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应用题数学建模教练

初中到高中的数学应用题建模专项（高中覆盖必修与选择性必修）：只处理列不出式子这一步——初中是"文字→方程"，高中是"文字→函数、数列、三角形、统计或概率模型"。典型触发："这道数学应用题读了三遍不知道怎么列方程""不知道设什么为x""行程/工程/浓度/利润/增长率题总是列错式子""条件之间的关系理不清"。核心方法：数量关系三步提取法（识别量→用中文说关系→翻译成等式）。不处理：方程列出来之后的解方程与计算（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、纯几何/代数运算题、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、概念本身没建立（转 xiaozhi-math-concept-explainer）、物理的受力/电路应用题（转物理 SKILL）。 Skill: 应用题数学建模教练 Owner: qizhitang Summary: 初中到高中的数学应用题建模专项（高中覆盖必修与选择性必修）：只处理列不出式子这一步——初中是"文字→方程"，高中是"文字→函数、数列、三角形、统计或概率模型"。典型触发："这道数学应用题读了三遍不知道怎么列方程""不知道设什么为x""行程/工程/浓度/利润/增长率题总是列错式子""条件之间的关系理不清"。核心方法：数量关系三步提取法（识别量→用中文说关系→翻译成等式）。不处理：方程列出来之后的解方程与计算（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、纯几何/代数运算题、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、概念本身没建立（转 xiaozhi-math-concept-explainer）、物理的受力/电路应用题（转物理 SKILL）。 Tags: latest:2.11.1

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  • Contract metadata is missing or unavailable for deterministic execution.

Risk flags: missing_or_unavailable_contract, trust_data_unavailable, schema_references_missing

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Clawhubvendor · observed Oct 10, 2026
Protocol compatibility
OpenClawcompatibility · observed Oct 10, 2026
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Latest release
2.11.1release · observed Oct 8, 2026
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UNKNOWNsecurity

Install and run

Setup complexity: low.

clawhub skill install s17egdt3mjea4rhm19wt7tm77x852sxg:xiaozhi-math-word-problem-coach
  1. Setup complexity is classified as HIGH. You must provision dedicated cloud infrastructure or an isolated VM. Do not run this directly on your local workstation.
  2. Final validation: Expose the agent to a mock request payload inside a sandbox and trace the network egress before allowing access to real customer data.

Contract: missing

curl -s "https://www.xpersona.co/api/v1/agents/clawhub-qizhitang-xiaozhi-math-word-problem-coach/snapshot"

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SKILL.md

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name: xiaozhi-math-word-problem-coach
description: '初中到高中的数学应用题建模专项（高中覆盖必修与选择性必修）：只处理列不出式子这一步——初中是"文字→方程"，高中是"文字→函数、数列、三角形、统计或概率模型"。典型触发："这道数学应用题读了三遍不知道怎么列方程""不知道设什么为x""行程/工程/浓度/利润/增长率题总是列错式子""条件之间的关系理不清"。核心方法：数量关系三步提取法（识别量→用中文说关系→翻译成等式）。不处理：方程列出来之后的解方程与计算（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、纯几何/代数运算题、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、概念本身没建立（转 xiaozhi-math-concept-explainer）、物理的受力/电路应用题（转物理 SKILL）。'
compatibility: WorkBuddy / SkillHub / OpenClaw / ClawHub
license: MIT
display_name: 📝 应用题数学建模教练
version: 2.11.1
author: 小智伴学
category: 数学专项
grade_bands:
  - 初中
  - 高中
tags: [数学, 应用题, 建模, 数量关系, 文字转数学, 方程建立]
depends_on:
  - xiaozhi-learning-dna
  - xiaozhi-math-error-dna
slug: xiaozhi-math-word-problem-coach
displayName: 📝 应用题数学建模教练
summary: '初中到高中的数学应用题建模专项（高中覆盖必修与选择性必修）：只处理列不出式子这一步——初中是"文字→方程"，高中是"文字→函数、数列、三角形、统计或概率模型"。'
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# 📝 应用题数学建模教练 SKILL

> **一句话定位：** 解出这道题没用——  
> 学会"把文字转化成数学"才有用。  
> 因为这种能力，换一道题还能用。

> 技术边界：本 SKILL 依赖能力 [O, M]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。
> 图片看不清或看不了时，说："图片我看不清，请把这道应用题的**已知条件和问题**打字发我，一行就行。"
> 使用前提：小学学段须有家长或老师在场陪同使用（shared/vocab.md §8 规则 4）；学生说明正在考试或测验中时，不讲该题、不给提示，约好考完再复盘（shared/hint-ladder.md §〇）。

⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记"已转介"的处置事实。

> 铁律（按 shared/hint-ladder.md 的表述）：不在学生尝试之前给原题答案；提示按 shared/hint-ladder.md 逐级升，到达上限后用同型例题或讲解 + 同类题收尾。
> **本 SKILL 的默认最高级：L5（用同型不同数的例题做一遍完整示范，再让学生做原题）。**
> 公式只在 L2 以"名称"出现（如"这题要用的是路程=速度×时间"），不在 L1 出现。

**轮次预算：** 三步提取每步 1-2 轮、单条 ≤80 字；三步走完仍列不出等式 → 升到 L4（给出等式的一半让学生补完），再不行走 L5。**两轮无回复即收尾**：输出一句"这道卡在第几步"的小结并归档，不再追问。

### 隐私与数据控制入口

```text
- 查看：「查看我的应用题记录」
- 更正：「更正我的档案」
- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）
- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）
- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」
- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）
```

---

## 一、核心使命

**为什么应用题特别难：**

```
应用题失分的真实原因链：
  题目读了三遍 → 不知道有几个数量
                 → 不知道数量之间什么关系
                 → 不知道设什么为未知数
                 → 方程不知道怎么列
                 → 就算会解方程也解不了这道题

根本问题：从"文字世界"到"数学世界"的翻译能力没有建立。
```

**这个SKILL解决的问题：**

```
不是教你"行程题套公式"
而是教你"任何一道应用题，都能用同一个流程处理"：

识别数量 → 用文字说关系 → 翻译成数学表达式 → 列方程

这个流程建立了，任何题型都适用。
```

---

## 二、核心方法：数量关系三步提取法

### 三步框架

```
Step 1  识别数量（题目里有几个数量？各是什么？）
Step 2  说出关系（用中文描述数量之间的关系）
Step 3  翻译转化（把中文关系翻译成数学表达式）
```

### 操作规范：追问驱动，不替代建模

```
收到应用题后，绝对不能直接建模或列方程。

必须按三步追问，让学生自己完成每一步：

第1步追问：
"这道题里出现了几个数量？
 把它们一个一个说出来——不用管关系，先数清楚有几个。"

第2步追问：
"这些数量之间有什么关系？
 用中文说，不要写公式，就像给一个不懂数学的人解释一样。"

第3步追问：
"你刚才说的'[中文关系]'，
 如果设[某个数量]为x，
 能不能把这句话改写成含有x的等式？"
```

---

## 三、五大应用题类型专项追问库

> **每类下面的"核心关系"是给 AI 看的，不是开场白。**
> 按 `shared/hint-ladder.md`：L1 只说"这题和哪类知识有关"（如"这是相遇问题"），
> **公式名最早在 L2 出现**（如"要用的是路程=速度×时间"），
> L3 才指出哪个条件还没用到，L4 给等式的一半。
> 学生自己说出了关系，就不要再复述公式。

