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数学概念解释器

初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在"这个数学概念本身没懂"时用。典型触发："这个数学公式我知道但不明白为什么""负负为什么得正""一次函数和正比例有什么区别""几何题我脑子里建不起图形""这两个数学概念我总是混""用生活例子讲讲这个概念"。核心方法：三种解释模型（生活类比 / 图解可视化 / 逐步拆分）+ 几何空间想象训练。不处理：具体某道题怎么做（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、应用题列式（转 xiaozhi-math-word-problem-coach）、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、分层进阶练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。 Skill: 数学概念解释器 Owner: qizhitang Summary: 初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在"这个数学概念本身没懂"时用。典型触发："这个数学公式我知道但不明白为什么""负负为什么得正""一次函数和正比例有什么区别""几何题我脑子里建不起图形""这两个数学概念我总是混""用生活例子讲讲这个概念"。核心方法：三种解释模型（生活类比 / 图解可视化 / 逐步拆分）+ 几何空间想象训练。不处理：具体某道题怎么做（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、应用题列式（转 xiaozhi-math-word-problem-coach）、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、分层进阶练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。 Tags: latest:2.11

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What it does, and when to use it.

Capability contract not published. No trust telemetry is available yet. 1.7K downloads reported by the source. Last updated 10/10/2026.

Avoid when

  • Contract metadata is missing or unavailable for deterministic execution.

Risk flags: missing_or_unavailable_contract, trust_data_unavailable, schema_references_missing

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Every fact links back to the source it came from.

Vendor
Clawhubvendor · observed Oct 10, 2026
Protocol compatibility
OpenClawcompatibility · observed Oct 10, 2026
Adoption signal
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Latest release
2.11.1release · observed Oct 8, 2026
Handshake status
UNKNOWNsecurity

Install and run

Setup complexity: low.

clawhub skill install s17egdt3mjea4rhm19wt7tm77x852sxg:xiaozhi-math-concept-explainer
  1. Setup complexity is classified as HIGH. You must provision dedicated cloud infrastructure or an isolated VM. Do not run this directly on your local workstation.
  2. Final validation: Expose the agent to a mock request payload inside a sandbox and trace the network egress before allowing access to real customer data.

Contract: missing

curl -s "https://www.xpersona.co/api/v1/agents/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-concept-explainer/snapshot"

Documentation

CLAWHUB

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SKILL.md

---
name: xiaozhi-math-concept-explainer
description: '初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在"这个数学概念本身没懂"时用。典型触发："这个数学公式我知道但不明白为什么""负负为什么得正""一次函数和正比例有什么区别""几何题我脑子里建不起图形""这两个数学概念我总是混""用生活例子讲讲这个概念"。核心方法：三种解释模型（生活类比 / 图解可视化 / 逐步拆分）+ 几何空间想象训练。不处理：具体某道题怎么做（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、应用题列式（转 xiaozhi-math-word-problem-coach）、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、分层进阶练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。'
compatibility: WorkBuddy / SkillHub / OpenClaw / ClawHub
license: MIT
display_name: 💡 数学概念解释器
version: 2.11.1
author: 小智伴学
category: 数学专项
grade_bands:
  - 初中
  - 高中
tags: [数学, 概念理解, 几何空间, 类比, 直觉建立, 数学]
depends_on:
  - xiaozhi-learning-dna
slug: xiaozhi-math-concept-explainer
displayName: 💡 数学概念解释器
summary: '初中到高中的数学概念理解与重建（高中覆盖必修与选择性必修）：学生不是卡在某道题，而是卡在"这个数学概念本身没懂"时用。'
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# 💡 数学概念解释器 SKILL

> **一句话定位：** 不要记规则，要理解规律——  
> 当你真正明白"为什么"，公式就不需要死记了。

> 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。
> 无跨会话记忆时不承诺"下次我还记得你哪个概念没通"，请学生下次把上次的结论再发一次。
> 使用前提：小学学段须有家长或老师在场陪同使用（shared/vocab.md §8 规则 4）；学生说明正在考试或测验中时，不讲该题、不给提示，约好考完再复盘（shared/hint-ladder.md §〇）。

⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记"已转介"的处置事实。

> 提示阶梯：本 SKILL 按 shared/hint-ladder.md 运行，**默认最高级 L6**——概念题本来就允许讲解；
> 但讲解之后必须让学生用自己的话复述一遍或举一个新例子，才算这一轮结束。

**轮次预算：** 一个概念一次讲透，单条 ≤120 字，追问 ≤3 轮；**两轮无回复即收尾**（留一句"这个概念的一句话版本"并归档）。

### 隐私与数据控制入口

```text
- 查看：「查看我的概念理解记录」
- 更正：「更正我的档案」
- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）
- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）/「暂停提醒」
- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」
- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）
```

---

## 一、核心使命

**为什么死记公式无效：**

```
背公式 → 考试时脑子空白，记不起来
背公式 → 换一种题型，不知道用哪个
背公式 → 以为学会了，做题却出错

根本原因：只记住了"结论"，没有理解"为什么"。
```

**这个SKILL的解法：**

```
先建立"生活中的直觉" → 再引入数学语言 → 再给出公式

当你理解了"为什么负负得正"，
你就不需要记这条规则了——因为它在你的逻辑里是自然成立的。
```

---

## 二、三种解释模型

根据不同的概念类型，选择最合适的解释模型：

```
模型A  生活类比法
  → 适用于：运算规则、代数概念、统计概念
  → 方法：先用生活场景建立直觉，再引入数学定义

模型B  图解可视化法
  → 适用于：几何概念、函数图像、空间想象
  → 方法：引导学生在大脑中构建图形，用描述代替公式

模型C  逐步拆分法
  → 适用于：复杂定理、多条件判定、综合性公式
  → 方法：从最简单的情形出发，逐步加条件，每步追问
```

---

## 三、模型A：生活类比法

### 操作规范

```
Step 1：找到最贴切的生活场景
  → 不能牵强，要让学生"一听就明白"
  → 场景必须是学生熟悉的日常生活

Step 2：用生活场景建立直觉，暂时不引入数学符号
  → "不要告诉我公式，先用场景想一想"
  
Step 3：用追问确认直觉建立了
  → "在这个场景里，[X情况]会怎样？"
  
Step 4：现在引入数学语言
  → "你刚才说的[X]，在数学里就是[公式/定义]"
  
Step 5：验证迁移
  → "用这个理解，你能解释[另一个相关概念]吗？"
```

### 高频概念生活类比库

**负数乘负数（负负得正）：**

```
生活场景：零花钱
"你每天花钱（负数）。
 '减少花钱'（负的负数）就是省钱，
 省钱对你的财务来说是好事（正数）。
 
 追问：'少花'3天钱，等于'多了'多少钱？"

⚠️ 边界：这个类比帮助理解"相反的相反=原方向"（即 -(-a)=a），
   是直觉铺垫、不是 (-a)×(-b) 的严格证明。
   讲两个负数相乘时，配合"规律法"更稳：
   3×(-2)=-6, 2×(-2)=-4, 1×(-2)=-2, 0×(-2)=0,
   (-1)×(-2)=? 每次结果 +2 → 得 +2，(-2)×(-2)=+4。
```

**一次函数 y=kx+b：**

```
生活场景：出租车计费
"出租车起步价是8元（这是b），
 然后每公里加2元（这是k）。
 你坐了x公里，总费用是 y = 2x + 8。
 
 追问：如果起步价变成0，这是什么函数？
      如果每公里也是0，这是什么函数？"
```

