶段相对抽象，教师要帮助学生完成过渡，包括学习心理、学习方式等方面；集合与常用逻辑用语的教学，以学过的数学内容为载体，引导学生用集合语言和常用逻辑用语梳理、表达；要让学生了解元素 a 与集合 {a} 的差异。**学业要求**重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 三、高一·主题二\"函数\"（建议 52 课时）\r\n\r\n课标定位：函数是现代数学最基本的概念，是贯穿高中数学课程的主线。\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 函数概念与性质 | 用集合语言和对应关系刻画函数，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；图像法、列表法、解析法；简单的分段函数；用符号语言表达单调性、最大（小）值；奇偶性；结合三角函数了解周期性。\"函数的形成与发展\"为选学内容，不作为考试要求 |\r\n| 幂函数、指数函数、对数函数 | 结合 y = x、y = 1/x、y = x²、y = √x、y = x³ 了解幂函数；有理数指数幂、实数指数幂与运算性质；指数函数的概念、图像、单调性与特殊点；对数的概念与运算性质，换底公式；对数函数的概念、图像、单调性与特殊点；知道 y = logₐx 与 y = aˣ 互为反函数。\"对数概念的形成与发展\"为选学内容，不作为考试要求 |\r\n| 三角函数 | 任意角与弧度制；借助单位圆理解正弦、余弦、正切的定义，推导诱导公式；正弦、余弦函数在 [0, 2π] 上、正切函数在 (−π/2, π/2) 上的性质；y = Asin(ωx + φ) 中参数的意义；同角三角函数的基本关系式；两角差的余弦公式及由它推出的和差角、二倍角公式（积化和差、和差化积、半角公式不要求记忆）；用三角函数刻画周期变化 |\r\n| 函数应用 | 函数零点与方程解的关系，零点存在定理，二分法求方程近似解；函数模型的选择，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解\"对数增长\"\"直线上升\"\"指数爆炸\" |\r\n\r\n**教学提示要点**：把本主题视为一个整体，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图像的几何直观等角度整体认识函数；单调性的教学要引导学生正确使用符号语言；在定义域、值域与函数性质的教学中避免编制偏题、怪题，避免烦琐的技巧训练；指数函数的教学关注从整数指数幂到有理数、实数指数幂的拓展过程；通过同底数的指数函数与对数函数认识互为反函数；三角函数的教学发挥单位圆的作用；鼓励用信息技术画图、探索规律、求方程的近似解。**学业要求**重点提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理素养。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 四、高中必修·主题三\"几何与代数\"（建议 42 课时）\r\n\r\n课标定位：几何与代数是高中数学课程的主线之一，突出几何直观与代数运算的融合，通过形与数的结合加强对数学整体性的理解。\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 平面向量及其应用 | 向量概念（从力、速度、位移了解实际背景，几何表示，相等向量）；向量运算（加、减、数乘及其几何意义，共线；数量积的概念及其物理意义，投影向量，用数量积判断垂直）；向量基本定理及坐标表示（正交分解，坐标表示线性运算、数量积与夹角，坐标表示共线与垂直）；向量应用与解三角形（用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题；借助向量运算探索并掌握余弦定理、正弦定理，解决简单的实际问题） |\r\n| 复数 | 通过方程的解认识复数；复数的代数表示及其几何意义，两个复数相等的含义；复数代数表示式的四则运算，复数加、减运算的几何意义；复数的三角表示（选学内容，不作为考试要求；教学提示把它作为学有余力学生的引申内容） |\r\n| 立体几何初步 | 基本立体图形（柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征；知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式；用斜二测画法画简单空间图形的直观图）；基本图形位置关系（借助长方体了解基本事实 1～4 与等角定理；平行、垂直的性质定理要证明，判定定理只要求直观感知、操作确认，在选择性必修中用向量方法论证）；几何学的发展（阅读资料、撰写小论文；选学内容，不作为考试要求） |\r\n\r\n**教学提示要点**：从物理、几何、代数三个角度理解向量的概念与运算法则，用类比的方法探索实数运算与向量运算的共性与差异；可以通过力的分解引出向量基本定理；向量的非正交分解只要求一般了解；复数的教学注重表示及几何意义的理解，避免烦琐的计算与技巧训练；立体几何初步的重点是帮助学生逐步形成空间观念，遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，提供实物模型或用信息技术呈现空间图形。**学业要求**重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 五、高中必修·主题四\"概率与统计\"（建议 20 课时）\r\n\r\n课标定位：概率研究随机现象，为从不确定性的角度认识客观世界提供思维模式；统计研究数据，核心是数据分析；概率为统计提供理论基础。\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 概率 | 样本点与有限样本空间，随机事件的并、交与互斥；古典概型及其中简单随机事件的概率；概率的性质与运算法则；用频率估计概率；结合有限样本空间了解两个随机事件独立性的含义，利用独立性计算概率 |\r\n| 统计 | 获取数据的基本途径；总体、样本、样本量，数据的随机性；简单随机抽样（抽签法、随机数法，样本均值与样本方差）；分层随机抽样（各层样本量的比例分配，分层随机抽样的样本均值与样本方差）；根据实际问题设计抽样方法；统计图表（频数分布直方图、频率分布直方图、散点图等）；用样本估计总体的集中趋势、离散程度、取值规律与百分位数 |\r\n\r\n**教学提示要点**：通过日常生活中的实例了解随机事件与概率的意义；理解古典概型的特征——试验结果的有限性和每个试验结果出现的等可能性；适当介绍树状图、列表等基本计数方法；统计的教学通过典型案例，让学生经历较为系统的数据处理全过程；鼓励用计算器、计算机模拟随机试验、处理数据。**学业要求**重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 六、高中必修·主题五\"数学建模活动与数学探究活动\"（建议 6 课时）\r\n\r\n以课题研究的形式开展，必修课程要求学生完成其中的一个课题研究（数学建模或数学探究）：在教师指导下选题、开题、做题、结题，撰写开题报告和研究报告，参加结题交流。教师要引导学生遵守学术规范，坚守诚信底线。完整的项目示例与过程性评价见课标案例 15、16。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 七、高中选择性必修（108 课时）\r\n\r\n**主题一\"函数\"（建议 30 课时）**\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 数列 | 数列的概念与表示（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数；等差数列、等比数列的概念、通项公式与前 n 项和公式，与一元一次函数、指数函数的关系；在具体问题情境中发现数列的等差、等比关系并解决问题；了解数学归纳法的原理，能用它证明数列中的一些简单命题（数学归纳法是选学内容，不作为考试要求） |\r\n| 一元函数导数及其应用 | 了解导数概念的实际背景，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会极限思想，通过函数图象直观理解导数的几何意义；能根据定义求 y = c、y = x、y = x²、y = x³、y = 1/x、y = √x 的导数，会用导数公式表和四则运算法则求简单函数的导数，简单复合函数限于形如 f(ax + b)；借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，用导数研究单调性（多项式函数求不超过三次的单调区间）；借助函数的图象了解极值的必要条件和充分条件，求极值与最值（给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最值）；微积分的创立与发展（撰写研究报告；选学内容，不作为考试要求） |\r\n\r\n**主题二\"几何与代数\"（建议 44 课时）**\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 空间向量与立体几何 | 空间直角坐标系与两点间的距离公式；由平面向量推广到空间向量的概念与运算；空间向量基本定理、正交分解与坐标表示，线性运算与数量积的坐标表示，投影向量；直线的方向向量与平面的法向量；用向量语言表述平行、垂直与夹角；用向量方法证明必修中的判定定理；用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题 |\r\n| 平面解析几何 | 直线的倾斜角与斜率，由斜率判定平行或垂直，直线方程的点斜式、两点式、一般式，交点坐标，两点间距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离；圆的标准方程与一般方程，直线与圆、圆与圆的位置关系；掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质，了解抛物线与双曲线的定义、几何图形、标准方程与简单几何性质，了解椭圆、抛物线的简单应用；平面解析几何的形成与发展（选学内容，不作为考试要求） |\r\n\r\n**主题三\"概率与统计\"（建议 26 课时）**\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 计数原理 | 分类加法计数原理与分步乘法计数原理；排列、组合的概念，用计数原理推导排列数、组合数公式；用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，解决与二项展开式有关的简单问题 |\r\n| 概率 | 结合古典概型了解条件概率，理解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式、全概率公式计算概率，了解贝叶斯公式（选学内容，不作为考试要求）；离散型随机变量及其分布列、均值与方差；理解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，了解超几何分布及其均值；通过误差模型了解正态分布的特征、均值与方差的含义 |\r\n| 统计 | 样本相关系数的统计含义及其与标准化数据向量夹角的关系，比较多组成对数据的相关性；一元线性回归模型的含义，最小二乘原理与参数估计，会用统计软件，用于预测；2×2 列联表的统计意义与独立性检验 |\r\n\r\n**主题四\"数学建模活动与数学探究活动\"（建议 4 课时）**：完成一个课题研究，可以是必修阶段课题的延续，也可以是新课题。\r\n\r\n**教学提示要点**：数列要突出它是一类特殊的函数，与一元一次函数、指数函数类比；学生对导数概念的理解不可能一步到位，要贯穿单元始终，高中阶段研究与导数有关的问题时涉及的函数都是可导函数；空间向量要引导学生类比平面向量，灵活选择向量方法与综合几何方法（如距离问题），体会\"基\"的思想；平面解析几何要先清晰描述图形的几何特征，再合理建立坐标系、用代数语言描述，最后给出几何解释，并用信息技术演示参数变化对曲线的影响；计数原理要引导学生把计数问题归结为分类和分步；概率与统计通过具体案例理解随机变量及其分布，鼓励使用统计软件。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 八、课标案例与各单元的对应\r\n\r\n课标附录 2 的教学案例与各单元的对应如下，适合拿来设计概念引入与探究活动：\r\n\r\n| 案例 | 对应单元 |\r\n|---|---|\r\n| 案例 1　借助一元二次函数，求解一元二次不等式 | 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 |\r\n| 案例 2　函数的概念 | 函数概念与性质 |\r\n| 案例 3　引入弧度制的必要性 | 三角函数 |\r\n| 案例 4　用三角函数刻画事物周期变化的实例 | 三角函数 |\r\n| 案例 5　函数单调性概念的抽象过程 | 函数概念与性质 |\r\n| 案例 6　利用单位圆的对称性探索三角函数的诱导公式 | 三角函数 |\r\n| 案例 7　停车距离问题 | 函数应用 |\r\n| 案例 8　\"指数爆炸\"的感知和理解 | 函数应用 |\r\n| 案例 9　向量投影 | 平面向量及其应用；空间向量与立体几何（空间向量的投影） |\r\n| 案例 10　复数的引入 | 复数 |\r\n| 案例 11　正方体截面的探究 | 立体几何初步（可作数学探究课题） |\r\n| 案例 12　投掷骰子问题 | 概率 |\r\n| 案例 13　分层抽样 | 统计 |\r\n| 案例 14　阶梯电价的设计 | 统计（百分位数） |\r\n| 案例 15　测量学校内、外建筑物的高度 | 数学建模活动 |\r\n| 案例 16　测量学校内、外建筑物的高度项目的过程性评价 | 数学建模活动的评价 |\r\n| 案例 17　用向量方法研究距离问题 | 空间向量与立体几何 |\r\n| 案例 18　二项式定理 | 计数原理 |\r\n| 案例 19　杨辉三角 | 计数原理 |\r\n\r\n注：标＊的选学内容（函数的形成与发展、对数概念的形成与发展、复数的三角表示、几何学的发展、数学归纳法、微积分的创立与发展、平面解析几何的形成与发展、贝叶斯公式）不作为考试要求。\r\n\r\n下面是素养水平的评价案例（案例 20—31）与跨章节的教学设计（案例 32），适合设计测评或单元整体教学：\r\n\r\n| 案例 | 用途 |\r\n|---|---|\r\n| 案例 20　函数图象 | 数学抽象：画出速度函数与路程函数的示意图 |\r\n| 案例 21　跑道问题 | 直观想象：从 400 m 跑道抽象出几何图形。第（2）问写跑道上半部分的函数解析式，课标的分析依托选择性必修的圆的方程；高一只取分段函数的思路，学过圆的方程后可以完整使用 |\r\n| 案例 22　距离问题 | 数学抽象、直观想象、数学运算的综合：类比数轴上两点的距离，定义城市街道中两点的距离（只能按直角拐弯行走），并研究它的性质 |\r\n| 案例 23　四棱锥中的平行问题 | 逻辑推理：以空间中的平行关系为载体，探索作图的可能性 |\r\n| 案例 24　覆盖问题 | 逻辑推理：以平面几何为载体的证明 |\r\n| 案例 25　包装彩绳 | 数学建模：把捆扎点心盒的彩绳长度问题转化为数学问题 |\r\n| 案例 26　体重与脉搏 | 数学建模：用比例模型刻画体重与脉搏率的关系；评分中加分的相关系数属选择性必修 |\r\n| 案例 27　估算地球周长 | 直观想象：从实际情境中抽象出几何图形 |\r\n| 案例 28　圆柱体截面问题 | 直观想象：圆柱桶内水面可能呈现的形状，与椭圆的定义相联系 |\r\n| 案例 29　过河问题 | 数学运算：以平面向量的运算为载体，确定游船的航向、航程 |\r\n| 案例 30　隧道长度 | 数学运算：以解三角形为载体的测量问题 |\r\n| 案例 31　估计考生总数 | 数学建模与数据分析 |\r\n| 案例 32　函数单调性主题教学设计 | 跨章节的主题教学设计：高一只取必修部分，与导数有关的部分在选择性必修使用 |\r\n\r\n---\r\n\r\n## 九、高中·学业质量与考试\r\n\r\n- 学业质量分三级水平：水平一是高中毕业应当达到的要求，也是学业水平考试命题的依据；高考命题不超过水平二；水平三为高等学校选拔拔尖创新人才提供参考。\r\n- 学业水平考试的内容范围是必修课程；高考的内容范围是必修和选择性必修课程。\r\n- 题型一般包括选择题（单项选择题与多项选择题）、填空题和解答题；学业水平考试的解答题分值占比不少于 40%。命题要逐步减少选择题、填空题的题量，适度增加试题的思维量。\r\n- 命题细则（双向细目表、难度结构）转数学测评设计。\n\nFile v2.11.1:references/variation-design.md\n\n# 变式训练设计模板\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）；样板中的\"鸡兔同笼\"可下沉到小学高段用算术法。\r\n> 示例题验算：2026-09-26\r\n> 配合 `xiaozhi-teach-math-lesson-planner` 使用。从\"刷题\"到\"变式\"，让学员真正\"会一类\"。\r\n> **每道变式题在给学员之前，按 `shared/ai-item-check.md` 自检**：自解一遍 → 有解且唯一 → 条件充分不多余 →\r\n> 数值友好（人数/件数/道数为非负整数）→ 学段内 → 与原题同型。AI 生成的题标注 `【AI 生成，入库前请人工验算】`。\r\n\r\n## 1. 变式训练定义\r\n\r\n```text\r\n改变题目的\"形\"，抓住题目的\"神\"。\r\n\"形\" = 题目表面\r\n\"神\" = 核心方法/概念\r\n```\r\n\r\n## 2. 变式三类型\r\n\r\n```text\r\n┌──────────┬────────────────────────┬──────────────┐\r\n│ 类型      │ 描述                    │ 训练目标      │\r\n├──────────┼────────────────────────┼──────────────┤\r\n│ 一题多解  │ 一道题多种解法          │ 思维灵活性    │\r\n│ 多题一解  │ 多道题同一种方法        │ 方法识别      │\r\n│ 变条件    │ 改变题目条件/问题       │ 思维深度      │\r\n└──────────┴────────────────────────┴──────────────┘\r\n```\r\n\r\n## 3. 一题多解设计\r\n\r\n### 3.1 样板 1 · 鸡兔同笼\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 一题多解 · 鸡兔同笼\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 原题\r\n  笼中有鸡兔共 35 只，足共 94 只，\r\n  问鸡兔各几何？\r\n\r\n■ 解法 1（假设法）\r\n  假设全是鸡：35×2=70 只足\r\n  实际比假设多：94-70=24 只足\r\n  每只兔比鸡多 2 只足\r\n  兔：24÷2=12 只\r\n  鸡：35-12=23 只\r\n\r\n■ 解法 2（方程法）\r\n  设鸡有 x 只，兔有 y 只\r\n  x + y = 35\r\n  2x + 4y = 94\r\n  解得：x=23, y=12\r\n\r\n■ 解法 3（抬脚法 / 金鸡独立法）\r\n  让每只动物抬起**一半**的脚：\r\n    鸡有 2 只脚 → 抬 1 只，站 1 只\r\n    兔有 4 只脚 → 抬 2 只，站 2 只\r\n  于是站着的脚 = 94 ÷ 2 = 47 只\r\n  这 47 只脚里，每只鸡贡献 1 只、每只兔贡献 2 只；\r\n  而动物一共 35 只，每只至少贡献 1 只 →\r\n  多出来的 47 − 35 = 12 只，正好是每只兔多贡献的那 1 只\r\n  所以 兔：12 只，鸡：35 − 12 = 23 只\r\n\r\n  ⚠️ 这一步是本解法的关键，**不能用\"抬起 35+12=47 只脚\"来说明**——\r\n     12 是要求的答案，拿答案去推答案是循环论证。\r\n     正确顺序是：先由\"总脚数折半\"得 47，再由 47 − 35 得兔数。\r\n\r\n■ 验算\r\n  鸡 23 只 × 2 + 兔 12 只 × 4 = 46 + 48 = 94 ✓；23 + 12 = 35 ✓\r\n\r\n■ 比较\r\n  · 假设法：最直观\r\n  · 方程法：通用\r\n  · 抬脚法：巧，但只在\"脚数都是偶数且成倍数关系\"时好用\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\r\n\r\n### 3.2 样板 2 · 行程问题\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 一题多解 · 相遇问题\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 原题\r\n  甲乙两地相距 100 km\r\n  甲骑车 15 km/h，乙骑车 10 km/h\r\n  两人同时出发相向而行，几小时相遇？\r\n\r\n■ 解法 1（基础公式）\r\n  相遇时间 = 距离 ÷ 速度和\r\n  = 100 ÷ (15+10) = 4 小时\r\n\r\n■ 解法 2（行程图）\r\n  [画线段图，两端各标 15 km/h 和 10 km/h，中间标 100 km]\r\n  速度和 = 25 km/h\r\n  100 ÷ 25 = 4 小时\r\n\r\n■ 解法 3（代数）\r\n  设 x 小时相遇\r\n  15x + 10x = 100\r\n  25x = 100\r\n  x = 4\r\n\r\n■ 验算\r\n  甲走 15×4 = 60 km，乙走 10×4 = 40 km，60 + 40 = 100 ✓\r\n  （数值设计：取整数解、时长在合理范围内；\r\n    原版\"5 与 3 km/h、100 km、12.5 小时\"是步行 12 小时不停，情境不合理，已调整）\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\r\n\r\n## 4. 多题一解设计\r\n\r\n### 4.1 样板 · 鸡兔同笼类题\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 多题一解 · \"鸡兔同笼\"类\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 题 1\r\n  30 头动物，足 84 只，鸡兔各几只？\r\n  → 鸡 18 只、兔 12 只（验算：18×2 + 12×4 = 36 + 48 = 84 ✓）\r\n\r\n■ 题 2\r\n  20 张纸币，面额 5 元和 10 元，共 175 元，各几张？\r\n  → 5 元 5 张、10 元 15 张（验算：5×5 + 10×15 = 25 + 150 = 175 ✓）\r\n\r\n■ 题 3\r\n  50 道题，答对 +5 分，答错 −2 分（不答按答错计），\r\n  共得 180 分，对错各几道？\r\n  → 设对 x 道：5x − 2(50−x) = 180 → 7x = 280 → x = 40\r\n  → 答对 40 道、答错 10 道（验算：40×5 − 10×2 = 200 − 20 = 180 ✓）\r\n\r\n  ⚠️ 数值设计说明：这类题的总分不能随便填。\r\n     原版写\"共得 184 分\"时 7x = 284，x ≈ 40.57，**不是整数，题目无解**。\r\n     出题时先定 x（如 40），再倒推总分，保证答案是非负整数。\r\n     可用的总分：…166(x=38)、173(x=39)、180(x=40)、187(x=41)…（相邻相差 7）\r\n\r\n■ 共同方法\r\n  假设法 / 方程法\r\n  本质：二元一次方程组（两个未知数、两个等量关系）\r\n\r\n■ 学员反思\r\n  · 这 3 题的\"形\"有什么不同？\r\n  · \"神\"是什么？\r\n  · 我能用这个方法解决新问题吗？\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"180 分：5x-2(50-x)=180 有整数解 x=40\", \"expr\": \"(180 + 100) / 7\", \"expect\": 40}\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"旧版 184 分：x=284/7 不是整数（病题）\", \"expr\": \"Number.isInteger((184 + 100) / 7)\", \"expect\": false}\r\n```\r\n\r\n## 5. 变条件设计\r\n\r\n### 5.1 改条件\r\n\r\n```text\r\n原题：长方形长 8 cm，宽 5 cm，求周长。          → 26 cm\r\n\r\n变 1：长 8 cm，周长 26 cm，求宽。               → 5 cm\r\n变 2：长比宽多 3 cm，周长 26 cm，求长和宽。      → 长 8 cm、宽 5 cm\r\n      （长+宽=13，长−宽=3）\r\n变 3：长 8 dm，宽 50 cm，求周长。               → 260 cm（即 26 dm）\r\n  （单位统一：8 dm = 80 cm，周长 = 2×(80+50)）\r\n\r\n四题一组的用意：同一个\"周长 = 2×(长+宽)\"，从正用 → 逆用 → 双未知 → 单位陷阱。\r\n```\r\n\r\n### 5.2 改问题\r\n\r\n```text\r\n原题：甲乙两车从 A、B 两地同时出发相向而行（相距 100 km，\r\n     速度 60 km/h 与 40 km/h），几小时相遇？        → 1 小时\r\n\r\n变 1：出发后几小时两车相距 50 km？                  → 0.5 小时（相遇前）\r\n      追问：还有别的答案吗？（相遇后又拉开 50 km：1.5 小时）\r\n变 2：相遇时甲走了多少 km？                         → 60 km\r\n变 3：如果甲提前 0.5 小时出发，从乙出发算起几小时相遇？→ 70÷100 = 0.7 小时\r\n\r\n⚠️ \"能不能相遇\"不是一个好的变式：两车相向而行必然相遇，问题没有讨论空间。\r\n   要制造\"能不能\"的讨论，得改成同向追及（快的在前就追不上）。\r\n```\r\n\r\n### 5.3 改情境\r\n\r\n```text\r\n原题：鸡兔同笼。\r\n\r\n变 1：换成\"鸭鹤同笼\"\r\n变 2：换成\"5 分和 10 分硬币\"\r\n变 3：换成\"成人和儿童\"\r\n```\r\n\r\n## 6. 变式训练设计原则\r\n\r\n```text\r\n■ 服务于核心方法\r\n  · 不为了变式而变式\r\n  · 变式要\"形\"不同\"神\"同\r\n\r\n■ 难度梯度\r\n  · 由浅入深\r\n  · 不要突然太难\r\n\r\n■ 学员主体\r\n  · 让学员自己发现\"神\"\r\n  · 不直接告诉\"方法\"\r\n```\r\n\r\n## 7. 教学建议\r\n\r\n```text\r\n■ 学员做完 3-5 道题后\r\n  · 让学员自己找\"共同点\"\r\n  · 老师不直接给方法\r\n\r\n■ 学员说\"不会变\"\r\n  · 老师从\"换什么\"开始问\r\n  · 让学员发现\"变\"的可能性\r\n\r\n■ 避免\r\n  · 变式太多 = 新题太多\r\n  · 学员变成\"刷题机器\"\r\n```\r\n\r\n## 8. 题目版权\r\n\r\n版权状态只用 `shared/vocab.md §11` 的四个枚举值（与 `class-teaching-workspace.schema.json` 一致）：\r\n\r\n```text\r\n自有        老师原创\r\n改编        基于教材/经典题改编，须写明改编自哪里\r\n公开可引用  教材原题、CC 协议资源等可公开引用的来源，标注来源\r\n仅存索引    教辅原题与历年真题——**只记题号与出处，不复制题面**\r\n\r\n❌ 禁止：未授权复制教辅题库\r\n❌ 禁止：未授权转载网络题库\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n> 💡 **小智说：** 变式不是\"难为学员\"，是让学员看到\"核心方法的力量\"。\n\nFile v2.11.1:references/variation-training-sample.md\n\n# 变式训练样板（填写模板）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。变式设计方法与验算要求见同目录 `variation-design.md`。\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 变式训练样板 · 基础题\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 基础题\r\n  [X]\r\n\r\n■ 变式 1（一题多解）\r\n  · 解法 1：[X]\r\n  · 解法 2：[X]\r\n  · 解法 3：[X]\r\n  · 比较：[X]\r\n\r\n■ 变式 2（多题一解）\r\n  · 题 1：[X]\r\n  · 题 2：[X]\r\n  · 题 3：[X]\r\n  · 共同方法：[X]\r\n\r\n■ 变式 3（变条件）\r\n  · 条件改为 [X]\r\n  · 解题思路：[X]\r\n  · 与原题对比：[X]\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\n\nFile v2.11.1:shared/ai-item-check.md\n\n<!-- 本文件由 scripts/sync-shared.mjs 从仓库根 shared/ 自动生成，用于让单个技能包自包含。\r\n     请勿直接编辑；需要修改请改仓库根目录下的同名文件，然后运行 npm run sync:shared -->\r\n\r\n# AI 出题自检协议\r\n\r\n> 任何由 SKILL 即兴生成的题目（同类题、变式题、纯净版题、梯度题、迁移测试、测评题、听力/阅读材料后的题），在发给学生或老师之前必须通过以下自检。通不过的题不得输出。\r\n\r\n## 一、自检步骤（模型内部完成，不向学生展示）\r\n\r\n1. **自解**：先完整解一遍，得到答案。\r\n2. **有解且唯一**：解存在；若为求值题答案唯一；若为开放题，写明\"开放题，参考答案不唯一\"。\r\n3. **条件充分且不多余**：删掉任一条件是否仍可解？增加了矛盾条件？（例：\"直线与 x 轴围成三角形\"不成题；\"不过第二象限且过第二象限\"无解。）\r\n4. **数值友好**：初中题默认整数或简单分数解；出现循环小数/无理数须是题目本意。应用题中的人数、件数、次数必须为非负整数。\r\n5. **学段内**：用到的概念、公式、术语不超出该 SKILL `grade_bands` 声明的学段（对照 `shared/vocab.md §10`）；超出则删题或标 `⚠高中`。\r\n6. **与原题同型**：作为\"同类题\"时，考查的通用维度和子类型必须与原错题一致（`shared/vocab.md §1-2`），只换情境或数字。\r\n7. **物理量合理**：物理题检查单位制、数量级（例：初中生跑步速度 4-6 m/s，家用电压 220 V）、图示是否可画。\r\n8. **语言题**：英语题检查语法本身正确、目标语法点只出现一次；语文病句题检查\"原句确实有病\"且\"修改后确实无病\"。\r\n\r\n## 二、输出标注\r\n\r\n- 学生端：题后不标注，但若学生质疑\"这题是不是有问题\"，必须认真复核，不得坚持错题。\r\n- 老师端：AI 生成的题必须标注 `【AI 生成，入库前请人工验算】`，未经老师确认不得写入资源库或试卷。\r\n\r\n## 三、示例题回归\r\n\r\nreferences 中的示例题视同 AI 生成题：每次修改 references 后，按本协议逐题验算一遍。CI 有三道检查：\r\n\r\n1. **声明**（A1）：含示例题的文件顶部须有一行 `> 示例题验算：YYYY-MM-DD`。\r\n2. **不得过期**（A2）：声明日期不得早于文件最后一次实质提交（纯升版提交不算）。改了题没重新验算、没更新日期，CI 直接失败——日期是承诺，不是装饰。\r\n3. **机器断言**（`scripts/verify-examples.mjs`）：关键数值结论写成可执行的 `verify` 块，CI 每次替你算：\r\n\r\n   ```verify\r\n   {\"claim\": \"184 分题改为 175 分后 x 为整数\", \"expr\": \"Number.isInteger((175 - 100) / 7)\", \"expect\": true}\r\n   ```\r\n\r\n   `expr` 是只含 Math 与字面量的 JS 表达式，`expect` 按 JSON 相等比较。历史上出过的病题（无解、非整数解、不成题）都应留一条断言，题目一改断言就红。\n\nFile v2.11.1:shared/crisis-exception.md\n\n<!-- 本文件由 scripts/sync-shared.mjs 从仓库根 shared/ 自动生成，用于让单个技能包自包含。\n     请勿直接编辑；需要修改请改仓库根目录下的同名文件，然后运行 npm run sync:shared -->\n\n# 危机例外（共享片段）\r\n\r\n> 所有可能读到学生情绪文本的 SKILL 必须引入本片段，位置在任何\"熔断 / 温情转化 / 焦虑处理 / 家长输出\"规则**之前**。完整处置流程见 `shared/crisis-referral-protocol.md`（随每个技能包分发）。\r\n\r\n## 适用地域（先读这一节）\r\n\r\n本库的默认部署环境是**中国大陆的中文 K12 场景**，下文列出的求助号码也只在中国大陆有效。\r\n\r\n**在其他地区使用时，号码必须先本地化，不得原样照搬。** 具体做法：\r\n\r\n1. **不确定所在地区时先问一句**：\"你现在在哪个国家或地区？我需要据此给你当地的求助方式。\"——问清楚之前，只做\"联系身边信任的成年人\"这一条通用引导。\r\n2. 已知在中国大陆 → 用下文\"最低话术\"一节的号码（完整清单见 `shared/crisis-referral-protocol.md` 第五节）。\r\n3. 已知在其他地区 → **不要输出中国大陆号码**，改为：\"请拨打你所在国家/地区的紧急电话\"，并建议联系学校辅导员、家庭医生或当地青少年求助热线。若平台配置了本地渠道，用配置值。\r\n4. 任何情况下，\"找一位信任的成年人\"与\"如有即时危险请立刻拨打当地紧急电话\"这两条都通用，可以先说。\r\n\r\n部署方若面向中国大陆以外的用户，应在上架说明中替换下文\"最低话术\"一节与 `shared/crisis-referral-protocol.md` 第五节的渠道清单。\r\n\r\n## 在 SKILL.md 中的写法（复制以下三行，不要改写）\r\n\r\n```text\r\n⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记\"已转介\"的处置事实。\r\n```\r\n\r\n家庭安全类信号的不记情形，以下文\"家庭安全类信号\"一节为准。\r\n\r\n## 各类流程的接入点\r\n\r\n| 流程 | 接入位置 |\r\n|---|---|\r\n| 熔断 / \"太难了、放弃了\" 分支（费曼、梯度训练、解题教练） | 进入熔断话术**之前**先做危机信号检查 |\r\n| 焦虑处理（数学/物理错误 DNA、错题本情绪性失误） | 焦虑信号分级：学习压力 → 本 SKILL 处理；危机信号 → 本片段 |\r\n| 家长可见输出（家庭看板、月报家长页、周报家庭版、兴趣简报、老师端家长反馈） | 生成前检查；出现危机信号时**不得**低敏转化，如实提示监护人。