Xpersona
agentCLAWHUBUnverified

思维梯度训练师

初中到高中的数学分层进阶练习（高中覆盖必修与选择性必修）：在某个知识点已经会做的前提下，按 5 层难度定位当前练习层级，再一层一层往上练。典型触发："这类数学题我会了，想练更难的""帮我出数学进阶题""数学考试总在难题上卡住""测一下我这个知识点在第几层""帮我生成数学成长日记"。不处理：一道具体题目的当场引导（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、错题收录与次数统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、错因子类型分析（转 xiaozhi-math-error-dna）、概念没建立时的重讲（转 xiaozhi-math-concept-explainer）。每周检测提醒只在学生同意时经 reminder_enqueue 交 IM 提醒，本 SKILL 不自己提醒。 Skill: 思维梯度训练师 Owner: qizhitang Summary: 初中到高中的数学分层进阶练习（高中覆盖必修与选择性必修）：在某个知识点已经会做的前提下，按 5 层难度定位当前练习层级，再一层一层往上练。典型触发："这类数学题我会了，想练更难的""帮我出数学进阶题""数学考试总在难题上卡住""测一下我这个知识点在第几层""帮我生成数学成长日记"。不处理：一道具体题目的当场引导（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、错题收录与次数统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、错因子类型分析（转 xiaozhi-math-error-dna）、概念没建立时的重讲（转 xiaozhi-math-concept-explainer）。每周检测提醒只在学生同意时经 reminder_enqueue 交 IM 提醒，本 SKILL 不自己提醒。 Tags: late

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What it does, and when to use it.

Capability contract not published. No trust telemetry is available yet. 1.6K downloads reported by the source. Last updated 10/10/2026.

Avoid when

  • Contract metadata is missing or unavailable for deterministic execution.

Risk flags: missing_or_unavailable_contract, trust_data_unavailable, schema_references_missing

Public facts

Every fact links back to the source it came from.

Vendor
Clawhubvendor · observed Oct 10, 2026
Protocol compatibility
OpenClawcompatibility · observed Oct 10, 2026
Adoption signal
1.6K downloadsadoption · observed Oct 10, 2026
Latest release
2.11.1release · observed Oct 8, 2026
Handshake status
UNKNOWNsecurity

Install and run

Setup complexity: low.

clawhub skill install s17egdt3mjea4rhm19wt7tm77x852sxg:xiaozhi-math-gradient-trainer
  1. Setup complexity is classified as HIGH. You must provision dedicated cloud infrastructure or an isolated VM. Do not run this directly on your local workstation.
  2. Final validation: Expose the agent to a mock request payload inside a sandbox and trace the network egress before allowing access to real customer data.

Contract: missing

curl -s "https://www.xpersona.co/api/v1/agents/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-gradient-trainer/snapshot"

Documentation

CLAWHUB

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SKILL.md

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name: xiaozhi-math-gradient-trainer
description: '初中到高中的数学分层进阶练习（高中覆盖必修与选择性必修）：在某个知识点已经会做的前提下，按 5 层难度定位当前练习层级，再一层一层往上练。典型触发："这类数学题我会了，想练更难的""帮我出数学进阶题""数学考试总在难题上卡住""测一下我这个知识点在第几层""帮我生成数学成长日记"。不处理：一道具体题目的当场引导（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、错题收录与次数统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、错因子类型分析（转 xiaozhi-math-error-dna）、概念没建立时的重讲（转 xiaozhi-math-concept-explainer）。每周检测提醒只在学生同意时经 reminder_enqueue 交 IM 提醒，本 SKILL 不自己提醒。'
compatibility: WorkBuddy / SkillHub / OpenClaw / ClawHub
license: MIT
display_name: 🎯 思维梯度训练师
version: 2.11.1
author: 小智伴学
category: 数学专项
grade_bands:
  - 初中
  - 高中
tags: [数学, 进阶, 梯度题, 思维训练, 成长日记, 分层练习]
depends_on:
  - xiaozhi-learning-dna
  - xiaozhi-math-error-dna
slug: xiaozhi-math-gradient-trainer
displayName: 🎯 思维梯度训练师
summary: '初中到高中的数学分层进阶练习（高中覆盖必修与选择性必修）：在某个知识点已经会做的前提下，按 5 层难度定位当前练习层级，再一层一层往上练。'
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# 🎯 思维梯度训练师 SKILL