### 类型①：行程问题

**核心关系：** 路程 = 速度 × 时间

**追问序列：**

```
第1问："这道题里出现了几个运动的物体？"
第2问："每个物体的速度、时间、路程，哪些是已知的，哪些是未知的？"
第3问："它们的路程之间有什么关系？
        （相遇：路程之和=总路程；追及：路程之差=差距）"
第4问："能不能用一

_meta.json

{
  "ownerId": "kn79c5gcmfkt9p1pk656tgq7nd853s7v",
  "slug": "xiaozhi-math-word-problem-coach",
  "version": "2.11.1",
  "publishedAt": 1791475558616
}

references/math-hs1-function-models.md

# 高一衔接段的函数模型：从"列方程"到"选函数"

> 示例题验算：2026-09-25
> 适用学段：高中（高一衔接段）。
> 本文件是 `xiaozhi-math-word-problem-coach` 第八节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题二"函数"：主要是"函数应用"单元（在实际情境中选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异）；摩天轮一例属于"三角函数"单元里用三角函数刻画周期变化的要求。关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算；标"示意数据"的数字只用来演示方法，不是真实数据。

---

## 一、高一·三步提取法的升级

| 步骤 | 初中 | 高一 |
|---|---|---|
| ① 识别量 | 找出已知量和未知量 | 找出自变量和因变量，写出自变量的实际取值范围 |
| ② 用中文说关系 | 说出等量关系 | 说出变化规律：每次增加相同的量，还是每次按相同的比例变化？有没有周期？不同范围规则是否不同？ |
| ③ 翻译 | 列方程 | 选函数类型、写解析式、用已知条件确定参数；最后回到情境检验结果是否合理 |

**看变化规律选函数类型**（子类型 M09）

| 情境的特征 | 常见的函数类型 |
|---|---|
| 每经过一段相同的时间，增加（或减少）的量相同 | 一次函数 |
| 每经过一段相同的时间，按相同的百分比增长（或衰减） | 指数函数 |
| 一开始增长快、越来越慢 | 对数函数（也可能是 y = √x 这类幂函数） |
| 周而复始、按周期变化 | 三角函数 |
| 不同的取值范围按不同的规则计算 | 分段函数 |
| 先增后减（或先减后增），有最大值（或最小值） | 二次函数（周期变化的先增后减是三角函数，如摩天轮） |

这张表是常见的对应，不是判定规则：选定类型后，要用题目给的数据确定参数，再回到情境检验变化规律是否吻合。

---

## 二、高一·五类函数模型

**1. 分段函数：阶梯水价（示意数据）**

情境：每户每月用水不超过 12 吨时，每吨 3 元；超过 12 吨的部分，每吨 5 元。某户某月交水费 51 元，用水多少吨？

- 追问："用水量在 12 吨以内和超过 12 吨，水费的算法一样吗？交了 51 元，用水量在哪一段？"
- 要点：y = 3x（0 ≤ x ≤ 12），y = 36 + 5(x − 12)（x > 12）。51 > 36，所以用水超过 12 吨：36 + 5(x − 12) = 51，x = 15。

```verify
{"claim": "阶梯水价：12 吨的水费为 36 元；用水 15 吨时水费为 51 元", "expr": "[3 * 12, 36 + 5 * (15 - 12)]", "expect": [36, 51]}
```

**2. 指数增长：复利（示意数据）**

情境：本金 10000 元，年利率 2%，按复利计算，10 年后本息和约是多少元？

- 追问："第 1 年末本息和是多少？第 2 年末是在谁的基础上再乘 1.02？"
- 要点：y = 10000 × 1.02ˣ，x = 10 时 y ≈ 12190 元。每年增长的百分比相同，所以是指数模型，不是每年加 200 元的一次函数模型。

```verify
{"claim": "10000 × 1.02¹⁰ 约为 12190；若误用一次函数（每年加 200 元）则为 12000", "expr": "[Math.round(10000 * 1.02 ** 10), 10000 + 200 * 10]", "expect": [12190, 12000]}
```

**3. 指数衰减与对数：碳-14 测年**

情境：碳-14 的半衰期约为 5730 年，即每经过 5730 年，剩余量变为原来的一半。某生物遗骸中碳-14 的含量只剩原来的 1/8，它大约死亡了多少年？

- 追问："经过一个半衰期剩下多少？两个呢？剩下 1/8 是经过了几个半衰期？"
- 要点：剩余比例 p = (1/2)^(t/5730)。p = 1/8 = (1/2)³，所以 t = 3 × 5730 = 17190 年。一般情况要用对数求 t：t = 5730 × log₀.₅ p。

```verify
{"claim": "经过两个半衰期剩 1/4；剩 1/8 时 t = 5730 × log₀.₅(1/8) = 17190 年", "expr": "[0.5 ** ((5730 * 2) / 5730), 5730 * (Math.log(1 / 8) / Math.log(0.5))]", "expect": [0.25, 17190]}
```

**4. 三角函数：摩天轮（示意数据）**

情境：摩天轮半径 50 米，中心离地面 55 米，匀速转一圈用 30 分钟。某人从最低点上舱，t 分钟后离地面的高度是多少？

- 追问："高度会周而复始地变化吗？周期是多少？最低点、最高点离地面各多高？"
- 要点：H(t) = 55 − 50cos(πt/15)（0 ≤ t ≤ 30）。t = 0 时在最低点，离地 5 米；t = 15 时在最高点，离地 105 米。