**家庭安全类信号除外**：不写进任何家长可见的输出，也不借它提示监护人（见下一节） |\r\n| 倾诉类入口（\"说出让你分心的事\"） | 只接收与学习相关的内容；出现危机信号立即切换 |\r\n| 自建 SKILL 模板（开发者工具） | 模板头部固定带本片段，且不允许写\"不对情绪负责 / 等自习结束再说\"类规则 |\r\n\r\n## 家庭安全类信号（伤害可能来自家里）\r\n\r\n学生说到家里有人打他、经常谩骂、恐吓他、虐待他（含性侵害），不给饭吃、长期没人照料，把他赶出家门或威胁送走他，或者说害怕回家——伤害可能来自家里。这时去提示监护人，可能让孩子更危险。所以这一类**不按\"提示监护人\"处理**，其余处置照旧：\r\n\r\n- **对学生**：先说\"这不是你的错\"。不劝他去告诉可能伤害他的家人，也不劝他回家\"好好沟通\"；建议尽快告诉信任的大人——老师、班主任、学校的心理老师，或不住在一起、信得过的亲戚。学生自己说家里另一位大人（比如妈妈）能保护他，不反驳，同时仍建议告诉老师。有即时危险时，按上文\"适用地域\"给紧急电话。\r\n- **家长可见的内容**（家庭看板、周报家庭版、月报家长页、兴趣简报、老师端的家长反馈与家长消息）：不写这件事，不暗示，也不借这些内容提示监护人。学生端只对学生本人说，老师端只对老师说（家长、监护人自己说起家里有人打孩子的，按下文\"家长、监护人自己说打了孩子\"一条）。学生与监护人共用会话或设备、或小学有家长在旁边时，回应里不复述学生说的细节，也不提\"家里\"，只建议去找老师、班主任或学校的心理老师（家庭版最低话术里的\"不住在一起、你信得过的亲戚\"也不说）。\r\n- **老师端**（本条与下面三条里的报告途径、部门与法条都按中国大陆写，其他地区见下面第三条末句）：不先联系监护人，不找家长核实或对质；不起草提到这件事的家长消息；处置之后，照常的学习反馈照旧（不突然中断；学校或有关部门另有安排的，听他们的），也不在里面暗示。不追问学生细节，也不承诺替学生保密（可以告诉学生：会请能保护他的人来帮忙）；学生的原话、时间和看到的伤如实写进交给学校或公安的报告，不写进本库的工作空间与记录。要不要告诉家长、告诉哪一位，由学校（机构）和公安、民政等部门决定。\r\n  - 学校老师：当天按学校的学生保护流程，报告班主任或学校分管学生保护工作的校领导（有的学校设学生保护专员；老师本人就是班主任的，直接报告分管校领导），由学校依照规定向公安、民政、教育等部门报告；学校没有及时报告的，老师自己直接向公安机关报告（也可以向主管教育行政部门报告）——这项报告义务，法律也规定给了教职工本人。依据：《未成年人学校保护规定》第四十七条（学校和教职工发现学生遭受或疑似遭受家庭暴力、虐待、遗弃、长期无人照料等不法侵害的，应当依照规定及时向公安、民政、教育等有关部门报告）、第四十八条；《反家庭暴力法》第十四条——学校及其工作人员发现未成年学生遭受或疑似遭受家庭暴力的，应当及时向公安机关报案，公安机关对报案人的信息保密；性侵害、性骚扰另见《未成年人保护法》第四十条（学校不得隐瞒，应当及时向公安机关、教育行政部门报告）。\r\n  - 校外培训机构的老师按机构的流程报告，机构没有流程或没有及时报告的，自己直接向公安机关报告；独立教师没有机构，当天直接向公安机关报告。依据：《未成年人保护法》第十一条——密切接触未成年人的单位（第一百三十条：含学校、校外培训机构）及其工作人员，在工作中发现未成年人身心健康受到侵害、疑似受到侵害或面临其他危险情形的，应当立即向公安、民政、教育等有关部门报告；任何组织或个人发现这类情形，都有权劝阻、制止，或向这些部门检举、控告。\r\n  - 正在发生危险时立即报警（中国大陆为 110）。学生说不敢回家、向学校求助时，学校不得拒绝、推诿，需要救助的先行救助：先别让他一个人回家，等学校和公安、民政部门安排（《未成年人学校保护规定》第四十九条）。学生已满 18 周岁、能自己作主时，上面引的强制报告条文不适用：老师照样告诉学校，向外报案先听学生本人的意见，并告诉他可以向居委会、妇联求助或向公安机关报案（《反家庭暴力法》第十三条）；正在发生危险时照样报警。在其他地区，按当地法律与学校规程报告，求助方式按上文\"适用地域\"。\r\n- 说到被打、被伤害，但说不清是不是家里人干的，按本节处理。只是被爸妈批评、说了几句重话，家里吵架（没人动手）或父母离婚，没有挨打、没有经常被谩骂、恐吓，也没说怕回家的，不算本类：其中的自伤、轻生信号照常提示监护人。家里有大人动手打人或拿刀等凶器吓人，就算不是冲着他（比如爸爸打妈妈），也按本节处理。本类和自伤、轻生信号一起出现时按本节处理，求助热线与紧急电话照样给；老师端报告时把自伤风险一并说明。\r\n- **家长、监护人自己说打了孩子**（比如\"考成这样，昨晚我揍了他一顿\"），或说把孩子关在门外、赶出家门、不给饭吃，或说马上要这样做：伤害就来自正在说话的人，同样按本节处理，只是说话的对象换成家长。\r\n  - 对家长（学生端：家长在用或在旁边）：用下文\"最低话术\"里的家长版。不说教、不贴标签、不吓唬（不说\"我要报警\"\"我要告诉学校\"这类话），也不当作没听见、照常往下讲题。先问孩子现在怎么样、有没有受伤，受了伤先处理，需要的话去医院；说清一句：打骂解决不了学习上的问题，法律也要求家长用文明的方式教育孩子、不允许家庭暴力（《未成年人保护法》第十七条、《家庭教育促进法》第二十三条、《反家庭暴力法》第十二条）；还在气头上的，先离开一会儿，平静下来再谈学习；学习上的难处可以和孩子的班主任或学校的心理老师一起想办法，确认在中国大陆后也可以打 12355（青少年服务台，亲子关系与家庭教育的事也接）。家长说马上要打、还没动手的，不问受伤，先说一句\"请先别动手\"，再接家长版第 2 至 4 行。家长不认同（如\"打孩子是我自己家的事\"）的，不争辩、不重复说教，说一句\"孩子的安全最要紧，需要帮忙随时可以找班主任\"。之后再回到学习的事：先给家长一两件能陪孩子一起做的事，不罗列分数、错题与弱项清单。\r\n  - 正在打、孩子伤得重、孩子这会儿正被关在门外或赶出了家门，或家长说控制不住自己：有即时危险，停下一切流程，按上文\"适用地域\"给紧急电话（中国大陆为 110/120；只是孩子伤得重、没有别的危险的，给 120）；孩子被关在门外或赶出了家门的，先请家长马上把孩子领进屋，找不到孩子的立即报警；家长说控制不住自己的，先请他离开孩子所在的房间，家里有别的大人的，请那位大人照看孩子。\r\n  - 孩子可能就在旁边（共用会话或设备、小学有家长在旁边）：家长版照说，法律那句不展开，也不评判这次算不算家庭暴力；不当着孩子数落家长，不复述细节，也不让孩子表态；之后孩子单独说到挨打、害怕回家的，按本节对学生的做法。\r\n  - 家长说的是家里另一位大人打孩子（对这位家长不用上面的家长版）：先护住孩子和自己，正在发生危险时报警；孩子或自己受了伤的先去医院，病历和伤情照片留好；不劝他先去和打人的一方\"好好谈\"；可以向居委会（村委会）、妇联投诉、求助，或向公安机关报案（《反家庭暴力法》第十三条），也可以向法院申请人身安全保护令（第二十三条），告诉孩子的班主任，请学校一起帮忙；确认在中国大陆后，也可以打 12355 咨询。手机或设备打人的一方也会用的，提醒家长看完可以删掉这段对话。\r\n  - 这件事不写进本库的档案和任何记录（处置事实也不记），不写进家长可见的内容，学习记录里也不把挨打写成原因或教训。老师端：家长发来的原消息留着（截图），不删。\r\n  - 老师端：家长在消息里或当面对老师说自己打了孩子，也是疑似家庭暴力，照上面\"老师端\"一条报告（报告途径相同；家长的原话和时间如实写进报告）。回这位家长的消息时，在学习安排之外加一句不带指责的劝阻，比如\"成绩的事我们一起想办法，请别因为成绩打骂孩子\"——这一句和下面给保护方家长的回复，是上面\"不起草提到这件事的家长消息\"仅有的两个例外；不提报告，不追问打成什么样，不对质。家长说到孩子受了伤、经常这样，或把孩子关在门外、赶出家门、不给饭吃的，老师自己看到孩子身上有伤的也算，先报告（孩子这会儿还在门外或找不到的，按正在发生危险立即报警），回不回、怎么回听学校（机构）和公安的；他们交代之前，照常的学习反馈照旧，不提这件事，也不加这句劝阻。家长只说要打、还没动手的，回消息时同样加这一句劝阻，并留意孩子之后的状况（学校老师同时告诉班主任）；说要拿棍子、皮带等东西打，或说自己控制不住的，孩子面临危险，照上面\"老师端\"一条报告，回消息时照样加这一句劝阻；说眼下就要动手的，按正在发生危险立即报警；孩子之后说到挨打、身上有伤或害怕回家的，按本节处理。家长说的是家里另一位大人打孩子的，同样照上面\"老师端\"一条报告；回这位家长时可以写\"谢谢您告诉我。孩子和您的安全最要紧，遇到危险请先报警，居委会、妇联也都可以求助\"，不在消息里问细节、复述细节（手机可能被打人的一方看到）。学生已满 18 周岁的，照上面\"老师端\"一条里成年学生的写法：向外报案先听学生本人的意见。\r\n- 档案照旧只记\"已转介\"的处置事实，不写家庭信息，也不记\"已提示监护人\"；家长可见的内容不显示这条记录。小学有家长在旁边、学生与监护人共用会话或设备，或家长自己说打了孩子时，这一条不记；事后的跟进只在确认是学生本人、身边没有家里人时再问。\r\n\r\n## 最低话术\r\n\r\n**通用部分（任何地区都可以先说）：**\r\n\r\n```text\r\n谢谢你愿意告诉我。这件事很重要，比任何题目都重要。\r\n我是学习伙伴，帮不了这么重要的事，但我很在意你。\r\n现在能不能找一位你信任的大人——爸爸妈妈、老师、或学校的心理老师——把刚才的话告诉他们？\r\n如果你现在就有危险，请立刻拨打你所在地区的紧急电话。\r\n```\r\n\r\n**伤害可能来自家里时**（见\"家庭安全类信号\"一节），通用部分改用这一版：\r\n\r\n```text\r\n谢谢你愿意告诉我。这不是你的错。\r\n这件事需要能保护你的大人来帮你。我是学习伙伴，帮不了这么大的忙，但我很在意你。\r\n能不能尽快找一位你信任的大人——老师、班主任、学校的心理老师，或者不住在一起、你信得过的亲戚——把刚才的话告诉他们？\r\n你现在安全吗？如果现在就有危险，请立刻拨打你所在地区的紧急电话。\r\n```\r\n\r\n**家长、监护人自己说打了孩子时**（学生端用，见\"家庭安全类信号\"一节；老师端回家长的消息不用这一版，照该节\"家长、监护人自己说打了孩子\"一条里的\"老师端\"一小条写），先说这一版：\r\n\r\n```text\r\n学习的事先放一放，我想先问一句：孩子现在怎么样？有没有受伤？受了伤先处理，需要的话带孩子去医院。\r\n成绩也好，作业也好，打骂都解决不了问题；法律也要求家长用文明的方式教育孩子，不允许家庭暴力。\r\n要是火气还没下去，先离开一会儿，等平静下来再谈学习。\r\n学习上的难处我可以帮着一起看，也可以找孩子的班主任或学校的心理老师一起想办法。孩子伤得重，或者现在还有危险的，请立刻拨打您所在地区的急救或紧急电话。\r\n```\r\n\r\n**家长版确认在中国大陆后，补这一句**（不用下面给学生的那段；有即时危险时按\"家庭安全类信号\"一节给 110/120）：\r\n\r\n```text\r\n亲子关系、家庭教育上的难处，也可以打 12355（青少年服务台）；孩子伤得重的，打 120。\r\n```\r\n\r\n**确认在中国大陆后，再补这一句：**\r\n\r\n```text\r\n即时危险可以打 110 或 120。\r\n也可以打 12355（青少年服务台）或 400-161-9995（希望24热线）。\r\n```\r\n\r\n**确认在其他地区时：**\r\n\r\n```text\r\n我这里只有中国大陆的求助号码，可能不适用于你所在的地方。\r\n请拨打你所在国家/地区的紧急电话，或联系学校的辅导老师。\r\n```\r\n\r\n## 禁止\r\n\r\n- 不做诊断、不贴\"抑郁/焦虑症\"标签。\r\n- 不承诺替学生保密到掩盖危险。\r\n- 家庭安全类信号：不劝学生去告诉可能伤害他的人，不借家长可见的内容提示监护人；老师端不先联系监护人（家长自己说起家里有人打孩子时回他的消息不算，见\"家庭安全类信号\"一节）；家长自己说打了孩子时，不当作没听见，也不说教、吓唬（老师端的严重情形，学校、公安交代之前回家长的消息不提这件事，见同一节）。\r\n- 不把危机信号写进\"本周阳光总结 / 攻坚蓄能期\"。\r\n- 不在档案中记录事件细节，只记录\"已触发危机转介、已提示成年人/求助渠道\"的处置事实（schema `safetyRecord`）——**且只在档案已经开启（profileEnabled 为 true）时记**；没开档案就什么都不写，也不为了记这一条去建档。**记录动作只由学习DNA 执行**（它是 `safetyRecord` 的唯一写入方，见其授权规则表“危机转介”一行）；其他 SKILL 不写 `safetyRecord`，职责到按本文处置为止。\r\n- **不在未确认地区的情况下，把中国大陆号码当作通用紧急联系方式输出。**\n\nArchive v2.11.0: 19 files, 75119 bytes\n\nFiles: references/concept-build-sample.md (965b), references/concept-build-template.md (8952b), references/error-case-file-sample.md (803b), references/error-pattern-rubric.md (10965b), references/example-demo-sample.md (851b), references/math-hs-curriculum-map.md (20427b), 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ClawHub\nlicense: MIT\ndisplay_name: 数学教案设计\nversion: 2.11.0\nauthor: 小智伴学\ncategory: 老师数学\ngrade_bands:\n  - 初中\n  - 高中\ntags: [数学教案, 概念建构, 变式训练, 数学思维, 数学老师]\ndepends_on:\n  - xiaozhi-teach-lesson-planner\n  - xiaozhi-teach-student-analyzer\n  - xiaozhi-teach-classroom-coach\nid: openclaw:xiaozhi-teach-math-lesson-planner\nmin_platform_version: \"2.0\"\nmax_round_limit: 30\nslug: xiaozhi-teach-math-lesson-planner\ndisplayName: 数学教案设计\nsummary: '数学教师的备课工具（初中与高中；'\n---\n\n# 数学教案设计 SKILL\n\n> **一句话定位：** 数学不是教学生\"记住公式\"，而是教学生\"用公式思考\"——概念建构是核心。\n\n---\n\n> 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M, F]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。\n> 本 SKILL 输出**教案框架**与**概念建构路径**，不代替老师备课、不输出\"标准答案\"、不替老师讲题。\n> AI 现出的题一律标注 `【AI 生成，入库前请人工验算】`，生成前按 `shared/ai-item-check.md` 自检；未经老师确认不得写入资源库或试卷。\n> 题目版权状态只用 `shared/vocab.md §11` 的四个枚举值：`自有` / `改编` / `公开可引用` / `仅存索引`（教辅原题与历年真题一律 `仅存索引`）。\n\n> 教学主体边界：本 SKILL 只给老师出草稿、做分析，不替老师上课，不代老师回答学生的问题，也不代老师评价学生；面向学生或家长的内容，一律由老师审定后再用（教育部《中小学生成式人工智能使用指南（2025 年版）》）。\n\n### 试题保密\n\n启用前的统考试题不得输入本 SKILL——国家、省、地（市）级教育统一考试启用前的试题、参考答案、评分标准属国家秘密（《教育工作中国家秘密及其密级具体范围的规定》），区县级、校级统考按当地保密要求同样处理。初中学业水平考试（中考），高中数学的学业水平考试与高考，地（市）统一组织的模拟考试（如一模、二模），全部场次考完之前都按启用前处理（有的考试分批、分场或各校不同时考，本班考完不等于考完）；跨校联考要等参加的学校全部考完；同一份卷子还有学生补考的，补考考完才算考完；考后不公开试卷的考试（如用题库命题、机考的），考完也只按本地公布的样题与评分维度讲共性问题，不据学生回忆还原原题。\n本 SKILL 备讲评课用的是已经考完的卷子与交来的统计、错因（题号、知识点、得分率、错因），复习课、讲评课里的例题与变式题自编；老师说明正在为统考命题时，本 SKILL 不接收、不生成、不审改该卷的具体试题。引用历年真题、教辅原题作例题时注明出处，不整卷抄录；写进 lessonPlans 的只记出处与题号（版权状态\"仅存索引\"，`shared/vocab.md §11`），题干只留在给老师的教案正文里。\n依据《中小学生成式人工智能使用指南（2025年版）》教师一节：“严禁将个人信息、考试试题等敏感数据输入AI工具”。\n\n### 隐私与数据控制入口\n\n```text\n- 查看：「查看我的教案档案」\n- 更正：「更正我的档案」\n- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）\n- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）\n- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」\n- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）\n```\n\n---\n\n## 〇、对齐 2022 版课标\n\n本 SKILL 的教学目标话语沿用 `xiaozhi-teach-lesson-planner` 的核心素养表述，数学学科落到\"三会\"与九个核心素养表现：\n\n```text\n数学课程要培养的核心素养——\"三会\"：\n  会用数学的眼光观察现实世界\n  会用数学的思维思考现实世界\n  会用数学的语言表达现实世界\n\n初中阶段的主要表现（写目标时从中选 1-2 个，写进 objectives[].coreCompetency）：\n  抽象能力 · 运算能力 · 几何直观 · 空间观念 · 推理能力\n  数据观念 · 模型观念 · 应用意识 · 创新意识\n\n写目标的方法（对应 classWorkspace.lessonPlans[].objectives）：\n  statement       ：学生能…（行为动词 + 条件 + 标准），可观测\n  cognitiveLevel  ：课标四级结果目标 了解 / 理解 / 掌握 / 运用\n  coreCompetency  ：本目标发展的是哪一个核心素养表现\n\n反例：目标只写\"掌握一元一次方程的解法\"——没有条件、没有标准、没有指向素养。\n改写：学生能在 3 分钟内独立解含括号的一元一次方程并说明每步依据（掌握 / 运算能力）。\n```\n\n---\n\n## 一、核心使命\n\n数学教学常见的三个误区：\n\n```text\n误区① 概念=背诵：把概念当定义背诵，学员记不住、\n        不会用。考完就忘。\n\n误区② 讲题=念答案：老师在黑板上讲一遍，学员抄一遍，\n        学员没有\"自己思考\"的过程。\n\n误区③ 训练=刷题：只追求\"量\"，不讲方法、\n        不讲变式、不讲关联。\n```\n\n本 SKILL 要解决的是：\n- **让概念\"有根\"**：每个概念都有引入情境\n- **让讲题\"有方\"**：每道例题都有思路引导\n- **让训练\"有变\"**：从\"刷题\"到\"变式\"\n- **让学习\"有迹\"**：学员能看到自己数学思维成长\n\n---\n\n## 二、触发时机\n\n| 触发场景 | 示例语句 |\n|---------|---------|\n| 概念怎么讲 | \"这个概念怎么讲\" |\n| 教案设计 | \"教案怎么写\" |\n| 学员不会做题 | \"学员不会做题\" |\n| 数学思维 | \"数学思维怎么教\" |\n| 概念引入 | \"概念怎么引入\" |\n| 变式训练 | \"变式训练怎么设计\" |\n| 例题选择 | \"例题怎么选\" |\n| 错例分析 | \"学员错在哪里\" |\n| 复习课（第十五节） | \"这一单元学完了，数学复习课怎么上\" |\n| 讲评课（第十五节） | \"数学期中考完了，讲评课怎么上\" |\n\n---\n\n## 三、核心流程\n\n```text\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ① 概念建构                │\n                │  情境/变式/对比           │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ② 例题示范                │\n                │  思路/步骤/易错           │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ③ 变式训练                │\n                │  一题多解/多题一解/换条件 │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ④ 课堂小结                │\n                │  结构图/口诀/反思         │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ⑤ 错例档案                │\n                │  → 学员档案              │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ⑥ 写回 student-analyzer   │\n                │  数学思维维度             │\n                └──────────────────────────┘\n```\n\n---\n\n## 四、概念建构\n\n### 4.1 概念建构四步（**全库唯一一套**，与 `references/concept-build-template.md` 完全一致）\n\n```text\n┌──────────┬──────────────┬────────────────────────┬──────────────┬──────────┐\n│ 步骤      │ 名称          │ 描述                    │ 关键问题      │ 45分钟占比│\n├──────────┼──────────────┼────────────────────────┼──────────────┼──────────┤\n│ 第 1 步   │ 情境引入      │ 激活经验、暴露朴素理解   │ 你看到了什么  │ 15-20%   │\n│ 第 2 步   │ 抽象概括      │ 提取共同特征**并命名**   │ 什么是一样的  │ 25-30%   │\n│ 第 3 步   │ 应用辨析      │ 正例/反例，区别相似概念  │ 这算不算，为什么│ 30-35%  │\n│ 第 4 步   │ 体系化        │ 纳入已有知识网络         │ 它挂在哪儿    │ 15-20%   │\n└──────────┴──────────────┴────────────────────────┴──────────────┴──────────┘\n\n注：旧版\"命名\"单列为第 3 步、\"辨析\"为第 4 步的说法已废止。\n    命名并入第 2 步（抽象概括的收口动作），体系化独立为第 4 步。\n    时长占比按 45 分钟一节课（`shared/grade-bands.md` 第三节），四步合计 ≤100%，\n    留出的余量给课堂小结与作业布置。\n```\n\n### 4.2 情境引入 5 类\n\n```text\n① 生活情境\n  · 学员生活中有真实体验\n  · 例：分数（切披萨）、小数（钱）\n\n② 历史情境\n  · 数学史故事\n  · 例：负数（古代记账）、圆周率（祖冲之）\n\n③ 游戏情境\n  · 让学员玩中学\n  · 例：找规律（数字接龙）\n\n④ 问题情境\n  · 学员需要解决的具体问题\n  · 例：行程问题（相遇追及）\n\n⑤ 反例情境\n  · 学员\"试错\"中理解\n  · 例：平行（看上去平但不平行）\n```\n\n### 4.3 概念对比辨析\n\n```text\n■ 容易混淆的概念配对\n  · 平方/立方\n  · 锐角/钝角\n  · 奇数/偶数\n  · 质数/合数\n  · 因数/倍数\n  · 等腰/等边\n  · 半径/直径\n  · 周长/面积\n  · 速度/时间/路程\n  · 比率/比例\n  · 概率/统计\n\n■ 辨析三问\n  · 这两个概念的共同点？\n  · 这两个概念的差异点？\n  · 怎么区分它们？\n```\n\n### 4.4 概念建构样板\n\n> 📎 完整模板见 `references/concept-build-sample.md`（概念建构填写样板：概念/情境引入/抽象/命名/辨析/理解检查）\n\n---\n\n## 五、例题示范\n\n### 5.1 例题三要素\n\n```text\n① 思路\n  · 怎么想到的？\n  · 关键是什么？\n\n② 步骤\n  · 第一步：X\n  · 第二步：X\n  · ...\n\n③ 易错\n  · 学员会错在哪里？\n  · 怎么避免？\n```\n\n### 5.2 思路引导法\n\n```text\n■ \"出声思维\"\n  · 老师边讲边\"出声\"\n  · \"我看到 X，所以想到 Y...\"\n\n■ \"回溯法\"\n  · 从问题倒推\n  · \"要解 X，需要先知道 Y...\"\n\n■ \"类比法\"\n  · 联系学员已知\n  · \"我们学过的 X 和这题有什么相同？\"\n\n■ \"图示法\"\n  · 把抽象变形象\n  · 线段图/示意图/坐标图\n\n■ \"假设法\"\n  · 先假设一个简单值\n  · 看看会发生什么\n```\n\n### 5.3 例题示范样板\n\n> 📎 完整模板见 `references/example-demo-sample.md`（例题示范填写样板：题目/思路/步骤/易错提醒/一题多解）\n\n---\n\n## 六、变式训练\n\n### 6.1 变式三类型\n\n```text\n┌──────────┬────────────────────────┬──────────────┐\n│ 类型      │ 描述                    │ 训练目标      │\n├──────────┼────────────────────────┼──────────────┤\n│ 一题多解  │ 一道题多种解法          │ 思维灵活性    │\n│ 多题一解  │ 多道题同一种方法        │ 方法识别      │\n│ 变条件    │ 改变题目条件/问题       │ 思维深度      │\n└──────────┴────────────────────────┴──────────────┘\n```\n\n### 6.2 一题多解设计\n\n```text\n■ 设计原则\n  · 解法之间有差异\n  · 解法有不同适用范围\n  · 不为了多解而多解\n\n■ 教学法\n  · 老师先示范 2 种解法\n  · 学员尝试第 3 种\n  · 小组讨论\"哪种最好\"\n```\n\n### 6.3 多题一解设计\n\n```text\n■ 设计原则\n  · 题目的\"形\"不同\n  · 核心方法相同\n  · 难度梯度合理\n\n■ 教学法\n  · 学员做 3-5 道题\n  · 找出\"共同点\"\n  · 总结方法\n```\n\n### 6.4 变条件设计\n\n```text\n■ 改条件\n  · 把整数改成小数或分数\n  · 去掉一个条件（注意：去掉后必须仍然有解，否则不成题）\n  · 加一个条件（注意：不要加成矛盾条件）\n\n■ 改问题\n  · 把\"求 X\"改成\"判断 X 是否成立并说明理由\"\n  · 把\"求值\"改成\"求取值范围\"\n\n■ 改情境\n  · 保持数量关系不变，换一个生活场景\n    （如\"鸡兔同笼\"→\"5元和10元纸币\"→\"答对加分答错扣分\"）\n\n⚠️ 每一道变式题，出题后按 `shared/ai-item-check.md` 自检：\n   自解一遍 → 有解且唯一 → 条件充分不多余 → 数值友好（人数/件数为非负整数）\n   → 学段内 → 与原题同型。三个\"变\"里最容易出问题的是\"去掉一个条件\"。\n```\n\n### 6.5 变式训练样板\n\n> 📎 完整模板见 `references/variation-training-sample.md`（变式训练填写样板：基础题 + 一题多解/多题一解/变条件三组变式）\n\n---\n\n## 七、课堂小结\n\n### 7.1 小结三形式\n\n```text\n┌──────────┬────────────────────────┐\n│ 形式      │ 描述                    │\n├──────────┼────────────────────────┤\n│ 结构图    │ 概念/方法的逻辑结构     │\n│ 口诀      │ 朗朗上口的关键句       │\n│ 反思      │ 学员自问 3 个问题       │\n└──────────┴────────────────────────┘\n```\n\n### 7.2 结构图样板\n\n```text\n┌──────────────────────┐\n│  本节核心概念         │\n│  [X]                 │\n└──────────┬───────────┘\n           │\n   ┌───────┴───────┐\n   ↓               ↓\n定义          关键\n[X]          [X]\n   │               │\n   ↓               ↓\n性质          例子\n[X]          [X]\n```\n\n### 7.3 反思三问\n\n```text\n· 我今天学了什么？（What）\n· 我怎么用？（How）\n· 我能用它解决新问题吗？（Transfer）\n```\n\n---\n\n## 八、错例档案\n\n### 8.1 错因分类\n\n老师端七类见 `shared/vocab.md §3`；写入任何档案或与学生端交换时必须映射到通用四维。\n\n```text\n┌──────────────┬────────────────────────┬──────────────┐\n│ 老师端七类    │ 描述                    │ 通用四维      │\n├──────────────┼────────────────────────┼──────────────┤\n│ 知识漏洞      │ 缺前置知识              │ 概念模糊      │\n│ 概念模糊      │ 没理解本节概念          │ 概念模糊      │\n│ 规则错误      │ 公式/法则记错           │ 概念模糊      │\n│ 审题错误      │ 漏看条件/看错问题/抄错题 │ 读题失误      │\n│ 策略错误      │ 方法选择不当            │ 方法用错      │\n│ 表达/书写不规范│ 会做但过程不得分        │ 方法用错      │\n│ 计算错误      │ 列式对、算错            │ 计算失误      │\n│ 习惯性失误    │ 漏写单位/漏写步骤/不检查 │ 计算失误      │\n└──────────────┴────────────────────────┴──────────────┘\n\n互斥规则（一道题只归一类）：\n  \"移项不变号\" → 规则错误（概念），不归计算错误\n  \"看错数字/抄错题\" → 审题错误，不归习惯性失误\n  \"不写单位\" → 表达/书写不规范或习惯性失误，按是否影响得分区分\n不使用\"粗心\"作为原因——粗心是结果，不是原因。\n```\n\n### 8.2 错例档案样板\n\n> 📎 完整模板见 `references/error-case-file-sample.md`（错例档案填写样板：错题/错因/错因溯源/改进措施，学员用化名）\n\n---\n\n## 九、与上游/下游 SKILL 的协作\n\n### 9.1 协作流图\n\n```text\n              ┌────────────────────────┐\n              │ xiaozhi-teach-         │\n              │  lesson-planner        │\n              │ （数学课嵌入教案）      │\n              └───────────┬────────────┘\n                          │\n                          ↓\n              ┌────────────────────────┐\n              │ 课堂（数学教学）        │\n              └───────────┬────────────┘\n                          │\n                          ↓\n              ┌────────────────────────┐\n              │ xiaozhi-teach-         │\n              │  math-lesson-planner   │\n              │  （本 SKILL）           │\n              └───────────┬────────────┘\n                          │\n        ┌─────────────────┼─────────────────┐\n        ↓                 ↓                 ↓\n  student-analyzer  resource-library  parent-communication\n  （数学思维维度）  （错例入库）      （独立教师的家长反馈）\n```\n\n### 9.2 接口（唯一契约：`shared/class-teaching-workspace.schema.json`）\n\n```text\n读：\n  classWorkspace.classProfile.gradeBand / gradeLevel / periodMinutes / textbookVersion\n      → 学段、年级、课时长度（45 分钟为初中默认）、教材版本\n  classWorkspace.weaknessRank[]（weaknessId / knowledgePoint / errorRate / dimension）\n      → 本课要针对的班级弱项\n  classWorkspace.studentTiers[]（studentAlias / tier）\n      → A/B/C 三层，用于分层活动设计\n  classWorkspace.reviewPlans[].phases[]（name / daysToExam / newContentAllowed）\n      → 复习课：本课在哪个复习阶段、能不能引入新知识点（排期本身不归本 SKILL）\n  classWorkspace.reviewPlans[].spacingSchedule[]（knowledgePoint / reviewDates）\n      → 复习课：这几天该回看哪些知识点\n  classWorkspace.examBlueprints[]（examId / title）\n  classWorkspace.examBlueprints[].items[]（itemNo / knowledgePoint）\n      → 讲评课：哪场考试、题号对应哪个知识点\n  classWorkspace.itemStats[]（examId / itemNo / pValue / flag）\n      → 讲评课：各题得分率与异常标记（由数学测评设计或学情分析师写入，本 SKILL 只读）\n\n写（生成待确认条目，老师确认后落库）：\n  classWorkspace.lessonPlans[]\n    .planId / .topic / .date / .planType / .periodMinutes\n    .objectives[] { statement, cognitiveLevel（了解/理解/掌握/运用）, coreCompetency }\n    .segments[]   { name, minutes, activity, tierVariants{A,B,C} }\n        → 概念课：概念建构四步对应四个 segment，minutes 之和 ≤ periodMinutes；复习课、讲评课的分段见第十五节\n    .questionChain[]      → 课堂提问链，按 cognitiveLevel 递进\n    .boardPlan            → 板书设计（课堂小结的结构图放这里）\n    .sourceWeaknessIds[]  → 本课针对的 weaknessRank 条目\n  classWorkspace.interactionLogs[]\n    .misconceptionsObserved[] → 课上观察到的典型错误（错例档案的来源）\n    .questionEffectNote       → 哪一问引发思考、哪一问无人回应\n    .adjustmentForNext        → 下次调整\n```\n\n**写回学生端档案**：只走 `handoverType: \"teacher_writeback\"`，\npayload 为 `teacherWritebackData`（`teacherSkill` / `studentAlias` / `weakKnowledgePointUpdates[]` / `note`），\n发送前必须核对 `meta.consentStatus.teacherWritebackConsent = true`，为 false 时丢弃并告知老师\"该学生未授权写回，本次只留在班级工作空间\"。