**绝对值：**

```
生活场景：距离
"数轴上的绝对值就是这个点到原点的距离。
 距离永远是非负的——不管你往左走还是往右走，
 走了3步就是3步，不会是'负3步

_meta.json

{
  "ownerId": "kn79c5gcmfkt9p1pk656tgq7nd853s7v",
  "slug": "xiaozhi-math-concept-explainer",
  "version": "2.11.1",
  "publishedAt": 1791475343185
}

references/analogy-bank.md

# 初中数学全概念生活类比素材库

> 适用学段：初中（7-9 年级）。
> 示例题验算：2026-09-03
> 按章节整理，供数学概念解释器SKILL进行模型A（生活类比法）时参考。
> 每条类比附有"追问验证"话术，确保类比建立后能迁移到数学语言。
> **类比的边界**：类比只是直觉铺垫，不是证明。每条类比后面都标了它"讲得到哪儿、讲不到哪儿"，
> 越过边界的部分要用规律法或几何法补上，不要硬把类比往前推。

---

## 一、数与代数

### 有理数运算

**正负数的加减法：**
```
类比：银行账户
  存钱（+），取钱（-），余额就是当前值
  +5 + (-3) = 存了5取了3 = 余额增加2
  -2 + (-4) = 取了2又取了4 = 余额减少6

追问："你的账户原来有10元，取了15元，余额是多少？怎么用正负数表示？"
```

**负数乘法：**
```
类比：录像倒放
  正数×正数 = 正放，向前走 = 前进
  负数×正数 = 倒放，向后走 = 后退
  负数×负数 = 倒放的倒放 = 重新向前 = 正数

类比②：减少的减少
  "少花钱"（负的花钱）= 省钱（正数效果）
  
追问："每天花3元，5天一共花了多少？（3×5=15，记作 -15 的变化）
      如果改成每天少花3元，5天后你的钱比原来多了多少？"

⚠️ 边界：这两个类比讲的是"相反的相反 = 原方向"，即 -(-a)=a，
   是 (-a)×(-b)=ab 的直觉铺垫，**不是它的证明**。
   上面的追问算的其实是 (-3)×5 与 (+3)×5，两个因数里只有一个是负的。
   要讲两个负数相乘，接着用规律法（保持乘法分配律成立）：
     3×(-2)=-6, 2×(-2)=-4, 1×(-2)=-2, 0×(-2)=0
     每次左边的因数减 1，结果就 +2
     → (-1)×(-2)=+2, (-2)×(-2)=+4
   追问："照这个规律往下写，(-1)×(-2) 应该是多少？为什么必须是正的？"
```

**绝对值：**
```
类比：数轴上的距离
  在操场上，站在0米的位置：
  向右走5步，距离起点5步 → |5|=5
  向左走5步，距离起点也是5步 → |-5|=5
  距离永远是非负的

追问："温度计上，-3℃和+3℃距离0℃的'差距'一样吗？"
```

---

### 整式与多项式

**合并同类项：**
```
类比：水果分类
  3个苹果+2个橙子+1个苹果 = 4个苹果+2个橙子（不能把苹果和橙子合并）
  3x + 2y + x = 4x + 2y（x和y不同类，不能合并）

追问："3x²和3x是同类项吗？为什么？"
```

**乘法分配律：**
```
类比：批量购买
  买3箱，每箱有5个苹果和2个橙子
  = 3×5个苹果 + 3×2个橙子
  3(5+2) = 3×5 + 3×2

追问："a(b+c)为什么等于ab+ac？用购物的方式解释。"
```

---

### 方程与不等式

**方程的解：**
```
类比：天平
  方程是一个平衡的天平
  你在左边加什么，右边也要加一样的，才能保持平衡
  "解方程"就是找到让天平平衡的那个数

追问："如果天平两边各放了相同的东西，你拿走一边的3克，另一边要怎么做？"
```

**不等式的解集：**
```
类比：身高限制
  "身高≥1.2米才能坐过山车"
  解集是所有≥1.2米的身高，不是某一个具体的身高
  解集是一段范围，不是一个点

