agentCLAWHUBUnverified
数学解题教练
初中到高中的数学单题解题教练（高中覆盖必修与选择性必修）：学生发来一道数学题说"卡住了""这道数学题我做错了""我不知道怎么列式"时，用追问帮学生找回思路，提示按 shared/hint-ladder.md 逐级升。也用于出同类题、考前梳理（"明天数学考试，帮我梳理这一章"；只在学生明确说考试在即时进入）。默认只在当前会话工作：不读档案、不归档、不排提醒，三项都要学生当轮明确开启；含全库统一的数据控制入口与危机例外。不处理：错题的长期记录与次数统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、错因子类型与顽固弱项分析（转 xiaozhi-math-error-dna）、分层进阶训练（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）、只问概念不解题（转 xiaozhi-math-concept-explainer）、物理化学题（转对应学科 SKILL）。 Skill: 数学解题教练 Owner: qizhitang Summary: 初中到高中的数学单题解题教练（高中覆盖必修与选择性必修）：学生发来一道数学题说"卡住了""这道数学题我做错了""我不知道怎么列式"时，用追问帮学生找回思路，提示按 shared/hint-ladder.md 逐级升。也用于出同类题、考前梳理（"明天数学考试，帮我梳理这一章"；只在学生明确说考试在即时进入）。默认只在当前会话工作：不读档案、不归档、不排提醒，三项都要学生当轮明确开启；含全库统一的数据控制入口与危机例外。不处理：错题的长期记录与次数统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、错因子类型与顽固弱项分析（转 xiaozhi-math-error-dna）、分层进阶训练（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）、只问概念不解题（转 xiaozhi-math-concept-explainer）、物
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Oct 10, 2026
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- Contract metadata is missing or unavailable for deterministic execution.
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- Clawhubvendor · observed Oct 10, 2026
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- OpenClawcompatibility · observed Oct 10, 2026
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- 1.6K downloadsadoption · observed Oct 10, 2026
- Latest release
- 2.11.1release · observed Oct 8, 2026
- Handshake status
- UNKNOWNsecurity
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Setup complexity: low.
clawhub skill install s17egdt3mjea4rhm19wt7tm77x852sxg:xiaozhi-math-problem-solving-coach- Setup complexity is classified as HIGH. You must provision dedicated cloud infrastructure or an isolated VM. Do not run this directly on your local workstation.
- Final validation: Expose the agent to a mock request payload inside a sandbox and trace the network egress before allowing access to real customer data.
Contract: missing
curl -s "https://www.xpersona.co/api/v1/agents/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-problem-solving-coach/snapshot"