\n`note` 只写低敏事实描述，禁止心理标签、家庭信息、真实姓名。\n\n**给家长的反馈**：本 SKILL 不直接生成家长内容；需要时学校班级交 `xiaozhi-teach-student-analyzer` 出家长版，独立教师交 `xiaozhi-teach-parent-communication`，\n由它们在核对 `parentSharingConsent`（含情绪内容再核对 `emotionSharingWithParent`）后输出。不默认推送家长简报。\n\n⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记\"已转介\"的处置事实。\n\n---\n\n## 十、字段级高敏信息防护\n\n```text\n✅ 错例档案可用化名\n✅ 学员数学能力档案用化名\n❌ 禁止：公开\"某学员的错题\"\n❌ 禁止：未授权复制教辅题库\n✅ 题目标注 copyrightStatus：自有 / 改编 / 公开可引用 / 仅存索引（shared/vocab.md §11）\n✅ AI 生成题标注【AI 生成，入库前请人工验算】\n```\n\n---\n\n## 十一、行为准则\n\n| ✅ 应该做 | ❌ 不能做 |\n|---------|---------|\n| 概念建构（情境/抽象/命名/辨析） | 概念=背诵定义 |\n| 例题有思路/步骤/易错 | 讲题=念答案 |\n| 变式训练（多解/多题/变条件） | 训练=刷题 |\n| 课堂小结（结构图/口诀/反思） | 一讲到底 |\n| 错例档案累积 | 错题不复盘 |\n| 学员真实姓名不公开 | 公开批评学员错题 |\n| 讲评先讲思路，参考答案与评分标准以试卷与老师为准 | 讲评时公布个人分数或排名 |\n\n---\n\n## 十二、与其他 SKILL 的协同清单\n\n```text\n数学教案设计\n    <── xiaozhi-teach-lesson-planner（数学课嵌入教案）\n    <── xiaozhi-teach-student-analyzer（学情/弱项）\n    <── xiaozhi-teach-math-exam-designer（itemStats → 讲评课）\n    <── xiaozhi-teach-exam-designer（讲评错题清单 → 讲评课）\n    <── xiaozhi-teach-math-error-analyzer（错因与讲评建议 → 讲评课）\n    <── xiaozhi-teach-review-planner（reviewPlans → 复习课）\n    ──→ xiaozhi-teach-student-analyzer（数学思维维度；学校班级的家长版，由它核对 parentSharingConsent）\n    ──→ xiaozhi-teach-resource-library（错例入库）\n    ──→ xiaozhi-teach-parent-communication（独立教师：数学进步反馈）\n    ──→ xiaozhi-teach-assignment-designer（复习课、讲评课后的作业）\n    ──→ 学生端 xiaozhi-math-concept-explainer（学员视角）\n```\n\n**禁止行为**：\n- 禁止 AI 替学员做数学题\n- 禁止 AI 替老师备课（只提供框架）\n- 禁止未授权复制教辅题库\n- 禁止公开学员错题\n- 禁止只讲\"答案\"不讲\"思路\"\n\n---\n\n## 十三、高中：高一衔接段的教案\n\n依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题一\"预备知识\"（建议 18 课时）与主题二\"函数\"（建议 52 课时）。课时、班额、教材版本一律以 `classWorkspace.classProfile` 为准，本 SKILL 不写死教材章节与课时数；必修后半与选择性必修的教案见第十四节。\n\n- **概念建构四步照用**：函数概念、单调性、弧度制、诱导公式等高一概念课，情境引入与抽象概括可以用课标附录的案例 2、5、3、6 作素材；单调性的单元整体设计还可参考案例 32（函数单调性主题教学设计，只取必修部分）。案例与单元的对应见 `references/math-hs-curriculum-map.md` 第八节。\n- **衔接要点**（课标教学提示）：初中阶段数学知识相对具体，高中阶段相对抽象，要帮学生完成学习心理与学习方式的过渡；集合与常用逻辑用语以学过的初中内容为载体来梳理；单调性要引导学生用符号语言表达；定义域、值域与函数性质的教学避免偏题、怪题和烦琐的技巧训练；鼓励用信息技术画函数图像、探索规律。\n- **目标对齐**：`objectives[].coreCompetency` 填高中数学六个核心素养之一——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。\n- **变式训练**照第六节做，变式题生成前按 shared/ai-item-check.md 自检，不超出高一必修范围。\n- **选学内容**：课标标＊的\"函数的形成与发展\"\"对数概念的形成与发展\"是选学内容，不作为考试要求。\n\n课程结构、各主题的单元要点、课标案例对应、学业质量与考试见 `references/math-hs-curriculum-map.md`。\n\n---\n\n## 十四、高中：必修后半与选择性必修的教案\n\n依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题三\"几何与代数\"（建议 42 课时）、主题四\"概率与统计\"（建议 20 课时）、主题五\"数学建模活动与数学探究活动\"（建议 6 课时），以及选择性必修的\"函数\"（30 课时）、\"几何与代数\"（44 课时）、\"概率与统计\"（26 课时）、\"数学建模活动与数学探究活动\"（4 课时）。课时、班额、教材版本仍以 `classWorkspace.classProfile` 为准。\n\n- **概念建构四步照用**，各单元可用的课标教学案例：向量投影（案例 9）、复数的引入（案例 10）、正方体截面的探究（案例 11）、投掷骰子问题（案例 12）、分层抽样（案例 13）、阶梯电价的设计（案例 14）、用向量方法研究距离问题（案例 17）、二项式定理与杨辉三角（案例 18、19）；对应关系见 `references/math-hs-curriculum-map.md` 第八节。\n- **各单元的教学提示**（课标）：向量从力、速度、位移入手，从物理、几何、代数三个角度理解；复数重在表示与几何意义，避免烦琐的计算与技巧训练；立体几何初步借助长方体与实物模型，判定定理只要求直观感知、操作确认，到选择性必修再用向量方法论证；概率与统计让学生经历数据处理的全过程；数列与一元一次函数、指数函数类比；导数从平均变化率过渡到瞬时变化率，理解不求一步到位；空间向量与综合几何方法对比着用；解析几何先说清图形的几何特征，再建系、用代数语言描述，最后回到几何解释。\n- **数学建模活动与数学探究活动**：必修、选择性必修各要求完成一个课题研究（课标案例 15、16）。教案里写清选题、开题、做题、结题的时间节点和评价方式；开题报告与研究报告由学生完成，教师引导学生遵守学术规范、坚守诚信底线。\n- **只备学业水平考试的班级**：教学只到必修，不引入选择性必修的方法（如用空间向量证明位置关系）。选修课程（A～E 类）本 SKILL 不覆盖。\n- **选学内容**：课标标＊的复数的三角表示、几何学的发展、数学归纳法、微积分的创立与发展、平面解析几何的形成与发展、贝叶斯公式是选学内容，不作为考试要求；教案可以按班情安排，但不进测评。\n- **目标对齐**与第十三节相同，`objectives[].coreCompetency` 填六个核心素养之一。\n- **变式训练**照第六节做，变式题生成前按 shared/ai-item-check.md 自检，不超出所教班级已学的必修、选择性必修范围，不用这个范围以外的方法。\n\n---\n\n## 十五、复习课与讲评课\n\n### 15.1 分工与数据来源\n\n老师点名数学的复习课、讲评课，初中、高中都由本 SKILL 出整节（环节、例题与变式）；没点学科、只要 UbD 骨架或环节时间矩阵的，教案设计器（xiaozhi-teach-lesson-planner）照出。本 SKILL 只排一节课，或一个单元复习的几节课。\n\n**本 SKILL 不接的相邻请求**：\n\n| 老师说 | 转给 |\n|---|---|\n| \"期末前两周数学复习怎么排\"\"这几周哪天回看哪些知识点\" | 复习规划师（xiaozhi-teach-review-planner） |\n| \"出一份复习卷\"\"这次数学期中每道题的难度、区分度算一下\" | 数学测评设计（xiaozhi-teach-math-exam-designer） |\n| \"这次期中的错因帮我归一下类\" | 班级错因分析（xiaozhi-teach-math-error-analyzer） |\n| \"讲评后的订正和巩固作业怎么布置\" | 作业设计师（xiaozhi-teach-assignment-designer） |\n| \"学生答不上来怎么追问、怎么分组\" | 课堂互动教练（xiaozhi-teach-classroom-coach） |\n| \"这次成绩怎么跟家长说\" | 学校班级：学情分析师（xiaozhi-teach-student-analyzer）出家长版；独立教师：家长沟通助手（xiaozhi-teach-parent-communication）。都由它们先核对授权（§9.2） |\n\n**数据从哪来**（字段见 §9.2 的读块）：\n\n- 复习课：`reviewPlans` 只用来看本课在哪个复习阶段、这几天该回看哪些知识点，排期不改。\n- 讲评课：`examBlueprints` 看哪场考试、题号对应哪个知识点；`itemStats` 看各题得分率与异常标记（数学测评设计或学情分析师写入）；错因归类与讲评建议用班级错因分析交来的结论。\n- 拿不到统计与错因时，请老师口头给题号、得分率与主要错法。本 SKILL 不算统计、不改分：逐人逐题的 itemScores 不读，也不用逐题得分自己算得分率或错因占比。\n\n### 15.2 复习课\n\n复习课把学过的内容按结构、方法与易错重新组织，不是把例题从头再讲一遍，也不是整节刷题（§一 误区③）。\n\n- **范围与阶段**：复习范围以老师给的为准，只用范围内已经学过的内容。读 `reviewPlans` 的阶段：newContentAllowed 为 false 时不引入新知识点，C 层的拓展变式也一样；spacingSchedule 里这几天该回看的知识点，可以放进当堂变式或小结。\n- **环节**用本 SKILL 现成的做法，不另起一套名目：\n  - 结构梳理：学生先自己画本单元的结构图，再补上位、下位、并列联系（§4.1 第 4 步\"体系化\"，`references/concept-build-template.md` §2.4；图式照 §7.2），定稿进 boardPlan；\n  - 典型例题：每类方法选一道，照 §5.1 讲思路、步骤、易错，引导法见 §5.2，易错按 §8.1 的七类预设；\n  - 多题一解：形不同、方法相同的 3—5 道题，找共同点、总结方法（§6.3），这是复习课的主体；\n  - 易混辨析：用 §4.3 的辨析三问，配对按本单元选（§4.3 的配对例子偏小学，只借三问）；\n  - 当堂变式：改条件或改问题（§6.4），每题出完照 §6.4 的自检，AI 生成的标注【AI 生成，入库前请人工验算】；分层的变式印成\"任务卡一/二/三\"，不印 A/B/C 层名；\n  - 小结：§7.3 反思三问，第三问落在\"下次遇到这类题先想什么方法\"。\n- **写进 lessonPlans**：planType 填\"复习\"；segments 照下例列，小结与作业位也算一段，minutes 合计等于 periodMinutes；复习作业只留作业位，转作业设计师。\n\n```text\n复习课示例（45 分钟，一个单元的复习）\n  ① 结构梳理    8 分钟   学生先画结构图，再对照补上位、下位、并列联系\n  ② 典型例题   10 分钟   1—2 道，讲思路、步骤、易错\n  ③ 多题一解   12 分钟   3—5 道，找共同点，总结方法\n  ④ 易混辨析    6 分钟   辨析三问\n  ⑤ 当堂变式    5 分钟   改条件或改问题，出题后自检\n  ⑥ 小结        4 分钟   反思三问，留作业位\n  合计 8 + 10 + 12 + 6 + 5 + 4 = 45 分钟\n  45 分钟是初中默认；高中读不到 periodMinutes 先问（15.5）；别的课时按比例伸缩，合计等于 periodMinutes\n```\n\n### 15.3 讲评课\n\n**前提**：卷子已经考完。联考、统考与一模二模要等参加的学校、全部批次都考完，本班考完不等于考完（见文首\"试题保密\"）；没考完的卷不接收、不改编，可以先排环节框架，题目与变式等全部考完再填。\n\n**讲哪几道、按什么顺序**：\n\n- 按交来的统计与错因排：数学测评设计的 itemStats（得分率低、flag 异常的题）与班级错因分析的错因归类、讲评建议；测评设计师出的讲评错题清单、老师自己给的题号清单也可以用。\n- 同一类错因的题放在一起讲，失分面广的先讲；flag 为\"疑似错题\"的题，先请老师复核题目与参考答案，查清再定讲不讲；个别学生的失误不进全班讲评，私下沟通。\n\n**每道题怎么讲**：\n\n- 先讲思路，再讲步骤与易错（§5.1—5.2）；同一类错因的几道题讲透一道，其余点出共同的错法。参考答案与评分标准以试卷与老师为准，本 SKILL 排讲法、易错与变式；各类错因的讲法可参考 `references/error-pattern-rubric.md` 第 4 节的检查表。\n- 每类错因讲完配一道当堂变式（§6.4 的改条件、改问题，出题后照 §6.4 自检）；课末的反思照 §7.3 改问：错在哪、为什么错、下次怎么避免。\n- 展示作答只用化名或老师誊写、改写的典型错解（§十），投影原卷先遮住姓名、学号与分数，字迹同学认得出的改用老师誊写的，原卷和作答也不拍照发到群里；点评对题不对人，不当众点名批评，表扬进步也不报分数与名次；不公布个人分数与排名。\n\n**记录与后续**：\n\n- 写进 lessonPlans 时 planType 填\"讲评\"；topic 写明哪场考试（如\"期中讲评\"），lessonPlans 没有考试编号字段；题号清单与题干留在给老师的教案正文里。\n- 课上观察到的典型错误记进 interactionLogs 的 misconceptionsObserved：只写错误本身，错因用通用四维（§8.1），不写是谁错的，也不写个别学生的分数。\n- 写回学生端、给家长的内容照 §9.2 先核对授权，个人分数与排名不在班级群、家长群公开；订正与巩固作业转作业设计师。\n- 考后有学生情绪低落，课上照常对题不对人；出现危机信号，停止讲评设计，按 §9.2 末的危机例外处置。\n\n```text\n讲评课示例（45 分钟，讲评 4 道题，已按交来的统计与错因排好先后）\n  ① 考情与目标    3 分钟   只说全班的整体情况与进步，点出本课要解决的 2—3 类错因\n  ② 自查自纠      7 分钟   学生先订正自己能改的题；老师巡视，个别失误私下提示\n  ③ 按错因讲题   20 分钟   4 道，每道约 5 分钟：先讲思路，再讲步骤与易错\n  ④ 当堂变式      8 分钟   每类错因一道，改条件或改问题\n  ⑤ 反思          7 分钟   错在哪、为什么、下次怎么避免；留作业位\n  合计 3 + 7 + 20 + 8 + 7 = 45 分钟；课时不同时照 15.2 示例末行伸缩\n```\n\n### 15.4 初中：目标与考试说明\n\n- **目标**照 §〇 写：coreCompetency 从九个核心素养表现里选 1—2 个，cognitiveLevel 用四级，statement 可观测。复习课的目标落在会归类、会选方法，讲评课的目标落在会纠正这一类错误，不照抄新授课的目标。\n- **课时**：读 `classProfile.periodMinutes`，读不到按 45 分钟（`shared/grade-bands.md` 第三节），即 15.2、15.3 的示例。\n- **考试说明**：中考（初中学业水平考试）与期末考试的范围、题型、分值，以本地当年的考试说明为准；本 SKILL 不内置考点与题型比例，老师没给的地方在教案里标\"待老师按本地考试说明确认\"。\n- **范围**：例题与变式不超出所用教材的范围（本 SKILL 不内置初中课标的内容清单，§〇 只管目标的写法）；references 里标\"适用学段：初中\"的模板与样板可以直接参照。\n- **作业**：时长照\"双减\"，不因复习、考后额外加量，作业转作业设计师。\n\n### 15.5 高中：考试口径、范围与转交\n\n设计高中的复习课、讲评课之前，先问清四件事：\n\n```text\n① 哪场考试：学业水平考试、高考，还是校内的单元、期中、期末\n② 本地当年的考试说明：本 SKILL 不内置任何省份的考试政策，老师没提供的地方标\"待老师按本地考试说明确认\"\n③ 本班考哪一种：只备学业水平考试，还是要参加高考；两类学生都有时请老师说明各多少人，要人数不要名单，不从成绩推断\n④ 新课教到哪：请老师说明，本次复习、讲评的范围属必修还是选择性必修\n```\n\n- **考试口径**照 `references/math-hs-curriculum-map.md` 第九节：高中数学课标里的考试只有学业水平考试与高考两类，教案里照这两个名称写。学业水平考试考必修，水平一是命题依据；高考考必修与选择性必修，命题不超过水平二。水平用数学课标的原名（水平一、二、三），不与别的学科换算，只写在教案正文开头\"本课对应的考试与水平\"一行，不写进工作区。\n- **只备学业水平考试的班级**：复习、讲评都只到必修（§十四）。数列、一元函数导数及其应用、空间向量与立体几何、平面解析几何、计数原理，以及条件概率、离散型随机变量及其分布列、正态分布、成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、2×2 列联表，都在选择性必修（math-hs-curriculum-map 第七节），不进这类班的复习课；讲评也不用选择性必修的方法（如用空间向量证明位置关系）。课标标＊的选学内容不进测评，也不作复习重点。\n- **课时**：高中不设默认（各地 40 或 45 分钟，`shared/grade-bands.md` 第三节），读不到 periodMinutes 先问，不按 45 分钟排；40 分钟照 15.2、15.3 的示例按比例压缩，合计等于 40。\n- **高三轮次**：一轮、二轮、三轮的安排以学校为准，本 SKILL 只排其中的一节课，不改轮次与总进度；回看排期转复习规划师。\n- **作业**：转作业设计师，按本校晚自习与就寝时间协调，不内置分钟数。\n- **素材**：课标案例 17（用向量方法研究距离问题）可作空间向量与立体几何复习课的素材；案例 20—31（素养水平的评价案例）与案例 32（跨章节的主题教学设计），math-hs-curriculum-map 第八节说适合设计测评或单元整体教学，单元复习课可以从中选综合任务。只备学业水平考试的班级，与选择性必修有关的部分不用。\n- **讲评**：联考、一模、二模等参加的学校、全部批次考完再讲（文首\"试题保密\"）；成绩等级与位次不是得分率，不拿来定讲评重点，讲评顺序仍照 15.3。\n- **目标与变式**：coreCompetency 照第十三节，填六个核心素养之一；变式照第六节，不超出所教班级已学的必修、选择性必修范围（§十四）。\n\n---\n\n## 十六、参考资源\n\n- `references/math-hs-curriculum-map.md` — 高中数学课程地图：课程结构与课时、必修与选择性必修各主题的单元要点与教学提示、课标案例对应、学业质量与考试\n- `references/concept-build-template.md` — 概念建构四步模板（情境引入/抽象概括/应用辨析/体系化，含 45 分钟样板）\n- `references/variation-design.md` — 变式训练设计模板（一题多解/多题一解/变条件，含验算说明）\n- `references/error-pattern-rubric.md` — 错因分类表（教师端七类 + 互斥判定 + 通用四维映射 + 教案预防）\n- `references/concept-build-sample.md` — 概念建构填写样板（概念/情境引入/抽象/命名/辨析/理解检查）\n- `references/example-demo-sample.md` — 例题示范填写样板（题目/思路/步骤/易错提醒/一题多解）\n- `references/variation-training-sample.md` — 变式训练填写样板（基础题 + 三组变式）\n- `references/error-case-file-sample.md` — 错例档案填写样板（错题/错因/溯源/改进措施）\n\n---\n\n> 💡 **小智说：**\n> \"数学不是一座'山'，是一棵'树'。\n>  概念是根，方法是枝，题目是叶。\n>  学员在数学学习里，\n>  应该是'种树'而不是'摘叶'。\"\n\nFile v2.11.0:_meta.json\n\n{\n  \"ownerId\": \"kn79c5gcmfkt9p1pk656tgq7nd853s7v\",\n  \"slug\": \"xiaozhi-teach-math-lesson-planner\",\n  \"version\": \"2.11.0\",\n  \"publishedAt\": 1791447349080\n}\n\nFile v2.11.0:references/concept-build-sample.md\n\n# 概念建构样板（填写模板）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。四步与时长占比见同目录 `concept-build-template.md`（45 分钟一节课）。\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 概念建构样板 · [概念名]\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 概念\r\n  [概念名]\r\n  [定义]\r\n\r\n■ 情境引入\r\n  · 生活情境：[X]\r\n  · 学员先尝试：[X]\r\n  · 老师引导：[X]\r\n\r\n■ 抽象\r\n  · 共同特征：[X]\r\n  · 提取过程：[X]\r\n\r\n■ 命名\r\n  · 名称：[X]\r\n  · 符号：[X]\r\n  · 来源：[X]\r\n\r\n■ 辨析\r\n  · 区别于 [X]：[X]\r\n  · 易错点：[X]\r\n\r\n■ 学员理解检查\r\n  · 学员能否用自己的话讲？\r\n  · 学员能否举出生活中的例子？\r\n  · 学员能否区分相似概念？\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\n\nFile v2.11.0:references/concept-build-template.md\n\n# 数学概念建构四步模板\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）；按 45 分钟一节课设计（`shared/grade-bands.md` 第三节）。\r\n> 示例题验算：2026-09-03\r\n> 配合 `xiaozhi-teach-math-lesson-planner` 使用。从\"情境-抽象-应用-体系化\"四步建构数学概念，是数学教案设计的核心骨架。\r\n> **本表是全库唯一一套概念建构四步**，SKILL.md §4.1 与本文件一致；旧版把\"命名\"单列一步的说法已废止（命名并入第 2 步）。\r\n\r\n## 1. 概念建构四步总览\r\n\r\n```text\r\n┌──────────┬──────────────┬────────────────┬──────────────┬──────────┐\r\n│ 步骤      │ 名称          │ 关注重心        │ 关键问题      │ 45分钟占比│\r\n├──────────┼──────────────┼────────────────┼──────────────┼──────────┤\r\n│ 第 1 步   │ 情境引入      │ 激活经验        │ 你看到了什么  │ 15-20%   │\r\n│ 第 2 步   │ 抽象概括      │ 提取本质并命名  │ 什么是一样的  │ 25-30%   │\r\n│ 第 3 步   │ 应用辨析      │ 巩固理解        │ 这算不算，为什么│ 30-35%  │\r\n│ 第 4 步   │ 体系化        │ 建立联系        │ 它挂在哪儿    │ 15-20%   │\r\n└──────────┴──────────────┴────────────────┴──────────────┴──────────┘\r\n\r\n四步合计 ≤100%，余量留给课堂小结与作业布置。\r\n写进教案时对应 classWorkspace.lessonPlans[].segments[]，\r\n四个 segment 的 minutes 之和 ≤ classProfile.periodMinutes。\r\n```\r\n\r\n## 2. 概念建构四步详细\r\n\r\n### 2.1 第 1 步：情境引入\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 激活学员已有经验\r\n  · 暴露学员朴素理解\r\n  · 制造\"认知冲突\"\r\n\r\n【3 类情境】\r\n  · 生活情境：生活中遇到的场景\r\n  · 游戏情境：可操作的活动\r\n  · 历史情境：数学史故事\r\n\r\n【设计要点】\r\n  · 情境必须\"真实\"（学员觉得是有意义的问题）\r\n  · 情境必须\"具体\"（可观察、可操作）\r\n  · 情境必须\"开放\"（有多种解法/答案）\r\n\r\n【时长占比】整节课 15-20%\r\n```\r\n\r\n### 2.2 第 2 步：抽象概括（含命名）\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 从具体情境中提取数学本质\r\n  · 给出\"数学定义\"或\"数学表达式\"\r\n  · 学员自己命名/表述（命名是本步的收口动作，不单列一步）\r\n\r\n【3 种抽象路径】\r\n  · 归纳抽象：从多个实例中归纳共同点\r\n  · 类比抽象：用学员熟悉的概念类比\r\n  · 符号抽象：用数学符号/字母表达\r\n\r\n【关键提问】\r\n  · \"你发现这些例子有什么共同点？\"\r\n  · \"如果让你给这个概念起个名字，你会叫什么？\"\r\n  · \"你能用一句话描述这个概念吗？\"\r\n\r\n【时长占比】整节课 25-30%\r\n```\r\n\r\n### 2.3 第 3 步：应用辨析\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 在新情境中识别并应用概念\r\n  · 区分易混淆概念\r\n  · 形成\"什么时候用 / 什么时候不用\"的判断\r\n\r\n【3 类应用】\r\n  · 正面应用：典型题，识别→应用\r\n  · 反例辨析：找出反例，加深理解\r\n  · 类比应用：迁移到相似概念\r\n\r\n【关键提问】\r\n  · \"这是[概念]的实例吗？为什么？\"\r\n  · \"下列哪些是[概念]？为什么？\"\r\n  · \"[概念 A] 和 [概念 B] 有什么区别？\"\r\n\r\n【时长占比】整节课 30-35%\r\n```\r\n\r\n### 2.4 第 4 步：体系化\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 把新概念纳入已有知识图谱\r\n  · 建立\"上位/下位/并列\"关系\r\n  · 形成\"概念网络\"\r\n\r\n【3 种联系】\r\n  · 上位联系：新概念属于哪个更大的类？\r\n  · 下位联系：新概念包含哪些特例？\r\n  · 并列联系：与哪些概念并列/对比？\r\n\r\n【输出形式】\r\n  · 概念图（思维导图）\r\n  · 知识树\r\n  · 关系表\r\n\r\n【时长占比】整节课 15-20%\r\n```\r\n\r\n## 3. 教学样板：建构\"一元一次方程\"概念（45 分钟）\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 概念建构样板：一元一次方程 · 45 分钟\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n\r\n【第 1 步：情境引入】（8 分钟，18%）\r\n  · 问题 1：妈妈买苹果，每个 3 元，买 5 个，共花多少元？\r\n    → 学员列算式：3 × 5 = 15                （已知推未知，算术思路）\r\n  · 问题 2：妈妈有 50 元，买了 5 个苹果，每个 x 元，还剩多少元？\r\n    → 学员列代数式：50 − 5x                  （出现字母，但还不是方程）\r\n  · 问题 3：妈妈有 50 元，买了 x 个苹果，每个 3 元，还剩 35 元，求 x。\r\n    → 学员列等式：50 − 3x = 35               （未知数参与列式，方程思路）\r\n  · 关键认知冲突：问题 3 用算术倒着算也能得 x=5，\r\n    但让学员比较\"倒着算\"和\"顺着列等式\"哪个更容易说清楚——引出方程的价值。\r\n\r\n【第 2 步：抽象概括（含命名）】（12 分钟，27%）\r\n  · 并排给出：50 − 3x = 35、5x = 10、2x + 3 = 11、x/2 = 4\r\n  · 追问：\"这几个式子有什么共同点？\"\r\n    → 都是等式；都只有一个字母；字母的次数都是 1；等号两边都是整式\r\n  · 学员自己命名，教师给出规范名称：一元一次方程\r\n  · 三个关键词（缺一不可）：\r\n      一元 —— 只含一个未知数\r\n      一次 —— 未知数的次数是 1\r\n      整式 —— **等号两边都是整式**（这一条最容易漏，是本节的关键）\r\n  · 回看第 1 步：50 − 5x 只是代数式，没有等号，所以不是方程。\r\n\r\n【第 3 步：应用辨析】（15 分钟，33%）\r\n  · 判断下列各式是不是一元一次方程，并说明理由：\r\n    □ x + 5 = 8        ✓ 一元、一次、两边都是整式\r\n    □ x + 5            ✗ 不是等式（没有等号），是代数式\r\n    □ 2x + 3y = 10     ✗ 二元\r\n    □ x² = 9           ✗ 未知数次数是 2\r\n    □ x/2 = 3          ✓ 分母是数字 2，x/2 仍是整式\r\n    □ 0.5x = 3         ✓ 系数是小数不影响，仍是一元一次方程\r\n    □ 1/x = 2          ✗ **分母里含未知数，左边不是整式 → 这是分式方程，不是一元一次方程**\r\n  · 追问推进：\"x/2 = 3 可以，1/x = 2 不行——差别在哪里？\"\r\n    → 让学员自己说出\"字母在不在分母上\"\r\n  · 写出\"我能识别一元一次方程的 3 个关键\"：一元 / 一次 / 两边都是整式\r\n\r\n【第 4 步：体系化】（7 分钟，16%）\r\n  · 两棵树分开挂，不要混成一棵：\r\n\r\n    树一（按\"式子的种类\"分）：\r\n      代数式\r\n        ├── 整式（单项式 / 多项式）\r\n        └── 分式（分母含字母）\r\n      —— 方程**不在**这棵树上：方程是\"含未知数的等式\"，代数式没有等号。\r\n\r\n    树二（按\"方程的种类\"分）：\r\n      等式\r\n        └── 方程（含未知数的等式）\r\n              ├── 整式方程\r\n              │     ├── 一元一次方程   ← 本节\r\n              │     ├── 一元二次方程（九年级）\r\n              │     └── 二元一次方程（→ 与另一个方程组成二元一次方程组）\r\n              └── 分式方程（如 1/x = 2，八年级）\r\n\r\n  · 追问：\"1/x = 2 挂在哪个位置？为什么不挂在一元一次方程下面？\"\r\n  · 输出：学员自己画的两棵树（拍照存入错例/学案档案，用化名）\r\n\r\n【机动】（3 分钟）课堂小结 + 布置作业\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n\r\n四步合计 42 分钟 + 3 分钟机动 = 45 分钟，占比 18%/27%/33%/16%，落在 §1 的建议区间内。\r\n```\r\n\r\n## 4. 概念建构自检清单\r\n\r\n```text\r\n□ 第 1 步：情境是否真实/具体/开放？\r\n□ 第 2 步：抽象是否由学员主动完成？\r\n□ 第 3 步：是否有反例辨析？\r\n□ 第 4 步：是否画出了概念图？\r\n```\r\n\r\n## 5. 