追问："'班上年龄>13岁的同学'，这是一个具体的人，还是一群人？不等式的解集类似哪种？"
```

---

### 函数与图像

**函数的本质（对应关系）：**
```
类比：自动贩卖机
  你投入x元钱，机器输出对应的y个饮料
  对于每一个输入（x），有且只有一个确定的输出（y）
  这就是"函数"：每个自变量对应唯一一个因变量

追问："一个人有两个身高，算函数吗？为什么？"
```

**一次函数y=kx+b中k的含义（变化率）：**
```
类比：爬坡
  k是坡度——每向前走1步（x增加1），高度变化 k
  k>0：上坡（y随x增大而增大）
  k<0：下坡（y随x增大而减小）
  |k| 越大：坡越陡（陡不陡看的是绝对值，不是 k 本身）

追问①："k=3 和 k=0.5，哪条直线更陡？为什么？"
追问②："k=-3 和 k=0.5 呢？—— k=-3 是往下走，但走得更陡；
        比'陡'的时候比的是 |k|，比'升还是降'的时候才看 k 的正负。"
```

**一次函数b的含义（截距）：**
```
类比：出租车起步价
  b是出租车起步价，不管你坐了多少公里，上车就要付这个钱
  在x=0的时候，y=b（图像与y轴的交点）

追问："y=2x和y=2x+3，在x=0时哪个y值更大？图像上有什么区别？"
```

---

## 二、几何

**平行线的同位角相等：**
```
类比：铁路轨道
  两条平行的铁轨，一列火车以同一个角度穿过
  车头切入左轨的角 = 车头切入右轨的角（同位角）
  因为轨道平行，切入角必须相同

追问："如果两条线不平行，同位角还会相等吗？举个例子。"
```

**三角形面积公式：**
```
类比：平行四边形的一半
  任何三角形，复制一个、绕一边中点旋转 180°，
  两个三角形刚好拼成一个**平行四边形**（不是矩形）——
  这个平行四边形和原三角形同底等高，
  面积 = 底×高，所以三角形面积 = 底×高÷2

  （只有直角三角形复制后能拼成矩形，那是特例，不是一般情形；
    平行四边形面积 = 底×高 本身也是由"割补成矩形"得到的。）

追问①："钝角三角形复制一份能拼成矩形吗？试着拼拼看，拼出来的是什么？"
追问②："直角三角形两直角边分别是3和4，面积是多少？为什么可以直接算？"
```

**勾股定理的直觉：**
```
类比：直角三角形上画正方形
  在三条边上各画一个正方形
  斜边上的正方形面积 = 两直角边正方形面积之和
  这就是c²=a²+b²的几何意义

追问："如果三角形不是直角三角形，这个关系还成立吗？"
```

---

## 三、概率与统计

**平均数：**
```
类比：把水倒平
  5个杯子，水量不同，把所有水倒进一个大桶再平均倒回去，
  每个杯子里的水量就是平均数

追问："为什么极端值（特别大或特别小的数）会影响平均数，但不影响中位数？"
```

**频率与概率的关系：**

references/math-hs1-concepts.md

# 高一衔接段的数学概念：类比、边界与检验

> 示例题验算：2026-09-25
> 适用学段：高中（高一衔接段）。
> 本文件是 `xiaozhi-math-concept-explainer` 第九节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题一"预备知识"与主题二"函数"。每个概念给一个生活类比（写明讲得到哪儿、讲不到哪儿）、一个检验问题，以及对应的错因子类型（定义见数学错误DNA 维度表第九节；零点沿用第三节的 B05）。关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算。
> 课标的教学提示指出：初中阶段数学知识相对具体，高中阶段相对抽象。所以每个概念都先从学生熟悉的初中内容讲起，再过渡到集合、符号语言。

---

## 一、高一·预备知识

**1. 属于与包含（B10）**

```
类比：学生与班级、班级与学校
  小明是三班的一名学生      → 元素与集合：小明 ∈ 三班
  三班的每个学生都是本校学生 → 集合与集合：三班 ⊆ 全校学生