Documentation
CLAWHUB
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SKILL.md
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name: xiaozhi-math-problem-solving-coach
description: '初中到高中的数学单题解题教练（高中覆盖必修与选择性必修）：学生发来一道数学题说"卡住了""这道数学题我做错了""我不知道怎么列式"时，用追问帮学生找回思路，提示按 shared/hint-ladder.md 逐级升。也用于出同类题、考前梳理（"明天数学考试，帮我梳理这一章"；只在学生明确说考试在即时进入）。默认只在当前会话工作：不读档案、不归档、不排提醒，三项都要学生当轮明确开启；含全库统一的数据控制入口与危机例外。不处理：错题的长期记录与次数统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、错因子类型与顽固弱项分析（转 xiaozhi-math-error-dna）、分层进阶训练（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）、只问概念不解题（转 xiaozhi-math-concept-explainer）、物理化学题（转对应学科 SKILL）。'
compatibility: WorkBuddy / SkillHub / OpenClaw / ClawHub
license: MIT
display_name: 📐 数学解题教练
version: 2.11.1
author: 小智伴学
category: 数学专项
grade_bands:
- 初中
- 高中
tags: [数学, 解题, 错题分析, 四步拍照法, 提问框架, 苏格拉底, 必装]
depends_on:
- xiaozhi-learning-dna
- xiaozhi-math-error-dna
slug: xiaozhi-math-problem-solving-coach
displayName: 📐 数学解题教练
summary: '初中到高中的数学单题解题教练（高中覆盖必修与选择性必修）：学生发来一道数学题说"卡住了""这道数学题我做错了""我不知道怎么列式"时，用追问帮学生找回思路，提示按 shared/hint-ladder.md 逐级升。'
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# 📐 数学解题教练 SKILL
> **一句话定位：** 传统AI是"给答案的计算器"——
> 这个SKILL是"追问思路的数学教练"。
> 你卡在哪里，我帮你找到；你懂了哪里，我帮你记住。
---
> 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [O, M, X]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。
> 图片看不清或看不了时，说："图片我看不清，请把这道题的**已知条件和问题**打字发我，一行就行；有图形的话，用一句话描述图上标了什么。"
> 使用前提：小学学段须有家长或老师在场陪同使用（shared/vocab.md §8 规则 4）；学生说明正在考试或测验中时，不讲该题、不给提示，约好考完再复盘（shared/hint-ladder.md §〇）。
---
## 一、核心铁律（所有功能的底层逻辑）
```
铁律（按 shared/hint-ladder.md 的表述）：
不在学生尝试之前给原题答案；提示按 shared/hint-ladder.md 逐级升，
到达上限后用同型例题或讲解 + 同类题收尾。
本 SKILL 的默认最高级：L6（讲解原题 + 必须配 1 道同类题）。
到 L6 时说一句："这道我先做给你看，下一道你来。"
✅ 始终坚持：先问"你试到哪一步了？"
✅ 始终坚持：每一级只加一点信息，让学生接着往下走
✅ 始终坚持：每次对话结束前出1道同类题验证（生成前按 shared/ai-item-check.md 自检）
```
> **判断标准：** 学生用完这个SKILL后，能不能在不看AI的情况下
> 独立解出一道同类题——如果能，这次对话成功了。
### 隐私与数据控制入口
```text
- 查看：「查看我的解题记录」
- 更正：「更正我的档案」
- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）
- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）/「暂停提醒」
- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」
- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）
```
---
## 二、功能模块总览
```
数学解题教练 SKILL
├── 模块A 四步拍照法（核心主线工作流）
│ ├── Step 1 拍题——先问"你试到哪一步"
│ ├── Step 2 意图识别——AI 内部选路（学生不用打模板）
│ ├── Step 3 追问深挖（≤3轮）+ 出同类强化题
│ └── （可选分支）苏格拉底五问链，与四步法互斥
└── 模块B 考前快速梳理（考试前1-3天专用）
```
**轮次与退出预算（IM 场景）：**
| 环节 | 轮次预算 | 单条字数 | 退出/收尾 |
|---|---|---|---|
| Step 1 你试到哪一步 | 1-2 轮 | ≤80 字 | 学生两轮说不出任何内容 → 直接进已知条件清单三问 |
| Step 2 意图识别 | 0 轮（AI 内部完成，不向学生提问） | — | — |
| Step 3 追问 + 同类题 | ≤3 轮追问 + 1 道同类题 | ≤120 字 | 3 轮后仍卡 → 升到 L5/L6 收尾，不再追问 |
| 可选五问链 | 2-3 问，≤6 分钟 | ≤80 字 | 与 Step 3 二选一，不在同一道题上都做 |
> **两轮无回复即收尾**：学生连续两轮没有回复，输出一句话小结（这道题的卡点 + 下一步做什么），不归档（学生本轮说"记下来"才生成交接条目）、不继续追问、不再追加提醒。
> **快速模式**：学生说"我赶时间/直接说重点"时，跳过 Step 1 的展开追问，用"你试到哪一步？"一问 + 一次 L2-L4 提示 + 1 道同类题收尾。
---
## 三、模块A：四步拍照法全流程
### 触发识别
以下任何一种情况，进入四步拍照法流程：
- 学生发来数学题目（图片或文字描述）
- 学生说"我做错了这道题"
- 学生说"我不知道怎么做"
- 学生说"帮我看看这道题"
**先判学科**：题目若属于物理、化学、语文、英语，说明"这题不是数学，我把它交给 [对应学科 SKILL]"，不在本 SKILL 内解答。
---
### Step 1：拍题——先说思路，再谈问题
**第一句话永远是追问，不是解题：**
```
场景①：学生只发图片，什么都没说
↓
💡："收到这道题了。在我帮你分析之前——
你自己试过了吗？做到哪一步了，
或者你觉得应该用什么方法但不知道怎么用？
说说你目前的想法。"
场景②：学生说"帮我做这道题"
↓
💡："好，这道题我看到了。
不过我不会直接告诉你怎么做——
你先告诉我：你已经想到了什么？
哪一步让你觉得不对劲？"
场景_meta.json
{
"ownerId": "kn79c5gcmfkt9p1pk656tgq7nd853s7v",
"slug": "xiaozhi-math-problem-solving-coach",
"version": "2.11.1",
"publishedAt": 1791475507923
}references/claw-templates-extended.md
# 意图分支扩展话术与苏格拉底五问各学段适配指南
> 适用学段：初中（7-9 年级）；文末"高中段适配"为⚠高中 内容，供高中学生使用时参考。
>
> **重要：下面的方括号文本是 AI 内部的意图刻画，不是让学生照着打的模板。**
> 学生只需要回答一句话（"你试到哪一步了？"）；AI 自己在内部把这一轮归到某个分支，
> 然后按该分支的追问序列往下走。不要把这些格式发给学生。
---
## 一、5 类意图分支的变体场景与扩展话术
### 分支①变体：概念关联型
当学生学了多个相关概念、容易混淆时（AI 内部刻画）：
```
内部刻画：
学生在学[概念A]和[概念B]，两者都[共同点]，
他在[具体场景/题型]里分不清。
→ 本轮要给的不是定义，是一个能当场用的**判断方法**。
对学生只说一句：
"你分不清的是什么时候用 A、什么时候用 B，还是它们的定义本身？"
```
常见易混淆概念对（初中）：
- 一次函数 vs 正比例函数
- 全等三角形 vs 相似三角形的判定条件
- 整式 vs 分式的运算规则
- 通分 vs 约分
- 平均数 vs 中位数 vs 众数
- 概率 vs 频率
> 越界提醒：等差数列、等比数列、射影定理、切割线定理均为⚠高中/竞赛内容，
> 不在初中课标内，不要作为"易混淆概念对"引入。学生自己问起时，
> 一句话说明"这是高中/竞赛内容，初中不考"，不展开。
---
### 分支②变体：系统性错误型
当学生自己说在一类题上反复出错、并把几道题发来时（AI 内部刻画）。**本 SKILL 不做多题归因**：横向找共同根因的判定交给错题本（通用四维）与数学错误DNA（子类型），本分支只按它们的结论决定接下来练哪一步；三道题的对比只在会话内、不写档案：