概念建构常见误区\r\n\r\n```text\r\n误区 ① 跳过情境直接给定义\r\n  → 学员\"知道\"但\"不理解\"\r\n误区 ② 抽象过快，学员跟不上\r\n  → 学员放弃参与\r\n误区 ③ 应用题都是\"识别→套公式\"\r\n  → 学员迁移能力差\r\n误区 ④ 体系化变成抄板书\r\n  → 学员没有内化\r\n```\r\n\r\n## 6. 老师自备内容\r\n\r\n- [ ] 学员化名档案（化名 + 概念建构水平）\r\n- [ ] 学员已有的\"知识图谱\"档案\r\n- [ ] 学员常错的概念清单（用于教学调整）\r\n- [ ] 学校/学段的数学概念大纲\n\nFile v2.11.0:references/error-case-file-sample.md\n\n# 错例档案样板（填写模板）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。错因词表见 `shared/vocab.md §3`；学员一律用化名。\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 错例档案 · [学员化名]\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 错题\r\n  · 题号/题目：[X]\r\n  · 学员作答：[X]\r\n  · 正确答案：[X]\r\n\r\n■ 错因\r\n  · 主要错因：[X]\r\n  · 次要因：[X]\r\n\r\n■ 错因溯源\r\n  · 涉及概念：[X]\r\n  · 学员的理解偏差：[X]\r\n  · 漏掉的关键步骤：[X]\r\n\r\n■ 改进措施\r\n  · 重新讲解 [X]\r\n  · 练习 [X] 类题\r\n  · 下次课检查\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\n\nFile v2.11.0:references/error-pattern-rubric.md\n\n# 数学错因分类表（教案层）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。\r\n> 配合 `xiaozhi-teach-math-lesson-planner` 使用。从教案设计角度区分 7 类常见错因，帮助老师在备课阶段就预防典型错误。\r\n> **词表以 `shared/vocab.md §3` 为唯一来源**：七类只用于教师端教学诊断，写入档案或与学生端交换时必须映射到通用四维。\r\n\r\n## 1. 7 类错因总览（含通用四维映射）\r\n\r\n```text\r\n┌──────┬────────────────┬────────────────────────┬────────────┐\r\n│ #    │ 错因类别        │ 典型表现               │ 通用四维    │\r\n├──────┼────────────────┼────────────────────────┼────────────┤\r\n│ 1    │ 知识漏洞        │ 前置知识不会           │ 概念模糊    │\r\n│ 2    │ 概念模糊        │ 用错公式/混淆符号      │ 概念模糊    │\r\n│ 3    │ 规则错误        │ 算法步骤错/法则记错    │ 概念模糊    │\r\n│ 4    │ 审题错误        │ 看错条件/漏关键字/抄错题│ 读题失误    │\r\n│ 5    │ 策略错误        │ 方法选择不当           │ 方法用错    │\r\n│ 6    │ 表达/书写不规范  │ 会做但过程写不全、跳步  │ 方法用错    │\r\n│ 7    │ 计算错误        │ 列式对、算术或符号算错  │ 计算失误    │\r\n│ 8    │ 习惯性失误      │ 漏写单位/漏写步骤/不检查│ 计算失误    │\r\n└──────┴────────────────┴────────────────────────┴────────────┘\r\n\r\n注：本表列了 8 行，其中\"知识漏洞/概念模糊/规则错误\"三行同属概念模糊维度，\r\n    教师端把它们合称\"7 类\"是历史叫法；分类使用时以 shared/vocab.md §3 的七类为准\r\n    （知识漏洞、规则错误、计算错误、审题错误、策略错误、表达/书写不规范、习惯性失误），\r\n    \"概念模糊\"是这七类映射后的通用维度名。备课时按上表任一行标注均可，\r\n    但写入 classWorkspace.errorTally 时 dimension 只能填通用四维。\r\n\r\n⚠️ 不使用\"粗心\"作为原因——粗心是结果，不是原因。原\"粗心大意\"一类已改为\"习惯性失误\"，\r\n   并要求写清具体行为（漏写单位 / 跳步 / 不检验），否则不能作为一条错因记录。\r\n```\r\n\r\n## 1.1 互斥判定规则（一道题只归一类）\r\n\r\n```text\r\n一题一类。同一道题出现多个特征时，按下面的优先顺序判：\r\n\r\n① 前置知识都没有 → 知识漏洞（不再往下判）\r\n② 本节概念说不清 → 概念模糊\r\n③ 概念清楚但法则记错（移项不变号、不等式两边乘负数不变号）\r\n   → **规则错误**，不归计算错误\r\n④ 条件读错、看错数字、抄错题 → **审题错误**，不归习惯性失误\r\n⑤ 读题无误、概念清楚，但选错方法/路径 → 策略错误\r\n⑥ 方法对、答案对，只是过程写不全或跳步扣分 → 表达/书写不规范\r\n⑦ 列式正确、只在运算中出错 → 计算错误\r\n⑧ 以上都不是，属于漏写单位/不检验一类的固定动作缺失 → 习惯性失误\r\n\r\n高频争议对照：\r\n  \"移项不变号\"        → 规则错误（③），不是计算错误\r\n  \"看错 5 写成 6\"     → 审题错误（④），不是习惯性失误\r\n  \"不等式乘负数没变号\" → 规则错误（③）\r\n  \"结果没写单位\"      → 表达/书写不规范或习惯性失误，按是否扣分区分\r\n  \"会做但没时间写完\"  → 不记为错因，记为答题节奏问题\r\n```\r\n\r\n## 2. 七类错因详解\r\n\r\n### 2.1 概念模糊\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员对核心概念理解不透彻\r\n【典型表现】\r\n  · 用错公式（如把长方形面积当周长）\r\n  · 混淆符号（如把 ≠ 当 =）\r\n  · 概念张冠李戴（如把\"等腰\"当\"等边\"）\r\n  · 概念边界不清（如不知道\"0\"是否属于正数）\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 在概念引入时增加正/反例对比\r\n  · 给出\"概念辨析卡\"\r\n  · 设计\"找错\"练习\r\n```\r\n\r\n### 2.2 规则错误\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员对运算法则/规则记忆错\r\n【典型表现】\r\n  · 解方程移项不变号\r\n  · 分数运算不找最小公倍数\r\n  · 因式分解漏项\r\n  · 函数单调性记反\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 把规则拆成最小步骤\r\n  · 设计\"我说你做\"操练\r\n  · 配合口诀/图示\r\n```\r\n\r\n### 2.3 审题错误\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员没看清题目条件\r\n【典型表现】\r\n  · 看错数字（如把 5 看 6）\r\n  · 漏掉关键字（如\"至少\"、\"整数\"）\r\n  · 多余条件没排除\r\n  · 问什么答什么没搞清\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 设计\"信息提取卡\"\r\n  · 训练\"圈关键字\"习惯\r\n  · 答案前问\"题目问什么\"\r\n```\r\n\r\n### 2.4 策略错误\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员选择的方法不当\r\n【典型表现】\r\n  · 用复杂方法解决简单题\r\n  · 不会用方程/反用算术\r\n  · 不会分类讨论\r\n  · 不画图分析\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 一题多解展示\r\n  · 策略选择\"决策树\"\r\n  · 强调\"先想再算\"\r\n```\r\n\r\n### 2.5 计算错误\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员算术/代数运算错\r\n【典型表现】\r\n  · 整数加减错\r\n  · 分数四则错\r\n  · 移项变号错\r\n  · 公式代入错\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 强计算专项训练\r\n  · 分步展示避免跳步\r\n  · 估算验证（先估后算）\r\n```\r\n\r\n### 2.6 习惯性失误（原\"粗心大意\"一类）\r\n\r\n```text\r\n【定义】固定动作缺失导致的失分——是**行为习惯问题**，不是态度问题\r\n【典型表现】\r\n  · 誊抄自己的中间结果时写错（如把自己算出的 8 抄成 3）\r\n  · 漏写单位、漏写答句\r\n  · 跳步导致自己回看时接不上\r\n  · 做完不检验（方程不代回、几何不复核图）\r\n\r\n【不属于本类】\r\n  · 看错题目里的数字 → 审题错误\r\n  · 抄错题目 → 审题错误\r\n  · 法则记错 → 规则错误\r\n\r\n【教案预防】（训练的是流程，不是心态）\r\n  · 规范答题模板：设→列→解→检验→答，五步固定\r\n  · \"二次检查\"清单化：符号 / 单位 / 是否回答了所问\r\n  · 把检验写进例题示范里，让检验成为解题的一部分而不是额外动作\r\n  · 限时训练用于练节奏，不用于施压\r\n```\r\n\r\n### 2.7 知识漏洞\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员前置知识不会\r\n【典型表现】\r\n  · 分数运算不会 → 比例不会\r\n  · 三角形面积不会 → 几何综合题不会\r\n  · 一元一次方程不会 → 一元二次不会\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 课前测诊断\r\n  · 关联前置知识复习\r\n  · 阶梯式例题设计\r\n```\r\n\r\n## 3. 错因识别流程（按 §1.1 的顺序，问到第一个\"否\"就定类）\r\n\r\n```text\r\n学员答错 → 按顺序问：\r\n  ① 前置知识会不会？   不会 → 知识漏洞（停）\r\n  ② 本节概念说得清吗？ 说不清 → 概念模糊（停）\r\n  ③ 法则记对了吗？     记错 → 规则错误（停）\r\n  ④ 题目读对了吗？     读错/抄错 → 审题错误（停）\r\n  ⑤ 方法选对了吗？     选错 → 策略错误（停）\r\n  ⑥ 过程写全了吗？     没写全但方法对 → 表达/书写不规范（停）\r\n  ⑦ 运算做对了吗？     列式对、算错 → 计算错误（停）\r\n  ⑧ 以上都过了 →       习惯性失误（写清具体是哪个动作缺失）\r\n\r\n一题只走一遍这个流程，只落一类。\r\n```\r\n\r\n## 4. 教案错因预防检查表\r\n\r\n```text\r\n┌────────────────┬──────────────────┬────────────────┐\r\n│ 错因            │ 教案预防措施      │ 备课时是否落实  │\r\n├────────────────┼──────────────────┼────────────────┤\r\n│ 知识漏洞        │ 前置知识链接/课前测│ □ 是  □ 否     │\r\n│ 概念模糊        │ 概念辨析卡+正反例  │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 规则错误        │ 最小步骤拆解+操练  │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 审题错误        │ 信息提取训练      │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 策略错误        │ 一题多解展示      │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 表达/书写不规范  │ 过程分示范+评分说明│ □ 是  □ 否     │\r\n│ 计算错误        │ 估算验证环节      │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 习惯性失误      │ 规范答题模板+检验步│ □ 是  □ 否     │\r\n└────────────────┴──────────────────┴────────────────┘\r\n```\r\n\r\n## 5. 各类错因的高发知识点（用于备课时预设易错点）\r\n\r\n```text\r\n┌────────────────┬──────────────────────────────┐\r\n│ 错因            │ 高发知识点                    │\r\n├────────────────┼──────────────────────────────┤\r\n│ 知识漏洞        │ 跨章节综合、需要用到前一学期内容的题 │\r\n│ 概念模糊        │ 函数概念、几何判定、符号与绝对值    │\r\n│ 规则错误        │ 移项变号、不等式两边乘负数、去括号  │\r\n│ 审题错误        │ 应用题、含\"至少/不少于/整数解\"的题 │\r\n│ 策略错误        │ 综合题、压轴题、需要分类讨论的题    │\r\n│ 表达/书写不规范  │ 证明题、解答题的过程分            │\r\n│ 计算错误        │ 分式运算、二次根式、代数式化简      │\r\n│ 习惯性失误      │ 应用题不写答句、几何不标图、不检验   │\r\n└────────────────┴──────────────────────────────┘\r\n```\r\n\r\n> **本表不给占比**：各类错因的比例因班、因单元、因试卷难度差异很大，\r\n> 全库统一的占比数字没有出处，也会误导备课重点。\r\n> 需要占比时，用本班 `classWorkspace.homeworkAssignments[].completionSummary.commonErrors[]`\r\n> 或 `classWorkspace.itemScores[]` 的实际数据现算，并注明样本量与来源。\r\n\r\n## 6. 老师自备内容\r\n\r\n- [ ] 学员化名档案（化名 + 常错类型）\r\n- [ ] 历次作业/试卷的错因分布数据\r\n- [ ] 班级常错知识点清单\r\n- [ ] 学校/学段的错因分布参考数据\n\nFile v2.11.0:references/example-demo-sample.md\n\n# 例题示范样板（填写模板）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。AI 现出的例题按 `shared/ai-item-check.md` 自检，并标【AI 生成，入库前请人工验算】。\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 例题示范样板\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 题目\r\n  [X]\r\n\r\n■ 思路\r\n  · 看到什么：[X]\r\n  · 想到什么：[X]\r\n  · 关键点：[X]\r\n\r\n■ 步骤\r\n  · 第一步：[X]\r\n  · 第二步：[X]\r\n  · 第三步：[X]\r\n\r\n■ 易错提醒\r\n  · 易错 1：[X] → 怎么避免：[X]\r\n  · 易错 2：[X] → 怎么避免：[X]\r\n\r\n■ 一题多解（可选）\r\n  · 解法 1：[X]\r\n  · 解法 2：[X]\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\n\nFile v2.11.0:references/math-hs-curriculum-map.md\n\n# 高中数学课程地图：必修与选择性必修\r\n\r\n> 适用学段：高中。\r\n> 本文是 `xiaozhi-teach-math-lesson-planner` 第十三、十四节的参考资源：高中数学的课程结构与课时建议、必修与选择性必修各主题的单元要点与教学提示、课标教学与评价案例的对应、学业质量与考试。本文只写课程标准层面的结构，不写死任何版本教材的章节与课时。\r\n> 课程依据：《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》。课时为课标给出的建议，教材编写与教学实施时可以根据实际作适当调整。选修课程（A～E 类）不在本文范围内。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、高中·课程结构\r\n\r\n**学分**：必修课程 8 学分，选择性必修课程 6 学分，选修课程 6 学分。\r\n\r\n**核心素养**：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。\r\n\r\n**必修课程**：8 学分 144 课时，五个主题。\r\n\r\n| 主题 | 单元 | 建议课时 |\r\n|---|---|---|\r\n| 主题一　预备知识 | 集合；常用逻辑用语；相等关系与不等关系；从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 | 18 |\r\n| 主题二　函数 | 函数概念与性质；幂函数、指数函数、对数函数；三角函数；函数应用 | 52 |\r\n| 主题三　几何与代数 | 平面向量及其应用；复数；立体几何初步 | 42 |\r\n| 主题四　概率与统计 | 概率；统计 | 20 |\r\n| 主题五　数学建模活动与数学探究活动 | 数学建模活动与数学探究活动 | 6 |\r\n| 机动 | — | 6 |\r\n\r\n**选择性必修课程**：6 学分 108 课时，四个主题。\r\n\r\n| 主题 | 单元 | 建议课时 |\r\n|---|---|---|\r\n| 主题一　函数 | 数列；一元函数导数及其应用 | 30 |\r\n| 主题二　几何与代数 | 空间向量与立体几何；平面解析几何 | 44 |\r\n| 主题三　概率与统计 | 计数原理；概率；统计 | 26 |\r\n| 主题四　数学建模活动与数学探究活动 | 数学建模活动与数学探究活动 | 4 |\r\n| 机动 | — | 4 |\r\n\r\n必修课程是学业水平考试和高考的内容要求，选择性必修课程是高考的内容要求。以高中毕业为目标的学生完成必修、参加学业水平考试；以进入高等学校为目标的学生完成必修与选择性必修、参加高考。\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"必修课时 18 + 52 + 42 + 20 + 6 + 6 = 144；选择性必修课时 30 + 44 + 26 + 4 + 4 = 108\", \"expr\": \"[18 + 52 + 42 + 20 + 6 + 6, 30 + 44 + 26 + 4 + 4]\", \"expect\": [144, 108]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、高一·主题一\"预备知识\"（建议 18 课时）\r\n\r\n课标定位：以义务教育阶段的数学内容为载体，结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容，为高中数学做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡。\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 集合 | 集合的含义，元素与集合的属于关系；用符号语言刻画集合；全集与空集；包含与相等、子集；并集、交集、补集；用 Venn 图表达集合的关系与运算 |\r\n| 常用逻辑用语 | 必要条件、充分条件、充要条件（分别与性质定理、判定定理、数学定义对应）；全称量词与存在量词；全称量词命题与存在量词命题的否定 |\r\n| 相等关系与不等关系 | 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质；掌握基本不等式 √(ab) ≤ (a + b)/2（a，b ≥ 0），能解决简单的最大值或最小值问题 |\r\n| 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 | 借助一元二次函数的图像判断一元二次方程实根的存在性与个数，了解函数的零点与方程根的关系；借助一元二次函数求解一元二次不等式，用集合表示解集 |\r\n\r\n**教学提示要点**：初中阶段数学知识相对具体，高中阶段相对抽象，教师要帮助学生完成过渡，包括学习心理、学习方式等方面；集合与常用逻辑用语的教学，以学过的数学内容为载体，引导学生用集合语言和常用逻辑用语梳理、表达；要让学生了解元素 a 与集合 {a} 的差异。**学业要求**重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 三、高一·主题二\"函数\"（建议 52 课时）\r\n\r\n课标定位：函数是现代数学最基本的概念，是贯穿高中数学课程的主线。\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 函数概念与性质 | 用集合语言和对应关系刻画函数，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；图像法、列表法、解析法；简单的分段函数；用符号语言表达单调性、最大（小）值；奇偶性；结合三角函数了解周期性。\"函数的形成与发展\"为选学内容，不作为考试要求 |\r\n| 幂函数、指数函数、对数函数 | 结合 y = x、y = 1/x、y = x²、y = √x、y = x³ 了解幂函数；有理数指数幂、实数指数幂与运算性质；指数函数的概念、图像、单调性与特殊点；对数的概念与运算性质，换底公式；对数函数的概念、图像、单调性与特殊点；知道 y = logₐx 与 y = aˣ 互为反函数。\"对数概念的形成与发展\"为选学内容，不作为考试要求 |\r\n| 三角函数 | 任意角与弧度制；借助单位圆理解正弦、余弦、正切的定义，推导诱导公式；正弦、余弦函数在 [0, 2π] 上、正切函数在 (−π/2, π/2) 上的性质；y = Asin(ωx + φ) 中参数的意义；同角三角函数的基本关系式；两角差的余弦公式及由它推出的和差角、二倍角公式（积化和差、和差化积、半角公式不要求记忆）；用三角函数刻画周期变化 |\r\n| 函数应用 | 函数零点与方程解的关系，零点存在定理，二分法求方程近似解；函数模型的选择，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解\"对数增长\"\"直线上升\"\"指数爆炸\" |\r\n\r\n**教学提示要点**：把本主题视为一个整体，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图像的几何直观等角度整体认识函数；单调性的教学要引导学生正确使用符号语言；在定义域、值域与函数性质的教学中避免编制偏题、怪题，避免烦琐的技巧训练；指数函数的教学关注从整数指数幂到有理数、实数指数幂的拓展过程；通过同底数的指数函数与对数函数认识互为反函数；三角函数的教学发挥单位圆的作用；鼓励用信息技术画图、探索规律、求方程的近似解。**学业要求**重点提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理素养。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 四、高中必修·主题三\"几何与代数\"（建议 42 课时）\r\n\r\n课标定位：几何与代数是高中数学课程的主线之一，突出几何直观与代数运算的融合，通过形与数的结合加强对数学整体性的理解。\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 平面向量及其应用 | 向量概念（从力、速度、位移了解实际背景，几何表示，相等向量）；向量运算（加、减、数乘及其几何意义，共线；数量积的概念及其物理意义，投影向量，用数量积判断垂直）；向量基本定理及坐标表示（正交分解，坐标表示线性运算、数量积与夹角，坐标表示共线与垂直）；向量应用与解三角形（用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题；借助向量运算探索并掌握余弦定理、正弦定理，解决简单的实际问题） |\r\n| 复数 | 通过方程的解认识复数；复数的代数表示及其几何意义，两个复数相等的含义；复数代数表示式的四则运算，复数加、减运算的几何意义；复数的三角表示（选学内容，不作为考试要求；教学提示把它作为学有余力学生的引申内容） |\r\n| 立体几何初步 | 基本立体图形（柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征；知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式；用斜二测画法画简单空间图形的直观图）；基本图形位置关系（借助长方体了解基本事实 1～4 与等角定理；平行、垂直的性质定理要证明，判定定理只要求直观感知、操作确认，在选择性必修中用向量方法论证）；几何学的发展（阅读资料、撰写小论文；选学内容，不作为考试要求） |\r\n\r\n**教学提示要点**：从物理、几何、代数三个角度理解向量的概念与运算法则，用类比的方法探索实数运算与向量运算的共性与差异；可以通过力的分解引出向量基本定理；向量的非正交分解只要求一般了解；复数的教学注重表示及几何意义的理解，避免烦琐的计算与技巧训练；立体几何初步的重点是帮助学生逐步形成空间观念，遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，提供实物模型或用信息技术呈现空间图形。**学业要求**重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 五、高中必修·主题四\"概率与统计\"（建议 20 课时）\r\n\r\n课标定位：概率研究随机现象，为从不确定性的角度认识客观世界提供思维模式；统计研究数据，核心是数据分析；概率为统计提供理论基础。\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 概率 | 样本点与有限样本空间，随机事件的并、交与互斥；古典概型及其中简单随机事件的概率；概率的性质与运算法则；用频率估计概率；结合有限样本空间了解两个随机事件独立性的含义，利用独立性计算概率 |\r\n| 统计 | 获取数据的基本途径；总体、样本、样本量，数据的随机性；简单随机抽样（抽签法、随机数法，样本均值与样本方差）；分层随机抽样（各层样本量的比例分配，分层随机抽样的样本均值与样本方差）；根据实际问题设计抽样方法；统计图表（频数分布直方图、频率分布直方图、散点图等）；用样本估计总体的集中趋势、离散程度、取值规律与百分位数 |\r\n\r\n**教学提示要点**：通过日常生活中的实例了解随机事件与概率的意义；理解古典概型的特征——试验结果的有限性和每个试验结果出现的等可能性；适当介绍树状图、列表等基本计数方法；统计的教学通过典型案例，让学生经历较为系统的数据处理全过程；鼓励用计算器、计算机模拟随机试验、处理数据。**学业要求**重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 六、高中必修·主题五\"数学建模活动与数学探究活动\"（建议 6 课时）\r\n\r\n以课题研究的形式开展，必修课程要求学生完成其中的一个课题研究（数学建模或数学探究）：在教师指导下选题、开题、做题、结题，撰写开题报告和研究报告，参加结题交流。教师要引导学生遵守学术规范，坚守诚信底线。完整的项目示例与过程性评价见课标案例 15、16。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 七、高中选择性必修（108 课时）\r\n\r\n**主题一\"函数\"（建议 30 课时）**\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 数列 | 数列的概念与表示（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数；等差数列、等比数列的概念、通项公式与前 n 项和公式，与一元一次函数、指数函数的关系；在具体问题情境中发现数列的等差、等比关系并解决问题；了解数学归纳法的原理，能用它证明数列中的一些简单命题（数学归纳法是选学内容，不作为考试要求） |\r\n| 一元函数导数及其应用 | 了解导数概念的实际背景，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会极限思想，通过函数图象直观理解导数的几何意义；能根据定义求 y = c、y = x、y = x²、y = x³、y = 1/x、y = √x 的导数，会用导数公式表和四则运算法则求简单函数的导数，简单复合函数限于形如 f(ax + b)；借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，用导数研究单调性（多项式函数求不超过三次的单调区间）；借助函数的图象了解极值的必要条件和充分条件，求极值与最值（给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最值）；微积分的创立与发展（撰写研究报告；选学内容，不作为考试要求） |\r\n\r\n**主题二\"几何与代数\"（建议 44 课时）**\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 空间向量与立体几何 | 空间直角坐标系与两点间的距离公式；由平面向量推广到空间向量的概念与运算；空间向量基本定理、正交分解与坐标表示，线性运算与数量积的坐标表示，投影向量；直线的方向向量与平面的法向量；用向量语言表述平行、垂直与夹角；用向量方法证明必修中的判定定理；用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题 |\r\n| 平面解析几何 | 直线的倾斜角与斜率，由斜率判定平行或垂直，直线方程的点斜式、两点式、一般式，交点坐标，两点间距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离；圆的标准方程与一般方程，直线与圆、圆与圆的位置关系；掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质，了解抛物线与双曲线的定义、几何图形、标准方程与简单几何性质，了解椭圆、抛物线的简单应用；平面解析几何的形成与发展（选学内容，不作为考试要求） |\r\n\r\n**主题三\"概率与统计\"（建议 26 课时）**\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 计数原理 | 分类加法计数原理与分步乘法计数原理；排列、组合的概念，用计数原理推导排列数、组合数公式；用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，解决与二项展开式有关的简单问题 |\r\n| 概率 | 结合古典概型了解条件概率，理解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式、全概率公式计算概率，了解贝叶斯公式（选学内容，不作为考试要求）；离散型随机变量及其分布列、均值与方差；理解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，了解超几何分布及其均值；通过误差模型了解正态分布的特征、均值与方差的含义 |\r\n| 统计 | 样本相关系数的统计含义及其与标准化数据向量夹角的关系，比较多组成对数据的相关性；一元线性回归模型的含义，最小二乘原理与参数估计，会用统计软件，用于预测；2×2 列联表的统计意义与独立性检验 |\r\n\r\n**主题四\"数学建模活动与数学探究活动\"（建议 4 课时）**：完成一个课题研究，可以是必修阶段课题的延续，也可以是新课题。\r\n\r\n**教学提示要点**：数列要突出它是一类特殊的函数，与一元一次函数、指数函数类比；学生对导数概念的理解不可能一步到位，要贯穿单元始终，高中阶段研究与导数有关的问题时涉及的函数都是可导函数；空间向量要引导学生类比平面向量，灵活选择向量方法与综合几何方法（如距离问题），体会\"基\"的思想；平面解析几何要先清晰描述图形的几何特征，再合理建立坐标系、用代数语言描述，最后给出几何解释，并用信息技术演示参数变化对曲线的影响；计数原理要引导学生把计数问题归结为分类和分步；概率与统计通过具体案例理解随机变量及其分布，鼓励使用统计软件。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 八、课标案例与各单元的对应\r\n\r\n课标附录 2 的教学案例与各单元的对应如下，适合拿来设计概念引入与探究活动：\r\n\r\n| 案例 | 对应单元 |\r\n|---|---|\r\n| 案例 1　借助一元二次函数，求解一元二次不等式 | 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 |\r\n| 案例 2　函数的概念 | 函数概念与性质 |\r\n| 案例 3　引入弧度制的必要性 | 三角函数 |\r\n| 案例 4　用三角函数刻画事物周期变化的实例 | 三角函数 |\r\n| 案例 5　函数单调性概念的抽象过程 | 函数概念与性质 |\r\n| 案例 6　利用单位圆的对称性探索三角函数的诱导公式 | 三角函数 |\r\n| 案例 7　停车距离问题 | 函数应用 |\r\n| 案例 8　\"指数爆炸\"的感知和理解 | 函数应用 |\r\n| 案例 9　向量投影 | 平面向量及其应用；空间向量与立体几何（空间向量的投影） |\r\n| 案例 10　复数的引入 | 复数 |\r\n| 案例 11　正方体截面的探究 | 立体几何初步（可作数学探究课题） |\r\n| 案例 12　投掷骰子问题 | 概率 |\r\n| 案例 13　分层抽样 | 统计 |\r\n| 案例 14　阶梯电价的设计 | 统计（百分位数） |\r\n| 案例 15　测量学校内、外建筑物的高度 | 数学建模活动 |\r\n| 案例 16　测量学校内、外建筑物的高度项目的过程性评价 | 数学建模活动的评价 |\r\n| 案例 17　用向量方法研究距离问题 | 空间向量与立体几何 |\r\n| 案例 18　二项式定理 | 计数原理 |\r\n| 案例 19　杨辉三角 | 计数原理 |\r\n\r\n注：标＊的选学内容（函数的形成与发展、对数概念的形成与发展、复数的三角表示、几何学的发展、数学归纳法、微积分的创立与发展、平面解析几何的形成与发展、贝叶斯公式）不作为考试要求。\r\n\r\n下面是素养水平的评价案例（案例 20—31）与跨章节的教学设计（案例 32），适合设计测评或单元整体教学：\r\n\r\n| 案例 | 用途 |\r\n|---|---|\r\n| 案例 20　函数图象 | 数学抽象：画出速度函数与路程函数的示意图 |\r\n| 案例 21　跑道问题 | 直观想象：从 400 m 跑道抽象出几何图形。