> **一句话定位：** 会做课本题只是起点——  
> 梯度训练找到你**当前的练习层级**，  
> 然后帮你往上走一层，再一层。

> 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M, X, T]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。
> 无跨会话统计（X）时：不报"你这学期做了 N 道"，只说本次会话内的结果；无定时任务（T）时：不承诺每周主动提醒，改为"你下次进来我把到期的检测补给你"。
> 使用前提：小学学段须有家长或老师在场陪同使用（shared/vocab.md §8 规则 4）；学生说明正在考试或测验中时，不讲该题、不给提示，约好考完再复盘（shared/hint-ladder.md §〇）。

⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记"已转介"的处置事实。

> 铁律（按 shared/hint-ladder.md 的表述）：不在学生尝试之前给原题答案；提示按 shared/hint-ladder.md 逐级升，到达上限后用同型例题或讲解 + 同类题收尾。
> **本 SKILL 的默认最高级：L4（半步提示）。** 需要升到 L5/L6 才做得动，说明这一层对现在的他过高——**回退一层**，而不是继续给提示。

### 隐私与数据控制入口

```text
- 查看：「查看我的训练记录」
- 更正：「更正我的档案」
- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）
- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）/「暂停提醒」
- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」
- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）
```

---

## 一、核心使命

**大多数学生的数学训练误区：**

```
误区①：一直做课本题
  → 只是巩固已会的，思维没有被拉伸
  → 遇到考试里的变形题，就卡住了

误区②：直接刷竞赛难题
  → 跨度太大，打击信心
  → 不知道自己卡在哪一层

误区③：备考前才开始刷难题
  → 已经来不及系统训练
  → 只能押题，不能真正提升
```

**这个SKILL的解法：**

```
五层难度定位（对应 dna-profile 的
subjectExtensions.math.gradientLevel.currentLevel，取值 1-5）：

📕 第1层（课本层）
  = 直接套定义/公式
  能做对 = 这个知识点的基本用法在手上

★  第2-4层（梯度层）
  = 比课本多一步：识别题型 → 联动两个知识点 → 逆向或分类讨论
  = 考试里的中等难度题大多在这里
  
🏆 第5层（拓展层）
  = 需要自己找路径，往往要试几次
  = 题目不超出课标（高中含课标标＊的选学内容），综合性强，不是本 SKILL 的日常目标
  
目标：定位当前练习层级 → 在这一层练熟（不是做对一道就走）→ 上一层
```

> 用"当前练习层级"这个说法，不用"天花板"——层级是**这一阵子练到哪儿**，会随练习变化，
> 不是能力的上限，也和"有没有数学天赋"无关。

---

## 二、功能模块总览

```
思维梯度训练师 SKILL
├── 模块A  层级定位（找到当前练习层级）
├── 模块B  按弱项定制的梯度序列
├── 模块C  数学成长日记（轨迹记录）
└── 模块D  每周数学成长检测
```

**轮次与退出预算（IM 场景）：**

| 环节 | 轮次预算 | 退出/收尾 |
|---|---|---|
| 层级定位 | 每层 2-3 题，一次会话最多测 2 层 | 学生说"太多了" → 只测当前层，下次再往上 |
| 单题引导 | ≤2 轮提示（上限 L4） | 2 轮后仍卡 → 回退一层，本题不再追 |
| 每周检测 | 3-4 轮 | 两轮无回复 → 输出一句话小结并归档，不再追问 |