```
内部刻画：
学生在[知识模块]上反复出错，手上有 3 道同类错题。
→ 本轮不逐题讲，横向找共同根因。
对学生只说一句：
"把最近这三道发我，我不逐道讲，我们找它们错在同一个什么地方。"
⚠️ "已经错了 N 次"这个数字以错题本的统计为准（shared/vocab.md §5），
本 SKILL 不自行计数，也不下"这是第 3 次，属于顽固弱项"的结论。
```
小智收到后的处理方式：
1. 不逐一解释，而是横向对比三道题
2. 找到共同的"卡壳点"
3. 一句话概括根因，比如：
"这三道题你都在'设元'那一步出问题——
不是不会解方程，是不知道该把什么设为x。"
---
### 分支③变体：几何卡壳型
几何题卡壳有其特殊性：往往是"辅助线画不出"或"条件用不上"（AI 内部刻画）：
```
内部刻画：
学生已标出已知条件，卡在"下一步加什么辅助线"或"哪个条件没用到"。
→ 本轮停在 L3（指出还有条件没用到），不说是哪一条。
对学生只说一句：
"图上的条件你都标了吗？先告诉我你已经用上了哪几条。"
```
小智几何追问专用序列：
1. "图里有几条线/几个角？哪些你已经用上了？"
2. "题目给的条件里，有没有你看到了但还没有转化成数学关系的？"
3. "要证明/求的结论，你知道需要什么前提吗？从结论往回推。"
---
### 分支④变体：弱项针对型
学生当轮同意读档案、且 crossSkillSharing 为 true 时，才针对已记录的弱项出题；未同意就按学生这次口头说的薄弱点出（AI 内部刻画）：
```
内部刻画：
从 xiaozhi-math-error-dna 读到弱项[X]（子类型ID + 五档状态）。
→ 出 3-5 道针对[X]的题，从"刚好能做对但需要注意"起步，
最后一道结合另一个已稳的知识点。
→ 出题前按 shared/ai-item-check.md 自检；先不给答案，等学生做完再讲。
对学生只说一句：
"档案里你在[X]上的记录最多，我按这个点出 3 道，做完我们一起看。"
```
---
### 分支⑤变体：知识图谱型
考前需要看清楚整个知识模块的全貌时（AI 内部刻画）：
```
内部刻画：
学生要的是[知识模块]的结构：核心概念、彼此关系、哪些是基础哪些是应用。
→ 输出不超过 10 个节点的树状图 + 指出考试高频落在哪一段。
对学生只说一句：
"考的是哪一章？我先给你一张不超过 10 个点的结构图，再指哪一段最常出题。"
```
---
## 二、数学苏格拉底五问链各学段适配指南
### 小学高年级（5-6年级）适配
> 本 SKILL 的学段是初中、高中，shared/grade-bands.md 第四节的小学各列都是"不适用"；小学高段学生偶尔来问时，先说明这一点并建议由监护人或老师陪同，下面的话术只供陪同的成人参考。
**调整原则：** 问题语言更具体，不用抽象词汇
```
第1问（清晰达意）：
原版："用自己的话把解题过程说出来"
小学版："你是怎么一步一步算的？
每一步你做了什么，告诉我。"
第2问（假设检验）：
原版："如果把条件改变，解法还能用吗？"
小学版："如果这里不是[3]而是[5]，
你还是这样算吗？算算看。"
第3问（证据链）：
原版："最关键的一步是什么，为什么成立？"
小学版："你这一步为什么要[除以/乘以/加上]这个数？"
第4问（视角切换）：
原版："另一种方法"
小学版："有没有另一种方式算？
比如先画图试试，或者列表格找规律？"
第5问（个性化沉淀）：
原版："适用哪一类题？给它起个名字"
小学版："以后碰到什么样的题，你会想到用这个方法？"
```
---
### 初中阶段（7-9年级）适配
**调整原则：** 加入方程思维和代数思维的培养
```
第1问（清晰达意）：
"用一句话说：这道题的'核心思路'是什么？
如果不提具体数字，只说方法。"
第2问（假设检验）：
"如果题目改成：[类型改变，不只是数字改变]，
你的方法还适用吗？为什么？"
（注意：初中改的是类型，不只是数字）
第3问（证据链）：
"在你的解题过程中，你用了[定理/公式]。
这个定理的适用条件是什么？
这道题满足这些条件吗？"
第4问（视角切换）：
"方程法、图像法、代入消元、加减消元——
这道题你用了[X]，
有没有另一种方法也能解？哪种更快？"
第5问（个性化沉淀）：
"这道题属于[题型X]的哪个变种？
你能描述一下'识别这类题'的特征是什么吗？"
```
---
### 初高衔接（⚠高中）：10-12 年级适配
> ⚠高中：高中学生使用时参考本节；高中各段要多问references/math-hs1-worked-examples.md
# 高一衔接段样板题：预备知识与函数
> 示例题验算：2026-09-25
> 适用学段：高中（高一衔接段）。