```verify
{"claim": "摩天轮：t = 0 时离地 5 米，t = 15 时离地 105 米", "expr": "[55 - 50 * Math.cos(0), 55 - 50 * Math.cos((Math.PI * 15) / 15)]", "expect": [5, 105]}
```

**5. 增长速度的比较：直线上升、指数爆炸与对数增长**

情境：比较 y = 2x、y = 2ˣ、y = log₂x 在 x = 2、4、16 时的函数值。

- 追问："x 从 4 变到 16，哪一个函数值变化最大？哪一个变化最小？"
- 要点：x 很大时，指数函数的增长远远超过一次函数，对数函数增长最慢——这就是课标说的"指数爆炸""直线上升""对数增长"。

```verify
{"claim": "x = 2、4、16 时，2x 依次为 4、8、32；2ˣ 依次为 4、16、65536；log₂x 依次为 1、2、4", "expr": "[[2, 4, 16].map((x) => 2 * x), [2, 4, 16].map((x) => 2 ** x), [2, 4, 16].map((x) => Math.log2(x))]", "expect": [[4, 8, 32], [4, 16, 65536], [1, 2, 4]]}
```

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## 三、高一·检验：结果要回到情境里看

- 自变量的实际范围：时间不能为负，人数、件数

references/math-hs2-models.md

# 高中必修后半的数学模型：测量、合成与用样本估计总体

> 示例题验算：2026-09-26
> 适用学段：高中（必修后半）。
> 本文件是 `xiaozhi-math-word-problem-coach` 第九节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题三"几何与代数"（向量应用与解三角形：用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题；用向量解决力学问题）与主题四"概率与统计"（根据实际问题选择抽样方法，用样本估计总体）。关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算；标"示意数据"的数字只用来演示方法，不是真实数据。
> 本 SKILL 只管"把文字翻译成数学"这一步；式子列出来以后的求解与计算，转数学解题教练。

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## 一、高中必修·三步提取法用在这三类问题上

| 步骤 | 测量问题（解三角形） | 合成问题（向量） | 估计问题（统计） |
|---|---|---|---|
| ① 识别量 | 哪些距离、角度已知，要求哪个 | 有哪几个力（速度），大小和方向各是多少 | 总体是谁，样本是谁，要估计的是什么 |
| ② 用中文说关系 | 这些量能不能放进同一个三角形？不能的话，先在哪个三角形里求出中间量？ | 实际的效果是哪几个量的合成？ | 要的是平均水平、离散程度，还是"大约多少比例不超过" |
| ③ 翻译 | 画图、标角，选正弦定理或余弦定理 | 画平行四边形（三角形），用坐标或数量积计算 | 选抽样方法，选统计量（平均数、方差、百分位数） |

画不出图的，归子类型 M06（缺少辅助工具）；画得出三角形、选错定理的归 M10；统计问题选错统计量的（该用百分位数或中位数却用了平均数）归 B08 或 B26（定义见数学错误DNA 维度表第三、四、十节）。

---

## 二、高中必修·三个模型

**1. 解三角形：测量塔高（示意数据）**

情境：在地面上的 A 处测得塔顶的仰角为 30°，沿直线向塔前进 20 米到达 B 处，测得塔顶的仰角为 45°。塔高多少米？（塔底与 A、B 在同一直线上，测量仪器的高度忽略不计）

- 追问："先画图：塔、A、B 在哪里？哪两个角已知？有没有一个三角形同时含塔高和 20 米这段路？"
- 要点：设塔高为 h 米，B 到塔底的距离为 h/tan 45° = h，A 到塔底的距离为 h/tan 30° = √3h。由 √3h − h = 20，得 h = 20/(√3 − 1) = 10(√3 + 1) ≈ 27.3（米）。也可以在 △ABP（P 为塔顶）中先用正弦定理求 BP，再求塔高。
- 课标案例 15"测量学校内、外建筑物的高度"是同一类问题，完整的建模活动（选题、测量、写报告）见该案例。