> **两轮无回复即收尾**：写一条"本次练到第几层、下次从哪开始"的小结，归档，不追加提醒。
> **快速模式**：学生说"就来两道"时，只出当前层的 2 道题 + 一句结果判断。

---

## 三、模块A：层级定位

### 触发时机
- 学生说"我想练进阶题"
- 学生刚攻克了一个弱项，准备进阶
- 学生说"帮我测一下我这个知识点在第几层"
- 数学错误DNA显示某弱项状态已变为"已攻克"

### 层级定位序列（每层 2-3 题，从当前层的下一层开始试）

**出题原则（生成前按 sh

_meta.json

{
  "ownerId": "kn79c5gcmfkt9p1pk656tgq7nd853s7v",
  "slug": "xiaozhi-math-gradient-trainer",
  "version": "2.11.1",
  "publishedAt": 1791475447896
}

references/gradient-levels.md

# 初中数学各知识模块梯度分层参考

> 适用学段：初中（7-9 年级）。
> 示例题验算：2026-10-07
> 每个知识点按 5 层给出题型描述与示例题，帮助小智判断学生**当前的练习层级**
> （对应 `dna-profile.schema.json` 的 `subjectExtensions.math.gradientLevel.currentLevel`，取值 1-5）。
>
> **使用规则：**
> 1. 层级不是"天花板"，是这一阵子练到哪儿，会随练习变化。
> 2. **每层至少出 2-3 道**，都稳（或 3 道中对 2 道且能说清思路）才算这一层过了；
>    只做 1 道就下结论 = 样本不足 🔴，不写入档案。
> 3. 下表每层给 2 道示例题，第 3 道由 AI 按同一考查点现出，
>    生成前按 `shared/ai-item-check.md` 自检（自解一遍、有解且唯一、条件充分不多余、数值友好、初中学段内）。
> 4. 第 5 层是拓展方向，不作为日常训练目标。

---

## 一次函数

| 层级 | 题型描述 | 示例题 A | 示例题 B |
|-----|---------|--------|--------|
| 第1层（课本） | 直接求函数值或系数 | 已知 y=2x-3，求 x=2 时 y 的值 | 已知 y=-x+4，求 y=0 时 x 的值 |
| 第2层（应用） | 根据条件确定函数解析式 | 一次函数过 (1,3) 和 (-1,-1)，求解析式 | 一次函数过 (0,2)，且 x 每增加 1，y 减少 3，求解析式 |
| 第3层（联动） | 函数图像与几何结合 | 直线 y=2x-4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B，求 △AOB 的面积 | 直线 y=kx+3（k<0）与 x 轴、y 轴围成的三角形面积为 3，求 k |
| 第4层（变形） | 参数范围或条件判断 | 若一次函数 y=(m-1)x+(m-3) 的图像不经过第二象限，求 m 的取值范围 | 若 y=(2-k)x+1 的图像上，y 随 x 增大而减小，求 k 的取值范围 |
| 第5层（拓展） | 函数与整数/不等式综合 | 直线 y=2x+b 与 y=-x+5 的交点横坐标为整数，求整数 b 的一组取值 | 讨论 y=kx+2 与 y=x-1 的交点在第几象限（分类讨论 k） |

> 验算备注（第4层 A）：`y=(m-1)x+(m-3)` 不过第二象限，需要 `m-1>0` 且 `m-3≤0`，
> 解得 **1 < m ≤ 3**，有解。
> ⚠️ 旧版曾写成 `y=(m-1)x+(m²-1)`：需 `m-1>0` 且 `m²-1≤0`，即 `m>1` 且 `-1≤m≤1`，**无解**，已修正。
> 验算备注（第3层 A）：A(2,0)、B(0,-4)，面积 = ½×2×4 = 4。
> ⚠️ 旧版"直线与 x 轴围成三角形面积为 8"缺一条边，不成题，已改为与**两条坐标轴**围成三角形。

```verify
{"claim": "第4层A：1<m≤3 内有解、区间外无解", "expr": "[1.5, 2, 3].every(m => m - 1 > 0 && m - 3 <= 0) && ![0, 1, 3.5, 4].some(m => m - 1 > 0 && m - 3 <= 0)", "expect": true}
```

```verify
{"claim": "旧版 y=(m-1)x+(m^2-1) 不过第二象限：m>1 且 m^2<=1 无解", "expr": "[-1, 0, 0.5, 1, 1.0001, 2, 5].some(m => m - 1 > 0 && m * m - 1 <= 0)", "expect": false}
```

```verify
{"claim": "第3层A：y=2x-4 与两坐标轴围成三角形面积为 4", "expr": "0.5 * Math.abs(-4 / 2) * Math.abs(-4)", "expect": 4}
```