检验："1 和 {1} 有什么不同？1 ∈ {1, 2} 和 {1} ⊆ {1, 2}，哪个写法对？"（两个都对：前者是元素属于集合，后者是集合包含于集合）

⚠️ 边界：生活里没有"空班级是每个班的一部分"这种说法，所以"空集是任何集合的子集"不能靠类比，
   要回到定义：A ⊆ B 是说"A 的每一个元素都是 B 的元素"，空集没有元素，这句话自然成立。
```

**2. 充分条件与必要条件（B11）**

```
类比：下雨与地面湿
  下雨 ⇒ 地面湿：下雨是地面湿的充分条件（有它就够了）
  地面湿是下雨的必要条件（没有它就一定没下雨：地面不湿，一定没下雨）

检验："p ⇒ q 时，谁是谁的充分条件？谁是谁的必要条件？"

⚠️ 边界：生活里的"条件"常常带着因果，数学里只看"能不能推出"。
   地面湿也可能是洒水车洒的——这正说明由"地面湿"推不出"下雨"。
```

**3. 全称量词命题的否定（B12）**

```
类比："全班同学都交了作业"
  它的否定是："至少有一个同学没交作业"
  不是："全班同学都没交作业"

检验："'任意 x∈R，x² ≥ 0'的否定怎么写？"（存在 x∈R，x² < 0）

⚠️ 边界：否定一句"全都……"，只要找到一个反例就够了，所以否定后变成"存在……"。
```

**4. 一元二次不等式的解集，就是图像的一段（B18）**

```
逐步拆分：
  ① 初中：会画 y = x² − 3x + 2 的图像，知道它与 x 轴交于 (1, 0)、(2, 0)
  ② 高一：解 x² − 3x + 2 > 0，就是问"图像在 x 轴上方的部分，对应哪些 x"
     开口向上，两根之外的部分在 x 轴上方 → 解集为 {x | x < 1 或 x > 2}
  ③ 口诀"大于取两边、小于取中间"只在二次项系数为正时成立；
     系数为负时，先在两边同乘 −1（不等号要变向），或者直接看图

检验："−x² + 3x − 2 > 0 的解集是什么？先说图像开口向哪边。"（开口向下，解集为 {x | 1 < x < 2}）

⚠️ 边界：看图之前要先求出图像与 x 轴的交点；图像与 x 轴只有一个交点或没有交点时，
   解集可能是全体实数、空集、只含一个数的集合，或去掉一个数的实数集，要结合开口方向和不等号来定
   （如 x² − 2x + 1 > 0 的解集是 {x | x ≠ 1}，x² − 2x + 1 ≤ 0 的解集是 {1}）。
```

```verify
{"claim": "x² − 3x + 2 > 0 在 x = 0、3 成立、x = 1.5 不成立；−x² + 3x − 2 > 0 恰好相反", "expr": "[[0, 1.5, 3].map((x) => x * x - 3 * x + 2 > 0), [0, 1.5, 3].map((x) => -x * x + 3 * x - 2 > 0)]", "expect": [[true, false, true], [false, true, false]]}
```

---

## 二、高一·函数

**5. 函数是一种对应关系（B13）**

```
类比：自动售货机
  按一个按钮，只会出来一种饮料         → 每个 x 只对应一个 y
  两个不同的按钮，可以出同一种饮料     → 不同的 x 可以对应同一个 y
  不在机器上的按钮，按不了             → 定义域之外的 x 没有函数值

检验："y = x 和 y = x²/x 是同一个函数吗？"（不是：后者的定义域不含 0）

⚠️ 边界：售货机的按钮只有有限个，函数的定义域常常是无限集；
   类比只用来说明"一对一或多对一"，不说明函数值怎么算。
```

**6. 单调性要用"任意"来说（B14）**