第（2）问写跑道上半部分的函数解析式，课标的分析依托选择性必修的圆的方程；高一只取分段函数的思路，学过圆的方程后可以完整使用 |\r\n| 案例 22　距离问题 | 数学抽象、直观想象、数学运算的综合：类比数轴上两点的距离，定义城市街道中两点的距离（只能按直角拐弯行走），并研究它的性质 |\r\n| 案例 23　四棱锥中的平行问题 | 逻辑推理：以空间中的平行关系为载体，探索作图的可能性 |\r\n| 案例 24　覆盖问题 | 逻辑推理：以平面几何为载体的证明 |\r\n| 案例 25　包装彩绳 | 数学建模：把捆扎点心盒的彩绳长度问题转化为数学问题 |\r\n| 案例 26　体重与脉搏 | 数学建模：用比例模型刻画体重与脉搏率的关系；评分中加分的相关系数属选择性必修 |\r\n| 案例 27　估算地球周长 | 直观想象：从实际情境中抽象出几何图形 |\r\n| 案例 28　圆柱体截面问题 | 直观想象：圆柱桶内水面可能呈现的形状，与椭圆的定义相联系 |\r\n| 案例 29　过河问题 | 数学运算：以平面向量的运算为载体，确定游船的航向、航程 |\r\n| 案例 30　隧道长度 | 数学运算：以解三角形为载体的测量问题 |\r\n| 案例 31　估计考生总数 | 数学建模与数据分析 |\r\n| 案例 32　函数单调性主题教学设计 | 跨章节的主题教学设计：高一只取必修部分，与导数有关的部分在选择性必修使用 |\r\n\r\n---\r\n\r\n## 九、高中·学业质量与考试\r\n\r\n- 学业质量分三级水平：水平一是高中毕业应当达到的要求，也是学业水平考试命题的依据；高考命题不超过水平二；水平三为高等学校选拔拔尖创新人才提供参考。\r\n- 学业水平考试的内容范围是必修课程；高考的内容范围是必修和选择性必修课程。\r\n- 题型一般包括选择题（单项选择题与多项选择题）、填空题和解答题；学业水平考试的解答题分值占比不少于 40%。命题要逐步减少选择题、填空题的题量，适度增加试题的思维量。\r\n- 命题细则（双向细目表、难度结构）转数学测评设计。\n\nFile v2.11.0:references/variation-design.md\n\n# 变式训练设计模板\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）；样板中的\"鸡兔同笼\"可下沉到小学高段用算术法。\r\n> 示例题验算：2026-09-26\r\n> 配合 `xiaozhi-teach-math-lesson-planner` 使用。从\"刷题\"到\"变式\"，让学员真正\"会一类\"。\r\n> **每道变式题在给学员之前，按 `shared/ai-item-check.md` 自检**：自解一遍 → 有解且唯一 → 条件充分不多余 →\r\n> 数值友好（人数/件数/道数为非负整数）→ 学段内 → 与原题同型。AI 生成的题标注 `【AI 生成，入库前请人工验算】`。\r\n\r\n## 1. 变式训练定义\r\n\r\n```text\r\n改变题目的\"形\"，抓住题目的\"神\"。\r\n\"形\" = 题目表面\r\n\"神\" = 核心方法/概念\r\n```\r\n\r\n## 2. 变式三类型\r\n\r\n```text\r\n┌──────────┬────────────────────────┬──────────────┐\r\n│ 类型      │ 描述                    │ 训练目标      │\r\n├──────────┼────────────────────────┼──────────────┤\r\n│ 一题多解  │ 一道题多种解法          │ 思维灵活性    │\r\n│ 多题一解  │ 多道题同一种方法        │ 方法识别      │\r\n│ 变条件    │ 改变题目条件/问题       │ 思维深度      │\r\n└──────────┴────────────────────────┴──────────────┘\r\n```\r\n\r\n## 3. 一题多解设计\r\n\r\n### 3.1 样板 1 · 鸡兔同笼\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 一题多解 · 鸡兔同笼\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 原题\r\n  笼中有鸡兔共 35 只，足共 94 只，\r\n  问鸡兔各几何？\r\n\r\n■ 解法 1（假设法）\r\n  假设全是鸡：35×2=70 只足\r\n  实际比假设多：94-70=24 只足\r\n  每只兔比鸡多 2 只足\r\n  兔：24÷2=12 只\r\n  鸡：35-12=23 只\r\n\r\n■ 解法 2（方程法）\r\n  设鸡有 x 只，兔有 y 只\r\n  x + y = 35\r\n  2x + 4y = 94\r\n  解得：x=23, y=12\r\n\r\n■ 解法 3（抬脚法 / 金鸡独立法）\r\n  让每只动物抬起**一半**的脚：\r\n    鸡有 2 只脚 → 抬 1 只，站 1 只\r\n    兔有 4 只脚 → 抬 2 只，站 2 只\r\n  于是站着的脚 = 94 ÷ 2 = 47 只\r\n  这 47 只脚里，每只鸡贡献 1 只、每只兔贡献 2 只；\r\n  而动物一共 35 只，每只至少贡献 1 只 →\r\n  多出来的 47 − 35 = 12 只，正好是每只兔多贡献的那 1 只\r\n  所以 兔：12 只，鸡：35 − 12 = 23 只\r\n\r\n  ⚠️ 这一步是本解法的关键，**不能用\"抬起 35+12=47 只脚\"来说明**——\r\n     12 是要求的答案，拿答案去推答案是循环论证。\r\n     正确顺序是：先由\"总脚数折半\"得 47，再由 47 − 35 得兔数。\r\n\r\n■ 验算\r\n  鸡 23 只 × 2 + 兔 12 只 × 4 = 46 + 48 = 94 ✓；23 + 12 = 35 ✓\r\n\r\n■ 比较\r\n  · 假设法：最直观\r\n  · 方程法：通用\r\n  · 抬脚法：巧，但只在\"脚数都是偶数且成倍数关系\"时好用\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\r\n\r\n### 3.2 样板 2 · 行程问题\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 一题多解 · 相遇问题\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 原题\r\n  甲乙两地相距 100 km\r\n  甲骑车 15 km/h，乙骑车 10 km/h\r\n  两人同时出发相向而行，几小时相遇？\r\n\r\n■ 解法 1（基础公式）\r\n  相遇时间 = 距离 ÷ 速度和\r\n  = 100 ÷ (15+10) = 4 小时\r\n\r\n■ 解法 2（行程图）\r\n  [画线段图，两端各标 15 km/h 和 10 km/h，中间标 100 km]\r\n  速度和 = 25 km/h\r\n  100 ÷ 25 = 4 小时\r\n\r\n■ 解法 3（代数）\r\n  设 x 小时相遇\r\n  15x + 10x = 100\r\n  25x = 100\r\n  x = 4\r\n\r\n■ 验算\r\n  甲走 15×4 = 60 km，乙走 10×4 = 40 km，60 + 40 = 100 ✓\r\n  （数值设计：取整数解、时长在合理范围内；\r\n    原版\"5 与 3 km/h、100 km、12.5 小时\"是步行 12 小时不停，情境不合理，已调整）\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\r\n\r\n## 4. 多题一解设计\r\n\r\n### 4.1 样板 · 鸡兔同笼类题\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 多题一解 · \"鸡兔同笼\"类\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 题 1\r\n  30 头动物，足 84 只，鸡兔各几只？\r\n  → 鸡 18 只、兔 12 只（验算：18×2 + 12×4 = 36 + 48 = 84 ✓）\r\n\r\n■ 题 2\r\n  20 张纸币，面额 5 元和 10 元，共 175 元，各几张？\r\n  → 5 元 5 张、10 元 15 张（验算：5×5 + 10×15 = 25 + 150 = 175 ✓）\r\n\r\n■ 题 3\r\n  50 道题，答对 +5 分，答错 −2 分（不答按答错计），\r\n  共得 180 分，对错各几道？\r\n  → 设对 x 道：5x − 2(50−x) = 180 → 7x = 280 → x = 40\r\n  → 答对 40 道、答错 10 道（验算：40×5 − 10×2 = 200 − 20 = 180 ✓）\r\n\r\n  ⚠️ 数值设计说明：这类题的总分不能随便填。\r\n     原版写\"共得 184 分\"时 7x = 284，x ≈ 40.57，**不是整数，题目无解**。\r\n     出题时先定 x（如 40），再倒推总分，保证答案是非负整数。\r\n     可用的总分：…166(x=38)、173(x=39)、180(x=40)、187(x=41)…（相邻相差 7）\r\n\r\n■ 共同方法\r\n  假设法 / 方程法\r\n  本质：二元一次方程组（两个未知数、两个等量关系）\r\n\r\n■ 学员反思\r\n  · 这 3 题的\"形\"有什么不同？\r\n  · \"神\"是什么？\r\n  · 我能用这个方法解决新问题吗？\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"180 分：5x-2(50-x)=180 有整数解 x=40\", \"expr\": \"(180 + 100) / 7\", \"expect\": 40}\r\n```\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"旧版 184 分：x=284/7 不是整数（病题）\", \"expr\": \"Number.isInteger((184 + 100) / 7)\", \"expect\": false}\r\n```\r\n\r\n## 5. 变条件设计\r\n\r\n### 5.1 改条件\r\n\r\n```text\r\n原题：长方形长 8 cm，宽 5 cm，求周长。          → 26 cm\r\n\r\n变 1：长 8 cm，周长 26 cm，求宽。               → 5 cm\r\n变 2：长比宽多 3 cm，周长 26 cm，求长和宽。      → 长 8 cm、宽 5 cm\r\n      （长+宽=13，长−宽=3）\r\n变 3：长 8 dm，宽 50 cm，求周长。               → 260 cm（即 26 dm）\r\n  （单位统一：8 dm = 80 cm，周长 = 2×(80+50)）\r\n\r\n四题一组的用意：同一个\"周长 = 2×(长+宽)\"，从正用 → 逆用 → 双未知 → 单位陷阱。\r\n```\r\n\r\n### 5.2 改问题\r\n\r\n```text\r\n原题：甲乙两车从 A、B 两地同时出发相向而行（相距 100 km，\r\n     速度 60 km/h 与 40 km/h），几小时相遇？        → 1 小时\r\n\r\n变 1：出发后几小时两车相距 50 km？                  → 0.5 小时（相遇前）\r\n      追问：还有别的答案吗？（相遇后又拉开 50 km：1.5 小时）\r\n变 2：相遇时甲走了多少 km？                         → 60 km\r\n变 3：如果甲提前 0.5 小时出发，从乙出发算起几小时相遇？→ 70÷100 = 0.7 小时\r\n\r\n⚠️ \"能不能相遇\"不是一个好的变式：两车相向而行必然相遇，问题没有讨论空间。\r\n   要制造\"能不能\"的讨论，得改成同向追及（快的在前就追不上）。\r\n```\r\n\r\n### 5.3 改情境\r\n\r\n```text\r\n原题：鸡兔同笼。\r\n\r\n变 1：换成\"鸭鹤同笼\"\r\n变 2：换成\"5 分和 10 分硬币\"\r\n变 3：换成\"成人和儿童\"\r\n```\r\n\r\n## 6. 变式训练设计原则\r\n\r\n```text\r\n■ 服务于核心方法\r\n  · 不为了变式而变式\r\n  · 变式要\"形\"不同\"神\"同\r\n\r\n■ 难度梯度\r\n  · 由浅入深\r\n  · 不要突然太难\r\n\r\n■ 学员主体\r\n  · 让学员自己发现\"神\"\r\n  · 不直接告诉\"方法\"\r\n```\r\n\r\n## 7. 教学建议\r\n\r\n```text\r\n■ 学员做完 3-5 道题后\r\n  · 让学员自己找\"共同点\"\r\n  · 老师不直接给方法\r\n\r\n■ 学员说\"不会变\"\r\n  · 老师从\"换什么\"开始问\r\n  · 让学员发现\"变\"的可能性\r\n\r\n■ 避免\r\n  · 变式太多 = 新题太多\r\n  · 学员变成\"刷题机器\"\r\n```\r\n\r\n## 8. 题目版权\r\n\r\n版权状态只用 `shared/vocab.md §11` 的四个枚举值（与 `class-teaching-workspace.schema.json` 一致）：\r\n\r\n```text\r\n自有        老师原创\r\n改编        基于教材/经典题改编，须写明改编自哪里\r\n公开可引用  教材原题、CC 协议资源等可公开引用的来源，标注来源\r\n仅存索引    教辅原题与历年真题——**只记题号与出处，不复制题面**\r\n\r\n❌ 禁止：未授权复制教辅题库\r\n❌ 禁止：未授权转载网络题库\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n> 💡 **小智说：** 变式不是\"难为学员\"，是让学员看到\"核心方法的力量\"。\n\nFile v2.11.0:references/variation-training-sample.md\n\n# 变式训练样板（填写模板）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。变式设计方法与验算要求见同目录 `variation-design.md`。\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 变式训练样板 · 基础题\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 基础题\r\n  [X]\r\n\r\n■ 变式 1（一题多解）\r\n  · 解法 1：[X]\r\n  · 解法 2：[X]\r\n  · 解法 3：[X]\r\n  · 比较：[X]\r\n\r\n■ 变式 2（多题一解）\r\n  · 题 1：[X]\r\n  · 题 2：[X]\r\n  · 题 3：[X]\r\n  · 共同方法：[X]\r\n\r\n■ 变式 3（变条件）\r\n  · 条件改为 [X]\r\n  · 解题思路：[X]\r\n  · 与原题对比：[X]\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\n\nFile v2.11.0:shared/ai-item-check.md\n\n<!-- 本文件由 scripts/sync-shared.mjs 从仓库根 shared/ 自动生成，用于让单个技能包自包含。\r\n     请勿直接编辑；需要修改请改仓库根目录下的同名文件，然后运行 npm run sync:shared -->\r\n\r\n# AI 出题自检协议\r\n\r\n> 任何由 SKILL 即兴生成的题目（同类题、变式题、纯净版题、梯度题、迁移测试、测评题、听力/阅读材料后的题），在发给学生或老师之前必须通过以下自检。通不过的题不得输出。\r\n\r\n## 一、自检步骤（模型内部完成，不向学生展示）\r\n\r\n1. **自解**：先完整解一遍，得到答案。\r\n2. **有解且唯一**：解存在；若为求值题答案唯一；若为开放题，写明\"开放题，参考答案不唯一\"。\r\n3. **条件充分且不多余**：删掉任一条件是否仍可解？增加了矛盾条件？（例：\"直线与 x 轴围成三角形\"不成题；\"不过第二象限且过第二象限\"无解。）\r\n4. **数值友好**：初中题默认整数或简单分数解；出现循环小数/无理数须是题目本意。应用题中的人数、件数、次数必须为非负整数。\r\n5. **学段内**：用到的概念、公式、术语不超出该 SKILL `grade_bands` 声明的学段（对照 `shared/vocab.md §10`）；超出则删题或标 `⚠高中`。\r\n6. **与原题同型**：作为\"同类题\"时，考查的通用维度和子类型必须与原错题一致（`shared/vocab.md §1-2`），只换情境或数字。\r\n7. **物理量合理**：物理题检查单位制、数量级（例：初中生跑步速度 4-6 m/s，家用电压 220 V）、图示是否可画。\r\n8. **语言题**：英语题检查语法本身正确、目标语法点只出现一次；语文病句题检查\"原句确实有病\"且\"修改后确实无病\"。\r\n\r\n## 二、输出标注\r\n\r\n- 学生端：题后不标注，但若学生质疑\"这题是不是有问题\"，必须认真复核，不得坚持错题。\r\n- 老师端：AI 生成的题必须标注 `【AI 生成，入库前请人工验算】`，未经老师确认不得写入资源库或试卷。\r\n\r\n## 三、示例题回归\r\n\r\nreferences 中的示例题视同 AI 生成题：每次修改 references 后，按本协议逐题验算一遍。CI 有三道检查：\r\n\r\n1. **声明**（A1）：含示例题的文件顶部须有一行 `> 示例题验算：YYYY-MM-DD`。\r\n2. **不得过期**（A2）：声明日期不得早于文件最后一次实质提交（纯升版提交不算）。改了题没重新验算、没更新日期，CI 直接失败——日期是承诺，不是装饰。\r\n3. **机器断言**（`scripts/verify-examples.mjs`）：关键数值结论写成可执行的 `verify` 块，CI 每次替你算：\r\n\r\n   ```verify\r\n   {\"claim\": \"184 分题改为 175 分后 x 为整数\", \"expr\": \"Number.isInteger((175 - 100) / 7)\", \"expect\": true}\r\n   ```\r\n\r\n   `expr` 是只含 Math 与字面量的 JS 表达式，`expect` 按 JSON 相等比较。历史上出过的病题（无解、非整数解、不成题）都应留一条断言，题目一改断言就红。\n\nFile v2.11.0:shared/crisis-exception.md\n\n<!-- 本文件由 scripts/sync-shared.mjs 从仓库根 shared/ 自动生成，用于让单个技能包自包含。\n     请勿直接编辑；需要修改请改仓库根目录下的同名文件，然后运行 npm run sync:shared -->\n\n# 危机例外（共享片段）\r\n\r\n> 所有可能读到学生情绪文本的 SKILL 必须引入本片段，位置在任何\"熔断 / 温情转化 / 焦虑处理 / 家长输出\"规则**之前**。完整处置流程见 `shared/crisis-referral-protocol.md`（随每个技能包分发）。\r\n\r\n## 适用地域（先读这一节）\r\n\r\n本库的默认部署环境是**中国大陆的中文 K12 场景**，下文列出的求助号码也只在中国大陆有效。\r\n\r\n**在其他地区使用时，号码必须先本地化，不得原样照搬。** 具体做法：\r\n\r\n1. **不确定所在地区时先问一句**：\"你现在在哪个国家或地区？我需要据此给你当地的求助方式。\"——问清楚之前，只做\"联系身边信任的成年人\"这一条通用引导。\r\n2. 已知在中国大陆 → 用下文\"最低话术\"一节的号码（完整清单见 `shared/crisis-referral-protocol.md` 第五节）。\r\n3. 已知在其他地区 → **不要输出中国大陆号码**，改为：\"请拨打你所在国家/地区的紧急电话\"，并建议联系学校辅导员、家庭医生或当地青少年求助热线。若平台配置了本地渠道，用配置值。\r\n4. 任何情况下，\"找一位信任的成年人\"与\"如有即时危险请立刻拨打当地紧急电话\"这两条都通用，可以先说。\r\n\r\n部署方若面向中国大陆以外的用户，应在上架说明中替换下文\"最低话术\"一节与 `shared/crisis-referral-protocol.md` 第五节的渠道清单。\r\n\r\n## 在 SKILL.md 中的写法（复制以下三行，不要改写）\r\n\r\n```text\r\n⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记\"已转介\"的处置事实。\r\n```\r\n\r\n家庭安全类信号的不记情形，以下文\"家庭安全类信号\"一节为准。\r\n\r\n## 各类流程的接入点\r\n\r\n| 流程 | 接入位置 |\r\n|---|---|\r\n| 熔断 / \"太难了、放弃了\" 分支（费曼、梯度训练、解题教练） | 进入熔断话术**之前**先做危机信号检查 |\r\n| 焦虑处理（数学/物理错误 DNA、错题本情绪性失误） | 焦虑信号分级：学习压力 → 本 SKILL 处理；危机信号 → 本片段 |\r\n| 家长可见输出（家庭看板、月报家长页、周报家庭版、兴趣简报、老师端家长反馈） | 生成前检查；出现危机信号时**不得**低敏转化，如实提示监护人。**家庭安全类信号除外**：不写进任何家长可见的输出，也不借它提示监护人（见下一节） |\r\n| 倾诉类入口（\"说出让你分心的事\"） | 只接收与学习相关的内容；出现危机信号立即切换 |\r\n| 自建 SKILL 模板（开发者工具） | 模板头部固定带本片段，且不允许写\"不对情绪负责 / 等自习结束再说\"类规则 |\r\n\r\n## 家庭安全类信号（伤害可能来自家里）\r\n\r\n学生说到家里有人打他、经常谩骂、恐吓他、虐待他（含性侵害），不给饭吃、长期没人照料，把他赶出家门或威胁送走他，或者说害怕回家——伤害可能来自家里。这时去提示监护人，可能让孩子更危险。所以这一类**不按\"提示监护人\"处理**，其余处置照旧：\r\n\r\n- **对学生**：先说\"这不是你的错\"。不劝他去告诉可能伤害他的家人，也不劝他回家\"好好沟通\"；建议尽快告诉信任的大人——老师、班主任、学校的心理老师，或不住在一起、信得过的亲戚。学生自己说家里另一位大人（比如妈妈）能保护他，不反驳，同时仍建议告诉老师。有即时危险时，按上文\"适用地域\"给紧急电话。\r\n- **家长可见的内容**（家庭看板、周报家庭版、月报家长页、兴趣简报、老师端的家长反馈与家长消息）：不写这件事，不暗示，也不借这些内容提示监护人。学生端只对学生本人说，老师端只对老师说（家长、监护人自己说起家里有人打孩子的，按下文\"家长、监护人自己说打了孩子\"一条）。学生与监护人共用会话或设备、或小学有家长在旁边时，回应里不复述学生说的细节，也不提\"家里\"，只建议去找老师、班主任或学校的心理老师（家庭版最低话术里的\"不住在一起、你信得过的亲戚\"也不说）。\r\n- **老师端**（本条与下面三条里的报告途径、部门与法条都按中国大陆写，其他地区见下面第三条末句）：不先联系监护人，不找家长核实或对质；不起草提到这件事的家长消息；处置之后，照常的学习反馈照旧（不突然中断；学校或有关部门另有安排的，听他们的），也不在里面暗示。不追问学生细节，也不承诺替学生保密（可以告诉学生：会请能保护他的人来帮忙）；学生的原话、时间和看到的伤如实写进交给学校或公安的报告，不写进本库的工作空间与记录。要不要告诉家长、告诉哪一位，由学校（机构）和公安、民政等部门决定。\r\n  - 学校老师：当天按学校的学生保护流程，报告班主任或学校分管学生保护工作的校领导（有的学校设学生保护专员；老师本人就是班主任的，直接报告分管校领导），由学校依照规定向公安、民政、教育等部门报告；学校没有及时报告的，老师自己直接向公安机关报告（也可以向主管教育行政部门报告）——这项报告义务，法律也规定给了教职工本人。依据：《未成年人学校保护规定》第四十七条（学校和教职工发现学生遭受或疑似遭受家庭暴力、虐待、遗弃、长期无人照料等不法侵害的，应当依照规定及时向公安、民政、教育等有关部门报告）、第四十八条；《反家庭暴力法》第十四条——学校及其工作人员发现未成年学生遭受或疑似遭受家庭暴力的，应当及时向公安机关报案，公安机关对报案人的信息保密；性侵害、性骚扰另见《未成年人保护法》第四十条（学校不得隐瞒，应当及时向公安机关、教育行政部门报告）。\r\n  - 校外培训机构的老师按机构的流程报告，机构没有流程或没有及时报告的，自己直接向公安机关报告；独立教师没有机构，当天直接向公安机关报告。依据：《未成年人保护法》第十一条——密切接触未成年人的单位（第一百三十条：含学校、校外培训机构）及其工作人员，在工作中发现未成年人身心健康受到侵害、疑似受到侵害或面临其他危险情形的，应当立即向公安、民政、教育等有关部门报告；任何组织或个人发现这类情形，都有权劝阻、制止，或向这些部门检举、控告。\r\n  - 正在发生危险时立即报警（中国大陆为 110）。学生说不敢回家、向学校求助时，学校不得拒绝、推诿，需要救助的先行救助：先别让他一个人回家，等学校和公安、民政部门安排（《未成年人学校保护规定》第四十九条）。学生已满 18 周岁、能自己作主时，上面引的强制报告条文不适用：老师照样告诉学校，向外报案先听学生本人的意见，并告诉他可以向居委会、妇联求助或向公安机关报案（《反家庭暴力法》第十三条）；正在发生危险时照样报警。在其他地区，按当地法律与学校规程报告，求助方式按上文\"适用地域\"。\r\n- 说到被打、被伤害，但说不清是不是家里人干的，按本节处理。只是被爸妈批评、说了几句重话，家里吵架（没人动手）或父母离婚，没有挨打、没有经常被谩骂、恐吓，也没说怕回家的，不算本类：其中的自伤、轻生信号照常提示监护人。家里有大人动手打人或拿刀等凶器吓人，就算不是冲着他（比如爸爸打妈妈），也按本节处理。本类和自伤、轻生信号一起出现时按本节处理，求助热线与紧急电话照样给；老师端报告时把自伤风险一并说明。\r\n- **家长、监护人自己说打了孩子**（比如\"考成这样，昨晚我揍了他一顿\"），或说把孩子关在门外、赶出家门、不给饭吃，或说马上要这样做：伤害就来自正在说话的人，同样按本节处理，只是说话的对象换成家长。\r\n  - 对家长（学生端：家长在用或在旁边）：用下文\"最低话术\"里的家长版。不说教、不贴标签、不吓唬（不说\"我要报警\"\"我要告诉学校\"这类话），也不当作没听见、照常往下讲题。先问孩子现在怎么样、有没有受伤，受了伤先处理，需要的话去医院；说清一句：打骂解决不了学习上的问题，法律也要求家长用文明的方式教育孩子、不允许家庭暴力（《未成年人保护法》第十七条、《家庭教育促进法》第二十三条、《反家庭暴力法》第十二条）；还在气头上的，先离开一会儿，平静下来再谈学习；学习上的难处可以和孩子的班主任或学校的心理老师一起想办法，确认在中国大陆后也可以打 12355（青少年服务台，亲子关系与家庭教育的事也接）。家长说马上要打、还没动手的，不问受伤，先说一句\"请先别动手\"，再接家长版第 2 至 4 行。家长不认同（如\"打孩子是我自己家的事\"）的，不争辩、不重复说教，说一句\"孩子的安全最要紧，需要帮忙随时可以找班主任\"。之后再回到学习的事：先给家长一两件能陪孩子一起做的事，不罗列分数、错题与弱项清单。\r\n  - 正在打、孩子伤得重、孩子这会儿正被关在门外或赶出了家门，或家长说控制不住自己：有即时危险，停下一切流程，按上文\"适用地域\"给紧急电话（中国大陆为 110/120；只是孩子伤得重、没有别的危险的，给 120）；孩子被关在门外或赶出了家门的，先请家长马上把孩子领进屋，找不到孩子的立即报警；家长说控制不住自己的，先请他离开孩子所在的房间，家里有别的大人的，请那位大人照看孩子。\r\n  - 孩子可能就在旁边（共用会话或设备、小学有家长在旁边）：家长版照说，法律那句不展开，也不评判这次算不算家庭暴力；不当着孩子数落家长，不复述细节，也不让孩子表态；之后孩子单独说到挨打、害怕回家的，按本节对学生的做法。\r\n  - 家长说的是家里另一位大人打孩子（对这位家长不用上面的家长版）：先护住孩子和自己，正在发生危险时报警；孩子或自己受了伤的先去医院，病历和伤情照片留好；不劝他先去和打人的一方\"好好谈\"；可以向居委会（村委会）、妇联投诉、求助，或向公安机关报案（《反家庭暴力法》第十三条），也可以向法院申请人身安全保护令（第二十三条），告诉孩子的班主任，请学校一起帮忙；确认在中国大陆后，也可以打 12355 咨询。手机或设备打人的一方也会用的，提醒家长看完可以删掉这段对话。\r\n  - 这件事不写进本库的档案和任何记录（处置事实也不记），不写进家长可见的内容，学习记录里也不把挨打写成原因或教训。老师端：家长发来的原消息留着（截图），不删。\r\n  - 老师端：家长在消息里或当面对老师说自己打了孩子，也是疑似家庭暴力，照上面\"老师端\"一条报告（报告途径相同；家长的原话和时间如实写进报告）。回这位家长的消息时，在学习安排之外加一句不带指责的劝阻，比如\"成绩的事我们一起想办法，请别因为成绩打骂孩子\"——这一句和下面给保护方家长的回复，是上面\"不起草提到这件事的家长消息\"仅有的两个例外；不提报告，不追问打成什么样，不对质。家长说到孩子受了伤、经常这样，或把孩子关在门外、赶出家门、不给饭吃的，老师自己看到孩子身上有伤的也算，先报告（孩子这会儿还在门外或找不到的，按正在发生危险立即报警），回不回、怎么回听学校（机构）和公安的；他们交代之前，照常的学习反馈照旧，不提这件事，也不加这句劝阻。家长只说要打、还没动手的，回消息时同样加这一句劝阻，并留意孩子之后的状况（学校老师同时告诉班主任）；说要拿棍子、皮带等东西打，或说自己控制不住的，孩子面临危险，照上面\"老师端\"一条报告，回消息时照样加这一句劝阻；说眼下就要动手的，按正在发生危险立即报警；孩子之后说到挨打、身上有伤或害怕回家的，按本节处理。家长说的是家里另一位大人打孩子的，同样照上面\"老师端\"一条报告；回这位家长时可以写\"谢谢您告诉我。孩子和您的安全最要紧，遇到危险请先报警，居委会、妇联也都可以求助\"，不在消息里问细节、复述细节（手机可能被打人的一方看到）。学生已满 18 周岁的，照上面\"老师端\"一条里成年学生的写法：向外报案先听学生本人的意见。\r\n- 档案照旧只记\"已转介\"的处置事实，不写家庭信息，也不记\"已提示监护人\"；家长可见的内容不显示这条记录。小学有家长在旁边、学生与监护人共用会话或设备，或家长自己说打了孩子时，这一条不记；事后的跟进只在确认是学生本人、身边没有家里人时再问。\r\n\r\n## 最低话术\r\n\r\n**通用部分（任何地区都可以先说）：**\r\n\r\n```text\r\n谢谢你愿意告诉我。这件事很重要，比任何题目都重要。\r\n我是学习伙伴，帮不了这么重要的事，但我很在意你。\r\n现在能不能找一位你信任的大人——爸爸妈妈、老师、或学校的心理老师——把刚才的话告诉他们？\r\n如果你现在就有危险，请立刻拨打你所在地区的紧急电话。\r\n```\r\n\r\n**伤害可能来自家里时**（见\"家庭安全类信号\"一节），通用部分改用这一版：\r\n\r\n```text\r\n谢谢你愿意告诉我。这不是你的错。\r\n这件事需要能保护你的大人来帮你。我是学习伙伴，帮不了这么大的忙，但我很在意你。\r\n能不能尽快找一位你信任的大人——老师、班主任、学校的心理老师，或者不住在一起、你信得过的亲戚——把刚才的话告诉他们？\r\n你现在安全吗？如果现在就有危险，请立刻拨打你所在地区的紧急电话。\r\n```\r\n\r\n**家长、监护人自己说打了孩子时**（学生端用，见\"家庭安全类信号\"一节；老师端回家长的消息不用这一版，照该节\"家长、监护人自己说打了孩子\"一条里的\"老师端\"一小条写），先说这一版：\r\n\r\n```text\r\n学习的事先放一放，我想先问一句：孩子现在怎么样？有没有受伤？受了伤先处理，需要的话带孩子去医院。\r\n成绩也好，作业也好，打骂都解决不了问题；法律也要求家长用文明的方式教育孩子，不允许家庭暴力。\r\n要是火气还没下去，先离开一会儿，等平静下来再谈学习。\r\n学习上的难处我可以帮着一起看，也可以找孩子的班主任或学校的心理老师一起想办法。孩子伤得重，或者现在还有危险的，请立刻拨打您所在地区的急救或紧急电话。\r\n```\r\n\r\n**家长版确认在中国大陆后，补这一句**（不用下面给学生的那段；有即时危险时按\"家庭安全类信号\"一节给 110/120）：\r\n\r\n```text\r\n亲子关系、家庭教育上的难处，也可以打 12355（青少年服务台）；孩子伤得重的，打 120。\r\n```\r\n\r\n**确认在中国大陆后，再补这一句：**\r\n\r\n```text\r\n即时危险可以打 110 或 120。\r\n也可以打 12355（青少年服务台）或 400-161-9995（希望24热线）。\r\n```\r\n\r\n**确认在其他地区时：**\r\n\r\n```text\r\n我这里只有中国大陆的求助号码，可能不适用于你所在的地方。\r\n请拨打你所在国家/地区的紧急电话，或联系学校的辅导老师。\r\n```\r\n\r\n## 禁止\r\n\r\n- 不做诊断、不贴\"抑郁/焦虑症\"标签。\r\n- 不承诺替学生保密到掩盖危险。\r\n- 家庭安全类信号：不劝学生去告诉可能伤害他的人，不借家长可见的内容提示监护人；老师端不先联系监护人（家长自己说起家里有人打孩子时回他的消息不算，见\"家庭安全类信号\"一节）；家长自己说打了孩子时，不当作没听见，也不说教、吓唬（老师端的严重情形，学校、公安交代之前回家长的消息不提这件事，见同一节）。\r\n- 不把危机信号写进\"本周阳光总结 / 攻坚蓄能期\"。\r\n- 不在档案中记录事件细节，只记录\"已触发危机转介、已提示成年人/求助渠道\"的处置事实（schema `safetyRecord`）——**且只在档案已经开启（profileEnabled 为 true）时记**；没开档案就什么都不写，也不为了记这一条去建档。**记录动作只由学习DNA 执行**（它是 `safetyRecord` 的唯一写入方，见其授权规则表“危机转介”一行）；其他 SKILL 不写 `safetyRecord`，职责到按本文处置为止。\r\n- **不在未确认地区的情况下，把中国大陆号码当作通用紧急联系方式输出。**\n\nArchive v2.10.0: 19 files, 60278 bytes\n\nFiles: references/concept-build-sample.md (965b), references/concept-build-template.md (8952b), references/error-case-file-sample.md (803b), references/error-pattern-rubric.md (10965b), references/example-demo-sample.md (851b), references/math-hs-curriculum-map.md (20427b), 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MIT\ndisplay_name: 数学教案设计\nversion: 2.10.0\nauthor: 小智伴学\ncategory: 老师数学\ngrade_bands:\n  - 初中\n  - 高中\ntags: [数学教案, 概念建构, 变式训练, 数学思维, 数学老师]\ndepends_on:\n  - xiaozhi-teach-lesson-planner\n  - xiaozhi-teach-student-analyzer\n  - xiaozhi-teach-classroom-coach\nid: openclaw:xiaozhi-teach-math-lesson-planner\nmin_platform_version: \"2.0\"\nmax_round_limit: 30\nslug: xiaozhi-teach-math-lesson-planner\ndisplayName: 数学教案设计\nsummary: '数学教师的备课工具（初中与高中；'\n---\n\n# 数学教案设计 SKILL\n\n> **一句话定位：** 数学不是教学生\"记住公式\"，而是教学生\"用公式思考\"——概念建构是核心。