---

## 二元一次方程组

| 层级 | 题型描述 | 示例题 A | 示例题 B |
|-----|---------|--------|--------|
| 第1层（课本） | 直接解方程组 | 解：2x+y=5，x-y=1 | 解：3x+2y=12，x=2y |
| 第2层（应用） | 根据实际问题列方程组 | 鸡兔同笼：共 30 只，足共 80 条，各几只 | 甲乙两数之和为 25，甲比乙的 2 倍少 2，求两数 |
| 第3层（联动） | 带参数或结果有限制 | 方程组 x+y=7，x-y=k 的解均为正整数，求整数 k 的所有可能值 | 方程组的解满足 x+y=4，且 x、y 均为非负整数，列出所有解 |
| 第4层（变形） | 解的个数的条件讨论 | 关于 x、y 的方程组 2x+3y=6，4x+6y=n：n 取何值时有无穷多解？n 取何值时无解？ | 关于 x、y 的方程组 x+2y=3，2x+ay=5 有唯一解，求 a 的取值范围 |
| 第5层（拓展） | 方程组与函数、不等式综合 | 直线 y=x+1、y=-x+5、x 轴两两相交，求三个交点围成的三角形面积 | 买 2 本甲种、3 本乙种笔记本共 26 元，买 3 本甲种、1 本乙种共 18 元；现要买两种共 20 本，乙种不少于 6 本，总费用不超过 100 元，有几种买法？哪种最省钱？ |