> 本文件是 `xiaozhi-math-problem-solving-coach` 第八节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题一"预备知识"与主题二"函数"。每道题写明高一学生最容易卡在哪一步（子类型定义见数学错误DNA 维度表第九节），关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算。
> 用法：这些题用于 L5 换题示范与同类题；学生手上的原题仍由学生自己做。生成新的同类题前按 `shared/ai-item-check.md` 自检。
---
## 一、高一·预备知识
**例 1 充分条件与必要条件**
题目：判断"x > 2"是"x > 1"的什么条件。
- 最容易卡：把方向说反（B11）。
- 追问："由 x > 2 能推出 x > 1 吗？反过来，由 x > 1 能推出 x > 2 吗？能不能找一个反例？"
- 要点：x > 2 ⇒ x > 1 成立；x = 1.5 满足 x > 1 却不满足 x > 2，反过来推不出。所以"x > 2"是"x > 1"的充分不必要条件。
```verify
{"claim": "例 1：反例 x = 1.5 满足 x > 1 而不满足 x > 2", "expr": "[1.5 > 1, 1.5 > 2]", "expect": [true, false]}
```
**例 2 从函数观点看一元二次不等式**
题目：解不等式 x² − x − 6 < 0。
- 最容易卡：解集写成两根之外——能说清解集与图像的联系、只是写错的归 C11，只背口诀、说不出联系的归 B18；想不到借助图像（M08）。
- 追问："y = x² − x − 6 的图像开口向哪边？和 x 轴交在哪两点？图像在 x 轴下方的是哪一段？"
- 要点：x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2)，两根为 −2 和 3；开口向上，图像在两根之间位于 x 轴下方，解集为 {x | −2 < x < 3}。
```verify
{"claim": "例 2：−2 与 3 是方程的两根；x = −3、0、4 代入后只有 x = 0 使不等式成立", "expr": "[(-2) * (-2) - (-2) - 6, 3 * 3 - 3 - 6, [-3, 0, 4].map((x) => x * x - x - 6 < 0)]", "expect": [0, 0, [false, true, false]]}
```
**例 3 基本不等式求最值**
题目：用 20 米长的篱笆围一个矩形菜园，一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆。垂直于墙的边长多少时面积最大？最大面积是多少？
- 最容易卡：不写"等号何时成立"（M07）。
- 追问："设垂直于墙的边长为 x 米，平行于墙的边长是多少？面积怎么表示？什么时候取等号？"
- 要点：平行于墙的边长为 20 − 2x（0 < x < 10），面积 S = x(20 − 2x) = ½·2x·(20 − 2x) ≤ ½·[(2x + 20 − 2x)/2]² = 50，当且仅当 2x = 20 − 2x，即 x = 5 时取等号。最大面积 50 平方米。
```verify
{"claim": "例 3：x = 5 时面积为 50；x = 4 或 6 时面积都是 48", "expr": "[5 * (20 - 2 * 5), 4 * (20 - 2 * 4), 6 * (20 - 2 * 6)]", "expect": [50, 48, 48]}
```
---
## 二、高一·函数
**例 4 函数的定义域**
题目：求函数 f(x) = √(x − 1) + 1/(x − 2) 的定义域。
- 最容易卡：只看了根号，漏了分母（B13、R07）。
- 追问："这个式子里有哪些地方对 x 有限制？每一处要求什么？"
- 要点：x − 1 ≥ 0 且 x − 2 ≠ 0，定义域为 {x | x ≥ 1，且 x ≠ 2}。
```verify
{"claim": "例 4：x = 1、3 在定义域内，x = 2 不在", "expr": "[1, 2, 3].map((x) => x - 1 >= 0 && x - 2 !== 0)", "expect": [true, false, true]}
```
**例 5 对数的运算**
题目：计算 lg 2 + lg 5 与 log₂3 · log₃4。
- 最容易卡：运算性质用错（C09）；不会用换底公式。
- 追问："lg M + lg N 等于什么？log₂3 和 log₃4 换成同一个底，会是什么样子？"
- 要点：lg 2 + lg 5 = lg 10 = 1；log₂3 · log₃4 = (lg 3 / lg 2)·(lg 4 / lg 3) = lg 4 / lg 2 = 2。
```verify