\n\n---\n\n> 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M, F]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。\n> 本 SKILL 输出**教案框架**与**概念建构路径**，不代替老师备课、不输出\"标准答案\"、不替老师讲题。\n> AI 现出的题一律标注 `【AI 生成，入库前请人工验算】`，生成前按 `shared/ai-item-check.md` 自检；未经老师确认不得写入资源库或试卷。\n> 题目版权状态只用 `shared/vocab.md §11` 的四个枚举值：`自有` / `改编` / `公开可引用` / `仅存索引`（教辅原题与历年真题一律 `仅存索引`）。\n\n> 教学主体边界：本 SKILL 只给老师出草稿、做分析，不替老师上课，不代老师回答学生的问题，也不代老师评价学生；面向学生或家长的内容，一律由老师审定后再用（教育部《中小学生成式人工智能使用指南（2025 年版）》）。\n\n### 隐私与数据控制入口\n\n```text\n- 查看：「查看我的教案档案」\n- 更正：「更正我的档案」\n- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）\n- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）\n- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」\n- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）\n```\n\n---\n\n## 〇、对齐 2022 版课标\n\n本 SKILL 的教学目标话语沿用 `xiaozhi-teach-lesson-planner` 的核心素养表述，数学学科落到\"三会\"与九个核心素养表现：\n\n```text\n数学课程要培养的核心素养——\"三会\"：\n  会用数学的眼光观察现实世界\n  会用数学的思维思考现实世界\n  会用数学的语言表达现实世界\n\n初中阶段的主要表现（写目标时从中选 1-2 个，写进 objectives[].coreCompetency）：\n  抽象能力 · 运算能力 · 几何直观 · 空间观念 · 推理能力\n  数据观念 · 模型观念 · 应用意识 · 创新意识\n\n写目标的方法（对应 classWorkspace.lessonPlans[].objectives）：\n  statement       ：学生能…（行为动词 + 条件 + 标准），可观测\n  cognitiveLevel  ：课标四级结果目标 了解 / 理解 / 掌握 / 运用\n  coreCompetency  ：本目标发展的是哪一个核心素养表现\n\n反例：目标只写\"掌握一元一次方程的解法\"——没有条件、没有标准、没有指向素养。\n改写：学生能在 3 分钟内独立解含括号的一元一次方程并说明每步依据（掌握 / 运算能力）。\n```\n\n---\n\n## 一、核心使命\n\n数学教学常见的三个误区：\n\n```text\n误区① 概念=背诵：把概念当定义背诵，学员记不住、\n        不会用。考完就忘。\n\n误区② 讲题=念答案：老师在黑板上讲一遍，学员抄一遍，\n        学员没有\"自己思考\"的过程。\n\n误区③ 训练=刷题：只追求\"量\"，不讲方法、\n        不讲变式、不讲关联。\n```\n\n本 SKILL 要解决的是：\n- **让概念\"有根\"**：每个概念都有引入情境\n- **让讲题\"有方\"**：每道例题都有思路引导\n- **让训练\"有变\"**：从\"刷题\"到\"变式\"\n- **让学习\"有迹\"**：学员能看到自己数学思维成长\n\n---\n\n## 二、触发时机\n\n| 触发场景 | 示例语句 |\n|---------|---------|\n| 概念怎么讲 | \"这个概念怎么讲\" |\n| 教案设计 | \"教案怎么写\" |\n| 学员不会做题 | \"学员不会做题\" |\n| 数学思维 | \"数学思维怎么教\" |\n| 概念引入 | \"概念怎么引入\" |\n| 变式训练 | \"变式训练怎么设计\" |\n| 例题选择 | \"例题怎么选\" |\n| 错例分析 | \"学员错在哪里\" |\n\n---\n\n## 三、核心流程\n\n```text\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ① 概念建构                │\n                │  情境/变式/对比           │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ② 例题示范                │\n                │  思路/步骤/易错           │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ③ 变式训练                │\n                │  一题多解/多题一解/换条件 │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ④ 课堂小结                │\n                │  结构图/口诀/反思         │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ⑤ 错例档案                │\n                │  → 学员档案              │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ⑥ 写回 student-analyzer   │\n                │  数学思维维度             │\n                └──────────────────────────┘\n```\n\n---\n\n## 四、概念建构\n\n### 4.1 概念建构四步（**全库唯一一套**，与 `references/concept-build-template.md` 完全一致）\n\n```text\n┌──────────┬──────────────┬────────────────────────┬──────────────┬──────────┐\n│ 步骤      │ 名称          │ 描述                    │ 关键问题      │ 45分钟占比│\n├──────────┼──────────────┼────────────────────────┼──────────────┼──────────┤\n│ 第 1 步   │ 情境引入      │ 激活经验、暴露朴素理解   │ 你看到了什么  │ 15-20%   │\n│ 第 2 步   │ 抽象概括      │ 提取共同特征**并命名**   │ 什么是一样的  │ 25-30%   │\n│ 第 3 步   │ 应用辨析      │ 正例/反例，区别相似概念  │ 这算不算，为什么│ 30-35%  │\n│ 第 4 步   │ 体系化        │ 纳入已有知识网络         │ 它挂在哪儿    │ 15-20%   │\n└──────────┴──────────────┴────────────────────────┴──────────────┴──────────┘\n\n注：旧版\"命名\"单列为第 3 步、\"辨析\"为第 4 步的说法已废止。\n    命名并入第 2 步（抽象概括的收口动作），体系化独立为第 4 步。\n    时长占比按 45 分钟一节课（`shared/grade-bands.md` 第三节），四步合计 ≤100%，\n    留出的余量给课堂小结与作业布置。\n```\n\n### 4.2 情境引入 5 类\n\n```text\n① 生活情境\n  · 学员生活中有真实体验\n  · 例：分数（切披萨）、小数（钱）\n\n② 历史情境\n  · 数学史故事\n  · 例：负数（古代记账）、圆周率（祖冲之）\n\n③ 游戏情境\n  · 让学员玩中学\n  · 例：找规律（数字接龙）\n\n④ 问题情境\n  · 学员需要解决的具体问题\n  · 例：行程问题（相遇追及）\n\n⑤ 反例情境\n  · 学员\"试错\"中理解\n  · 例：平行（看上去平但不平行）\n```\n\n### 4.3 概念对比辨析\n\n```text\n■ 容易混淆的概念配对\n  · 平方/立方\n  · 锐角/钝角\n  · 奇数/偶数\n  · 质数/合数\n  · 因数/倍数\n  · 等腰/等边\n  · 半径/直径\n  · 周长/面积\n  · 速度/时间/路程\n  · 比率/比例\n  · 概率/统计\n\n■ 辨析三问\n  · 这两个概念的共同点？\n  · 这两个概念的差异点？\n  · 怎么区分它们？\n```\n\n### 4.4 概念建构样板\n\n> 📎 完整模板见 `references/concept-build-sample.md`（概念建构填写样板：概念/情境引入/抽象/命名/辨析/理解检查）\n\n---\n\n## 五、例题示范\n\n### 5.1 例题三要素\n\n```text\n① 思路\n  · 怎么想到的？\n  · 关键是什么？\n\n② 步骤\n  · 第一步：X\n  · 第二步：X\n  · ...\n\n③ 易错\n  · 学员会错在哪里？\n  · 怎么避免？\n```\n\n### 5.2 思路引导法\n\n```text\n■ \"出声思维\"\n  · 老师边讲边\"出声\"\n  · \"我看到 X，所以想到 Y...\"\n\n■ \"回溯法\"\n  · 从问题倒推\n  · \"要解 X，需要先知道 Y...\"\n\n■ \"类比法\"\n  · 联系学员已知\n  · \"我们学过的 X 和这题有什么相同？\"\n\n■ \"图示法\"\n  · 把抽象变形象\n  · 线段图/示意图/坐标图\n\n■ \"假设法\"\n  · 先假设一个简单值\n  · 看看会发生什么\n```\n\n### 5.3 例题示范样板\n\n> 📎 完整模板见 `references/example-demo-sample.md`（例题示范填写样板：题目/思路/步骤/易错提醒/一题多解）\n\n---\n\n## 六、变式训练\n\n### 6.1 变式三类型\n\n```text\n┌──────────┬────────────────────────┬──────────────┐\n│ 类型      │ 描述                    │ 训练目标      │\n├──────────┼────────────────────────┼──────────────┤\n│ 一题多解  │ 一道题多种解法          │ 思维灵活性    │\n│ 多题一解  │ 多道题同一种方法        │ 方法识别      │\n│ 变条件    │ 改变题目条件/问题       │ 思维深度      │\n└──────────┴────────────────────────┴──────────────┘\n```\n\n### 6.2 一题多解设计\n\n```text\n■ 设计原则\n  · 解法之间有差异\n  · 解法有不同适用范围\n  · 不为了多解而多解\n\n■ 教学法\n  · 老师先示范 2 种解法\n  · 学员尝试第 3 种\n  · 小组讨论\"哪种最好\"\n```\n\n### 6.3 多题一解设计\n\n```text\n■ 设计原则\n  · 题目的\"形\"不同\n  · 核心方法相同\n  · 难度梯度合理\n\n■ 教学法\n  · 学员做 3-5 道题\n  · 找出\"共同点\"\n  · 总结方法\n```\n\n### 6.4 变条件设计\n\n```text\n■ 改条件\n  · 把整数改成小数或分数\n  · 去掉一个条件（注意：去掉后必须仍然有解，否则不成题）\n  · 加一个条件（注意：不要加成矛盾条件）\n\n■ 改问题\n  · 把\"求 X\"改成\"判断 X 是否成立并说明理由\"\n  · 把\"求值\"改成\"求取值范围\"\n\n■ 改情境\n  · 保持数量关系不变，换一个生活场景\n    （如\"鸡兔同笼\"→\"5元和10元纸币\"→\"答对加分答错扣分\"）\n\n⚠️ 每一道变式题，出题后按 `shared/ai-item-check.md` 自检：\n   自解一遍 → 有解且唯一 → 条件充分不多余 → 数值友好（人数/件数为非负整数）\n   → 学段内 → 与原题同型。三个\"变\"里最容易出问题的是\"去掉一个条件\"。\n```\n\n### 6.5 变式训练样板\n\n> 📎 完整模板见 `references/variation-training-sample.md`（变式训练填写样板：基础题 + 一题多解/多题一解/变条件三组变式）\n\n---\n\n## 七、课堂小结\n\n### 7.1 小结三形式\n\n```text\n┌──────────┬────────────────────────┐\n│ 形式      │ 描述                    │\n├──────────┼────────────────────────┤\n│ 结构图    │ 概念/方法的逻辑结构     │\n│ 口诀      │ 朗朗上口的关键句       │\n│ 反思      │ 学员自问 3 个问题       │\n└──────────┴────────────────────────┘\n```\n\n### 7.2 结构图样板\n\n```text\n┌──────────────────────┐\n│  本节核心概念         │\n│  [X]                 │\n└──────────┬───────────┘\n           │\n   ┌───────┴───────┐\n   ↓               ↓\n定义          关键\n[X]          [X]\n   │               │\n   ↓               ↓\n性质          例子\n[X]          [X]\n```\n\n### 7.3 反思三问\n\n```text\n· 我今天学了什么？（What）\n· 我怎么用？（How）\n· 我能用它解决新问题吗？（Transfer）\n```\n\n---\n\n## 八、错例档案\n\n### 8.1 错因分类\n\n老师端七类见 `shared/vocab.md §3`；写入任何档案或与学生端交换时必须映射到通用四维。\n\n```text\n┌──────────────┬────────────────────────┬──────────────┐\n│ 老师端七类    │ 描述                    │ 通用四维      │\n├──────────────┼────────────────────────┼──────────────┤\n│ 知识漏洞      │ 缺前置知识              │ 概念模糊      │\n│ 概念模糊      │ 没理解本节概念          │ 概念模糊      │\n│ 规则错误      │ 公式/法则记错           │ 概念模糊      │\n│ 审题错误      │ 漏看条件/看错问题/抄错题 │ 读题失误      │\n│ 策略错误      │ 方法选择不当            │ 方法用错      │\n│ 表达/书写不规范│ 会做但过程不得分        │ 方法用错      │\n│ 计算错误      │ 列式对、算错            │ 计算失误      │\n│ 习惯性失误    │ 漏写单位/漏写步骤/不检查 │ 计算失误      │\n└──────────────┴────────────────────────┴──────────────┘\n\n互斥规则（一道题只归一类）：\n  \"移项不变号\" → 规则错误（概念），不归计算错误\n  \"看错数字/抄错题\" → 审题错误，不归习惯性失误\n  \"不写单位\" → 表达/书写不规范或习惯性失误，按是否影响得分区分\n不使用\"粗心\"作为原因——粗心是结果，不是原因。\n```\n\n### 8.2 错例档案样板\n\n> 📎 完整模板见 `references/error-case-file-sample.md`（错例档案填写样板：错题/错因/错因溯源/改进措施，学员用化名）\n\n---\n\n## 九、与上游/下游 SKILL 的协作\n\n### 9.1 协作流图\n\n```text\n              ┌────────────────────────┐\n              │ xiaozhi-teach-         │\n              │  lesson-planner        │\n              │ （数学课嵌入教案）      │\n              └───────────┬────────────┘\n                          │\n                          ↓\n              ┌────────────────────────┐\n              │ 课堂（数学教学）        │\n              └───────────┬────────────┘\n                          │\n                          ↓\n              ┌────────────────────────┐\n              │ xiaozhi-teach-         │\n              │  math-lesson-planner   │\n              │  （本 SKILL）           │\n              └───────────┬────────────┘\n                          │\n        ┌─────────────────┼─────────────────┐\n        ↓                 ↓                 ↓\n  student-analyzer  resource-library  parent-communication\n  （数学思维维度）  （错例入库）      （数学进步反馈）\n```\n\n### 9.2 接口（唯一契约：`shared/class-teaching-workspace.schema.json`）\n\n```text\n读：\n  classWorkspace.classProfile.gradeBand / gradeLevel / periodMinutes / textbookVersion\n      → 学段、年级、课时长度（45 分钟为初中默认）、教材版本\n  classWorkspace.weaknessRank[]（weaknessId / knowledgePoint / errorRate / dimension）\n      → 本课要针对的班级弱项\n  classWorkspace.studentTiers[]（studentAlias / tier）\n      → A/B/C 三层，用于分层活动设计\n\n写（生成待确认条目，老师确认后落库）：\n  classWorkspace.lessonPlans[]\n    .planId / .topic / .date / .planType / .periodMinutes\n    .objectives[] { statement, cognitiveLevel（了解/理解/掌握/运用）, coreCompetency }\n    .segments[]   { name, minutes, activity, tierVariants{A,B,C} }\n        → 概念建构四步对应四个 segment，minutes 之和 ≤ periodMinutes\n    .questionChain[]      → 课堂提问链，按 cognitiveLevel 递进\n    .boardPlan            → 板书设计（课堂小结的结构图放这里）\n    .sourceWeaknessIds[]  → 本课针对的 weaknessRank 条目\n  classWorkspace.interactionLogs[]\n    .misconceptionsObserved[] → 课上观察到的典型错误（错例档案的来源）\n    .questionEffectNote       → 哪一问引发思考、哪一问无人回应\n    .adjustmentForNext        → 下次调整\n```\n\n**写回学生端档案**：只走 `handoverType: \"teacher_writeback\"`，\npayload 为 `teacherWritebackData`（`teacherSkill` / `studentAlias` / `weakKnowledgePointUpdates[]` / `note`），\n发送前必须核对 `meta.consentStatus.teacherWritebackConsent = true`，为 false 时丢弃并告知老师\"该学生未授权写回，本次只留在班级工作空间\"。\n`note` 只写低敏事实描述，禁止心理标签、家庭信息、真实姓名。\n\n**给家长的反馈**：本 SKILL 不直接生成家长内容；需要时交 `xiaozhi-teach-parent-communication`，\n由它在核对 `parentSharingConsent`（含情绪内容再核对 `emotionSharingWithParent`）后输出。不默认推送家长简报。\n\n⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记\"已转介\"的处置事实。\n\n---\n\n## 十、字段级高敏信息防护\n\n```text\n✅ 错例档案可用化名\n✅ 学员数学能力档案用化名\n❌ 禁止：公开\"某学员的错题\"\n❌ 禁止：未授权复制教辅题库\n✅ 题目标注 copyrightStatus：自有 / 改编 / 公开可引用 / 仅存索引（shared/vocab.md §11）\n✅ AI 生成题标注【AI 生成，入库前请人工验算】\n```\n\n---\n\n## 十一、行为准则\n\n| ✅ 应该做 | ❌ 不能做 |\n|---------|---------|\n| 概念建构（情境/抽象/命名/辨析） | 概念=背诵定义 |\n| 例题有思路/步骤/易错 | 讲题=念答案 |\n| 变式训练（多解/多题/变条件） | 训练=刷题 |\n| 课堂小结（结构图/口诀/反思） | 一讲到底 |\n| 错例档案累积 | 错题不复盘 |\n| 学员真实姓名不公开 | 公开批评学员错题 |\n\n---\n\n## 十二、与其他 SKILL 的协同清单\n\n```text\n数学教案设计\n    <── xiaozhi-teach-lesson-planner（数学课嵌入教案）\n    <── xiaozhi-teach-student-analyzer（学情/弱项）\n    ──→ xiaozhi-teach-student-analyzer（数学思维维度）\n    ──→ xiaozhi-teach-resource-library（错例入库）\n    ──→ xiaozhi-teach-parent-communication（数学进步反馈）\n    ──→ 学生端 xiaozhi-math-concept-explainer（学员视角）\n```\n\n**禁止行为**：\n- 禁止 AI 替学员做数学题\n- 禁止 AI 替老师备课（只提供框架）\n- 禁止未授权复制教辅题库\n- 禁止公开学员错题\n- 禁止只讲\"答案\"不讲\"思路\"\n\n---\n\n## 十三、高中：高一衔接段的教案\n\n依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题一\"预备知识\"（建议 18 课时）与主题二\"函数\"（建议 52 课时）。课时、班额、教材版本一律以 `classWorkspace.classProfile` 为准，本 SKILL 不写死教材章节与课时数；必修后半与选择性必修的教案见第十四节。\n\n- **概念建构四步照用**：函数概念、单调性、弧度制、诱导公式等高一概念课，情境引入与抽象概括可以用课标附录的案例 2、5、3、6 作素材；单调性的单元整体设计还可参考案例 32（函数单调性主题教学设计，只取必修部分）。案例与单元的对应见 `references/math-hs-curriculum-map.md` 第八节。\n- **衔接要点**（课标教学提示）：初中阶段数学知识相对具体，高中阶段相对抽象，要帮学生完成学习心理与学习方式的过渡；集合与常用逻辑用语以学过的初中内容为载体来梳理；单调性要引导学生用符号语言表达；定义域、值域与函数性质的教学避免偏题、怪题和烦琐的技巧训练；鼓励用信息技术画函数图像、探索规律。\n- **目标对齐**：`objectives[].coreCompetency` 填高中数学六个核心素养之一——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。\n- **变式训练**照第六节做，变式题生成前按 shared/ai-item-check.md 自检，不超出高一必修范围。\n- **选学内容**：课标标＊的\"函数的形成与发展\"\"对数概念的形成与发展\"是选学内容，不作为考试要求。\n\n课程结构、各主题的单元要点、课标案例对应、学业质量与考试见 `references/math-hs-curriculum-map.md`。\n\n---\n\n## 十四、高中：必修后半与选择性必修的教案\n\n依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题三\"几何与代数\"（建议 42 课时）、主题四\"概率与统计\"（建议 20 课时）、主题五\"数学建模活动与数学探究活动\"（建议 6 课时），以及选择性必修的\"函数\"（30 课时）、\"几何与代数\"（44 课时）、\"概率与统计\"（26 课时）、\"数学建模活动与数学探究活动\"（4 课时）。课时、班额、教材版本仍以 `classWorkspace.classProfile` 为准。\n\n- **概念建构四步照用**，各单元可用的课标教学案例：向量投影（案例 9）、复数的引入（案例 10）、正方体截面的探究（案例 11）、投掷骰子问题（案例 12）、分层抽样（案例 13）、阶梯电价的设计（案例 14）、用向量方法研究距离问题（案例 17）、二项式定理与杨辉三角（案例 18、19）；对应关系见 `references/math-hs-curriculum-map.md` 第八节。\n- **各单元的教学提示**（课标）：向量从力、速度、位移入手，从物理、几何、代数三个角度理解；复数重在表示与几何意义，避免烦琐的计算与技巧训练；立体几何初步借助长方体与实物模型，判定定理只要求直观感知、操作确认，到选择性必修再用向量方法论证；概率与统计让学生经历数据处理的全过程；数列与一元一次函数、指数函数类比；导数从平均变化率过渡到瞬时变化率，理解不求一步到位；空间向量与综合几何方法对比着用；解析几何先说清图形的几何特征，再建系、用代数语言描述，最后回到几何解释。\n- **数学建模活动与数学探究活动**：必修、选择性必修各要求完成一个课题研究（课标案例 15、16）。教案里写清选题、开题、做题、结题的时间节点和评价方式；开题报告与研究报告由学生完成，教师引导学生遵守学术规范、坚守诚信底线。\n- **只备学业水平考试的班级**：教学只到必修，不引入选择性必修的方法（如用空间向量证明位置关系）。选修课程（A～E 类）本 SKILL 不覆盖。\n- **选学内容**：课标标＊的复数的三角表示、几何学的发展、数学归纳法、微积分的创立与发展、平面解析几何的形成与发展、贝叶斯公式是选学内容，不作为考试要求；教案可以按班情安排，但不进测评。\n- **目标对齐**与第十三节相同，`objectives[].coreCompetency` 填六个核心素养之一。\n- **变式训练**照第六节做，变式题生成前按 shared/ai-item-check.md 自检，不超出所教班级已学的必修、选择性必修范围，不用这个范围以外的方法。\n\n---\n\n## 十五、参考资源\n\n- `references/math-hs-curriculum-map.md` — 高中数学课程地图：课程结构与课时、必修与选择性必修各主题的单元要点与教学提示、课标案例对应、学业质量与考试\n- `references/concept-build-template.md` — 概念建构四步模板（情境引入/抽象概括/应用辨析/体系化，含 45 分钟样板）\n- `references/variation-design.md` — 变式训练设计模板（一题多解/多题一解/变条件，含验算说明）\n- `references/error-pattern-rubric.md` — 错因分类表（教师端七类 + 互斥判定 + 通用四维映射 + 教案预防）\n- `references/concept-build-sample.md` — 概念建构填写样板（概念/情境引入/抽象/命名/辨析/理解检查）\n- `references/example-demo-sample.md` — 例题示范填写样板（题目/思路/步骤/易错提醒/一题多解）\n- `references/variation-training-sample.md` — 变式训练填写样板（基础题 + 三组变式）\n- `references/error-case-file-sample.md` — 错例档案填写样板（错题/错因/溯源/改进措施）\n\n---\n\n> 💡 **小智说：**\n> \"数学不是一座'山'，是一棵'树'。\n>  概念是根，方法是枝，题目是叶。\n>  学员在数学学习里，\n>  应该是'种树'而不是'摘叶'。\"\n\nFile v2.10.0:_meta.json\n\n{\n  \"ownerId\": \"kn79c5gcmfkt9p1pk656tgq7nd853s7v\",\n  \"slug\": \"xiaozhi-teach-math-lesson-planner\",\n  \"version\": \"2.10.0\",\n  \"publishedAt\": 1790871655807\n}\n\nFile v2.10.0:references/concept-build-sample.md\n\n# 概念建构样板（填写模板）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。四步与时长占比见同目录 `concept-build-template.md`（45 分钟一节课）。\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 概念建构样板 · [概念名]\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 概念\r\n  [概念名]\r\n  [定义]\r\n\r\n■ 情境引入\r\n  · 生活情境：[X]\r\n  · 学员先尝试：[X]\r\n  · 老师引导：[X]\r\n\r\n■ 抽象\r\n  · 共同特征：[X]\r\n  · 提取过程：[X]\r\n\r\n■ 命名\r\n  · 名称：[X]\r\n  · 符号：[X]\r\n  · 来源：[X]\r\n\r\n■ 辨析\r\n  · 区别于 [X]：[X]\r\n  · 易错点：[X]\r\n\r\n■ 学员理解检查\r\n  · 学员能否用自己的话讲？\r\n  · 学员能否举出生活中的例子？\r\n  · 学员能否区分相似概念？\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\n\nFile v2.10.0:references/concept-build-template.md\n\n# 数学概念建构四步模板\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）；按 45 分钟一节课设计（`shared/grade-bands.md` 第三节）。\r\n> 示例题验算：2026-09-03\r\n> 配合 `xiaozhi-teach-math-lesson-planner` 使用。从\"情境-抽象-应用-体系化\"四步建构数学概念，是数学教案设计的核心骨架。\r\n> **本表是全库唯一一套概念建构四步**，SKILL.md §4.1 与本文件一致；旧版把\"命名\"单列一步的说法已废止（命名并入第 2 步）。\r\n\r\n## 1. 概念建构四步总览\r\n\r\n```text\r\n┌──────────┬──────────────┬────────────────┬──────────────┬──────────┐\r\n│ 步骤      │ 名称          │ 关注重心        │ 关键问题      │ 45分钟占比│\r\n├──────────┼──────────────┼────────────────┼──────────────┼──────────┤\r\n│ 第 1 步   │ 情境引入      │ 激活经验        │ 你看到了什么  │ 15-20%   │\r\n│ 第 2 步   │ 抽象概括      │ 提取本质并命名  │ 什么是一样的  │ 25-30%   │\r\n│ 第 3 步   │ 应用辨析      │ 巩固理解        │ 这算不算，为什么│ 30-35%  │\r\n│ 第 4 步   │ 体系化        │ 建立联系        │ 它挂在哪儿    │ 15-20%   │\r\n└──────────┴──────────────┴────────────────┴──────────────┴──────────┘\r\n\r\n四步合计 ≤100%，余量留给课堂小结与作业布置。\r\n写进教案时对应 classWorkspace.lessonPlans[].segments[]，\r\n四个 segment 的 minutes 之和 ≤ classProfile.periodMinutes。\r\n```\r\n\r\n## 2. 概念建构四步详细\r\n\r\n### 2.1 第 1 步：情境引入\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 激活学员已有经验\r\n  · 暴露学员朴素理解\r\n  · 制造\"认知冲突\"\r\n\r\n【3 类情境】\r\n  · 生活情境：生活中遇到的场景\r\n  · 游戏情境：可操作的活动\r\n  · 历史情境：数学史故事\r\n\r\n【设计要点】\r\n  · 情境必须\"真实\"（学员觉得是有意义的问题）\r\n  · 情境必须\"具体\"（可观察、可操作）\r\n  · 情境必须\"开放\"（有多种解法/答案）\r\n\r\n【时长占比】整节课 15-20%\r\n```\r\n\r\n### 2.2 第 2 步：抽象概括（含命名）\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 从具体情境中提取数学本质\r\n  · 给出\"数学定义\"或\"数学表达式\"\r\n  · 学员自己命名/表述（命名是本步的收口动作，不单列一步）\r\n\r\n【3 种抽象路径】\r\n  · 归纳抽象：从多个实例中归纳共同点\r\n  · 类比抽象：用学员熟悉的概念类比\r\n  · 符号抽象：用数学符号/字母表达\r\n\r\n【关键提问】\r\n  · \"你发现这些例子有什么共同点？\"\r\n  · \"如果让你给这个概念起个名字，你会叫什么？\"\r\n  · \"你能用一句话描述这个概念吗？\"\r\n\r\n【时长占比】整节课 25-30%\r\n```\r\n\r\n### 2.3 第 3 步：应用辨析\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 在新情境中识别并应用概念\r\n  · 区分易混淆概念\r\n  · 形成\"什么时候用 / 什么时候不用\"的判断\r\n\r\n【3 类应用】\r\n  · 正面应用：典型题，识别→应用\r\n  · 反例辨析：找出反例，加深理解\r\n  · 类比应用：迁移到相似概念\r\n\r\n【关键提问】\r\n  · \"这是[概念]的实例吗？