```
逐步拆分：
  ① 初中的说法：图像从左到右上升
  ② 高中的说法：在区间 I 上，对任意 x₁ < x₂，都有 f(x₁) < f(x₂)
  ③ 为什么要"任意"：只挑两个点比较不够
     f(x) = x² 在 [−1, 2] 上：f(−1) = 1 < f(2) = 4，
     可 f(−1) = 1 > f(0) = 0——这个函数在 [−1, 2] 上并不单调递增

检验："f(x) = x² 在 [−1, 2] 上单调递增吗？找两个点说明。"
```

```verify
{"claim": "f(x) = x² 在 [−1, 2] 上：f(−1) < f(2)，但 f(−1) > f(0)，所以不是单调递增", "expr": "[(-1) ** 2 < 2 ** 2, (-1) ** 2 > 0 ** 2]", "expect": [true, true]}
```

**7. 奇偶性的前提（B14）**

```
图解：偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称
  前提：定义域必须关于原点对称——有 x 就得有 −x

检验："f(x) = x²，x ∈ [−1, 2]，是偶函数吗？"（不是：x = 2 在定义域内，−2 不在）
```

**8. 指数与对数是一对"问与答"（B15）**

```
类比：同一个关系，换个问法
  2³ = 8：已知底数 2 和指数 3，问结果      → 8
  log₂8 = 3：已知底数 2 和结果 8，问指数   → 3

检验："把 10² = 100 写成对数式。"（lg 100 = 2）

⚠️ 边界：为什么要求 a > 0 且 a ≠ 1？
   a = 1 时，1 的任何次方都是 1，问"1

references/math-hs2-concepts.md

# 高中必修后半的数学概念：类比、边界与检验

> 示例题验算：2026-09-26
> 适用学段：高中（必修后半：几何与代数、概率与统计）。
> 本文件是 `xiaozhi-math-concept-explainer` 第十节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题三"几何与代数"（平面向量及其应用、复数、立体几何初步）与主题四"概率与统计"（概率、统计）。每个概念给一个生活类比、图解、逐步拆分或对照（类比写明讲得到哪儿、讲不到哪儿）、一个检验问题，以及对应的错因子类型（定义见数学错误DNA 维度表第十节；分层抽样沿用第三节的 B08；没有专门编码的标"—"）。关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算；立体几何条目的 `verify` 用坐标计算，只为让 CI 验算，给学生讲时用长方体和几何说理。
> 课标的教学提示：平面向量从力、速度、位移等实际情境入手，从物理、几何、代数三个角度理解；复数重在表示与几何意义，避免烦琐的计算与技巧训练；立体几何初步以长方体为载体，判定定理只要求直观感知、操作确认；概率与统计通过典型案例，借助信息技术体会随机思想。

---

## 一、高中必修·平面向量及其应用

**1. 数量积的结果是一个数（B19）**

```
类比：力做的功
  用力 F 拉箱子移动了位移 s，力做的功 W = |F||s|cos θ（θ 是力与位移的夹角）
  力、位移都是向量，功却只有大小、没有方向——数量积 a·b = |a||b|cos θ 也是这样，结果是一个数

检验："a·b 的结果是向量还是数？由 a·b = 0 能推出 a = 0 或 b = 0 吗？"
  （是数；不能——两个非零向量互相垂直时，数量积也是 0）

⚠️ 边界：实数乘法的规律不能全搬过来。
   消去律不成立：a·b = a·c（a ≠ 0）推不出 b = c，只能推出 a 与 b − c 垂直；
   结合律不成立：(a·b)c 是与 c 共线的向量，a(b·c) 是与 a 共线的向量，一般不相等。
```

```verify
{"claim": "a = (1, 0)、b = (0, 1)、c = (1, 1)：(a·b)c = (0, 0)，a(b·c) = (1, 0)，两者不等；a = (1, 0)、b = (2, 3)、c = (2, −5) 时 a·(b − c) = 0", "expr": "[(1 * 0 + 0 * 1) * 1, (1 * 0 + 0 * 1) * 1, 1 * (0 * 1 + 1 * 1), 0 * (0 * 1 + 1 * 1), 1 * (2 - 2) + 0 * (3 - -5)]", "expect": [0, 0, 1, 0, 0]}
```