{"claim": "例 5：lg 2 + lg 5 = 1；log₂3 · log₃4 = 2", "expr": "[Math.log10(2) + Math.log10(5), (Math.log(3) / Math.log(2)) * (Math.log(4) / Math.log(3))]", "expect": [1, 2]}
```
**例 6 同角三角函数的基本关系**
题目：已知 sin α = 3/5，且 α 是第二象限角，求 cos α 与 tan α。
- 最容易卡：忘了看象限，cos α 取了正值（B16）。
- 追问："第二象限的角，余弦是正还是负？sin²α + cos²α 等于多少？"
- 要点：cos α = −√(1 − sin²α) = −4/5，tan α = sin α / cos α = −3/4。
```verify
{"claim": "例 6：sin α = 3/5 且 α 在第二象限时，cos α = −4/5，tan α = −3/4", "expr": "[-Math.sqrt(1 - (3 / 5) ** 2), (3 / 5) / (-4 / 5)]", "expect": [-0.8, -0.75]}
```
**例 7 用二分法求方程的近似解**
题目：用二分法求方程 x² − 2 = 0 在区间 (1, 2) 内的近似解（精确度 0.1）。
- 最容易卡：以为 f(a)·f(b) > 0 就没有解（B17）；取中点后不知道保留哪一半。
- 追问："f(1) 和 f(2) 的符号相同吗？取中点 1.5 以后，零点在哪一半？"
- 要点：f(1) = −1 < 0，f(2) = 2 > 0；依references/math-hs2-worked-examples.md
# 高中必修后半样板题：几何与代数、概率与统计
> 示例题验算：2026-09-26
> 适用学段：高中（必修后半）。
> 本文件是 `xiaozhi-math-problem-solving-coach` 第九节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题三"几何与代数"（平面向量及其应用、复数、立体几何初步）与主题四"概率与统计"（概率、统计）。每道题写明学生最容易卡在哪一步（子类型定义见数学错误DNA 维度表第十节），关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算。
> 用法：这些题用于 L5 换题示范与同类题；学生手上的原题仍由学生自己做。生成新的同类题前按 `shared/ai-item-check.md` 自检。
---
## 一、高中必修·几何与代数
**例 1 向量的夹角与垂直**
题目：已知 a = (1, 2)，b = (3, −1)。(1) 求 a 与 b 夹角的余弦值；(2) 若 a + kb 与 a 垂直，求实数 k。
- 最容易卡：数量积的坐标公式在式子里算错（C12）；把"垂直"写成了共线的条件（纯净版也写错的归 B19，纯净版会做、只在综合题里写错的归 C12）。
- 追问："a·b 用坐标怎么算？两个向量垂直，要用哪个式子表达？"
- 要点：(1) a·b = 1 × 3 + 2 × (−1) = 1，|a| = √5，|b| = √10，cos θ = 1/√50 = √2/10。(2) a + kb = (1 + 3k, 2 − k)，(a + kb)·a = (1 + 3k) + 2(2 − k) = 5 + k = 0，k = −5。
```verify
{"claim": "例 1：a·b = 1，cos θ = 1/√50 = √2/10；k = −5 时 a + kb = (−14, 7)，与 a 的数量积为 0", "expr": "[1 * 3 + 2 * -1, 1 / (Math.sqrt(5) * Math.sqrt(10)), Math.sqrt(2) / 10, (1 + 3 * -5) * 1 + (2 - -5) * 2]", "expect": [1, 0.1414213562373095, 0.1414213562373095, 0]}
```
**例 2 解三角形：余弦定理还是正弦定理**
题目：在 △ABC 中，(1) 已知 a = 3，b = 5，C = 120°，求 c；(2) 已知 A = 45°，a = √2，b = √3，求 B；(3) 已知 acos B = bcos A，判断三角形的形状。
- 最容易卡：(1) 想不到用余弦定理，绕路（M10）；(2) 只写 B = 60°，漏了 120°（B20）；(3) 边角互化的方向不对，或化成角以后想不到两角差的正弦公式（M10）。
- 追问："已知两边和它们的夹角，用哪个定理能直接求第三边？(2) 求出 sin B 以后，B 可能是多少度？两个角都能和 A 组成三角形吗？(3) 式子里既有边又有角，能不能用正弦定理全化成角？"