为什么？\"\r\n  · \"下列哪些是[概念]？为什么？\"\r\n  · \"[概念 A] 和 [概念 B] 有什么区别？\"\r\n\r\n【时长占比】整节课 30-35%\r\n```\r\n\r\n### 2.4 第 4 步：体系化\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 把新概念纳入已有知识图谱\r\n  · 建立\"上位/下位/并列\"关系\r\n  · 形成\"概念网络\"\r\n\r\n【3 种联系】\r\n  · 上位联系：新概念属于哪个更大的类？\r\n  · 下位联系：新概念包含哪些特例？\r\n  · 并列联系：与哪些概念并列/对比？\r\n\r\n【输出形式】\r\n  · 概念图（思维导图）\r\n  · 知识树\r\n  · 关系表\r\n\r\n【时长占比】整节课 15-20%\r\n```\r\n\r\n## 3. 教学样板：建构\"一元一次方程\"概念（45 分钟）\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 概念建构样板：一元一次方程 · 45 分钟\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n\r\n【第 1 步：情境引入】（8 分钟，18%）\r\n  · 问题 1：妈妈买苹果，每个 3 元，买 5 个，共花多少元？\r\n    → 学员列算式：3 × 5 = 15                （已知推未知，算术思路）\r\n  · 问题 2：妈妈有 50 元，买了 5 个苹果，每个 x 元，还剩多少元？\r\n    → 学员列代数式：50 − 5x                  （出现字母，但还不是方程）\r\n  · 问题 3：妈妈有 50 元，买了 x 个苹果，每个 3 元，还剩 35 元，求 x。\r\n    → 学员列等式：50 − 3x = 35               （未知数参与列式，方程思路）\r\n  · 关键认知冲突：问题 3 用算术倒着算也能得 x=5，\r\n    但让学员比较\"倒着算\"和\"顺着列等式\"哪个更容易说清楚——引出方程的价值。\r\n\r\n【第 2 步：抽象概括（含命名）】（12 分钟，27%）\r\n  · 并排给出：50 − 3x = 35、5x = 10、2x + 3 = 11、x/2 = 4\r\n  · 追问：\"这几个式子有什么共同点？\"\r\n    → 都是等式；都只有一个字母；字母的次数都是 1；等号两边都是整式\r\n  · 学员自己命名，教师给出规范名称：一元一次方程\r\n  · 三个关键词（缺一不可）：\r\n      一元 —— 只含一个未知数\r\n      一次 —— 未知数的次数是 1\r\n      整式 —— **等号两边都是整式**（这一条最容易漏，是本节的关键）\r\n  · 回看第 1 步：50 − 5x 只是代数式，没有等号，所以不是方程。\r\n\r\n【第 3 步：应用辨析】（15 分钟，33%）\r\n  · 判断下列各式是不是一元一次方程，并说明理由：\r\n    □ x + 5 = 8        ✓ 一元、一次、两边都是整式\r\n    □ x + 5            ✗ 不是等式（没有等号），是代数式\r\n    □ 2x + 3y = 10     ✗ 二元\r\n    □ x² = 9           ✗ 未知数次数是 2\r\n    □ x/2 = 3          ✓ 分母是数字 2，x/2 仍是整式\r\n    □ 0.5x = 3         ✓ 系数是小数不影响，仍是一元一次方程\r\n    □ 1/x = 2          ✗ **分母里含未知数，左边不是整式 → 这是分式方程，不是一元一次方程**\r\n  · 追问推进：\"x/2 = 3 可以，1/x = 2 不行——差别在哪里？\"\r\n    → 让学员自己说出\"字母在不在分母上\"\r\n  · 写出\"我能识别一元一次方程的 3 个关键\"：一元 / 一次 / 两边都是整式\r\n\r\n【第 4 步：体系化】（7 分钟，16%）\r\n  · 两棵树分开挂，不要混成一棵：\r\n\r\n    树一（按\"式子的种类\"分）：\r\n      代数式\r\n        ├── 整式（单项式 / 多项式）\r\n        └── 分式（分母含字母）\r\n      —— 方程**不在**这棵树上：方程是\"含未知数的等式\"，代数式没有等号。\r\n\r\n    树二（按\"方程的种类\"分）：\r\n      等式\r\n        └── 方程（含未知数的等式）\r\n              ├── 整式方程\r\n              │     ├── 一元一次方程   ← 本节\r\n              │     ├── 一元二次方程（九年级）\r\n              │     └── 二元一次方程（→ 与另一个方程组成二元一次方程组）\r\n              └── 分式方程（如 1/x = 2，八年级）\r\n\r\n  · 追问：\"1/x = 2 挂在哪个位置？为什么不挂在一元一次方程下面？\"\r\n  · 输出：学员自己画的两棵树（拍照存入错例/学案档案，用化名）\r\n\r\n【机动】（3 分钟）课堂小结 + 布置作业\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n\r\n四步合计 42 分钟 + 3 分钟机动 = 45 分钟，占比 18%/27%/33%/16%，落在 §1 的建议区间内。\r\n```\r\n\r\n## 4. 概念建构自检清单\r\n\r\n```text\r\n□ 第 1 步：情境是否真实/具体/开放？\r\n□ 第 2 步：抽象是否由学员主动完成？\r\n□ 第 3 步：是否有反例辨析？\r\n□ 第 4 步：是否画出了概念图？\r\n```\r\n\r\n## 5. 概念建构常见误区\r\n\r\n```text\r\n误区 ① 跳过情境直接给定义\r\n  → 学员\"知道\"但\"不理解\"\r\n误区 ② 抽象过快，学员跟不上\r\n  → 学员放弃参与\r\n误区 ③ 应用题都是\"识别→套公式\"\r\n  → 学员迁移能力差\r\n误区 ④ 体系化变成抄板书\r\n  → 学员没有内化\r\n```\r\n\r\n## 6. 老师自备内容\r\n\r\n- [ ] 学员化名档案（化名 + 概念建构水平）\r\n- [ ] 学员已有的\"知识图谱\"档案\r\n- [ ] 学员常错的概念清单（用于教学调整）\r\n- [ ] 学校/学段的数学概念大纲\n\nFile v2.10.0:references/error-case-file-sample.md\n\n# 错例档案样板（填写模板）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。错因词表见 `shared/vocab.md §3`；学员一律用化名。\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 错例档案 · [学员化名]\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 错题\r\n  · 题号/题目：[X]\r\n  · 学员作答：[X]\r\n  · 正确答案：[X]\r\n\r\n■ 错因\r\n  · 主要错因：[X]\r\n  · 次要因：[X]\r\n\r\n■ 错因溯源\r\n  · 涉及概念：[X]\r\n  · 学员的理解偏差：[X]\r\n  · 漏掉的关键步骤：[X]\r\n\r\n■ 改进措施\r\n  · 重新讲解 [X]\r\n  · 练习 [X] 类题\r\n  · 下次课检查\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\n\nFile v2.10.0:references/error-pattern-rubric.md\n\n# 数学错因分类表（教案层）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。\r\n> 配合 `xiaozhi-teach-math-lesson-planner` 使用。从教案设计角度区分 7 类常见错因，帮助老师在备课阶段就预防典型错误。\r\n> **词表以 `shared/vocab.md §3` 为唯一来源**：七类只用于教师端教学诊断，写入档案或与学生端交换时必须映射到通用四维。\r\n\r\n## 1. 7 类错因总览（含通用四维映射）\r\n\r\n```text\r\n┌──────┬────────────────┬────────────────────────┬────────────┐\r\n│ #    │ 错因类别        │ 典型表现               │ 通用四维    │\r\n├──────┼────────────────┼────────────────────────┼────────────┤\r\n│ 1    │ 知识漏洞        │ 前置知识不会           │ 概念模糊    │\r\n│ 2    │ 概念模糊        │ 用错公式/混淆符号      │ 概念模糊    │\r\n│ 3    │ 规则错误        │ 算法步骤错/法则记错    │ 概念模糊    │\r\n│ 4    │ 审题错误        │ 看错条件/漏关键字/抄错题│ 读题失误    │\r\n│ 5    │ 策略错误        │ 方法选择不当           │ 方法用错    │\r\n│ 6    │ 表达/书写不规范  │ 会做但过程写不全、跳步  │ 方法用错    │\r\n│ 7    │ 计算错误        │ 列式对、算术或符号算错  │ 计算失误    │\r\n│ 8    │ 习惯性失误      │ 漏写单位/漏写步骤/不检查│ 计算失误    │\r\n└──────┴────────────────┴────────────────────────┴────────────┘\r\n\r\n注：本表列了 8 行，其中\"知识漏洞/概念模糊/规则错误\"三行同属概念模糊维度，\r\n    教师端把它们合称\"7 类\"是历史叫法；分类使用时以 shared/vocab.md §3 的七类为准\r\n    （知识漏洞、规则错误、计算错误、审题错误、策略错误、表达/书写不规范、习惯性失误），\r\n    \"概念模糊\"是这七类映射后的通用维度名。备课时按上表任一行标注均可，\r\n    但写入 classWorkspace.errorTally 时 dimension 只能填通用四维。\r\n\r\n⚠️ 不使用\"粗心\"作为原因——粗心是结果，不是原因。原\"粗心大意\"一类已改为\"习惯性失误\"，\r\n   并要求写清具体行为（漏写单位 / 跳步 / 不检验），否则不能作为一条错因记录。\r\n```\r\n\r\n## 1.1 互斥判定规则（一道题只归一类）\r\n\r\n```text\r\n一题一类。同一道题出现多个特征时，按下面的优先顺序判：\r\n\r\n① 前置知识都没有 → 知识漏洞（不再往下判）\r\n② 本节概念说不清 → 概念模糊\r\n③ 概念清楚但法则记错（移项不变号、不等式两边乘负数不变号）\r\n   → **规则错误**，不归计算错误\r\n④ 条件读错、看错数字、抄错题 → **审题错误**，不归习惯性失误\r\n⑤ 读题无误、概念清楚，但选错方法/路径 → 策略错误\r\n⑥ 方法对、答案对，只是过程写不全或跳步扣分 → 表达/书写不规范\r\n⑦ 列式正确、只在运算中出错 → 计算错误\r\n⑧ 以上都不是，属于漏写单位/不检验一类的固定动作缺失 → 习惯性失误\r\n\r\n高频争议对照：\r\n  \"移项不变号\"        → 规则错误（③），不是计算错误\r\n  \"看错 5 写成 6\"     → 审题错误（④），不是习惯性失误\r\n  \"不等式乘负数没变号\" → 规则错误（③）\r\n  \"结果没写单位\"      → 表达/书写不规范或习惯性失误，按是否扣分区分\r\n  \"会做但没时间写完\"  → 不记为错因，记为答题节奏问题\r\n```\r\n\r\n## 2. 七类错因详解\r\n\r\n### 2.1 概念模糊\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员对核心概念理解不透彻\r\n【典型表现】\r\n  · 用错公式（如把长方形面积当周长）\r\n  · 混淆符号（如把 ≠ 当 =）\r\n  · 概念张冠李戴（如把\"等腰\"当\"等边\"）\r\n  · 概念边界不清（如不知道\"0\"是否属于正数）\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 在概念引入时增加正/反例对比\r\n  · 给出\"概念辨析卡\"\r\n  · 设计\"找错\"练习\r\n```\r\n\r\n### 2.2 规则错误\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员对运算法则/规则记忆错\r\n【典型表现】\r\n  · 解方程移项不变号\r\n  · 分数运算不找最小公倍数\r\n  · 因式分解漏项\r\n  · 函数单调性记反\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 把规则拆成最小步骤\r\n  · 设计\"我说你做\"操练\r\n  · 配合口诀/图示\r\n```\r\n\r\n### 2.3 审题错误\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员没看清题目条件\r\n【典型表现】\r\n  · 看错数字（如把 5 看 6）\r\n  · 漏掉关键字（如\"至少\"、\"整数\"）\r\n  · 多余条件没排除\r\n  · 问什么答什么没搞清\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 设计\"信息提取卡\"\r\n  · 训练\"圈关键字\"习惯\r\n  · 答案前问\"题目问什么\"\r\n```\r\n\r\n### 2.4 策略错误\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员选择的方法不当\r\n【典型表现】\r\n  · 用复杂方法解决简单题\r\n  · 不会用方程/反用算术\r\n  · 不会分类讨论\r\n  · 不画图分析\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 一题多解展示\r\n  · 策略选择\"决策树\"\r\n  · 强调\"先想再算\"\r\n```\r\n\r\n### 2.5 计算错误\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员算术/代数运算错\r\n【典型表现】\r\n  · 整数加减错\r\n  · 分数四则错\r\n  · 移项变号错\r\n  · 公式代入错\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 强计算专项训练\r\n  · 分步展示避免跳步\r\n  · 估算验证（先估后算）\r\n```\r\n\r\n### 2.6 习惯性失误（原\"粗心大意\"一类）\r\n\r\n```text\r\n【定义】固定动作缺失导致的失分——是**行为习惯问题**，不是态度问题\r\n【典型表现】\r\n  · 誊抄自己的中间结果时写错（如把自己算出的 8 抄成 3）\r\n  · 漏写单位、漏写答句\r\n  · 跳步导致自己回看时接不上\r\n  · 做完不检验（方程不代回、几何不复核图）\r\n\r\n【不属于本类】\r\n  · 看错题目里的数字 → 审题错误\r\n  · 抄错题目 → 审题错误\r\n  · 法则记错 → 规则错误\r\n\r\n【教案预防】（训练的是流程，不是心态）\r\n  · 规范答题模板：设→列→解→检验→答，五步固定\r\n  · \"二次检查\"清单化：符号 / 单位 / 是否回答了所问\r\n  · 把检验写进例题示范里，让检验成为解题的一部分而不是额外动作\r\n  · 限时训练用于练节奏，不用于施压\r\n```\r\n\r\n### 2.7 知识漏洞\r\n\r\n```text\r\n【定义】学员前置知识不会\r\n【典型表现】\r\n  · 分数运算不会 → 比例不会\r\n  · 三角形面积不会 → 几何综合题不会\r\n  · 一元一次方程不会 → 一元二次不会\r\n\r\n【教案预防】\r\n  · 课前测诊断\r\n  · 关联前置知识复习\r\n  · 阶梯式例题设计\r\n```\r\n\r\n## 3. 错因识别流程（按 §1.1 的顺序，问到第一个\"否\"就定类）\r\n\r\n```text\r\n学员答错 → 按顺序问：\r\n  ① 前置知识会不会？   不会 → 知识漏洞（停）\r\n  ② 本节概念说得清吗？ 说不清 → 概念模糊（停）\r\n  ③ 法则记对了吗？     记错 → 规则错误（停）\r\n  ④ 题目读对了吗？     读错/抄错 → 审题错误（停）\r\n  ⑤ 方法选对了吗？     选错 → 策略错误（停）\r\n  ⑥ 过程写全了吗？     没写全但方法对 → 表达/书写不规范（停）\r\n  ⑦ 运算做对了吗？     列式对、算错 → 计算错误（停）\r\n  ⑧ 以上都过了 →       习惯性失误（写清具体是哪个动作缺失）\r\n\r\n一题只走一遍这个流程，只落一类。\r\n```\r\n\r\n## 4. 教案错因预防检查表\r\n\r\n```text\r\n┌────────────────┬──────────────────┬────────────────┐\r\n│ 错因            │ 教案预防措施      │ 备课时是否落实  │\r\n├────────────────┼──────────────────┼────────────────┤\r\n│ 知识漏洞        │ 前置知识链接/课前测│ □ 是  □ 否     │\r\n│ 概念模糊        │ 概念辨析卡+正反例  │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 规则错误        │ 最小步骤拆解+操练  │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 审题错误        │ 信息提取训练      │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 策略错误        │ 一题多解展示      │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 表达/书写不规范  │ 过程分示范+评分说明│ □ 是  □ 否     │\r\n│ 计算错误        │ 估算验证环节      │ □ 是  □ 否     │\r\n│ 习惯性失误      │ 规范答题模板+检验步│ □ 是  □ 否     │\r\n└────────────────┴──────────────────┴────────────────┘\r\n```\r\n\r\n## 5. 各类错因的高发知识点（用于备课时预设易错点）\r\n\r\n```text\r\n┌────────────────┬──────────────────────────────┐\r\n│ 错因            │ 高发知识点                    │\r\n├────────────────┼──────────────────────────────┤\r\n│ 知识漏洞        │ 跨章节综合、需要用到前一学期内容的题 │\r\n│ 概念模糊        │ 函数概念、几何判定、符号与绝对值    │\r\n│ 规则错误        │ 移项变号、不等式两边乘负数、去括号  │\r\n│ 审题错误        │ 应用题、含\"至少/不少于/整数解\"的题 │\r\n│ 策略错误        │ 综合题、压轴题、需要分类讨论的题    │\r\n│ 表达/书写不规范  │ 证明题、解答题的过程分            │\r\n│ 计算错误        │ 分式运算、二次根式、代数式化简      │\r\n│ 习惯性失误      │ 应用题不写答句、几何不标图、不检验   │\r\n└────────────────┴──────────────────────────────┘\r\n```\r\n\r\n> **本表不给占比**：各类错因的比例因班、因单元、因试卷难度差异很大，\r\n> 全库统一的占比数字没有出处，也会误导备课重点。\r\n> 需要占比时，用本班 `classWorkspace.homeworkAssignments[].completionSummary.commonErrors[]`\r\n> 或 `classWorkspace.itemScores[]` 的实际数据现算，并注明样本量与来源。\r\n\r\n## 6. 老师自备内容\r\n\r\n- [ ] 学员化名档案（化名 + 常错类型）\r\n- [ ] 历次作业/试卷的错因分布数据\r\n- [ ] 班级常错知识点清单\r\n- [ ] 学校/学段的错因分布参考数据\n\nFile v2.10.0:references/example-demo-sample.md\n\n# 例题示范样板（填写模板）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。AI 现出的例题按 `shared/ai-item-check.md` 自检，并标【AI 生成，入库前请人工验算】。\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 例题示范样板\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 题目\r\n  [X]\r\n\r\n■ 思路\r\n  · 看到什么：[X]\r\n  · 想到什么：[X]\r\n  · 关键点：[X]\r\n\r\n■ 步骤\r\n  · 第一步：[X]\r\n  · 第二步：[X]\r\n  · 第三步：[X]\r\n\r\n■ 易错提醒\r\n  · 易错 1：[X] → 怎么避免：[X]\r\n  · 易错 2：[X] → 怎么避免：[X]\r\n\r\n■ 一题多解（可选）\r\n  · 解法 1：[X]\r\n  · 解法 2：[X]\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```\n\nFile v2.10.0:references/math-hs-curriculum-map.md\n\n# 高中数学课程地图：必修与选择性必修\r\n\r\n> 适用学段：高中。\r\n> 本文是 `xiaozhi-teach-math-lesson-planner` 第十三、十四节的参考资源：高中数学的课程结构与课时建议、必修与选择性必修各主题的单元要点与教学提示、课标教学与评价案例的对应、学业质量与考试。本文只写课程标准层面的结构，不写死任何版本教材的章节与课时。\r\n> 课程依据：《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》。课时为课标给出的建议，教材编写与教学实施时可以根据实际作适当调整。选修课程（A～E 类）不在本文范围内。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 一、高中·课程结构\r\n\r\n**学分**：必修课程 8 学分，选择性必修课程 6 学分，选修课程 6 学分。\r\n\r\n**核心素养**：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。\r\n\r\n**必修课程**：8 学分 144 课时，五个主题。\r\n\r\n| 主题 | 单元 | 建议课时 |\r\n|---|---|---|\r\n| 主题一　预备知识 | 集合；常用逻辑用语；相等关系与不等关系；从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 | 18 |\r\n| 主题二　函数 | 函数概念与性质；幂函数、指数函数、对数函数；三角函数；函数应用 | 52 |\r\n| 主题三　几何与代数 | 平面向量及其应用；复数；立体几何初步 | 42 |\r\n| 主题四　概率与统计 | 概率；统计 | 20 |\r\n| 主题五　数学建模活动与数学探究活动 | 数学建模活动与数学探究活动 | 6 |\r\n| 机动 | — | 6 |\r\n\r\n**选择性必修课程**：6 学分 108 课时，四个主题。\r\n\r\n| 主题 | 单元 | 建议课时 |\r\n|---|---|---|\r\n| 主题一　函数 | 数列；一元函数导数及其应用 | 30 |\r\n| 主题二　几何与代数 | 空间向量与立体几何；平面解析几何 | 44 |\r\n| 主题三　概率与统计 | 计数原理；概率；统计 | 26 |\r\n| 主题四　数学建模活动与数学探究活动 | 数学建模活动与数学探究活动 | 4 |\r\n| 机动 | — | 4 |\r\n\r\n必修课程是学业水平考试和高考的内容要求，选择性必修课程是高考的内容要求。以高中毕业为目标的学生完成必修、参加学业水平考试；以进入高等学校为目标的学生完成必修与选择性必修、参加高考。\r\n\r\n```verify\r\n{\"claim\": \"必修课时 18 + 52 + 42 + 20 + 6 + 6 = 144；选择性必修课时 30 + 44 + 26 + 4 + 4 = 108\", \"expr\": \"[18 + 52 + 42 + 20 + 6 + 6, 30 + 44 + 26 + 4 + 4]\", \"expect\": [144, 108]}\r\n```\r\n\r\n---\r\n\r\n## 二、高一·主题一\"预备知识\"（建议 18 课时）\r\n\r\n课标定位：以义务教育阶段的数学内容为载体，结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容，为高中数学做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡。\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 集合 | 集合的含义，元素与集合的属于关系；用符号语言刻画集合；全集与空集；包含与相等、子集；并集、交集、补集；用 Venn 图表达集合的关系与运算 |\r\n| 常用逻辑用语 | 必要条件、充分条件、充要条件（分别与性质定理、判定定理、数学定义对应）；全称量词与存在量词；全称量词命题与存在量词命题的否定 |\r\n| 相等关系与不等关系 | 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质；掌握基本不等式 √(ab) ≤ (a + b)/2（a，b ≥ 0），能解决简单的最大值或最小值问题 |\r\n| 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 | 借助一元二次函数的图像判断一元二次方程实根的存在性与个数，了解函数的零点与方程根的关系；借助一元二次函数求解一元二次不等式，用集合表示解集 |\r\n\r\n**教学提示要点**：初中阶段数学知识相对具体，高中阶段相对抽象，教师要帮助学生完成过渡，包括学习心理、学习方式等方面；集合与常用逻辑用语的教学，以学过的数学内容为载体，引导学生用集合语言和常用逻辑用语梳理、表达；要让学生了解元素 a 与集合 {a} 的差异。**学业要求**重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 三、高一·主题二\"函数\"（建议 52 课时）\r\n\r\n课标定位：函数是现代数学最基本的概念，是贯穿高中数学课程的主线。\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 函数概念与性质 | 用集合语言和对应关系刻画函数，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域；图像法、列表法、解析法；简单的分段函数；用符号语言表达单调性、最大（小）值；奇偶性；结合三角函数了解周期性。\"函数的形成与发展\"为选学内容，不作为考试要求 |\r\n| 幂函数、指数函数、对数函数 | 结合 y = x、y = 1/x、y = x²、y = √x、y = x³ 了解幂函数；有理数指数幂、实数指数幂与运算性质；指数函数的概念、图像、单调性与特殊点；对数的概念与运算性质，换底公式；对数函数的概念、图像、单调性与特殊点；知道 y = logₐx 与 y = aˣ 互为反函数。\"对数概念的形成与发展\"为选学内容，不作为考试要求 |\r\n| 三角函数 | 任意角与弧度制；借助单位圆理解正弦、余弦、正切的定义，推导诱导公式；正弦、余弦函数在 [0, 2π] 上、正切函数在 (−π/2, π/2) 上的性质；y = Asin(ωx + φ) 中参数的意义；同角三角函数的基本关系式；两角差的余弦公式及由它推出的和差角、二倍角公式（积化和差、和差化积、半角公式不要求记忆）；用三角函数刻画周期变化 |\r\n| 函数应用 | 函数零点与方程解的关系，零点存在定理，二分法求方程近似解；函数模型的选择，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解\"对数增长\"\"直线上升\"\"指数爆炸\" |\r\n\r\n**教学提示要点**：把本主题视为一个整体，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图像的几何直观等角度整体认识函数；单调性的教学要引导学生正确使用符号语言；在定义域、值域与函数性质的教学中避免编制偏题、怪题，避免烦琐的技巧训练；指数函数的教学关注从整数指数幂到有理数、实数指数幂的拓展过程；通过同底数的指数函数与对数函数认识互为反函数；三角函数的教学发挥单位圆的作用；鼓励用信息技术画图、探索规律、求方程的近似解。**学业要求**重点提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理素养。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 四、高中必修·主题三\"几何与代数\"（建议 42 课时）\r\n\r\n课标定位：几何与代数是高中数学课程的主线之一，突出几何直观与代数运算的融合，通过形与数的结合加强对数学整体性的理解。\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 平面向量及其应用 | 向量概念（从力、速度、位移了解实际背景，几何表示，相等向量）；向量运算（加、减、数乘及其几何意义，共线；数量积的概念及其物理意义，投影向量，用数量积判断垂直）；向量基本定理及坐标表示（正交分解，坐标表示线性运算、数量积与夹角，坐标表示共线与垂直）；向量应用与解三角形（用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题；借助向量运算探索并掌握余弦定理、正弦定理，解决简单的实际问题） |\r\n| 复数 | 通过方程的解认识复数；复数的代数表示及其几何意义，两个复数相等的含义；复数代数表示式的四则运算，复数加、减运算的几何意义；复数的三角表示（选学内容，不作为考试要求；教学提示把它作为学有余力学生的引申内容） |\r\n| 立体几何初步 | 基本立体图形（柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征；知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式；用斜二测画法画简单空间图形的直观图）；基本图形位置关系（借助长方体了解基本事实 1～4 与等角定理；平行、垂直的性质定理要证明，判定定理只要求直观感知、操作确认，在选择性必修中用向量方法论证）；几何学的发展（阅读资料、撰写小论文；选学内容，不作为考试要求） |\r\n\r\n**教学提示要点**：从物理、几何、代数三个角度理解向量的概念与运算法则，用类比的方法探索实数运算与向量运算的共性与差异；可以通过力的分解引出向量基本定理；向量的非正交分解只要求一般了解；复数的教学注重表示及几何意义的理解，避免烦琐的计算与技巧训练；立体几何初步的重点是帮助学生逐步形成空间观念，遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，提供实物模型或用信息技术呈现空间图形。**学业要求**重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 五、高中必修·主题四\"概率与统计\"（建议 20 课时）\r\n\r\n课标定位：概率研究随机现象，为从不确定性的角度认识客观世界提供思维模式；统计研究数据，核心是数据分析；概率为统计提供理论基础。\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 概率 | 样本点与有限样本空间，随机事件的并、交与互斥；古典概型及其中简单随机事件的概率；概率的性质与运算法则；用频率估计概率；结合有限样本空间了解两个随机事件独立性的含义，利用独立性计算概率 |\r\n| 统计 | 获取数据的基本途径；总体、样本、样本量，数据的随机性；简单随机抽样（抽签法、随机数法，样本均值与样本方差）；分层随机抽样（各层样本量的比例分配，分层随机抽样的样本均值与样本方差）；根据实际问题设计抽样方法；统计图表（频数分布直方图、频率分布直方图、散点图等）；用样本估计总体的集中趋势、离散程度、取值规律与百分位数 |\r\n\r\n**教学提示要点**：通过日常生活中的实例了解随机事件与概率的意义；理解古典概型的特征——试验结果的有限性和每个试验结果出现的等可能性；适当介绍树状图、列表等基本计数方法；统计的教学通过典型案例，让学生经历较为系统的数据处理全过程；鼓励用计算器、计算机模拟随机试验、处理数据。**学业要求**重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 六、高中必修·主题五\"数学建模活动与数学探究活动\"（建议 6 课时）\r\n\r\n以课题研究的形式开展，必修课程要求学生完成其中的一个课题研究（数学建模或数学探究）：在教师指导下选题、开题、做题、结题，撰写开题报告和研究报告，参加结题交流。教师要引导学生遵守学术规范，坚守诚信底线。完整的项目示例与过程性评价见课标案例 15、16。