> 验算备注（第2层 A）：鸡 x、兔 y，x+y=30，2x+4y=80 → y=10，x=20，均为非负整数（鸡 20 只、兔 10 只）。
> ⚠️ 旧版写"80 条腿"但未核对结果，此处已验算。
> 验算备注（第3层 A）：x=(7+k)/2，y=(7-k)/2；要求都是正整数 → k 为奇数且 -7<k<7，
> 即 k ∈ {-5,-3,-1,1,3,5}，共 6 个值。
> 验算备注（第4层 A）：第二个方程恰是第一个的 2 倍（左边），n=12 时两式等价 → 无穷多解；
> n≠12 时左边成比例而右边不成比例 → 无解。**三个分支里没有"唯一解"**，讲评时要说清楚。
> 验算备注（第4层 B）：唯一解要求 1×a-2×2≠0，即 **a≠4**。
> 验算备注（第5层 B）：2a+3b=26、3a+b=18 → 甲 4 元、乙 6 元；甲买 m 本，20-m≥6 → m≤14，4m+6(20-m)≤100 → m≥10，共 **5 种**；费用 w=120-2m，随 m 增大而减小，m=14（甲 14 本、乙 6 本）时最省，**92 元**（二元一次方程组、一元一次不等式组与一次函数的综合，课标内）。

```verify
{"claim": "第5层B：单价甲 4 元、乙 6 元；10≤m≤14 共 5

references/math-hs1-gradient-levels.md

# 高一衔接段各知识模块梯度分层参考

> 示例题验算：2026-09-25
> 适用学段：高中（高一衔接段）。
> 本文件是 `xiaozhi-math-gradient-trainer` 第十节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题一"预备知识"与主题二"函数"。层级含义与使用规则同初中（`references/gradient-levels.md`）：第 1 层课本、第 2 层应用、第 3 层联动、第 4 层变形、第 5 层拓展；每层至少 2—3 道都稳才算过，第 5 层不作日常训练目标。
> 每层给 2 道示例题，答案写在"验算备注"里，关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算。第 3 道由 AI 按同一考查点现出，生成前按 `shared/ai-item-check.md` 自检（自解一遍、有解且唯一、条件充分不多余、数值友好、不超出高一必修范围）。

---

## 一、高一·一元二次不等式与基本不等式

| 层级 | 题型描述 | 示例题 A | 示例题 B |
|-----|---------|--------|--------|
| 第1层（课本） | 直接解不等式、直接用基本不等式 | 解不等式 x² − 5x + 6 < 0 | 已知 x > 0，求 x + 1/x 的最小值 |
| 第2层（应用） | 先变形再解；和为定值求积的最大值 | 解不等式 −x² + 2x + 3 ≥ 0 | 已知 x > 0，y > 0，且 x + y = 4，求 xy 的最大值 |
| 第3层（联动） | 解集与系数联动；不等式与实际问题 | 已知 x² + ax + b < 0 的解集为 {x \| 1 < x < 3}，求 a、b | 用 16 米长的篱笆围成一个矩形，面积最大是多少 |
| 第4层（变形） | 恒成立问题；等号取不到时求最值 | 若 x² − ax + 1 ≥ 0 对任意实数 x 恒成立，求 a 的取值范围 | 求 y = x + 4/x（x ≥ 3）的最小值 |
| 第5层（拓展） | 换元后用基本不等式；含参不等式分类讨论 | 已知 x > 1，求 x + 1/(x − 1) 的最小值 | 解关于 x 的不等式 x² − (a + 1)x + a < 0 |

> 验算备注：
> - 1A：解集为 {x | 2 < x < 3}。1B：最小值 2，x = 1 时取到。
> - 2A：x² − 2x − 3 ≤ 0，解集为 {x | −1 ≤ x ≤ 3}。2B：xy ≤ [(x + y)/2]² = 4，x = y = 2 时取到。
> - 3A：1、3 是 x² + ax + b = 0 的两根，a = −4，b = 3。3B：边长 4 米时面积最大，为 16 平方米。
> - 4A：判别式 a² − 4 ≤ 0，a 的取值范围是 [−2, 2]（子类型 R08）。4B：等号在 x = 2 取到，但 2 不在范围内；x ≥ 3 时函数递增，最小值为 13/3（子类型 M07）。
> - 5A：令 t = x − 1 > 0，原式 = t + 1/t + 1 ≥ 3，x = 2 时取到。5B：(x − 1)(x − a) < 0；a > 1 时解集为 {x | 1 < x < a}，a = 1 时解集为 ∅，a < 1 时解集为 {x | a < x < 1}。

```verify
{"claim": "1A：x = 2.5 满足 x² − 5x + 6 < 0，x = 1、4 不满足", "expr": "[2.5, 1, 4].map((x) => x * x - 5 * x + 6 < 0)", "expect": [true, false, false]}
```

```verify
{"claim": "2A：−1 与 3 是 −x² + 2x + 3 = 0 的两根，x = 0 在解集内、x = 4 不在", "expr": "[-((-1) ** 2) + 2 * -1 + 3, -(3 ** 2) + 2 * 3 + 3, [0, 4].map((x) => -(x ** 2) + 2 * x + 3 >= 0)]", "expect": [0, 0, [true, false]]}
```

```verify
{"claim": "3A：a = −4、b = 3 时 1 和 3 是 x² + ax + b = 0 的两根；3B：周长 16 时边长 4 的面积 16 大于边长 3、5 的 15", "expr": "[1 - 4 * 1 + 3, 9 - 4 * 3 + 3, 4 * (8 - 4), 3 * (8 - 3), 5 * (8 - 5)]", "expect": [0, 0, 16, 15, 15]}
```