```verify
{"claim": "模型 1：h = 20/(√3 − 1) = 10(√3 + 1) ≈ 27.32；且 h/tan 30° − h/tan 45° = 20", "expr": "((h) => [h, 10 * (Math.sqrt(3) + 1), h / Math.tan(Math.PI / 6) - h / Math.tan(Math.PI / 4)])(20 / (Math.sqrt(3) - 1))", "expect": [27.32050807568877, 27.32050807568877, 20]}
```

**2. 向量：垂直渡河（示意数据）**

情境：河水的流速为 3 km/h，一艘船在静水中的速度为 4 km/h。船要沿垂直于河岸的方向到达正对岸，船头应朝什么方向？船的实际速度是多少？

- 追问："船的实际速度是哪两个速度的合成？要垂直过河，合速度的方向是什么？画出平行四边形（三角形），哪条边已知、哪条边要求？"
- 要点：船在静水中的速度与水速的合成要垂直于河岸，所以船头要偏向上游。船头方向与上游河岸的夹角 θ 满足 cos θ = 3/4，θ ≈ 41.4°；实际速度为 √(4² − 3²) = √7 ≈ 2.6（km/h）。
- 课标案例 29"过河问题"用的是同一个模型。

```verify
{"claim": "模型 2：cos θ = 3/4，θ ≈ 41.4°；实际速度 √7；船速在上游方向的分量 4cos θ = 3，正好抵消水速", "expr": "[(Math.acos(3 / 4) * 180) / Math.PI, Math.sqrt(16 - 9), 4 * (3 / 4)]", "expect": [41.40962210927086, 2.6457513110645907, 3]}
```

**3. 百分位数：定阶梯水价的第一档标准（示意数据）**

情境：某小区想定一个阶梯水价的第一档标准，使大约 80% 的居民月用水量不超过这个标准。随机调查了 10 户居民的月用水量（吨）：5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 20。第一档标准大约定为多少吨？

- 追问："'大约 80% 的居民不超过它'，对应的是哪个统计量？这 10 户能代表整个小区吗？"
- 要点：要找的是第 80 百分位数。数据已从小到大排列，10 × 80% = 8 是整数，取第 8、9 个数据的平均数 (12 + 15)/2 = 13.5（吨）（取法以学生所用教材为准）。样本只有 10 户，实际制定时要抽更多的样本，并说明抽样方法。
- 课标案例 14"阶梯电价的设计"是同一类问题。

```verify
{"claim": "模型 3：10 × 80% = 8，第 80 百分位数为第 8、9 个数据的平均数 13.5", "expr": "((d) => [10 * 0.8, (d[7] + d[8]) / 2])([5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 20])", "expect": [8, 13.5]}
```

references/math-hs3-models.md

# 高中选择性必修的数学模型：数列、最优化、回归与概率决策

> 示例题验算：2026-09-26
> 适用学段：高中（选择性必修）。
> 本文件是 `xiaozhi-math-word-problem-coach` 第九节的参考资源，对应《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》选择性必修的"函数"（数列：能在具体问题情境中发现数列的等差、等比关系并解决问题；导数：利用导数解决简单的实际问题）与"概率与统计"（一元线性回归模型用于预测；基于随机变量及其分布解决简单的实际问题）。关键数值写成 `verify` 断言，由 CI 验算；标"示意数据"的数字只用来演示方法，不是真实数据，也不是理财或消费建议。
> 本 SKILL 只管"把文字翻译成数学"这一步；式子列出来以后的求解与计算，转数学解题教练。

---

## 一、高中选择性必修·三步提取法用在这几类问题上

| 步骤 | 数列模型 | 最优化（导数） | 回归与概率 |
|---|---|---|---|
| ① 识别量 | 第几期、每期的量、累计的量 | 自变量是什么（边长、价格……），它的实际取值范围 | 两个变量是谁；随机变量是什么、可能取哪些值 |
| ② 用中文说关系 | 每期增加相同的量，还是按相同的比例变化？ | 要求最大（最小）的那个量，怎样随自变量变化？ | 散点大致在一条直线附近吗？每次试验相互独立吗？ |
| ③ 翻译 | 写出通项或前 n 项和的式子：每期加同样的量用等差，按同样比例增长用等比 | 写出函数和定义域；求导求最值转数学解题教练 | 确定用经验回归方程还是分布列来刻画，并说清比较方案的标准；具体计算转数学解题教练 |

函数、数列与回归模型选错的归子类型 M09，随机变量的分布选错的归 B37，忽略实际取值范围（如期数 n 只能取正整数、边长必须为正）的归 R07（定义见数学错误DNA 维度表第九节，选择性必修的扩展见第十一节）。课标只列了一元线性回归模型；散点明显不在一条直线附近时，能不能换元化成线性来处理，以学生所用教材学没学过为准，没学过的如实说明。

---

## 二、高中选择性必修·四个模型

**1. 数列：单利与复利、分期还款（示意数据）**

情境一：本金 10000 元，年利率 2%，存 5 年。按单利（每年的利息都只按本金算）和按复利（每年的利息并入本金再计息），5 年后的本利和各是多少？

- 追问："单利时每年增加的钱一样吗？复利时呢？这分别是哪种数列？"
- 要点：单利每年增加 10000 × 2% = 200 元，是等差数列：10000 + 5 × 200 = 11000（元）；复利每年变为上一年的 1.02 倍，是等比数列：10000 × 1.02⁵ ≈ 11040.81（元）。

情境二：贷款 12000 元，月利率 0.5%，从借款后第 1 个月末起每月还相同的钱，12 个月还清。每月还多少？

- 追问："如果一直不还，12 个月后欠多少？每个月还的那笔钱，到第 12 个月末'值'多少？两边什么时候相等？"
- 要点（只演示怎样列式，不是贷款建议）：12 个月后贷款变为 12000 × 1.005¹²；第 k 个月末还的 x 元到第 12 个月末变为 x × 1.005¹²⁻ᵏ，全部加起来是等比数列的和 x(1.005¹² − 1)/0.005。两者相等，得 x = 12000 × 0.005 × 1.005¹² / (1.005¹² − 1) ≈ 1032.80（元）。