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 七、高中选择性必修（108 课时）\r\n\r\n**主题一\"函数\"（建议 30 课时）**\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 数列 | 数列的概念与表示（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数；等差数列、等比数列的概念、通项公式与前 n 项和公式，与一元一次函数、指数函数的关系；在具体问题情境中发现数列的等差、等比关系并解决问题；了解数学归纳法的原理，能用它证明数列中的一些简单命题（数学归纳法是选学内容，不作为考试要求） |\r\n| 一元函数导数及其应用 | 了解导数概念的实际背景，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会极限思想，通过函数图象直观理解导数的几何意义；能根据定义求 y = c、y = x、y = x²、y = x³、y = 1/x、y = √x 的导数，会用导数公式表和四则运算法则求简单函数的导数，简单复合函数限于形如 f(ax + b)；借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，用导数研究单调性（多项式函数求不超过三次的单调区间）；借助函数的图象了解极值的必要条件和充分条件，求极值与最值（给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最值）；微积分的创立与发展（撰写研究报告；选学内容，不作为考试要求） |\r\n\r\n**主题二\"几何与代数\"（建议 44 课时）**\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 空间向量与立体几何 | 空间直角坐标系与两点间的距离公式；由平面向量推广到空间向量的概念与运算；空间向量基本定理、正交分解与坐标表示，线性运算与数量积的坐标表示，投影向量；直线的方向向量与平面的法向量；用向量语言表述平行、垂直与夹角；用向量方法证明必修中的判定定理；用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题 |\r\n| 平面解析几何 | 直线的倾斜角与斜率，由斜率判定平行或垂直，直线方程的点斜式、两点式、一般式，交点坐标，两点间距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离；圆的标准方程与一般方程，直线与圆、圆与圆的位置关系；掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质，了解抛物线与双曲线的定义、几何图形、标准方程与简单几何性质，了解椭圆、抛物线的简单应用；平面解析几何的形成与发展（选学内容，不作为考试要求） |\r\n\r\n**主题三\"概率与统计\"（建议 26 课时）**\r\n\r\n| 单元 | 内容要点 |\r\n|---|---|\r\n| 计数原理 | 分类加法计数原理与分步乘法计数原理；排列、组合的概念，用计数原理推导排列数、组合数公式；用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，解决与二项展开式有关的简单问题 |\r\n| 概率 | 结合古典概型了解条件概率，理解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式、全概率公式计算概率，了解贝叶斯公式（选学内容，不作为考试要求）；离散型随机变量及其分布列、均值与方差；理解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，了解超几何分布及其均值；通过误差模型了解正态分布的特征、均值与方差的含义 |\r\n| 统计 | 样本相关系数的统计含义及其与标准化数据向量夹角的关系，比较多组成对数据的相关性；一元线性回归模型的含义，最小二乘原理与参数估计，会用统计软件，用于预测；2×2 列联表的统计意义与独立性检验 |\r\n\r\n**主题四\"数学建模活动与数学探究活动\"（建议 4 课时）**：完成一个课题研究，可以是必修阶段课题的延续，也可以是新课题。\r\n\r\n**教学提示要点**：数列要突出它是一类特殊的函数，与一元一次函数、指数函数类比；学生对导数概念的理解不可能一步到位，要贯穿单元始终，高中阶段研究与导数有关的问题时涉及的函数都是可导函数；空间向量要引导学生类比平面向量，灵活选择向量方法与综合几何方法（如距离问题），体会\"基\"的思想；平面解析几何要先清晰描述图形的几何特征，再合理建立坐标系、用代数语言描述，最后给出几何解释，并用信息技术演示参数变化对曲线的影响；计数原理要引导学生把计数问题归结为分类和分步；概率与统计通过具体案例理解随机变量及其分布，鼓励使用统计软件。\r\n\r\n---\r\n\r\n## 八、课标案例与各单元的对应\r\n\r\n课标附录 2 的教学案例与各单元的对应如下，适合拿来设计概念引入与探究活动：\r\n\r\n| 案例 | 对应单元 |\r\n|---|---|\r\n| 案例 1　借助一元二次函数，求解一元二次不等式 | 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 |\r\n| 案例 2　函数的概念 | 函数概念与性质 |\r\n| 案例 3　引入弧度制的必要性 | 三角函数 |\r\n| 案例 4　用三角函数刻画事物周期变化的实例 | 三角函数 |\r\n| 案例 5　函数单调性概念的抽象过程 | 函数概念与性质 |\r\n| 案例 6　利用单位圆的对称性探索三角函数的诱导公式 | 三角函数 |\r\n| 案例 7　停车距离问题 | 函数应用 |\r\n| 案例 8　\"指数爆炸\"的感知和理解 | 函数应用 |\r\n| 案例 9　向量投影 | 平面向量及其应用；空间向量与立体几何（空间向量的投影） |\r\n| 案例 10　复数的引入 | 复数 |\r\n| 案例 11　正方体截面的探究 | 立体几何初步（可作数学探究课题） |\r\n| 案例 12　投掷骰子问题 | 概率 |\r\n| 案例 13　分层抽样 | 统计 |\r\n| 案例 14　阶梯电价的设计 | 统计（百分位数） |\r\n| 案例 15　测量学校内、外建筑物的高度 | 数学建模活动 |\r\n| 案例 16　测量学校内、外建筑物的高度项目的过程性评价 | 数学建模活动的评价 |\r\n| 案例 17　用向量方法研究距离问题 | 空间向量与立体几何 |\r\n| 案例 18　二项式定理 | 计数原理 |\r\n| 案例 19　杨辉三角 | 计数原理 |\r\n\r\n注：标＊的选学内容（函数的形成与发展、对数概念的形成与发展、复数的三角表示、几何学的发展、数学归纳法、微积分的创立与发展、平面解析几何的形成与发展、贝叶斯公式）不作为考试要求。\r\n\r\n下面是素养水平的评价案例（案例 20—31）与跨章节的教学设计（案例 32），适合设计测评或单元整体教学：\r\n\r\n| 案例 | 用途 |\r\n|---|---|\r\n| 案例 20　函数图象 | 数学抽象：画出速度函数与路程函数的示意图 |\r\n| 案例 21　跑道问题 | 直观想象：从 400 m 跑道抽象出几何图形。第（2）问写跑道上半部分的函数解析式，课标的分析依托选择性必修的圆的方程；高一只取分段函数的思路，学过圆的方程后可以完整使用 |\r\n| 案例 22　距离问题 | 数学抽象、直观想象、数学运算的综合：类比数轴上两点的距离，定义城市街道中两点的距离（只能按直角拐弯行走），并研究它的性质 |\r\n| 案例 23　四棱锥中的平行问题 | 逻辑推理：以空间中的平行关系为载体，探索作图的可能性 |\r\n| 案例 24　覆盖问题 | 逻辑推理：以平面几何为载体的证明 |\r\n| 案例 25　包装彩绳 | 数学建模：把捆扎点心盒的彩绳长度问题转化为数学问题 |\r\n| 案例 26　体重与脉搏 | 数学建模：用比例模型刻画体重与脉搏率的关系；评分中加分的相关系数属选择性必修 |\r\n| 案例 27　估算地球周长 | 直观想象：从实际情境中抽象出几何图形 |\r\n| 案例 28　圆柱体截面问题 | 直观想象：圆柱桶内水面可能呈现的形状，与椭圆的定义相联系 |\r\n| 案例 29　过河问题 | 数学运算：以平面向量的运算为载体，确定游船的航向、航程 |\r\n| 案例 30　隧道长度 | 数学运算：以解三角形为载体的测量问题 |\r\n| 案例 31　估计考生总数 | 数学建模与数据分析 |\r\n| 案例 32　函数单调性主题教学设计 | 跨章节的主题教学设计：高一只取必修部分，与导数有关的部分在选择性必修使用 |\r\n\r\n---\r\n\r\n## 九、高中·学业质量与考试\r\n\r\n- 学业质量分三级水平：水平一是高中毕业应当达到的要求，也是学业水平考试命题的依据；高考命题不超过水平二；水平三为高等学校选拔拔尖创新人才提供参考。\r\n- 学业水平考试的内容范围是必修课程；高考的内容范围是必修和选择性必修课程。\r\n- 题型一般包括选择题（单项选择题与多项选择题）、填空题和解答题；学业水平考试的解答题分值占比不少于 40%。命题要逐步减少选择题、填空题的题量，适度增加试题的思维量。\r\n- 命题细则（双向细目表、难度结构）转数学测评设计。\n\nFile v2.10.0:references/variation-design.md\n\n# 变式训练设计模板\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）；样板中的\"鸡兔同笼\"可下沉到小学高段用算术法。\r\n> 示例题验算：2026-09-26\r\n> 配合 `xiaozhi-teach-math-lesson-planner` 使用。从\"刷题\"到\"变式\"，让学员真正\"会一类\"。\r\n> **每道变式题在给学员之前，按 `shared/ai-item-check.md` 自检**：自解一遍 → 有解且唯一 → 条件充分不多余 →\r\n> 数值友好（人数/件数/道数为非负整数）→ 学段内 → 与原题同型。AI 生成的题标注 `【AI 生成，入库前请人工验算】`。\r\n\r\n## 1. 变式训练定义\r\n\r\n```text\r\n改变题目的\"形\"，抓住题目的\"神\"。\r\n\"形\" = 题目表面\r\n\"神\" = 核心方法/概念\r\n```\r\n\r\n## 2. 变式三类型\r\n\r\n```text\r\n┌──────────┬────────────────────────┬──────────────┐\r\n│ 类型      │ 描述                    │ 训练目标      │\r\n├──────────┼────────────────────────┼──────────────┤\r\n│ 一题多解  │ 一道题多种解法          │ 思维灵活性    │\r\n│ 多题一解  │ 多道题同一种方法        │ 方法识别      │\r\n│ 变条件    │ 改变题目条件/问题       │ 思维深度      │\r\n└──────────┴────────────────────────┴──────────────┘\r\n```\r\n\r\n## 3. 一题多解设计\r\n\r\n### 3.1 样板 1 · 鸡兔同笼\n\nArchive v2.9.0: 19 files, 60198 bytes\n\nFiles: references/concept-build-sample.md (965b), references/concept-build-template.md (8952b), references/error-case-file-sample.md (803b), 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几何直观 · 空间观念 · 推理能力\n  数据观念 · 模型观念 · 应用意识 · 创新意识\n\n写目标的方法（对应 classWorkspace.lessonPlans[].objectives）：\n  statement       ：学生能…（行为动词 + 条件 + 标准），可观测\n  cognitiveLevel  ：课标四级结果目标 了解 / 理解 / 掌握 / 运用\n  coreCompetency  ：本目标发展的是哪一个核心素养表现\n\n反例：目标只写\"掌握一元一次方程的解法\"——没有条件、没有标准、没有指向素养。\n改写：学生能在 3 分钟内独立解含括号的一元一次方程并说明每步依据（掌握 / 运算能力）。"},{"language":"text","snippet":"误区① 概念=背诵：把概念当定义背诵，学员记不住、\n        不会用。考完就忘。\n\n误区② 讲题=念答案：老师在黑板上讲一遍，学员抄一遍，\n        学员没有\"自己思考\"的过程。\n\n误区③ 训练=刷题：只追求\"量\"，不讲方法、\n        不讲变式、不讲关联。"},{"language":"text","snippet":"┌──────────────────────────┐\n                │ ① 概念建构                │\n                │  情境/变式/对比           │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ② 例题示范                │\n                │  思路/步骤/易错           │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ③ 变式训练                │\n                │  一题多解/多题一解/换条件 │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ④ 课堂小结                │\n                │  结构图/口诀/反思         │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ⑤ 错例档案                │\n                │  → 学员档案              │\n                └────────────┬─────────────┘\n                             ↓\n                ┌──────────────────────────┐\n                │ ⑥ 写回 student-analyzer   │\n                │  数学思维维度             │\n                └──────────────────────────┘"},{"language":"text","snippet":"┌──────────┬──────────────┬────────────────────────┬──────────────┬──────────┐\n│ 步骤      │ 名称          │ 描述                    │ 关键问题      │ 45分钟占比│\n├──────────┼──────────────┼────────────────────────┼──────────────┼──────────┤\n│ 第 1 步   │ 情境引入      │ 激活经验、暴露朴素理解   │ 你看到了什么  │ 15-20%   │\n│ 第 2 步   │ 抽象概括      │ 提取共同特征**并命名**   │ 什么是一样的  │ 25-30%   │\n│ 第 3 步   │ 应用辨析      │ 正例/反例，区别相似概念  │ 这算不算，为什么│ 30-35%  │\n│ 第 4 步   │ 体系化        │ 纳入已有知识网络         │ 它挂在哪儿    │ 15-20%   │\n└──────────┴──────────────┴────────────────────────┴──────────────┴──────────┘\n\n注：旧版\"命名\"单列为第 3 步、\"辨析\"为第 4 步的说法已废止。\n    命名并入第 2 步（抽象概括的收口动作），体系化独立为第 4 步。\n    时长占比按 45 分钟一节课（`shared/grade-bands.md` 第三节），四步合计 ≤100%，\n    留出的余量给课堂小结与作业布置。"},{"language":"text","snippet":"① 生活情境\n  · 学员生活中有真实体验\n  · 例：分数（切披萨）、小数（钱）\n\n② 历史情境\n  · 数学史故事\n  · 例：负数（古代记账）、圆周率（祖冲之）\n\n③ 游戏情境\n  · 让学员玩中学\n  · 例：找规律（数字接龙）\n\n④ 问题情境\n  · 学员需要解决的具体问题\n  · 例：行程问题（相遇追及）\n\n⑤ 反例情境\n  · 学员\"试错\"中理解\n  · 例：平行（看上去平但不平行）"}],"parameters":null,"dependencies":[],"permissions":[],"extractedFiles":[{"path":"SKILL.md","content":"---\nname: xiaozhi-teach-math-lesson-planner\ndescription: '数学教师的备课工具（初中与高中；高中覆盖必修与选择性必修）：把一节数学课的概念建构路径、例题示范与变式训练排成可上的教案。当老师说\"这个数学概念怎么讲\"\"数学教案怎么写\"\"变式训练怎么设计\"\"数学例题怎么选\"\"数学概念怎么引入\"\"学生这个数学概念总是混\"\"数学复习课怎么上\"\"数学讲评课怎么上\"时，建议激活此SKILL。核心工作流：概念建构四步（情境引入/抽象概括/应用辨析/体系化）→例题示范→变式训练→课堂小结→错例档案，输出对齐课标核心素养（初中 2022 年版、高中 2025 年修订版）与四级结果目标。不处理：试卷与双向细目表（转 xiaozhi-teach-math-exam-designer）、班级错因统计与干预（转 xiaozhi-teach-math-error-analyzer）、非数学学科教案（转 xiaozhi-teach-lesson-planner）。'\ncompatibility: WorkBuddy / SkillHub / OpenClaw / ClawHub\nlicense: MIT\ndisplay_name: 数学教案设计\nversion: 2.11.1\nauthor: 小智伴学\ncategory: 老师数学\ngrade_bands:\n  - 初中\n  - 高中\ntags: [数学教案, 概念建构, 变式训练, 数学思维, 数学老师]\ndepends_on:\n  - xiaozhi-teach-lesson-planner\n  - xiaozhi-teach-student-analyzer\n  - xiaozhi-teach-classroom-coach\nid: openclaw:xiaozhi-teach-math-lesson-planner\nmin_platform_version: \"2.0\"\nmax_round_limit: 30\nslug: xiaozhi-teach-math-lesson-planner\ndisplayName: 数学教案设计\nsummary: '数学教师的备课工具（初中与高中；'\n---\n\n# 数学教案设计 SKILL\n\n> **一句话定位：** 数学不是教学生\"记住公式\"，而是教学生\"用公式思考\"——概念建构是核心。\n\n---\n\n> 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M, F]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。\n> 本 SKILL 输出**教案框架**与**概念建构路径**，不代替老师备课、不输出\"标准答案\"、不替老师讲题。\n> AI 现出的题一律标注 `【AI 生成，入库前请人工验算】`，生成前按 `shared/ai-item-check.md` 自检；未经老师确认不得写入资源库或试卷。\n> 题目版权状态只用 `shared/vocab.md §11` 的四个枚举值：`自有` / `改编` / `公开可引用` / `仅存索引`（教辅原题与历年真题一律 `仅存索引`）。\n\n> 教学主体边界：本 SKILL 只给老师出草稿、做分析，不替老师上课，不代老师回答学生的问题，也不代老师评价学生；面向学生或家长的内容，一律由老师审定后再用（教育部《中小学生成式人工智能使用指南（2025 年版）》）。\n\n### 试题保密\n\n启用前的统考试题不得输入本 SKILL——国家、省、地（市）级教育统一考试启用前的试题、参考答案、评分标准属国家秘密（《教育工作中国家秘密及其密级具体范围的规定》），区县级、校级统考按当地保密要求同样处理。初中学业水平考试（中考），高中数学的学业水平考试与高考，地（市）统一组织的模拟考试（如一模、二模），全部场次考完之前都按启用前处理（有的考试分批、分场或各校不同时考，本班考完不等于考完）；跨校联考要等参加的学校全部考完；同一份卷子还有学生补考的，补考考完才算考完；考后不公开试卷的考试（如用题库命题、机考的），考完也只按本地公布的样题与评分维度讲共性问题，不据学生回忆还原原题。\n本 SKILL 备讲评课用的是已经考完的卷子与交来的统计、错因（题号、知识点、得分率、错因），复习课、讲评课里的例题与变式题自编；老师说明正在为统考命题时，本 SKILL 不接收、不生成、不审改该卷的具体试题。引用历年真题、教辅原题作例题时注明出处，不整卷抄录；写进 lessonPlans 的只记出处与题号（版权状态\"仅存索引\"，`shared/vocab.md §11`），题干只留在给老师的教案正文里。\n依据《中小学生成式人工智能使用指南（2025年版）》教师一节：“严禁将个人信息、考试试题等敏感数据输入AI工具”。\n\n### 隐私与数据控制入口\n\n```text\n- 查看：「查看我的教案档案」\n- 更正：「更正我的档案」\n- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）\n- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）\n- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」\n- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）\n```\n\n---\n\n## 〇、对齐 2022 版课标\n\n本 SKILL 的教学目标话语沿用 `xiaozhi-teach-lesson-planner` 的核心素养表述，数学学科落到\"三会\"与九个核心素养表现：\n\n```text\n数学课程要培养的核心素养——\"三会\"：\n  会用数学的眼光观察现实世界\n  会用数学的思维思考现实世界\n  会用数学的语言表达现实世界\n\n初中阶段的主要表现（写目标时从中选 1-2 个，写进 objectives[].coreCompetency）：\n  抽象能力 · 运算能力 · 几何直观 · 空间观念 · 推理能力\n  数据观念 · 模型观念 · 应用意识 · 创新意识\n\n写目标的方法（对应 classWorkspace.lessonPlans[].objectives）：\n  statement       ：学生能…（行为动词 + 条件 + 标准），可观测\n  cognitiveLevel  ：课标四级结果目标 了解 / 理解 / 掌握 / 运用\n  coreCompetency  ：本目标发展的是哪一个核心素养表现\n\n反例：目标只写\"掌握一元一次方程的解法\"——没有条件、没有标准、没有指向素养。\n改写：学生能在 3 分钟内独立解含括号的一元一次方程并说明每步依据（掌握 / 运算能力）。\n```\n\n---\n\n## 一、核心使命\n\n数学教学常见的三个误区：\n\n```text\n误区① 概念=背诵：把概念当定义背诵，学员记不住、\n        不会用。考完就忘。\n\n误区② 讲题=念答案：老师在黑板上讲一遍，学员抄一遍，\n        学员没有\"自己思考\"的过程。\n\n误区③ 训练=刷题：只追求\"量\"，不讲方法、\n        不讲变式、不讲关联。\n```\n\n本 SKILL 要解决的是：\n- **让概念\"有根\"**：每个概念都有引入情境\n- **让讲题\"有方\""},{"path":"_meta.json","content":"{\n  \"ownerId\": \"kn79c5gcmfkt9p1pk656tgq7nd853s7v\",\n  \"slug\": \"xiaozhi-teach-math-lesson-planner\",\n  \"version\": \"2.11.1\",\n  \"publishedAt\": 1791477387022\n}"},{"path":"references/concept-build-sample.md","content":"# 概念建构样板（填写模板）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。四步与时长占比见同目录 `concept-build-template.md`（45 分钟一节课）。\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 概念建构样板 · [概念名]\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 概念\r\n  [概念名]\r\n  [定义]\r\n\r\n■ 情境引入\r\n  · 生活情境：[X]\r\n  · 学员先尝试：[X]\r\n  · 老师引导：[X]\r\n\r\n■ 抽象\r\n  · 共同特征：[X]\r\n  · 提取过程：[X]\r\n\r\n■ 命名\r\n  · 名称：[X]\r\n  · 符号：[X]\r\n  · 来源：[X]\r\n\r\n■ 辨析\r\n  · 区别于 [X]：[X]\r\n  · 易错点：[X]\r\n\r\n■ 学员理解检查\r\n  · 学员能否用自己的话讲？\r\n  · 学员能否举出生活中的例子？\r\n  · 学员能否区分相似概念？\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```"},{"path":"references/concept-build-template.md","content":"# 数学概念建构四步模板\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）；按 45 分钟一节课设计（`shared/grade-bands.md` 第三节）。\r\n> 示例题验算：2026-09-03\r\n> 配合 `xiaozhi-teach-math-lesson-planner` 使用。从\"情境-抽象-应用-体系化\"四步建构数学概念，是数学教案设计的核心骨架。\r\n> **本表是全库唯一一套概念建构四步**，SKILL.md §4.1 与本文件一致；旧版把\"命名\"单列一步的说法已废止（命名并入第 2 步）。\r\n\r\n## 1. 概念建构四步总览\r\n\r\n```text\r\n┌──────────┬──────────────┬────────────────┬──────────────┬──────────┐\r\n│ 步骤      │ 名称          │ 关注重心        │ 关键问题      │ 45分钟占比│\r\n├──────────┼──────────────┼────────────────┼──────────────┼──────────┤\r\n│ 第 1 步   │ 情境引入      │ 激活经验        │ 你看到了什么  │ 15-20%   │\r\n│ 第 2 步   │ 抽象概括      │ 提取本质并命名  │ 什么是一样的  │ 25-30%   │\r\n│ 第 3 步   │ 应用辨析      │ 巩固理解        │ 这算不算，为什么│ 30-35%  │\r\n│ 第 4 步   │ 体系化        │ 建立联系        │ 它挂在哪儿    │ 15-20%   │\r\n└──────────┴──────────────┴────────────────┴──────────────┴──────────┘\r\n\r\n四步合计 ≤100%，余量留给课堂小结与作业布置。\r\n写进教案时对应 classWorkspace.lessonPlans[].segments[]，\r\n四个 segment 的 minutes 之和 ≤ classProfile.periodMinutes。\r\n```\r\n\r\n## 2. 概念建构四步详细\r\n\r\n### 2.1 第 1 步：情境引入\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 激活学员已有经验\r\n  · 暴露学员朴素理解\r\n  · 制造\"认知冲突\"\r\n\r\n【3 类情境】\r\n  · 生活情境：生活中遇到的场景\r\n  · 游戏情境：可操作的活动\r\n  · 历史情境：数学史故事\r\n\r\n【设计要点】\r\n  · 情境必须\"真实\"（学员觉得是有意义的问题）\r\n  · 情境必须\"具体\"（可观察、可操作）\r\n  · 情境必须\"开放\"（有多种解法/答案）\r\n\r\n【时长占比】整节课 15-20%\r\n```\r\n\r\n### 2.2 第 2 步：抽象概括（含命名）\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 从具体情境中提取数学本质\r\n  · 给出\"数学定义\"或\"数学表达式\"\r\n  · 学员自己命名/表述（命名是本步的收口动作，不单列一步）\r\n\r\n【3 种抽象路径】\r\n  · 归纳抽象：从多个实例中归纳共同点\r\n  · 类比抽象：用学员熟悉的概念类比\r\n  · 符号抽象：用数学符号/字母表达\r\n\r\n【关键提问】\r\n  · \"你发现这些例子有什么共同点？\"\r\n  · \"如果让你给这个概念起个名字，你会叫什么？\"\r\n  · \"你能用一句话描述这个概念吗？\"\r\n\r\n【时长占比】整节课 25-30%\r\n```\r\n\r\n### 2.3 第 3 步：应用辨析\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 在新情境中识别并应用概念\r\n  · 区分易混淆概念\r\n  · 形成\"什么时候用 / 什么时候不用\"的判断\r\n\r\n【3 类应用】\r\n  · 正面应用：典型题，识别→应用\r\n  · 反例辨析：找出反例，加深理解\r\n  · 类比应用：迁移到相似概念\r\n\r\n【关键提问】\r\n  · \"这是[概念]的实例吗？为什么？\"\r\n  · \"下列哪些是[概念]？为什么？\"\r\n  · \"[概念 A] 和 [概念 B] 有什么区别？\"\r\n\r\n【时长占比】整节课 30-35%\r\n```\r\n\r\n### 2.4 第 4 步：体系化\r\n\r\n```text\r\n【目标】\r\n  · 把新概念纳入已有知识图谱\r\n  · 建立\"上位/下位/并列\"关系\r\n  · 形成\"概念网络\"\r\n\r\n【3 种联系】\r\n  · 上位联系：新概念属于哪个更大的类？\r\n  · 下位联系：新概念包含哪些特例？\r\n  · 并列联系：与哪些概念并列/对比？\r\n\r\n【输出形式】\r\n  · 概念图（思维导图）\r\n  · 知识树\r\n  · 关系表\r\n\r\n【时长占比】整节课 15-20%\r\n```\r\n\r\n## 3. 教学样板：建构\"一元一次方程\"概念（45 分钟）\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 概念建构样板：一元一次方程 · 45 分钟\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n\r\n【第 1 步：情境引入】（8 分钟，18%）\r\n  · 问题 1：妈妈买苹果，每个 3 元，买 5 个，共花多少元？\r\n    → 学员列算式：3 × 5 = 15                （已知推未知，算术思路）\r\n  · 问题 2：妈妈有 50 元，买了 5 个苹果，每个 x 元，还剩多少元？\r\n    → 学员列代数式：50 − 5x                  （出现字母，但还不是方程）\r\n  · 问题 3：妈妈有 50 元，买了 x 个苹果，每个 3 元，还剩 35 元，求 x。\r\n    → 学员列等式：50 − 3x = 35               （未知数参与列式，方程思路）\r\n  · 关键认知冲突：问题 3 用算术倒着算也能得 x=5，\r\n    但让学员比较\"倒着算\"和\"顺着列等式\"哪个更容易说清楚——引出方程的价值。\r\n\r\n【第 2 步：抽象概括（含命名）】（12 分钟，27%）\r\n  · 并排给出：50 − 3x = 35、5x = 10、2x + 3 = 11、x/2 = 4\r\n  · 追问：\"这几个式子有什么共同点？\"\r\n    → 都是等式；都只有一个字母；字母的次数都是 1；等号两边都是整式\r\n  · 学员自己命名，教师给出规范名称：一元一次方程\r\n  · 三个关键词（缺一不可）：\r\n      一元 —— 只含一个未知数\r\n      一次 —— 未知数的次数是 1\r\n      整式 —— **等号两边都是整式**（这一条最容易漏，是本节的关键）\r\n  · 回看第 1 步：50 − 5x 只是代数式，没有等号，所以不是方程。\r\n\r\n【第 3 步：应用辨析】（15 分钟，33%）\r\n  · 判断下列各式是不是一元一次方程，并说明理由：\r\n    □ x + 5 = 8        ✓ 一元、一次、两边都是整式\r\n    □ x + 5            ✗ 不是等式（没有等号），是代数式\r\n    □ 2x +"},{"path":"references/error-case-file-sample.md","content":"# 错例档案样板（填写模板）\r\n\r\n> 适用学段：初中（7-9 年级）。错因词表见 `shared/vocab.md §3`；学员一律用化名。\r\n\r\n```text\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n📐 错例档案 · [学员化名]\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n■ 错题\r\n  · 题号/题目：[X]\r\n  · 学员作答：[X]\r\n  · 正确答案：[X]\r\n\r\n■ 错因\r\n  · 主要错因：[X]\r\n  · 次要因：[X]\r\n\r\n■ 错因溯源\r\n  · 涉及概念：[X]\r\n  · 学员的理解偏差：[X]\r\n  · 漏掉的关键步骤：[X]\r\n\r\n■ 改进措施\r\n  · 重新讲解 [X]\r\n  · 练习 [X] 类题\r\n  · 下次课检查\r\n━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━\r\n```"}],"languages":[],"docsSourceLabel":"CLAWHUB","editorialOverview":"数学教师的备课工具（初中与高中；高中覆盖必修与选择性必修）：把一节数学课的概念建构路径、例题示范与变式训练排成可上的教案。当老师说\"这个数学概念怎么讲\"\"数学教案怎么写\"\"变式训练怎么设计\"\"数学例题怎么选\"\"数学概念怎么引入\"\"学生这个数学概念总是混\"\"数学复习课怎么上\"\"数学讲评课怎么上\"时，建议激活此SKILL。核心工作流：概念建构四步（情境引入/抽象概括/应用辨析/体系化）→例题示范→变式训练→课堂小结→错例档案，输出对齐课标核心素养（初中 2022 年版、高中 2025 年修订版）与四级结果目标。不处理：试卷与双向细目表（转 xiaozhi-teach-math-exam-designer）、班级错因统计与干预（转 xiaozhi-teach-math-error-analyzer）、非数学学科教案（转 xiaozhi-teach-lesson-planner）。 Skill: 数学教案设计 Owner: qizhitang Summary: 数学教师的备课工具（初中与高中；高中覆盖必修与选择性必修）：把一节数学课的概念建构路径、例题示范与变式训练排成可上的教案。当老师说\"这个数学概念怎么讲\"\"数学教案怎么写\"\"变式训练怎么设计\"\"数学例题怎么选\"\"数学概念怎么引入\"\"学生这个数学概念总是混\"\"数学复习课怎么上\"\"数学讲评课怎么上\"时，建议激活此SKILL。核心工作流：概念建构四步（情境引入/抽象概括/应用辨析/体系化）→例题示范→变式训练→课堂小结→错例档案，输出对齐课标核心素养（初中 2022 年版、高中 2025 年修订版）与四级结果目标。不处理：试卷与双向细目表（转 xiaozhi-teach-math-exam-designer）、班级错因统计与干预（转 xiaozhi-teach-math-error-analyzer）、非数学学科教案（转 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