```verify
{"claim": "4B：x ≥ 3 时 x + 4/x 的最小值为 13/3；5A：x = 2 时 x + 1/(x − 1) = 3，x = 1.5、3 时都是 3.5", "expr": "[3 + 4 / 3, 2 + 1 / (2 - 1), 1.5 + 1 / (1.5 - 1), 3 + 1 / (3 - 1)]", "expect": [4.333333333333333, 3, 3.5, 3.5]}
```

---

## 二、高一·函数的概念与性质

| 层级 | 题型描述 | 示例题 A | 示例题 B |
|-----|---------|--------|--------|
| 第1层（课本） | 求定义域、求函数值 | 求函数 f(x) = √(x + 2) 的定义域 | 已知 f(x) = 2x² − 1，求 f(−1) 与 f(2) |
| 第2层（应用） | 多个限制条件的定义域；判断奇偶性 | 求 f(x) = 1/(x − 1) + √(3 − x) 的定义域 | 判断 f(x) = x³ + x 的奇偶性 |
| 第3层（联动） | 用定义证明单调性；奇偶性求值 | 用定义证明 f(x) = 2x + 3 在 R 上单调递增 | 已知 f(x) 是 R 上的奇函数，x > 0 时 f(x) = x² − 2x，求 f(−1) |
| 第4层（变形） | 由单调性求参数；用单调性、奇偶性解不等式 | 已知 f(x) = x² − 2ax + 3 在 [2, +∞) 上单调递增，求 a 的取值范围 | 已知 f(x) 是 R 上的偶函数，在 [0, +∞) 上单调递增，解不等式 f(x − 1) < f(2) |
| 第5层（拓展） | 分段函数分类讨论；含参函数的单调性 | 已知 f(x) = x + 2（x ≤ 0），f(x) = x²（x > 0），求满足 f(a) = 4 的 a | 讨论 f(x) = x + a/x（a > 0）在 (0, +∞) 上的单调性 |

> 验

references/math-hs2-gradient-levels.md

# 高中必修后半各知识模块梯度分层参考

> 示例题验算：2026-09-26
> 适用学段：高中（必修后半）。
> 本文件是 `xiaozhi-math-gradient-trainer` 第十一节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题三"几何与代数"与主题四"概率与统计"。层级含义与使用规则同初中（`references/gradient-levels.md`）：第 1 层课本、第 2 层应用、第 3 层联动、第 4 层变形、第 5 层拓展；每层至少 2—3 道都稳才算过，第 5 层不作日常训练目标。
> 每层给 2 道示例题，答案写在"验算备注"里，关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算。第 3 道由 AI 按同一考查点现出，生成前按 `shared/ai-item-check.md` 自检（自解一遍、有解且唯一、条件充分不多余、数值友好、不超出高中必修范围）。

---

## 一、高中必修·平面向量与解三角形

| 层级 | 题型描述 | 示例题 A | 示例题 B |
|-----|---------|--------|--------|
| 第1层（课本） | 向量的坐标运算；直接用余弦定理 | 已知 a = (2, 1)，b = (−1, 3)，求 a + b 与 a·b | 在 △ABC 中，a = 2，b = 3，C = 60°，求 c |
| 第2层（应用） | 求模；用正弦定理求边 | 已知 \|a\| = 2，\|b\| = 3，a 与 b 的夹角为 60°，求 \|a + b\| | 在 △ABC 中，A = 45°，B = 60°，a = 2，求 b |
| 第3层（联动） | 由平行求参数；判断三角形解的个数 | 已知 a = (1, 2)，b = (x, 1)，a + 2b 与 2a − b 平行，求 x | 在 △ABC 中，A = 30°，a = 2，b = 2√3，判断三角形有几个，并求 B |
| 第4层（变形） | 向量夹角的确定；边角互化 | 在边长为 2 的正三角形 ABC 中，求 AB·BC（AB、BC 均为向量） | 在 △ABC 中，a cos B = b cos A，判断三角形的形状 |
| 第5层（拓展） | 向量模的最值；面积的最值 | 已知 a、b 是夹角为 60° 的单位向量，求 \|a − tb\|（t ∈ R）的最小值 | 在 △ABC 中，C = 60°，c = 2，求 △ABC 面积的最大值 |

> 验算备注：
> - 1A：a + b = (1, 4)，a·b = −2 + 3 = 1。1B：c² = 4 + 9 − 2 × 2 × 3 × cos 60° = 7，c = √7。
> - 2A：\|a + b\|² = 4 + 9 + 2 × 2 × 3 × cos 60° = 19，\|a + b\| = √19。2B：b = a sin B / sin A = 2 × (√3/2) ÷ (√2/2) = √6。
> - 3A：a + 2b = (1 + 2x, 4)，2a − b = (2 − x, 3)，由 3(1 + 2x) − 4(2 − x) = 0 得 x = 1/2（子类型 B19：用的是共线条件）。3B：b sin A = √3 < a = 2 < b = 2√3，有两个三角形；sin B = √3/2，B = 60° 或 120°（子类型 B20）。
> - 4A：向量 AB 与 BC 的夹角是 120°，不是 60°，AB·BC = 2 × 2 × cos 120° = −2。4B：由正弦定理，sin A cos B − cos A sin B = sin(A − B) = 0，A = B，三角形是等腰三角形（子类型 M10：边化角）。
> - 5A：\|a − tb\|² = t² − t + 1 = (t − 1/2)² + 3/4，t = 1/2 时取最小值 √3/2。5B：由余弦定理 4 = a² + b² − ab ≥ 2ab − ab = ab，ab ≤ 4，面积 (1/2)ab sin 60° ≤ √3，a = b = 2 时取到。