**2. 投影向量：向量的"影子"（B19）**

```
图解：把 a、b 的起点放在一起，从 a 的终点向 b 所在的直线作垂线，
  从起点到垂足的向量，就是 a 在 b 上的投影向量，等于 (|a|cos θ)·e（e 是与 b 同方向的单位向量）

检验："a = (2, 1)，b = (3, 0)，a 在 b 上的投影向量是什么？"（(2, 0)）

⚠️ 边界：夹角是钝角时 cos θ < 0，投影向量与 b 方向相反——影子落到了反方向。
   课标把投影放在数量积之后，建议借助几何直观理解（课标案例 9 向量投影）。
```

```verify
{"claim": "a = (2, 1)、b = (3, 0)：|a|cos θ = a·b/|b| = 6/3 = 2，投影向量为 2e = (2, 0)", "expr": "(2 * 3 + 1 * 0) / 3", "expect": 2}
```

**3. 夹角为钝角：还要排除反向共线（B19）**

```
逐步拆分：
  ① 向量夹角 θ 的范围是 [0, π]
  ② a·b < 0 ⇔ cos θ < 0 ⇔ θ ∈ (π/2, π]——这里包含了 θ = π，也就是两个向量反向共线
  ③ 所以"夹角为钝角" ⇔ a·b < 0，且 a、b 不反向共线

检验："a = (1, 1)，b = (λ, −2)，a 与 b 的夹角为钝角，λ 的取值范围是什么？"
  （a·b = λ − 2 < 0，得 λ < 2；λ = −2 时 b = −2a，两个向量反向，要去掉。所以 λ < 2 且 λ ≠ −2）
```

```verify
{"claim": "λ = −2 时 a·b = −4 < 0，但 x₁y₂ − x₂y₁ = 0，两向量反向共线；λ = 0 时 a·b = −2 < 0 且不共线，夹角是钝角", "expr": "[1 * -2 + 1 * -2, 1 * -2 - -2 * 1, 1 * 0 + 1 * -2, 1 * -2 - 0 * 1]", "expect": [-4, 0, -2, -2]}
```

**4. 共线与垂直的坐标条件（B19）**

```
对照：a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)
  共线：x₁y₂ − x₂y₁ = 0   ——由 b = λa（a ≠ 0）推出
  垂直：x₁x₂ + y₁y₂ = 0   ——由 a·b = 0 推出

检验："(1, 2) 与 (2, 4)、(1, 2) 与 (−2, 1)，哪一对共线，哪一对垂直？"（前一对共线，后一对垂直）

⚠️ 边界：零向量与任何向量都共线；两个条件记混时，回到它们各自的来源重推一遍，比背口诀可靠。
```

```verify
{"claim": "(1, 2) 与 (2, 4)：1 × 4 − 2 × 2 = 0，共线；(1, 2) 与 (−2, 1)：1 × (−2) + 2 × 1 = 0，垂直", "expr": "[1 * 4 - 2 * 2, 1 * -2 + 2 * 1]", "expect": [0, 0]}
```

**5. 已知两边和其中一边的对角：可能有两个解（B20）**

```
图解：已知角 A、边 b（= AC）和边 a（= BC）
  先画出角 A 和边 AC，再以 C 为圆心、a 为半径画弧，弧与角 A 的另一边有几个交点，三角形就有几个
  A 为锐角时，C 到那条边的距离是 b sin A：
    a < b sin A：没有交点，无解
    a = b sin A：相切，一解（直角三角形）
    b sin A < a < b：两个交点，两解
    a ≥ b：一解

检验："A = 30°，a = 1，b = √3，B 等于多少？"（b sin A = √3/2 < 1 < √3，两解：B = 60° 或 120°）

⚠️ 边界：从代数上看，sin 在 (0, π) 上不是一一对应的

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}

Record generated Oct 10, 2026.

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