```verify
{"claim": "模型 1：单利 11000，复利 10000 × 1.02⁵ ≈ 11040.81；月还款 x ≈ 1032.80，按月模拟 12 次后余额为 0", "expr": "[10000 + 5 * 200, Math.round(10000 * 1.02 ** 5 * 100) / 100, ((a, r, n) => { const q = (1 + r) ** n, x = (a * r * q) / (q - 1); let b = a; for (let k = 0; k < n; k++) b = b * (1 + r) - x; return [Math.round(x * 100) / 100, Math.abs(b) < 1e-6]; })(12000, 0.005, 12)]", "expect": [11000, 11040.81, [1032.8, true]]}
```

**2. 导数：无盖盒子的最大容积**

情境：用一块边长 60 cm 的正方形铁皮，在四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再折成一个无盖的长方体盒子。小正方形的边长是多少时，盒子的容积最大？

- 追问："设小正方形的边长为 x，盒子的底面边长和高各是多少？x 能取哪些值？容积怎样随 x 变化？"
- 要点：V(x) = x(60 − 2x)²，0 < x < 30。V′(x) = (60 − 2x)(60 − 6x)，在 (0, 30) 内只有 x = 10 使 V′(x) = 0；0 < x < 10 时 V′(x) > 0，10 < x < 30 时 V′(x) < 0，所以 x = 10 时容积最大，为 10 × 40² = 16000（cm³）。

```verify
{"claim": "模型 2：V(10) = 16000，V(9) = 15876，V(11) = 15884；V′(x) = (60 − 2x)(60 − 6x) 在 x = 10 处为 0，在 5、20 处分别为正、负", "expr": "((V) => [V(10), V(9), V(11), (60 - 2 * 10) * (60 - 6 * 10), (60 - 2 * 5) * (60 - 6 * 5) > 0, (60 - 2 * 20) * (60 - 6 * 20) < 0])((x) => x * (60 - 2 * x) ** 2)", "expect": [16000, 15876, 15884, 0, true, true]}
```

**3. 一元线性回归：按趋势预测（示意数据）**

情境：某社区图书室近 5 年的年借阅量（万册）如下，年份代码 x 为 1～5，借阅量 y 为 2.2, 2.8, 3.6, 4.2, 5.2。预测第 6 年的借阅量。

- 追问："先画散点图：这些点大致在一条直线附近吗？相关系数说明了什么？预测出来的数是确定的吗？"
- 要点：x̄ = 3，ȳ = 3.6，Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) = 7.4，Σ(xᵢ − x̄)² = 10，b̂ = 0.74，â = 3.6 − 0.74 × 3 = 1.38，经验回归方程为 ŷ = 0.74x + 1.38；样本相关系数 r ≈ 0.996，线性相关很强。第 6 年的预测值为 5.82 万册——这是估计值，不是确定值（子类型

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Machine-readable data

The same record, as JSON, for agents and crawlers.

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Record generated Oct 10, 2026.

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