```verify
{"claim": "1A：a + b = (1, 4)，a·b = 1；1B：c² = 7；2A：|a + b|² = 19；2B：b = √6", "expr": "[2 + -1, 1 + 3, 2 * -1 + 1 * 3, 4 + 9 - 2 * 2 * 3 * Math.cos(Math.PI / 3), 4 + 9 + 2 * 2 * 3 * Math.cos(Math.PI / 3), (2 * Math.sin(Math.PI / 3)) / Math.sin(Math.PI / 4), Math.sqrt(6)]", "expect": [1, 4, 1, 7, 19, 2.449489742783178, 2.449489742783178]}
```

```verify
{"claim": "3A：x = 1/2 时 a + 2b = (2, 4)、2a − b = (1.5, 3)，3(1 + 2x) − 4(2 − x) = 0；3B：b sin A = √3，介于 a、b 之间，sin B = √3/2", "expr": "[3 * (1 + 2 * 0.5) - 4 * (2 - 0.5), 2 * 3 - 4 * 1.5, 2 * Math.sqrt(3) * Math.sin(Math.PI / 6), Math.sqrt(3) < 2 && 2 < 2 * Math.sqrt(3), (2 * Math.sqrt(3) * Math.sin(Math.PI / 6)) / 2]", "expect": [0, 0, 1.7320508075688772, true, 0.8660254037844386]}
```

```verify
{"claim": "4A：2 × 2 × cos 120° = −2；5A：t = 1/2 时 t² − t + 1 = 3/4，最小值 √3/2；5B：a = b = 2 时 c² = 4，面积 √3", "expr": "[2 * 2 * Math.cos((2 * Math.PI) / 3), 0.5 ** 2 - 0.5 + 1, Math.sqrt(0.75), 4 + 4 - 2 * 2 * 2 * Math.cos(Math.PI / 3), 0.5 * 2 * 2 * Math.sin(Math.PI / 3), Math.sqrt(3)]", "expect": [-2, 0.75, 0.8660254037844386, 4, 1.7320508075688772, 1.7320508075688772]}
```

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## 二、高中必修·立体几何初步

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Record generated Oct 10, 2026.

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