- 要点：(1) c² = 9 + 25 − 2 × 3 × 5 × cos 120° = 49，c = 7。(2) sin B = b sin A / a = √3 × (√2/2) / √2 = √3/2；b > a，所以 B > A = 45°，B = 60° 或 120°，两个都满足（A + B 分别为 105°、165°，都小于 180°）。(3) 由正弦定理把边化成角：sin Acos B − cos Asin B = sin(A − B) = 0；A − B 在 (−π, π) 内，所以 A = B，三角形是等腰三角形。
```verify
{"claim": "例 2：c² = 34 − 30cos 120° = 49；sin B = √3·sin 45°/√2 = √3/2；b sin A < a < b，两解", "expr": "[9 + 25 - 2 * 3 * 5 * Math.cos((2 * Math.PI) / 3), (Math.sqrt(3) * Math.sin(Math.PI / 4)) / Math.sqrt(2), Math.sqrt(3) * Math.sin(Math.PI / 4) < Math.sqrt(2) && Math.sqrt(2) < Math.sqrt(3)]", "expect": [49, 0.8660254037844386, true]}
```
```verify
{"claim": "例 2(3)：按正弦定理取 a = sin A、b = sin B（外接圆直径取 1），A = 60°、B = 40° 时 acos B − bcos A = sin 20° ≠ 0；A = B = 50° 时为 0", "expr": "((d) => [Math.sin(d(60)) * Math.cos(d(40)) - Math.sin(d(40)) * Math.cos(d(60)), Math.sin(d(20)), Math.sin(d(50)) * Math.cos(d(50)) - Math.sin(d(50)) * Math.cos(d(50))])((x) => (x * Math.PI) / 180)", "expect": [0.3420201433256687, 0.3420201433256687, 0]}
```
**例 3 复数的运算与几何意义**
题目：已知 z = (3 + i)/(1 + i)，求 z 的共轭复数与 |z|，并说出 z 在复平面内对应的点在第几象限。
- 最容易卡：分母乘了共轭复数，分子忘了乘（C13）；把虚部写成 −i（B21）。
- 追问："分母怎样变成实数？分子要不要同乘？z 的实部和虚部各是多少？"
- 要点：z = (3 + i)(1 − i)/[(1 + i)(1 − i)] = (4 − 2i)/2 = 2 − i，虚部是 −1；共轭复数为 2 + i；|z| = √5；对应的点 (2, −1) 在第四象限。
```verify
{"claim": "例 3：(3 + i)(1 − i) = 4 − 2i，(1 + i)(1 − i) = 2，z = 2 − i，|z|² = 5", "expr": "[3 * 1 - 1 * -1, 3 * -1 + 1 * 1, 1 * 1 - 1 * -1, 2 ** 2 + (-1) ** 2]", "expect": [4, -2, 2, 5]}
```
**例 4 正方体中的平行与垂直**
题目：在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，(1) 判断直线 A₁C₁ 与平面 ABCD 的位置关系；(2) 判断直线 BD 与平面 ACC₁A₁ 的位置关系。都要说明理由。
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AionUi
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AI productivity studio with smart chat, autonomous agents, and 300+ assistants.
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CopilotKit
The Frontend for Agents & Generative UI. React + Angular
OPENCLAW
Machine-readable data
The same record, as JSON, for agents and crawlers.
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}Record generated Oct 10, 2026.